北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§4.3 三角函数的图象与性质
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021安徽安庆二模,8)已知函数y=cos(ωx+φ)的图象如图所示,其中ω为正整数,|φ|<2,则 ( )
A.ω=1,φ=π-2 B.ω=1,φ=2-π
C.ω=2,φ=π-4 D.ω=2,φ=4-π
T 3T π 3π π 3π
答案 C 由题图可知 <2< ,即 <2< ,得 <ω< .因为ω为正整数,所以ω=2.又x=2时,
2 4 ω 2ω 2 4
y =-1,所以4+φ=2kπ+π,k∈Z,即φ=2kπ+π-4,k∈Z,因为|φ|<2,所以φ=π-4.故选C.
min
2.(2021天津四中第三次月考,8)已知函数f(x)=cos( π)+2sin( π)sin ( π)(x∈R).给
2x- x- x+
3 4 4
出下面四个结论:
①f(x)是最小正周期为π的奇函数;
5π
②f(x)图象的一条对称轴是x= ;
6
③f(x)图象的一个对称中心是( π );
,0
12
④f(x)的单调递增区间为[ π 5π](k∈Z).
kπ+ ,kπ+
3 6
其中正确的结论是 ( )
A.①③ B.②③ C.②③④ D.①②③
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答案 B f(x)=cos( π)+2sin( π)sin( π)=1cos 2x+√3sin 2x+(sin x-cos x)(sin
2x- x- x+
3 4 4 2 2
x+cos x)=1cos 2x+√3sin 2x-cos 2x=√3sin 2x-1cos 2x=sin( π).
2x-
2 2 2 2 6
∴f(0)≠0, f(x)不是奇函数,①错误;
f(5π)=sin( 5π π)=sin 3π=-1,
2× -
6 6 6 2
5π
所以直线x= 是f(x)图象的一条对称轴,②正确;
6
f( π )=sin(π π)=0,
-
12 6 6
所以点( π )是f(x)图象的一个对称中心,③正确;
,0
12
π π π
令2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),
2 6 2
π π
可得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z),
6 3
所以f(x)的单调递增区间为[ π π](k∈Z),④错误.
kπ- ,kπ+
6 3
故正确的结论有②③.故选B.
3.(2021天津南开中学统练(25),8)已知f(x)=sin( π)(ω∈Z),x∈( π]时, f(x)=1有唯一解,则
ωx+ 0,
6 3 2
满足条件的ω的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 D 易知ω=0不符合题意.
当ω>0时,∵x∈( π],∴ωx+π∈(π ωπ π],
0, , +
3 6 6 3 6
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∵x∈( π]时, f(x)=1有唯一解,
0,
3 2
∴ωπ+π∈[5π 13π),
,
3 6 6 6
∴ω∈[2,6),又∵ω∈Z,∴ω=2或3或4或5.
当ω<0时,∵x∈( π],∴ωx+π∈[ωπ π π),
0, + ,
3 6 3 6 6
∵x∈( π]时, f(x)=1有唯一解,∴πω+π∈( 11π 7π],∴ω∈(-6,-4],又∵ω∈Z,∴ω=-5
0, - ,-
3 2 3 6 6 6
或-4.
综上,ω的值可以为-5、-4、2、3、4、5,共6个,故选D.
π
4.(2021浙江湖州中学第二次质检,7)把函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位后得到函数y=g(x)
8
1
的图象,再把函数y=g(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标保持不变),则所得函数图
2
象的一条对称轴方程为 ( )
π 3π π 3π
A.x= B.x= C.x= D.x=
16 16 4 8
答案 A 由题意得g(x)=2sin( π),将其图象上每一点的横坐标缩短为原来的1(纵坐标保
2x+
4 2
持不变)后得到函数y=2sin( π)的图象,
4x+
4
π π kπ π
由4x+ =kπ+ ,k∈Z,得x= + ,k∈Z.
4 2 4 16
kπ π π
故所得函数图象的对称轴方程为x= + ,k∈Z,其中一条对称轴方程为x= .故选A.
4 16 16
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5.(2021山西忻州一中3月月考,10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b( π)的部分
A>0,ω>0,|φ|<
2
图象如图所示,给出下列结论:
①A=2,ω=1,b=-1;
②A=ω=2,b=-1;
③点(2π )为f(x)图象的一个对称中心;
,-1
3
④f(x)在[ 23π 17π]上单调递减.
- ,-
12 12
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
1-(-3) 1+(-3) π π 1 2π
答案 D 由题图可知,A= =2,b= =-1, - = × ,得ω=2,故①不正确,②正
2 2 3 12 4 ω
确;由于(π )为f(x)图象的一个对称中心,且f(x)的最小正周期为π,故f(x)图象的对称中心为
,-1
3
(π kπ )(k∈Z),当k=1时,对称中心为(5π ),故③错误;由于[ π 7π]为f(x)的单调
+ ,-1 ,-1 ,
3 2 6 12 12
递减区间, f(x)的最小正周期为π,故f(x)的单调递减区间为[ π 7π ](k∈Z),当k=-2时,
+kπ, +kπ
12 12
单调递减区间为[ 23π 17π],故④正确.故选D.
- ,-
12 12
6.
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(2021河南郑州一中4月月考,10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将
f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度,得到函数g(x),若g(x)满足g(2π-x)=g(x),则a的最小值为 (
)
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 4 12
答案 D 由题图可知,A=1,T=π- π ⇒T=π,∵T= 2π ,ω>0,∴ω=2.由图象过点(π ),且在单调
,0
4 3 12 |ω| 3
递减区间内,得sin( π )=0⇒2×π+φ=2kπ+π(k∈Z)⇒φ=2kπ+π(k∈Z),∵|φ|<π,∴φ=π
2× +φ
3 3 3 3
,∴f(x)=sin( π),则g(x)=sin[ π]=sin( π),由g(2π-x)=g(x),得g(x)的图象
2x+ 2(x-a)+ 2x-2a+
3 3 3
关于直线x=π对称,所以g(π)=sin( π)=-sin( π)=±1,∴2a-π=π+kπ(k∈Z),∴a=5π
2π-2a+ 2a-
3 3 3 2 12
kπ 5π
+ (k∈Z),又a>0,所以a = .故选D.
min
2 12
7.(2021河南名校联盟尖子生3月联考,9)f(x)=sin( π)的图象向左平移φ个单位,恰与g(x)=cos
2x-
3
( π)的图象重合,则φ的取值可能是 ( )
2x+
3
π 5π π 7π
A. B. C. D.
3 12 2 12
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答案 D f(x)=sin(
2x-
π)取最大值时,2x-π=2k
1
π+π(k
1
∈Z)⇒x=k
1
π+5π(k
1
∈Z),g(x)=cos
3 3 2 12
( 2x+ π)取最大值时,2x+π=2k 2 π(k 2 ∈Z)⇒x=k 2 π-π(k 2 ∈Z),故f(x)的图象左移(k 1 -k 2 )π+7π
3 3 6 12
(k,k∈Z)可与g(x)的图象重合,符合条件的选项为D.
1 2
一题多解 把函数f(x)=sin( π)的图象向左平移φ个单位长度,可得y=sin[ π]
2x- 2(x+φ)-
3 3
=sin 2x+2φ-π 的图象,g(x)=cos(
2x+
π)=sin π+ 2x+π =sin(
2x+
5
π
),函数f(x)的图象
3 3 2 3 6
π 5 7
向左平移φ个单位后,与g(x)的图象重合,则有2φ- =2kπ+ π(k∈Z),解得φ=kπ+ π(k∈Z),所以当
3 6 12
7
k=0时,φ= π,结合选项知选D.
12
8.(2021豫东豫北十所名校3月联考,7)若函数f(x)=3sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<π 的图象过点M
2
(2π ),直线x=2π向右平移π个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点,则f(x)在
,-3
3 3 4
[ π π]上的单调递增区间是 ( )
- ,
2 2
A.[ π π] B.[ π π]
- , - ,
2 6 3 3
C.[ π π] D.[ π π]
- , - ,
3 6 6 6
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π 2π
答案 C 由题意,可知函数f(x)的四分之一周期为 ,则f(x)的周期T=π,∴ω= =2.又函数f(x)的
4 T
图象过点M(2π ),∴-3=3sin(2π ),∴2π×2+φ=-π+2kπ,k∈Z,∴φ=-11π+2kπ,k∈Z.由
,-3 ×2+φ
3 3 3 2 6
0<φ<π,得φ=π,∴f(x)=3sin( π).由2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z.
2x+
2 6 6 2 6 2 3 6
取k=0,得x∈[ π π],即为所求.
- ,
3 6
解题关键 正确把握点M的位置,理解周期与图象的对称轴、对称中心的关系是求解ω的关键.
二、多项选择题
9.(2021届山东枣庄第三中学第一次月考,9)下列函数中,最小正周期为π的偶函数是 ( )
A.y=tan x B.y=|sin x|
C.y=2cos x D.y=sin(π )
-2x
2
答案 BD 对于A选项,函数y=tan x为奇函数,不符合题意.
对于B选项,函数y=|sin x|是最小正周期为π的偶函数,符合题意.
对于C选项,函数y=2cos x的最小正周期为2π,不符合题意.
对于D选项,函数y=sin(π )=cos 2x,是最小正周期为π的偶函数,符合题意.故选BD.
-2x
2
10.(2021届湖南、河北新高考联考10月质量检测,10)已知函数f(x)=sin( π),则下列结论正
2x-
6
确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
7
B.f(x)的图象关于直线x=- π对称
6
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C.f(x)在( π π)上单调递增
- ,
4 6
D.y=f(x)+f( π)的最小值为-
x+ √2
4
2π
答案 ABD ∵f(x)的最小正周期为 =π,故A正确;
2
7π π 5 7
x=- 时,2x- =- π,此时f(x)有最小值,则f(x)的图象关于直线x=- π对称,故B正确;
6 6 2 6
∵x∈( π π),∴2x-π∈( 2π π),∴f(x)在( π π)上不单调,故C错误;
- , - , - ,
4 6 6 3 6 4 6
∵y=f(x)+f( π)=sin( π)+cos( π)= sin( π ),∴最小值为- ,故D正确.故选
x+ 2x- 2x- √2 2x+ √2
4 6 6 12
ABD.
11.(2021届广东珠海摸底考试,10)如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象,则 ( )
A.f(x)=2sin(1 π) B.f(x)=2sin(1 π)
x+ x+
2 4 2 2
C.f(x)=-2sin(1 π) D.f(x)=2cos 1x
x-
2 2 2
答案 BCD 由题图可知,A=2,T=2×2π=4π,
∴ω=2π=1,∴f(x)=2sin(1 ),
x+φ
T 2 2
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π
又∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点(0,2),∴2sin φ=2,∴sin φ=1,∴φ=2kπ+ ,k∈Z,∴f(x)=2sin
2
(1 π),
x+
2 2
由sin( π)=cos α可得f(x)=2cos 1x,
α+
2 2
再由sin(α-π)=-sin α 及f(x)=2sin(1
x+
π)得,f(x)=-2sin 1x-π ,故选BCD.
2 2 2 2
1
12.(2021届河北石家庄二中期中,11)已知函数f(x)=(asin x+cos x)cos x- 的图象的一条对称轴为
2
π
x= ,则下列结论中正确的是 ( )
6
A.f(x)是最小正周期为π的奇函数
B.( 7π )是f(x)图象的一个对称中心
- ,0
12
C.f(x)在[ π π]上单调递增
- ,
3 3
1 π
D.先将函数y=2sin 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ,然后把所得函数图象再向左平移
2 12
个单位长度,即可得到函数f(x)的图象
1 1 1 1
答案 BD f(x)=(asin x+cos x)cos x- =asin xcos x+cos2x- = asin 2x+ cos 2x,
2 2 2 2
又f(x)图象的一条对称轴为x=π,所以f(0)=f(π),即1=1a×√3+1×( 1),解得a= ,所以f(x)=
- √3
6 3 2 2 2 2 2
√3sin 2x+1cos 2x=sin( π),所以f(x)的最小正周期为π,但不是奇函数,A错误;
2x+
2 2 6
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f( 7π)=sin( 7π π)=sin(-π)=0,
- - +
12 6 6
所以( 7π )是f(x)图象的一个对称中心,B正确;
- ,0
12
x∈[ π π]时,2x+π∈[ π 5π],所以f(x)在[ π π]上不是单调函数,C错误;
- , - , - ,
3 3 6 2 6 3 3
1
将函数y=2sin 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ,得y=sin 2x的图象;再把所得函数图象向
2
左平移 π 个单位长度,得y=sin[ 2 ( x+ π )]=sin( 2x+ π)的图象,即函数f(x)的图象,所以D正确.
12 12 6
故选BD.
三、填空题
13.(2021北京大兴一模,14)已知函数f(x)=sin 2x.若非零实数a,b,使得f(x+a)=bf(x)对x∈R都成立,则
满足条件的一组值可以是a= ,b= .(只需写出一组)
答案 2π;1(答案不唯一)
解析 若f(x+a)=bf(x),则sin[2(x+a)]=bsin 2x,当a=2π时,sin 2x=bsin 2x,∴b=1,故可取a=2π,b=1.本
题答案不唯一.
14.(2021东北三校第一次模拟,16)关于函数f(x)=2sin x+sin 2x有如下四个命题:
①f(x)的最小正周期为2π;
②f(x)在[0,2π]内有3个极值点;
③f(x)在[0,2π]内有3个零点;
π
④f(x)的图象关于直线x= 对称.
3
其中所有真命题的序号为 .
答案 ①③
解析 对于①,不妨设f(x)=2sin x, f(x)=sin 2x,则f(x)=2sin x+sin 2x=f(x)+f(x), f(x)的最小正周期
1 2 1 2
为f(x)与f(x)最小正周期的最小公倍数,易知f(x)的最小正周期为2π, f(x)的最小正周期为π,所以
1 2 1 2
f(x)的最小正周期为2π,故①正确;
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对于②, f '(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+4cos2x-2=2(2cos x-1)(cos x+1),若x∈[0,2π],则cos
x∈[-1,1],令f '(x)=0,得cos x=1或cos x=-1,此时x=π或π或5π,当x∈( π)时, f '(x)>0, f(x)单
0,
2 3 3 3
调递增;当x∈(π 5 )时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(5 )时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
, π π,2π
3 3 3
π 5
所以f(x)在[0,2π]内有2个极值点 和 π,故②错误;
3 3
对于③,令f(x)=0,则2sin x+sin 2x=0,即2sin x+2sin xcos x=0,即2sin x(1+cos x)=0,得sin x=0或
cos x=-1,因为x∈[0,2π],所以x=0或π或2π,有3个零点,故③正确;
对于④, f(π
-x
)=2sin(π
-x
)+sin[
2
(π
-x
)]=2sin(π
-x
)+2sin(π
-x
)cos(π
-x
)=4sin
3 3 3 3 3 3
(π
-x
)·cos2(π
-
x), f(π
+x
)=2sin(π
+x
)+sin[
2
(π
+x
)]=2sin(π
+x
)+2sin(π
+x
)cos
3 6 2 3 3 3 3 3
(π )=4sin(π )·cos2(π x),所以f(π )≠f(π ),所以f(x)的图象不关于直线x=π
+x +x + -x +x
3 3 6 2 3 3 3
对称,故④错误.
15.(2021浙江新高考研究卷(三),15)将函数f(x)=2sin(2x+φ)( π π)的图象向左平移π个单
- <φ<
2 2 6
位长度,若平移后的图象关于原点对称,则φ= .
π
答案 -
3
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解析 将函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象向左平移π个单位长度,得到函数y=2sin[ ( π) ]
2 x+ +φ
6 6
=2sin( π )的图象,因为该函数图象关于原点对称,
2x+ +φ
3
π π
所以 +φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ- (k∈Z).
3 3
π π π
又- <φ< ,所以φ=- .
2 2 3
16.(2021浙江嘉兴二模,13)若函数f(x)=Acos(ωx+φ)( π)的部分图象如图所
A>0,ω>0,0<φ<
2
示,则φ= ;f( π)= .
-
2
π
答案 ;1
4
解析 由题图知A= ;最小正周期T=4·(3π π)=2π,所以ω=2π=1.
√2 -
4 4 T
将(3π )代入f(x)的解析式可得cos(3π )=-1,
,-√2 +φ
4 4
π π
结合0<φ< 可得φ= .
2 4
因此, f(x)= cos( π),故f( π)= cos( π)=1.
√2 x+ - √2 -
4 2 4
四、解答题
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17.(2021北京海淀二模,17)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π 的部分图象如图所示.
2
(1)直接写出ω的值;
(2)再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求函数f(x)在区间[ π π]上的最小值.
- ,
12 4
7π
条件①:直线x= 为函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
12
条件②:(π )为函数y=f(x)的图象的一个对称中心.
,0
3
2π
2π
解析 (1)ω= = π =2.
T 2×
2
(2)选条件①:∵x=7π是y=f(x)图象的一条对称轴,结合图象可知sin( 7π )=-1,∴7π+φ=
2× +φ
12 12 6
3π
+2kπ,k∈Z,
2
π π π
∴φ= +2kπ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= ,
3 2 3
∴f(π)=Asin( π π)=- ,∴A=2,
2× + √3
2 2 3
∴f(x)=2sin( π),
2x+
3
π π π
当- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
2 3 2
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5π π
即- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z时, f(x)单调递增,
12 12
π π 3π
当 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
2 3 2
π 7π
即 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z时, f(x)单调递减,
12 12
∴f(x)在[ π π ]上单调递增,在[ π π]上单调递减,
- , ,
12 12 12 4
又f(
-
π )=2sin [
2×
(
-
π )
+
π] =1,
12 12 3
f(π)=2sin( π π)=1,
2× +
4 4 3
∴f(x)在[ π π]上的最小值为1.
- ,
12 4
条件②:∵(π )是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,结合图象可知sin( π )=0,即2π
,0 2× +φ
3 3 3
+φ=kπ,k∈Z,
2π π π
∴φ=kπ- ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= .
3 2 3
∴f(π)=Asin( π π)=- ,
2× + √3
2 2 3
∴A=2,∴f(x)=2sin( π),
2x+
3
π π π
当- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
2 3 2
5π π
即- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z时, f(x)单调递增,
12 12
π π 3π
当 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
2 3 2
π 7π
即 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z时, f(x)单调递减,
12 12
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∴f(x)在[ π π ]上单调递增,在[ π π]上单调递减,
- , ,
12 12 12 4
又f(
-
π )=2sin [
2×
(
-
π )
+
π] =1,
12 12 3
f(π)=2sin( π π)=1,
2× +
4 4 3
∴f(x)在[ π π]上的最小值为1.
- ,
12 4
18.(2021北京丰台一模,16)已知函数f(x)=sin ωx+√3cos ωx(ω>0).
(1)当ω=1时,求f(π)的值;
6
π
(2)当函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是 时, .
2
从①②③中任选一个,补充到上面空格处并作答.
①求f(x)在区间[ π]上的最小值;
0,
2
②求f(x)的单调递增区间;
③若f(x)≥0,求x的取值范围.
注:如果选择多个问题分别解答,按第一个解答计分.
解析 (1)当ω=1时, f(π)=sinπ+ cosπ=1+ ×√3=2.
√3 √3
6 6 6 2 2
(2)f(x)=sin ωx+ cos ωx=2sin( π).
√3 ωx+
3
π
因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是 ,
2
2π
所以T=π= (ω>0),解得ω=2.
|ω|
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所以f(x)=2sin( π).
2x+
3
π π π 4π
选①:因为0≤x≤ ,所以 ≤2x+ ≤ .
2 3 3 3
π 4π π
当2x+ = ,即x= 时,
3 3 2
f(x)在区间[ π]上有最小值,为- .
0, √3
2
π π π
选②:令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
2 3 2
5π π
解得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
12 12
所以函数f(x)的单调递增区间为[ 5π π ],k∈Z.
kπ- ,kπ+
12 12
选③:因为f(x)≥0,所以sin( π)≥0,
2x+
3
π
所以2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,k∈Z,
3
π π
解得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
6 3
19.(2021北京朝阳一模,16)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ<π 由下列四个条件中的三个
2
来确定:①最小正周期为π;②最大值为2;③f( π)=0;④f(0)=-2.
-
6
(1)写出能确定f(x)的三个条件,并求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)确定f(x)的三个条件是①②③.
π
当A>0且0<φ< 时,Asin φ>0.
2
若函数f(x)满足条件④,则f(0)=Asin φ=-2.
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与Asin φ>0矛盾,所以f(x)不能满足条件④.
所以能确定f(x)的三个条件是①②③.
2π
由条件①,得 =π,又ω>0,所以ω=2.
|ω|
由条件②,得|A|=2.
又A>0,所以A=2.
由条件③,得f( π)=2sin( π )=0.
- - +φ
6 3
π π
所以- +φ=kπ,k∈Z,解得φ= +kπ,k∈Z.
3 3
又0<φ<π,所以φ=π.所以f(x)=2sin( π).
2x+
2 3 3
π π π
(2)令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2 3 2
5π π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
12 12
所以f(x)的单调递增区间为[ 5π π ](k∈Z).
kπ- ,kπ+
12 12
(注:单调区间写成开区间亦可).
20.(2021九师联盟3月模拟,18)已知向量m=(1,cos ωx),n=(sin ωx,√3)(ω>0),函数f(x)=m·n,且f(x)图
象上一个最高点为P( π ),与P最近的一个最低点的坐标为(7π ).
,2 ,-2
12 12
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设a为常数,判断方程f(x)=a在区间[ π]上的解的个数;
0,
2
(3)在锐角△ABC中,若cos(π )=1,求f(A)的取值范围.
-B
3
解析 (1)f(x)=m·n=sin ωx+ √3 cos ωx=2 1sin ωx+√3cos ωx =2sin( ωx+ π).
2 2 3
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∵f(x)图象上一个最高点为P( π ),与P最近的一个最低点的坐标为(7π ).
,2 ,-2
12 12
T 7π π π
∴ = - = ,∴T=π,
2 12 12 2
于是ω=2π=2,所以f(x)=2sin( π).
2x+
T 3
(2)当x∈[ π]时,π≤2x+π≤4π,
0,
2 3 3 3
由f(x)=2sin( π)的图象可知:
2x+
3
当a∈[ ,2)时, f(x)=a在区间[ π]上有两解;
√3 0,
2
当a∈[- , )或a=2时, f(x)=a在区间[ π]上有一解;
√3√3 0,
2
当a<- 或a>2时, f(x)=a在区间[ π]上无解.
√3 0,
2
π π π π
(3)在锐角△ABC中,0<B< ,则- < -B< .
2 6 3 3
∵cos(π )=1,∴π-B=0,则B=π.
-B
3 3 3
π π
在锐角△ABC中,0<A< ,A+B> ,
2 2
π π 2π π 4π
∴ <A< , <2A+ < ,
6 2 3 3 3
∴sin( π)∈( √3 √3),
2A+ - ,
3 2 2
∴f(A)=2sin( π)∈(- , ).
2A+ √3√3
3
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即f(A)的取值范围是(-√3,√3).
21.(2021黑龙江哈尔滨第九中学三模,17)设a为常数,函数f(x)=asin 2x+cos(2π-2x)+1(x∈R).
(1)设a=√3,求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)若函数y=f(x)为偶函数,求此函数的值域.
解析 (1)当a= 时, f(x)= sin 2x+cos 2x+1=2sin( π)+1,
√3 √3 2x+
6
π π π
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
2 6 2
得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z,故此函数的单调递增区间为[ π π],k∈Z.
kπ- ,kπ+
3 6 3 6
(2)函数f(x)的定义域为R,因为函数y=f(x)为偶函数,所以对于任意的x∈R,均有f(-x)=f(x)成立,
即asin(-2x)+cos(2π+2x)+1=asin 2x+cos(2π-2x)+1,
也即2asin 2x=0对于任意实数x均成立,只有a=0,所以f(x)=cos 2x+1,
因为-1≤cos 2x≤1,所以0≤1+cos 2x≤2,
所以,此函数的值域为[0,2].
22.(2021北京西城一模,17)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π),且f(x)图象的相邻
A>0,ω>0,|φ|<
2
π
两条对称轴之间的距离为 .再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
2
(1)确定f(x)的解析式;
(2)若f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上,求a的取值范围.
条件①: f(x)的最小值为-2;
条件②: f(x)图象的一个对称中心为(5π );
,0
12
条件③: f(x)的图象经过点(5π ).
,-1
6
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
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π π
解析 (1)由于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ,所以f(x)的最小正周期T=2×
2 2
2π
=π,ω= =2.
T
此时f(x)=Asin(2x+φ) .
选条件①②:
因为f(x)的最小值为-2,所以A=2.
因为f(x)图象的一个对称中心为(5π ),
,0
12
5π
所以2× +φ=kπ(k∈Z),
12
5π
所以φ=kπ- (k∈Z),
6
π π
因为|φ|< ,所以φ= ,
2 6
所以f(x)=2sin( π).
2x+
6
选条件①③:
因为f(x)的最小值为-2,所以A=2.
因为函数f(x)的图象过点(5π ),
,-1
6
所以f(5π)=-1,即2sin(5π )=-1,sin(5π )=-1.
+φ +φ
6 3 3 2
π π π
因为|φ|< ,所以- <φ< ,
2 2 2
7π 5π 13π
所以 <φ+ < ,
6 3 6
5π 11π π
所以φ+ = ,解得φ= .
3 6 6
所以f(x)=2sin( π).
2x+
6
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选条件②③:
因为函数f(x)的一个对称中心为(5π ),
,0
12
5π 5π
所以2× +φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ- (k∈Z).
12 6
因为|φ|<π,所以φ=π,所以f(x)=Asin( π).
2x+
2 6 6
因为函数f(x)的图象过点(5π ),
,-1
6
所以f(5π)=-1,即Asin(5π π) =-1,所以A=2.
+
6 3 6
所以f(x)=2sin( π).
2x+
6
(2)因为x∈[0,a],所以2x+π∈[π π],
,2a+
6 6 6
因为f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上,
π π 3π π 2π
所以 ≤2a+ < ,解得 ≤a< .
2 6 2 6 3
所以a的取值范围为[π 2π).
,
6 3
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