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专题09 指数与指数函数
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题09 指数与指数函数
命题解读
命题预测
复习建议
指数函数是高中函数内容的
核心知识点之一，在历年的
高考中主要是以简单题目为
主，指数幂的运算，指数函
数的图象和性质都是要求掌
握的知识点。指数函数作为
一种重要的函数模型，要充
分理解它的应用。
预计2024 年的高考对于指数
函数部分的考察还是以指数
幂的运算和指数函数的图象
与性质为主要出题方向。
集合复习策略：
1.理解实数指数幂的意义，
掌握指数幂的运算；
2.掌握指数函数的概念，图
象和性质；
3. 理解指数函数模型的应
用。
→➊考点精析←
1．根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a(a 使有意义)；当n 为奇数时，＝a，当n 为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数
幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂
没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r ，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．
3.指数函数及其性质
(1) 概念：函数y＝ax(a＞0 且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R，
a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0
，＋∞
)
2
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性质
(3)过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
(4)当x＞0 时，y ＞
1 ；
当x＜0 时，0 ＜
y ＜
1
(5)当x＜0 时，y ＞
1 ；当x＞0 时，0
＜
y ＜
1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数
a，b，c，d 与1 之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象
限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a＞1 与0＜
a＜1 来研究．
→➋真题精讲←
1. 【2020 年高考北京】已知函数
，则不等式
的解集是
A.
B.
C.
D.
2. 【2020 广东省惠州市高三模拟】已知函数
，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023·全国·高三专题练习）函数
与
在
均单调递减的
一个充分不必要条件是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
4.（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数
（
且
）的图象如
图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2023·全国·高三对口高考）函数
的图象恒过定点A，若点A 在
直线
上，其中
，则
的最小值为_________．
→➌模拟精练←
1. 【2020 河南省林州一中高二月考（理）】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列命题正确的有（ ）
A．函数
在其定义域上是增函数；
B．函数
是奇函数；
4
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C．函数
的图象可由
的图象向右平移2 个单位得到；
D．若
，则
3．若关于x 的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0 有解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）
B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4]
D．（﹣∞，﹣8]
4．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,
)
上单调递增的是（ ）
A．
1
2
x
y
B．
1
y
x
C．
2
(
1)
y
x
D．
ln
y
x
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知
，且
，则
（ ）.
A．3
B．6
C．12
D．18
6．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·广东湛江·统考一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．存在
，使得函数
为奇函数
C．任意
，
5
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D．函数
有且仅有2 个零点
9．（2023·广东湛江·统考一模）若函数
存在两个极值点
，且
，则
______．
10．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线
与
的公共切线的条数为________．
11. 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0
(2)(a>0，b>0)
(3)
－π0；
(4)
12.（2022 秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）已知函数
(
，
且
)是指数函数.
（1）求k，b 的值；
（2）求解不等式
.
13．已知定义在R 上的函数
在
上是增函数．
为偶函
6
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数，且当
时，
．
（1）求
在
上的解析式；
（2）若函数
与
的值域相同，求实数m 的值；
（3）令
讨论关于x 的方程
的实数根的个数．
→➍专题训练←
题型一 指数幂的化简与求值
（2023·全国·高三专题练习）化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023·全国·高三专题练习）计算：①
＝________.
②
＝________.
（2023·全国·高三专题练习）
___________
题型二指数函数的定义及应用
（2022·全国·高三专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．
（2023·全国·高三专题练习）若
时，指数函数
的值总大于1，则实数
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的取值范围是___________.
题型三指数函数的图象问题
（2022·全国·高三专题练习）已知函数
、
、
、
的大致图象如下
图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四 指数函数的单调性
（2023·全国·高三专题练习）若函数
在R 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（1，3） D．（2，3）
（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，则M，N 的大小关系为
____．
题型五指数函数的奇偶性
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数 B．
为偶函数
C．
为奇函数 D．
为偶函数
题型六指数复合函数的最值问题
（2022 秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知指数函数
的图像经过
点
.
（1）求
的值；
（2）当
时，求函数
的值域.
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题型七指数函数的综合应用
（2022 秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函
数.
（1）求实数a 的值；
（2）求不等式
的解集；
（3）若关于x 的不等式
恒成立，求实数k 的取值范围.
（2022·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函
数.
（1）求实数a，b 的值；
（2）判断
在
上的单调性，并证明；
（3）若
在
上恒成立，求实数a 的取值范
围.
9
