文档文本内容
第27 讲 四种“类碰撞”典型模型研究
目录
01 课标达标练.......................................................................................................................................................1
题型01 “子弹打木块”模型...........................................................................................................................1
题型02 “滑块—木板”模型...........................................................................................................................4
题型03 “滑块—弹簧”模型.....................................................................................................................9
题型04 “光滑圆弧轨道＋滑块”模型...................................................................................................12
02 核心突破练..................................................................................................................................................... 18
03 真题溯源练..................................................................................................................................................... 28
01 “子弹打木块”模型
1．
（2025·江西·模拟预测）如图，木板静置于光滑的水平面上，一颗子弹（视为质点）以水平速
度击中并留在木板中，若木板对子弹的阻力恒定，子弹质量小于木板质量，虚线表示子弹与木板刚共速时
的位置，则在下列四图中子弹与木板刚共速时的位置可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
（2025·安徽芜湖·二模）如图甲所示，质量为M 的木块静止在光滑水平面上，质量为m 的子
弹以某一速度沿水平方向射入木块，一段时间后恰好在木块中与木块相对静止，若该过程中木块的速度
与子弹的速度
之间的关系可以用图乙表示，子弹在木块中相对运动时所受的阻力为恒力，则下列说法正
确的有（ ）
A．
B．该过程中子弹相对木块的位移比木块相对地面的位移小
C．木块所能达到的最大速度为
D．木块所能达到的最大速度为
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）（多选）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。
如图所示，两完全相同的钢板A、B 厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B 焊接在一起静置在光滑水平
面上，质量也为m 的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B 间隔一段距离水平放置，
子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力
为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．第一次子弹穿过A、B 所用时间之比为
B．第二次子弹能击穿两钢板
C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B 的深度为
D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为
4.（2025·湖北·模拟预测）如图所示，质量为M 的木块静止在光滑水平桌面上，一质量为m 的子弹以水
平速度v0射入木块，深度为d 时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为
L，木块对子弹的平均阻力为f，那么在这一过程中，下列说法正确的是( )
A.木块的动能增加f(L＋d)
B.子弹的动能减少量为fd
C.子弹和木块组成的系统动能减少量为fL
D.子弹和木块组成的系统的动能减少量为。
5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示，两物体A 和B 并排静置于光滑水平地面，它们的质量M 均为
0.5kg；质量m=0.1kg 的子弹以v0=34m/s 的水平速度从左边射入A，射出物体A 时A 的速度vA=2m/s，子弹
紧接着射入B 中，最终子弹未从B 中穿出。子弹在物体A 和B 中所受阻力相同且一直保持不变，A 的长度
为LA=0.23m，不计空气阻力，g 取10m/s2。
(1)求物体B 最终的速度大小vB；
(2)求子弹穿过A 的过程中摩擦产生的热量Q；
(3)求物体B 的最小长度LB
6．（2025·河南郑州·三模）如图，物块A、B 并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻杆，用一长
的细线将小球C（可看成质点）竖直悬挂在轻杆上O 点，A、B、C 质量均为
。初始时，
物块A、B 均固定在水平面上，质量为
的子弹以某一水平初速度射入小球C（射入时间极短且未
射出），小球C 恰能到达与O 点等高的P 点。取重力加速度
，不计空气阻力。
(1)求子弹初速度的大小。
(2)若解除物块A、B 的固定，子弹仍以相同初速度射入小球C（射入时间极短且未射出），求：
.
Ⅰ小球C 能上升的最大高度；
.
Ⅱ物块B 速度的最大值和刚达到最大值瞬间细线中拉力的大小。
02 “滑块—木板”模型
7.（2025·河北保定·二模）如图所示，光滑水平面上静置一长度未知的木板B，一质量与木板相同的物块A
（可视为质点）从左端以大小为v 的速度冲上木板，经过时间t 运动到木板右端且恰好不从木板上滑离。
下列说法正确的是（ ）
A．物块A 运动到木板右端时的速度大小为v
2
B．在此过程中，物块A 运动的距离为3 vt
2
C．A 动量的减少量大于B 动量的增加量
D．木板B 的长度为vt
4
8．（2025·河北保定·二模）如图所示，光滑水平面上静置一长度未知的木板B，一质量与木板相同的物块
A（可视为质点）从左端以大小为v 的速度冲上木板，经过时间t 运动到木板右端且恰好不从木板上滑离。
下列说法正确的是（ ）
A．物块A 运动到木板右端时的速度大小为
B．在此过程中，物块A 运动的距离为
C．A 动量的减少量大于B 动量的增加量
D．木板B 的长度为
9．
（2025·河南·二模）如图甲所示，长度L=2m 的木板固定在光滑水平面上，木板上表面粗糙。
一个与木板质量相等的滑块以水平速度v0=4m/s 从右端滑上木板。滑块与木板间的动摩擦因数μ 随滑块距
木板左端距离x 的变化图像如图乙所示，重力加速度g 取10m/s2，滑块看做质点。
(1)要使滑块能从木板右端滑出，求μ 最大值应满足的条件；
(2)若木板不固定，要使滑块能从木板右端滑出，求μ 最大值应满足的条件。
10.（2025·河南新乡·三模）如图所示，水平地面上有一木板M，其左端固定一电磁铁装置P，右端固定一
挡板Q，在P 的右端有一质量为m 的铁质物块N，M、P、Q 的总质量为2m。装置P 初始时不通电，其右
端在受到碰撞瞬间会接通电源产生较强的磁性，能吸紧铁质物块且不再分开。已知P 的右端到Q 之间的距
离为L，N 与M 接触面光滑，M 与地面之间的动摩擦因数为μ，N 可视为质点，重力加速度为g。现整个装
置在水平外力的作用下，以恒定速度向右做直线运动，某时刻撤去外力，则
(1)撤去外力瞬间，M 的加速度大小；
(2)若在M 的速度第一次为零之前，N 未和Q 发生碰撞，求恒定速度v 的取值范围；
(3)若v = ❑√2 μgL，N 和Q 碰撞时没有能量损失，求撤去外力后的整个过程M 与地面摩擦产生的热量。
03 “滑块—弹簧”模型
11．（2025·江苏盐城·二模）如图所示，
为两根水平放置的光滑平行轨道，其上分别套有甲、乙
小球
z），小球之间连有一根轻弹簧，初始两球均静止，弹簧处于原长，现给甲球一个瞬间冲
量，使其获得向右的初速度
，则从开始运动到再次相距最近的过程中，两球的
图像可能正确的（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·辽宁·二模）如图所示，质量分别为1kg、2kg 的小车A、B 置于光滑水平面上，小车A 右端与轻
质弹簧连接。现使A、B 两车分别以6m/s、2m/s 沿同一直线，同向运动。从小车B 与弹簧接触到与弹簧分
离时，以下判断正确的是（ ）
A．弹簧对小车B 做功的功率一直增大
B．弹簧对小车A 冲量大小为
C．某一时刻小车A、B 速度可能分别为－4m/s 和7m/s
D．某一时刻小车A、B 速度可能分别为2m/s 和4m/s
13．（2025·湖南长沙·三模）光滑水平面有A、B 两个物块，质量分别为2m 和m，初始时用处于原长状态
下的弹簧相连，现在给物块A 一个水平向右的初速度
。水平面右侧有一墙面，已知经过时间t，物块B
第一次达到最大速度，且恰好到达墙壁处，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能是
B．物块B 的最大速度是
C．初始时物块B 离墙面的距离是
D．初始时物块B 离墙面的距离是
14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）质量为
的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡
时，弹簧的压缩量为
，如图所示，一质量为
物块从钢板正上方距离为
的A 处自由落下，打
在钢板上并立刻与钢板粘连一起向下运动。它们到达最低点后又向上运动。已知弹簧以原长处为零势
能面的弹性势能表达式为
，弹簧振子做简谐运动的周期
，（
为弹簧形变量，
为振子的质量，
为弹簧劲度系数），钢板与物块均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，重力加
速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．物块与钢板碰撞后一起下落的初速度是
B．碰后物块与钢板一起做简谐运动，振幅
C．碰撞刚结束至两者第一次运动到最低点所经历的时间
D．运动过程中弹簧的最大弹性势能
15．（2025·四川遂宁·二模）如图，长木板
静止在光滑水平地面上，连接在B 端固定挡板上的轻弹簧静
止时，其自由端位于木板上
点，
，现让一可视为质点的小滑块以
的初速度水平向左
滑上木板A 端。当锁定木板时，滑块压缩弹簧后刚好能够返回到
的中点
。已知滑块和木板的质
量均为
，滑块与木板间的动摩擦因数为
，弹簧的形变未超过弹性限度，重力加速度大
小
。下列判定正确的是（ ）
A．锁定木板时，弹簧缩短过程中的最大弹性势能为
B．锁定木板时，弹簧的最大压缩量为
C．若不锁定木板，则滑块相对木板静止的位置可能在
点左侧
D．若不锁定木板，则滑块相对木板静止的位置恰好在
点右侧
04 “光滑圆弧轨道＋滑块”模型
16．（2025·湖北·三模）如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为M 的光滑弧形槽静置在光滑水
平面上，弧形槽底端与水平面相切，一个质量为m 的小物块（可视为质点）从槽上高为h 处由静止释放，
已知弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．小物块下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒
B．小物块下滑过程中，槽对物块的支持力不做功
C．若
，物块能再次滑上弧形槽
D．若物块再次滑上弧形槽，则物块能再次回到槽上的初始释放点
17．（2025·安徽·模拟预测）（多选）一个四分之一光滑圆弧形物块B 静止在光滑的水平面上，圆弧的半
径为R，一可视为质点的小物块A 从物块B 的底端以速度
滑上圆弧，经过时间t 恰好能滑上B 的
圆弧面顶端，已知滑块A 的质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．物块A 滑上圆弧面后，A、B 组成的系统动量守恒
B．物块B 的质量为m
C．物块A 从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B 的位移为
D．A 和B 分离时，B 的速度大小为
18．（2025·福建南平·模拟预测）（多选）如图，两个完全相同、质量均为
的光滑半圆形凹槽a、b 静
止在光滑水平地面上，其中a 槽左侧紧靠墙面。现将两个质量均为
的小球1、2（可视为质点）分别从两
槽的左侧最高点处由静止释放，则两小球在运动过程中（ ）
A．分别与a 槽和b 槽组成的系统机械能和动量均守恒
B．运动到凹槽右端的最大高度不同
C．第一次运动到最低点时，两小球的速度大小之比为
D．第一次运动到最低点的过程，两小球在水平方向上相对地面的位移之比为
19．（2025·湖南·模拟预测）如图1 所示，一质量为
（未知）的小车静止在光滑水平地面上，其左端
点与平台平滑相接。小车上表面
是以
为圆心、半径
的四分之一圆弧轨道。质量
的
光滑小球，以某一水平速度冲上小车的圆弧面。测得小球与小车在水平方向上的速度大小分别为
，
作出的部分图像如图2 所示。已知
竖直，
水平，水平台面高
，小球可视为质点，重力加速度
取
，不计一切摩擦。求：
(1)小球落地时的速度大小；
(2)小球从
点上升的最大高度；
(3)小球运动到
点时的速度大小。
1．（2025·浙江金华·三模）如图，质量均为1kg 的木块A 和B 并排放在光滑水平面上，A 上固定一竖直轻
杆，轻杆上端系一长为0.22m 的细线，细线另一端系一质量为0.1kg 的球C，现将球C 拉起使细线水平，并
由静止释放，当球C 摆到最低点时，木块A 恰好与木块B 相撞并粘在一起，不计空气阻力，则（ ）
A．球C 摆到最低点的速度是
m/s
B．木块A、B 原先间距0.04m
C．球C 通过最低点后向左摆动上升最大高度为0.21m
D．球C 开始下落到A、B、C 三者相对静止，系统产生的热量为0.005J
2．（2025·河北沧州·模拟预测）如图甲所示，两个质量均为m、厚度均为d、高度均为h 的木板A、B 静止
放置在光滑水平面上，质量为m 的子弹（体积忽略）以一定初速度
打入木板A，子弹恰好未离开木板B
且A、B 两木板没有发生碰撞。现把A、B 两块木板绑在一起横放（如图乙所示），子弹再次以同样的初速
度
打入木板A，子弹也恰好未离开木板。设子弹在木板中受到的阻力恒定，忽略空气阻力和重力引起的
竖直方向的运动，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国·模拟预测）在一个充满趣味与挑战的物理世界里，有这样一个场景：在空间站内，有一个
实验装置，该装置由两个质量不同的小球A、B 组成，A、B 两球通过可触发装置将一根轻质弹簧压缩（弹
簧与小球未连接）并固定，初始时A、B 两球及轻弹簧处于静止状态。已知两小球的质量之比为
mA∶mB=2 1∶，现对整个装置进行实验操作，解除压缩弹簧装置，两小球在弹力作用下分别向左、右运动，下
列说法正确的是（ ）
A．弹簧弹开后A、B 两小球的速度大小之比为1 2∶
B．弹簧弹开后A、B 两小球的动量大小之比为1 2∶
C．弹簧弹开过程中A、B 两小球受到的冲量大小之比为2 1∶
D．弹簧弹开过程中弹力对A、B 两小球做功之比为1 4∶
4．（2025·重庆·三模）如题图所示，质量为
的小车
置于光滑水平地面上，其右端固定一半径
的四分之一圆弧轨道。质量为
的滑块
静止于小车的左端，现被水平飞来的质量
、速度
的子弹
击中，且子弹立即留在滑块
中，之后
与C 共同在小车上滑动，
且从圆弧轨道的最高点离开小车。不计
与
之间的摩擦和空气阻力，重力加速度
，则
（ ）
A．子弹C 击中滑块
后瞬间，滑块
的速度大小为
B．滑块
第一次离开小车瞬间，滑块
的速度大小为
C．滑块
第二次离开小车瞬间，小车
的速度大小为
D．滑块
从第一次离开小车到再次返回小车的过程中，滑块
的位移大小为
5．（2025·云南大理·二模）（多选）如图所示，两个四分之一圆弧体A、B 静止在光滑的水平面上。A、B
的圆弧面光滑，半径分别为
和
，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C 从A 的
圆弧面的顶端静止释放，A、C 的质量分别为
和
，则以下说法正确的是（ ）
A．整个过程ABC 组成的系统动量守恒
B．C 刚滑到A 底端时，C 距B 的圆弧面底端的水平距离为
C．C 刚滑到A 底端时，C 的速度为
D．若C 滑到A 底端后，恰好能滑上B 的圆弧面顶端，则B 的质量为
6.（2025·辽宁·一模）如图所示，在水平面上放置一个质量为M 的滑块，滑块的一侧AB 是一个半径为R 的
1
6
弧形凹槽，A 点切线水平。一个质量为m 的小球以水平初速度v0从A 点冲上滑块，重力加速度为g，不
计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．滑块和小球组成的系统总动量不守恒
B．滑块和小球组成的系统机械能不守恒
C．若v0= ❑√gR，小球恰能到达滑块M 上的B 点
D．若小球能从B 点离开滑块M，则小球到达滑块最高点B 时，小球和滑块的水平方向速度相等
7.（2025·贵州贵阳·一模）如图，水平地面上有一质量为m 的“
”形木板A，其水平部分表面粗糙，
长度为2R，1
4
圆弧部分的半径为R、表面光滑，两部分平滑连接。现将质量也为m、可视为质点的滑块B
从圆弧的顶端由静止释放。若地面粗糙，滑块B 恰好能滑到此木板的最左端，此过程中木板A 始终处于静
止状态，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．此过程中，A 对水平地面的最大压力为4mg
B．B 与A 水平部分上表面的动摩擦因数为0.2
C．若水平地面光滑，滑块B 将从木板A 的左端滑出
D．若水平地面光滑，A 向右运动的最大位移
为1.5R
8（2024·江西宜春·模拟预测）某种游戏的弹射装置的简化示意图如图所示，光滑的水平导轨MN 右端N 处
与倾斜传送带理想连接，传送带长度L=15.0m，并以恒定速率v =5.0 m/s顺时针转动，三个质量均为
m=1.0kg的滑块A、B、C 置于水平导轨上，B、C 之间有一段轻弹簧刚好处于原长，滑块B 与轻弹簧连接，
C 未连接弹簧，B、C 处于静止状态且离N 点足够远，现让滑块A 以初速度v0=6.0 m/s沿B、C 连线方向向
B 运动，A 与B 碰撞后粘连在一起，碰撞时间极短，滑块C 脱离弹簧后滑上倾角θ =37°的传送带，并从传
送带顶端滑出.已知滑块C 与传送带之间的动摩擦因数μ=0.8，重力加速度g 取10 m/s
2，sin37° =0.6，
cos37° =0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块C 与弹簧脱离的瞬间获得的速度vc =1m/s
B．轻弹簧长度最短时，所具有的弹性势能Ep=12J
C．滑块C 在传送带上因摩擦产生的热量Q1=8J
D．传送带因传送滑块C 到顶端而电动机多做的功Q2=94.5J
9.（2025·天津宁河·一模）如图所示，水平面上竖直固定一个粗糙圆弧轨道BC。圆弧轨道C 端切线水平，
长木板静止在光滑的水平面上，木板左端紧靠轨道右端且与轨道点等高但不粘连（长木板厚度不计）。从
B 的左上方A 点以某一初速度水平抛出一质量m=2kg的物块（可视为质点），物块恰好能从B 点沿切线方
向无碰撞进入圆心角θ =53
∘的圆弧轨道BC，物块滑到圆弧轨道C 点时速度大小为vC = 4 m/s，经圆弧轨道
后滑上长木板。已知长木板的质量M =6kg，A 点距C 点的高度为H =1.2m，圆弧轨道半径为R =1m，物
块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3。物块始终未滑出长木板，空气阻力不计，g 取10 m/s
2，sin53
∘=0.8，
cos53
∘=0.6。求：
(1)物块从B 滑到C 的过程中摩擦力做的功；
(2)在物块相对长木板运动的过程中，木板的位移大小。
10（2025 高三下·海南·学业考试）如图所示，距离地面一定高度的水平桌面上，有两相同材料做成的物块
甲、乙，质量分别为m1=0.49kg、m2=1.0kg，两物块与水平桌面间的动摩擦因数为μ=0.5，物块乙放
在桌面边缘的B 点，物块甲放在物块乙左侧的A 点，AB =6 m。在水平地面上固定一半径为R =1.25 m的竖
直光滑圆管轨道，轨道与水平地面相切于D 点，直径DE 垂直水平面，C 为圆管的入口，其中θ =37°。质
量为m0=10g的子弹以水平向右的速度v =800 m /s射入物块甲并留在其中（时间极短），经过一段时间与
物块乙发生碰撞，碰后甲被反弹且物块甲、乙的速度大小之比为1:4，物块乙无碰撞地进入圆管。假设两
物块均可视为质点且碰撞时间极短，重力加速度g 取10 m /s
2，sin37° =0.6。求：
(1)碰后物块甲、乙的速度大小；
(2)B、C两点的水平间距：
(3)物块乙运动到D 点时对圆管的压力大小。
11.（2025·重庆·模拟预测）如图所示，质量为m的长木板c锁定在粗糙水平地面上，质量为2m的物块b放
在木板c的正中央，质量为m 的物块a以大小为v0的水平速度从木板c的左端滑上木板c，物块a与物块b发
生弹性正碰（碰撞时间极短）的瞬间解除锁定，最终物块b 恰好不能从木板c的右端掉落。已知物块ab 与
木板c间的动摩擦因数均为μ，木板c 与地面间的动摩擦因数为μ
6
，两物块均可视为质点，最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，求∶
(1)木板的长度L；
(2)木板的最大速度vm；
(3)物块a与木板因摩擦产生的热量Q。
12.（）山东淄博·一模）如图甲所示，在光滑水平地面上有质量分别为mA=2kg、mB=1kg的两小物块A、
B，用细线连接并使中间的轻弹簧处于压缩状态（弹簧与两物块未栓接），弹簧的弹性势能为EP=0.75J。
轴间距为L1= 4.5 m的水平传送带左端与水平地面平滑连接，传送带以v = 4 m /s的速度顺时针匀速转动。
传送带右侧放置一个倾角为θ =30
∘的足够长的固定斜面，小物块C静置于距斜面顶端L2= 128
15 m处。现将
A、B间的细线烧断，B与弹簧分离后冲上传送带，在传送带上运动Δt =1.5s后，从传送带右端水平飞出，
恰好无碰撞的由斜面顶端滑入斜面，一段时间后B与C发生碰撞。t =0时B、C恰完成第一次碰撞，t =2.4s
时刚要发生第二次碰撞，在0∼2.4s内B运动的v −t图像如图乙所示（以沿斜面向下为正方向）。B、C 每
次碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，不计空气阻力，物块A、B、C 均可看作质点，重力加速度
g=10 m /s
2，求：
(1)B 刚滑上传送带时的速度大小vB；
(2)B 与传送带间的动摩擦因数μ1；
(3)C 的质量mC以及C与斜面间的动摩擦因数μ2；
(4)C 沿斜面下滑的最大距离xm。
1．（
2025·山东·高考真题）轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M 的行星做半径为r 的圆周运
动，轨道舱与返回舱的质量比为
。如图所示，轨道舱在P 点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返
回舱相对行星的速度大小为
，G 为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，质
量为m 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度大小
成正比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则（ ）
A．子弹的初速度大小为
B．子弹在木块中运动的时间为
C．木块和子弹损失的总动能为
D．木块在加速过程中运动的距离为
3．（2025·湖南·高考真题）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需
要将质量为m 的机器人抛至悬崖上的A 点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b 为同一水平面上两条光
滑平行轨道，轨道中有质量为M 的滑杆。滑杆用长度为L 的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳？？紧且
与轨道平行，机器人从B 点以初速度v 竖直向下运动，B 点位于轨道平面上，且在A 点正下方，
。
滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，
，重力加速度大小为g。
(1)若滑杆固定，
，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小；
(2)若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为
时，机器人松开轻绳后被抛至A
点，求v 的大小；
(3)若滑杆能沿轨道自由滑动，
，且
，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为
时，机器人松开轻绳后被抛至A 点，求v 与k 的关系式及v 的最小值。
4．
（2023·湖南·高考真题）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个
半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初
始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内
建立固定于地面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）。
5．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲
度系数k = 20N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg 的小物块以水平向右的速度
滑
上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大
静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x 的关系为
。
取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度
的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1；
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小；
（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0 所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次
相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。
6．（2023·湖南·高考真题）如图，质量为
的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光
滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为
和
，长轴水平，短轴竖直．质量为
的小球，初始时刻从椭圆
轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地
面的直角坐标系
，椭圆长轴位于
轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为
。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系
中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若
，求小球下降
高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用
及
表示）。
7．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD
和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为
的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF 与轨道CD
和足够长的水平直轨道FG 平滑相切连接。质量为3m 的滑块b 与质量为2m 的滑块c 用劲度系数
的轻质弹簧连接，静置于轨道FG 上。现有质量
的滑块a 以初速度
从
D 处进入，经DEF 管道后，与FG 上的滑块b 碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以
的
速率顺时针转动，滑块a 与传送带间的动摩擦因数
，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，
弹簧的弹性势能
（x 为形变量）。
（1）求滑块a 到达圆弧管道DEF 最低点F 时速度大小vF和所受支持力大小FN；
（2）若滑块a 碰后返回到B 点时速度
，求滑块a、b 碰撞过程中损失的机械能
；
（3）若滑块a 碰到滑块b 立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差
。
