文档文本内容
淘宝：学思创想
专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅内劳斯（Menelaus，公元98 年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中
的一个重要定理。
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与
的三边AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E
点，那么
．这条直线叫
的梅氏线，
叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E 分别是
的三边AB、BC、CA 或其延长线的三点，如
果
，则F、D、E 三点共线．
图1 图2
塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678 年发表了一个著名的定理，
后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC 内任取一点G，延长AG、BG、CG 分别交对边于D、E、F，
如图2，则
。
注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是
三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线
段成比例和相似来解决。
例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在
中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F，交AD 于
点E，求证：
．
淘宝：学思创想
例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在
中，
，
．AM 为BC 边上的中线，
于点D，CD 的延长线交AB 于点E．求
．
例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点D、E 分别在
的边AC、AB 上，
，
，BD 与
CE 交于点F，
．求
．
F
D
E
C
B
A
例4.（2023.江苏九年级月考）已知AD 是
的高，点D 在线段BC 上，且
，
，作
于点E，
于点F，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G，求CG．
例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在
中，
的外角平分线与边BC 的延长线交于点P，
的平分线与边CA 交于点Q，
的平分线与边AB 交于点R，求证：P、Q、R 三点共线．
淘宝：学思创想
例6．（2023 上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅
劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与
的三边
或它们的延长线交于
三点，那么一定有
．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点
作
，交
的延长线于点
，则有
，
，
∴
，
．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
淘宝：学思创想
（1）如图3，
三边
的延长线分别交直线于
三点，证明：
．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边
的边长为3，点
为
的中
点，点
在
上，且
与
交于点
，试求
的长．（3）如图5，
的面积为4，F
为
中点，延长
至
，使
，连接
交
于
，求四边形
的面积．
例7．（2023.山东九年级月考）如图：P，Q，R 分别是△ABC 的BC，CA，AB 边上的点．若AP，BQ，CR
相交于一点M，求证：
．
例8. （2023.浙江九年级期中）如图，在锐角△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，
BH 和CH 的延长线分别交AC、AB 于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。
淘宝：学思创想
例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCD 的对边AB 和CD，AD、BC 分别相交于L、K，对角线
AC 与BD 交于点M，直线KL 与BD，AC 分别交于F、G，求证：
.
例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大
的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在
内任取一点
，延长AO，BO，CO 分别交对边于D，E，F，则
．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三
线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E 分别为边BC，AC 的中点时，求证：点F 为AB 的中点；(2)若
为等
边三角形（图3），
，
，点D 是BC 边的中点，求BF 的长，并直接写出
的面积．
淘宝：学思创想
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，AE＝
AB，连接EM
并延长，交BC 的延长线于D，则
＝（ ）
A．
B．2
C．
D．
2.（2023.浙江九年级期中）如图，D、E、F 内分正△ABC 的三边AB、BC、AC 均为1：2 两部分，AD、
BE、CF 相交成的△PQR 的面积是△ABC 的面积的（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（广东2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题）如图，在
中，
，
，
，
，垂足为D，E 为
的中点，
与
交于点F，则
的长为 ．
淘宝：学思创想
4．（2022 年山西中考一模数学试题）如图，在
中，
，
，
．
是
边上的中线．将
沿
方向平移得到
．
与
相交于点
，连接
并延长，与边
相
交于点
．当点
为
的中点时，
的长为 ．
5．（2022 年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，
为
的直径，C 为
上一点，
的切线
交
的延长线于点D，E 为
的中点，
交
的延长线于点F．若
，
，则
的长为 ．
6．（2023 年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在□ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
，
，
，
的平分线分别交AC，BC 于点E，F．则线段OE 的长为 ．
7．（2023 下·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC 的边长为5，D 在BC 延长线上，CD＝3，
点E 在线段AD 上，且AE＝AB，连接BE 交AC 于F，则CF 的长为 ．
淘宝：学思创想
8．（2023·重庆·八年级期中）如图，
的面积为
，
、
分别是
，
上的点，且
,
．连接
,
交于点
,连接
并延长交
于点
．则四边形
的面积为 ．
9.（2023.湖北.九年级月考）如图所示，
被通过它的三个顶点与三角形内一点O 的三条直线分为6
个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则
的面积为 ．
10．（2023 上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解
答．已知△ABC，延长BC 到D，使CD=BC．取AB 的中点F，连结FD 交AC 于点E．
(1)求
的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC 的长．
淘宝：学思创想
11．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图，
三边
，
，
的延长线分别交直线于
，
，
三点，证明：
．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）
12．（2023 上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（
）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果
一条直线与
的三边AB，BC，CA 或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么一定有
．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A 作
，交DF 的延长线于点G，则有
．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在
中，
，
，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且
，CF 与AD 交于点E，则
________．
淘宝：学思创想
13．（2021·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》
一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC 内任取一点O，延长AO，BO，CO 分别交对边于D，F，E，则
．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A 作BC 的平行线分别交BE，CF 的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴
①．
同理可得△NOA∽△COD．∴
②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA 相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC
＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E 为DC 的中点，连接AE 并延长，交BC 于点F，连接BE 并延长，交AC 于
点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF 与FC 的
比是25：16，请你直接写出△ECG 与△EAG 面积的比．
14．（重庆2022-2023 学年八年级月考）如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是线段BC
上一动点（不与点B、C 重合），连接AD，延长BC 至点E，使得CE＝CD，过点E 作EF⊥AD 于点F，再
淘宝：学思创想
延长EF 交AB 于点M．（1）若D 为BC 的中点，AB＝4，求AD 的长；（2）求证：BM＝
CD．
15．（2023 年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图，
为
的直径，C 为
上一点，
的
切线
交
的延长线于点D，E 为
的中点，连接
并延长，交
的延长线于点F．
(1)求证：
是
的切线；(2)若
，
，求图中阴影部分的面积．
淘宝：学思创想
