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淘宝：学思创想
专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅内劳斯（Menelaus，公元98 年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中
的一个重要定理。
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与
的三边AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E
点，那么
．这条直线叫
的梅氏线，
叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E 分别是
的三边AB、BC、CA 或其延长线的三点，如
果
，则F、D、E 三点共线．
图1 图2
塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678 年发表了一个著名的定理，
后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC 内任取一点G，延长AG、BG、CG 分别交对边于D、E、F，
如图2，则
。
注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是
三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线
段成比例和相似来解决。
例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在
中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F，交AD 于
点E，求证：
．
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【解析】∵直线FEC 是
ABD
△
的梅氏线，∴
1
AE
DC
BF
ED
BC
FA
．
而
1
2
DC
BC
，∴
1
1
2
AE
BF
ED
FA
，即
2
AE
AF
ED
BF
．
【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．
例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在
中，
，
．AM 为BC 边上的中线，
于点D，CD 的延长线交AB 于点E．求
．
【解析】∵HFC 是
的梅氏线，由题设，在
中，
，
，
由射影定理
2
2
4
AD
AD AM
AC
DM
DM AM
CM
．对
和截线EDC，由梅涅劳斯定理，
1
AE
BC
MD
EB CM
DA
，即
2 1
1
1 4
AE
EB
．∴
2
AE
EB
．
【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．
例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点D、E 分别在
的边AC、AB 上，
，
，BD 与
CE 交于点F，
．求
．
F
D
E
C
B
A
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【解析】对
和截线
，由梅氏定理得：
，
即
，∴
．∴
．
∴
．
【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．
例4.（2023.江苏九年级月考）已知AD 是
的高，点D 在线段BC 上，且
，
，作
于点E，
于点F，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G，求CG．
【解析】如图，设
，EFG 是
的梅氏线．则由梅涅劳斯定理
．
显然的
，
，于是
，得
．
【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合．
例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在
中，
的外角平分线与边BC 的延长线交于点P，
的平分线与边CA 交于点Q，
的平分线与边AB 交于点R，求证：P、Q、R 三点共线．
【解析】AP 是
的外角平分线，则
①
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BQ 是
的平分线，则
②
CR 是
的平分线，则
③
得
，
因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，
则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R 三点共线．
【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用．
例6．（2023 上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅
劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与
的三边
或它们的延长线交于
三点，那么一定有
．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点
作
，交
的延长线于点
，则有
，
，
∴
，
．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
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（1）如图3，
三边
的延长线分别交直线于
三点，证明：
．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边
的边长为3，点
为
的中
点，点
在
上，且
与
交于点
，试求
的长．（3）如图5，
的面积为4，F
为
中点，延长
至
，使
，连接
交
于
，求四边形
的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）
；（3）
【分析】(1) 过点
作
交
于点
，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．
(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点
作
交
于点
，
则
．故：
．
（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：
．
又
，∴
，
．在等边
中，
，点
为
的中点，
．
由勾股定理知：
．
（3）解：
线段
是
的梅氏线，
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由梅涅劳斯定理得，
，即
，则
．如图，连接
，
，于是
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练
掌握定理是解题的关键．
例7．（2023.山东九年级月考）如图：P，Q，R 分别是△ABC 的BC，CA，AB 边上的点．若AP，BQ，CR
相交于一点M，求证：
．
证明：如图，由三角形面积的性质，
有
，
，
．以上三式相乘，得
．
例8. （2023.浙江九年级期中）如图，在锐角△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，
BH 和CH 的延长线分别交AC、AB 于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。
【详解】证明：过点A 作PQ//BC，与DF，DE 的延长线分别交于点P、Q，则DA⊥PQ。
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对△ABC 和点H 应用赛瓦定理可得：
．
∵PQ//BC，∴
,∴
,∴AP=AQ
根据垂直平分线，∴PD=QD，∴△PQD 是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCD 的对边AB 和CD，AD、BC 分别相交于L、K，对角线
AC 与BD 交于点M，直线KL 与BD，AC 分别交于F、G，求证：
.
对△DKL 和点B 应用赛瓦定理可得：
．①
对
和截线
，由梅氏定理得：
②
由①②得：
点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．
例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大
的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在
内任取一点
，延长AO，BO，CO 分别交对边于D，E，F，则
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．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三
线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E 分别为边BC，AC 的中点时，求证：点F 为AB 的中点；(2)若
为等
边三角形（图3），
，
，点D 是BC 边的中点，求BF 的长，并直接写出
的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
；
的面积为
【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；
（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F 作FG⊥BC 于G，证明
，可
求出OD，从而求出△BOC 的面积，然后根据
可求△BCF 的面积，从而得解．
【详解】（1）证明：在
中，∵点D，E 分别为边BC，AC 的中点，∴
，
．
由赛瓦定理可得：
．∴
，∴
．即点F 为AB 的中点；
（2）解：∵
为等边三角形，
，∴
∵点D 是BC 边的中点，∴
，
∵
，∴
．由赛瓦定理可得：
；过点F 作FG⊥BC 于G，
∴
，
，∴CG=BC-BG=8，
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴
，∴
，
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∴
，即
，∴
，∴
，
∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴
，∴
又
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞
瓦定理是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，AE＝
AB，连接EM
并延长，交BC 的延长线于D，则
＝（ ）
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A．
B．2
C．
D．
解：法1：对
和截线
，由梅氏定理得：
，
∵M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，AE＝
AB，∴
，
∴
，∴
，∴
，故选B.
法2：如图，过C 点作CP∥AB，交DE 于P，
∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴
＝
，
∵M 是AC 的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，
∵AE＝
AB，∴CP＝
AB，∴CP＝
BE，
∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴
＝
＝
，
∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即
＝2．故选：B．
2.（2023.浙江九年级期中）如图，D、E、F 内分正△ABC 的三边AB、BC、AC 均为1：2 两部分，AD、
BE、CF 相交成的△PQR 的面积是△ABC 的面积的（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：对△ADC 用梅涅劳斯定理可以得：
•
•
＝1，则
＝
．
设S△BCF＝
，S△BCQ＝
S△BCE＝
，SBPRF＝
S△ABD＝
，
∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝
S△ABC．故选：D．
3．（广东2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题）如图，在
中，
，
，
，
，垂足为D，E 为
的中点，
与
交于点F，则
的长为 ．
【答案】
【分析】过点F 作
于H，根据勾股定理求得
的值，根据三角形的面积求得
的值，根据勾股
定理求得
的值，根据相似三角形的判定和性质可得
，设
，
，
，根
据相似三角形的判定和性质可求得k 的值，即可求得
和
的值，根据勾股定理求得
的值，即可求
解．
【详解】解：如图，过点F 作
于H．
在
中，
，
，则
，
∵
，∴
，即
解得：
，
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在
中，
，
，
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，设
，
，
，
∵
，
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
，
∴
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和
性质是解题的关键．
4．（2022 年山西中考一模数学试题）如图，在
中，
，
，
．
是
边上的中线．将
沿
方向平移得到
．
与
相交于点
，连接
并延长，与边
相
交于点
．当点
为
的中点时，
的长为 ．
【答案】
/
【分析】则E 为
的中点，得
为
的中点，证明
，推出
，在
中，利用勾股定理求得
，再根据相似比即可求解．
【详解】解：∵由平移的性质得
，
，
∴E 为
的中点，
，∴
，∴
为
的中点，
∵D 是
边上的中点，∴
，∴
，
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∵
，∴
，∴
，
，∴
，
在
中，
，
∵
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题．
5．（2022 年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，
为
的直径，C 为
上一点，
的切线
交
的延长线于点D，E 为
的中点，
交
的延长线于点F．若
，
，则
的长为 ．
【答案】
/
【分析】连接OC，BC，根据
为
的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E 为
的中点，可得
CE=BE=DE，从而得到∠BCE=∠CBE，然后根据切线的性质可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得
∠OCF=90°，然后根据
，可得△OBC 是等边三角形，进而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根据锐
角三角函数，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC，BC，
∵
为
的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E 为
的中点，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，
∵
是
的切线，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，
∵
，∴BC=OB=OC，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，
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∵
，∴
，∴
，故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知
识点是解题的关键．
6．（2023 年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在□ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
，
，
，
的平分线分别交AC，BC 于点E，F．则线段OE 的长为 ．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质求出BD，再由勾股定理分别求出AO，AD，再由角平分线与平行线的性质得
到∠CDF=∠CFD，最后由△ADE∽△CFE 得
，从而求出OE 的长．
【详解】解：∵□ABCD，OB=2，AB=3，∴BD=2OB=4，AD
BC，AD=BC，CD=AB=3，
∵
，∴∠ABO=90°，∴
，
，
∴BC=AD=5，∵DF 平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF，
∵AD
BC，∴∠ADF=∠CFD，∴∠CDF=∠CFD，∴CF=CD=3，
∵AD
BC，∴△ADE∽△CFE，∴
，∴
，∴
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、勾股定理，难度适中，解题关键是正
确找出相似三角形．
7．（2023 下·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC 的边长为5，D 在BC 延长线上，CD＝3，
点E 在线段AD 上，且AE＝AB，连接BE 交AC 于F，则CF 的长为 ．
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【答案】1
【分析】过点A 作AG BD
⊥
于点G，过点E 作EH AC
∥
，交BD 于点H，利用等边三角形的性质可求出BG 的
长，利用勾股定理求出AG 的长，从而可得到DG 的长，再利用勾股定理求出AD 的长，由此可求出DE 的
长；再利用平行线分线段成比例定理求出EH，DH 的长，再利用平行线分线段成比例定理求出CF 的长．
【详解】解：过点A 作AG BD
⊥
于点G，过点E 作EH AC
∥
，交BD 于点H，
ABC
∵△
是等边三角形，∴
DC
∵
＝3 DG
∴
＝CG＋DC＝2.5＋3＝5.5
在Rt
AGD
△
中，
；∴DE＝7－5＝2
EH AC
∵
∥
，∴
即
解之：
CF EH
∵
∥
，∴
即
解之：CF＝1 故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，掌握勾股定理求出线段长度，运用好平行线分线段
成比例是解题的关键．
8．（2023·重庆·八年级期中）如图，
的面积为
，
、
分别是
，
上的点，且
,
．连接
,
交于点
,连接
并延长交
于点
．则四边形
的面积为 ．
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【答案】
.
【分析】先画出图形,再作DJ∥EC 交AB 于J,交AH 于K，作DG∥BC 交AH 于G，由题推出EF:FC=1:3，
BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH 的面积即可．
【详解】根据题意画出图形:
作DJ∥EC 交AB 于J,交AH 于K 作DG∥BC 交AH 于G，
∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，
设JK=m,则EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，
∵AE= 2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，
∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，
∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，
∵BE=
AB，∴S△BEC=
S△ABC=
，∵EG=
EC，∴S△BEF=
S△BEC=
,S△BFC=
，
∵BH=
BC，∴S△BHF=
×
=
，∴S 四边形BEFH=
+
=
．
【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证．
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9.（2023.湖北.九年级月考）如图所示，
被通过它的三个顶点与三角形内一点O 的三条直线分为6
个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则
的面积为 ．
【解析】有题意知：
，
对
和截线
，由梅氏定理得：
，即
，∴
，∴
∴
【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．
10．（2023 上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解
答．已知△ABC，延长BC 到D，使CD=BC．取AB 的中点F，连结FD 交AC 于点E．
(1)求
的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC 的长．
【答案】(1)
(2)AC 的长为
a．
【分析】（1）过点F 作FM∥AC，交BC 于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE 与FM
之间的关系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．
【详解】（1）解：过点F 作FM∥AC，交BC 于点M，
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∵F 为AB 的中点，∴M 为BC 的中点，FM=
AC．∵CD=BC，∴CM=
CD，∴
，
∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．
∴
．∴
．∴
；
（2）解：∵点F 是AB 的中点，AB=a，∴FB=
AB=
a．
∵FB=AE，∴AE=
a．由（1）知，
，∴AC=
AE=
×
a=
a，即AC 的长为
a．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，作出平行线构造出相似三
角形是解本题的关键．
11．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图，
三边
，
，
的延长线分别交直线于
，
，
三点，证明：
．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）
【答案】见解析
【分析】连接CY、AX ，设A 到XZ 的距离为h1，C 到XZ 的距离为h2，再根据“两个三角形等高时面积之
比等于底边之比”的性质，分别列出
、
、
，再计算即可.
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【详解】证明：如图，连接CY、AX
设A 到XZ 的距离为h1，C 到XZ 的距离为h2
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，作出辅助线，通过面积写出线段比是解题关键.
12．（2023 上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（
）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果
一条直线与
的三边AB，BC，CA 或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么一定有
．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A 作
，交DF 的延长线于点G，则有
．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在
中，
，
，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且
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，CF 与AD 交于点E，则
________．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）由题意可得
，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得
，进而由题意易得
，
，然后可得
，则由勾股定理可得
，
最后问题可求解．
【详解】解：（1）补充的证明过程如下：
，
，
；
（2）根据梅涅劳斯定理得
，
∵点D 为BC 的中点，
，
，
，
，
∵
，
，∴AD BC
⊥
，BD=5，
∴在
中，
，
．故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．（2021·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》
一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC 内任取一点O，延长AO，BO，CO 分别交对边于D，F，E，则
．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A 作BC 的平行线分别交BE，CF 的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴
①．
同理可得△NOA∽△COD．∴
②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA 相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC
＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E 为DC 的中点，连接AE 并延长，交BC 于点F，连接BE 并延长，交AC 于
点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF 与FC 的
比是25：16，请你直接写出△ECG 与△EAG 面积的比．
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【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)
；
．
任务二：证明见解析；任务三：
．
【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结
论；
任务三：由任务一和任务二得出
1，可得出
的值，再由△ECG 和△EAG 为同高，故面
积比就等于底边CG 和GA 之比．
【详解】（1）解：任务一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；
（2）
；
任务二：证明：
如图所示：由任务一可得：
；
同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；
∴
；∴
；∴
．
任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC 中，
1；
∵Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，∴AB
；
∴cos∠BAC
；∴
；∴AD
；∴BD＝AB﹣AD
；
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∵
1；∴
1；解得
；
过点E 作EH⊥AC 于H；
∴
【点睛】本题主要是根据“8”字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换，
任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏.上类题．
14．（重庆2022-2023 学年八年级月考）如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 是线段BC
上一动点（不与点B、C 重合），连接AD，延长BC 至点E，使得CE＝CD，过点E 作EF⊥AD 于点F，再
延长EF 交AB 于点M．（1）若D 为BC 的中点，AB＝4，求AD 的长；（2）求证：BM＝
CD．
【答案】（1）
；（2）详见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC＝2
，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过M 作MH⊥BC 于H，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，
根据余角的性质得到∠AME＝∠EAM，根据全等三角形的性质得到CD＝MH，于是得到结论．
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【详解】（1）∵在等腰Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，∴AC＝BC＝2
，
∵D 为BC 的中点，∴CD＝
BC＝
，∴
；
（2）过M 做MH⊥BC 于H，连接AE，
∵AC⊥BE，CD＝CE，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC，
∵EF⊥AD，∴∠EFD＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，
∴∠CAD＝∠DEF，∴∠EAC＝∠DEF，∴∠EAC＝∠DEF，
∵∠AME＝∠B+∠BEM，∠EAM＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠AME＝∠EAM，∴AE＝EM，∴AD＝EM，
∵∠ACD＝∠EHM＝90°，∴△ACD≌△EHM（AAS），∴CD＝MH，
∴BM＝
MH＝
CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明△ACD≌△EHM 是
解题的关键．
15．（2023 年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图，
为
的直径，C 为
上一点，
的
切线
交
的延长线于点D，E 为
的中点，连接
并延长，交
的延长线于点F．
(1)求证：
是
的切线；(2)若
，
，求图中阴影部分的面积．
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【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接
，
，根据圆周角定理可得
，求得
，根据切线
的性质得到
，，再根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质可得
，求得
，得到
，过O 作
于H，求
得
，根据扇形和三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接
，
，
∵
为
的直径，∴
，
∵E 为
的中点，∴
，∴
，
∵
是
的切线，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
是
的半径，∴
是
的切线；
（2）解：∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
， ∴
，∴
，
∴
，过O 作
于H，∴
，
∵
，∴
，
∴
．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、扇形的面积公式、直角三角形的性质、圆周角定理、等腰三角形的
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性质，正确作出辅助线是解题的关键．
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