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专题09 指数与指数函数
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题09 指数与指数函数
命题解读
命题预测
复习建议
指数函数是高中函数内容的
核心知识点之一，在历年的
高考中主要是以简单题目为
主，指数幂的运算，指数函
数的图象和性质都是要求掌
握的知识点。指数函数作为
一种重要的函数模型，要充
分理解它的应用。
预计2024 年的高考对于指数
函数部分的考察还是以指数
幂的运算和指数函数的图象
与性质为主要出题方向。
集合复习策略：
1.理解实数指数幂的意义，
掌握指数幂的运算；
2.掌握指数函数的概念，图
象和性质；
3. 理解指数函数模型的应
用。
→➊考点精析←
1．根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)性质：()n＝a(a 使有意义)；当n 为奇数时，＝a，当n 为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数
幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂
没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r ，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．
3.指数函数及其性质
(1) 概念：函数y＝ax(a＞0 且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R，
a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0
，＋∞
)
2
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性质
(3)过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
(4)当x＞0 时，y ＞
1 ；
当x＜0 时，0 ＜
y ＜
1
(5)当x＜0 时，y ＞
1 ；当x＞0 时，0
＜
y ＜
1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数
a，b，c，d 与1 之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象
限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a＞1 与0＜
a＜1 来研究．
→➋真题精讲←
1. 【2020 年高考北京】已知函数
，则不等式
的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】因为
，所以
等价于
，
在同一直角坐标系中作出
和
的图象如图：
3
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两函数图象的交点坐标为
，
不等式
的解为
或
.
所以不等式
的解集为：
.
故选：D.
2. 【2020 广东省惠州市高三模拟】已知函数
，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，知
是偶函数，
不等式
等价为
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
解得
.
故选A.
4
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3.（2023·全国·高三专题练习）函数
与
在
均单调递减的
一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
在
均单调递减可得
即
；
函数
在
均单调递减可得
，解得
，
若函数
与
均单调递减，可得
，
由题可得所求区间真包含于
，
结合选项，函数
与
均单调递减的一个充分不必要条件是C 故选：C
4.（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数
（
且
）的图象如
图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
由图象可知，函数
（
且
）在
上单调递增，则
，
且当
时，
，可得
.
对于A 选项，
，A 对；
对于B 选项，
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，由题意可知，
，则
，所以，
，D 对.故选：
ABD.
5.（2023·全国·高三对口高考）函数
的图象恒过定点A，若点A 在
直线
上，其中
，则
的最小值为_________．
【答案】
/
5
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【解析】令
，可得
，此时
，
所以函数图象恒过定点
，
因为点A 在直线
上，所以
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
综上，
的最小值为
.故答案为：
.
→➌模拟精练←
1. 【2020 河南省林州一中高二月考（理）】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出函数
的图象，如下图所示，
将
的图象向左平移个单位得到
图象.
故选：B
2．下列命题正确的有（ ）
A．函数
在其定义域上是增函数；
6
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B．函数
是奇函数；
C．函数
的图象可由
的图象向右平移2 个单位得到；
D．若
，则
【答案】CD
【分析】
根据反比例函数的单调性，可判定A；根据函数的奇偶性的定义，可判定B；根据函数的图
象的平移变换，可判定C；根据指数函数的图象与性质，可判定D.
【详解】
对于A 中，根据反比例函数的性质，可得函数
的单调递增区间为
，所以函数
在其定义域上是增函数是不正确的；
对于B 中，由函数
的定义域为
不关于原点对称，所以函数
为非奇非偶函数，所以不正确；
对于C 中，函数
向右平移2 个单位，可得
，所以是正确的；
对于D 中，根据指数函数的图象与性质，若
，则
，所以是正确的.
故选：CD.
【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性、奇偶性，函数的图象的平移
变换，以及指数函数的图象与性质等知识点的应用，属于基础题.
3．若关于x 的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0 有解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）
B．（﹣8，﹣4）
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C．[﹣8，﹣4]
D．（﹣∞，﹣8]
【解答】解：∵a+4=−3
2 x+ 4
3
x
，
令3x＝t（t＞0），则−3
2 x+ 4
3
x
=−(t + 4
t )
因为(t + 4
t )≥4，所以−3
2 x+ 4
3
x
≤−4，
∴a+4≤﹣4，
所以a 的范围为（﹣∞，﹣8]
故选：D．
4．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,
)
上单调递增的是（ ）
A．
1
2
x
y
B．
1
y
x
C．
2
(
1)
y
x
D．
ln
y
x
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.
【解析】对于A 选项：指数函数
1
2
x
y
，底数
1
1
2 ，所以函数
1
2
x
y
在(
,
)
上单调递减；对于B 选项：幂函数
1
y
x
，1
0
，所以幂函数
1
y
x
在(0,
)
上单调
递减；对于C 选项：二次函数
2
(
1)
y
x
，对称轴为
1
x
，所以二次函数
2
(
1)
y
x
在
(0,1)
上单调递减，在(1
)
，
上单调递增；对于D 选项：对数函数
ln
y
x
，底数
1
e
，
所以对数函数
ln
y
x
在(0,
)
上单调递增.
故选：D.
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【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学
知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知
，且
，则
（ ）.
A．3
B．6
C．12
D．18
【答案】B
【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到
，从而得到
，计算出
.
【详解】由
得：
，
由换底公式可得：
，
则
，所以
，
因为
，所以
故选：B
6．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较
，构造函数
，
，利用导数判断函数的单调性，
再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
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令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上递增，
所以
，即
，即
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数
，
，利用中间量
来比较
的大小是解决本题的关键.
7．（2023·广东湛江·统考一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数的性质，可得：
，
，
，
又由
，所以
，故
．
又
，所以
，所以
．
故选：A．
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8．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．存在
，使得函数
为奇函数
C．任意
，
D．函数
有且仅有2 个零点
【答案】ABC
【解析】对于A：
，
因为
，所以
，
，因此
，
故
，所以
在
上单调递增，故A 正确；
对于B：令
，则
，令
，定义域为
，关于
原点对称，
且
，故
为奇函数，B 正确；
对于C：
时，
；
时，
；
时，
；C 正确；
对于D：
时，
，
时，
，
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时，
，所以
只有1 个零点，D 错误；
故选：ABC
9．（2023·广东湛江·统考一模）若函数
存在两个极值点
，且
，则
______．
【答案】
【解析】
，定义域为
，所以
，
故
，
；又
，所以
．
又
，故
，所以
，所以
．
故答案为：
10．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线
与
的公共切线的条数为________．
【答案】2
【解析】设公切线关于两函数图像的切点为
，则公切线方程为：
，则
，
注意到
，
，则由
，可得
.
则公切线条数为方程
的根的个数，
即函数
的零点个数.
，令
，则
，
12
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得
在
上单调递增.因
，
则
，使得
.则
在
上单调递减，在
上单
调递增，
故
，
又注意到
，
，则
，
使得
，得
有2 个零点，即公共切线的条数为2.
故答案为：2
11. 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0
(2)(a>0，b>0)
(3)
－π0；
(4)
【解析】(1)原式＝＋500－＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
(3 原式＝
=
－1＝－－1＝0.
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(4)原式＝
＝.
12.（2022 秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）已知函数
(
，
且
)是指数函数.
（1）求k，b 的值；
（2）求解不等式
.
【答案】
（1）
，
；（2）答案见解析
【解析】
（1）因为
(
，且
)是指数函数，
所以
，
，
所以
，
；
（2）由（1）得
(
，且
)，
①当
时，
在R 上单调递增，
则由
，
可得
，解得
；
②当
时，
在R 上单调递减，
则由
，
可得
，解得
，
综上可知，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
13．已知定义在R 上的函数
在
上是增函数．
为偶函
数，且当
时，
．
（1）求
在
上的解析式；
（2）若函数
与
的值域相同，求实数m 的值；
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（3）令
讨论关于x 的方程
的实数根的个数．
【答案】（1）
；（2）
；（3）当
时，方程
有两
个实数根；当
时，方程
仅一个实数根．
【分析】
（1）利用
为偶函数即可求解析式；（2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知
即可求m 的值；（3）由
，分类讨论m 确定
的零点情况
即可；
【详解】
（1）当
时，则
，而
为偶函数，有
．
（2）∵函数
在
上单调递增，
∴
，且
的值域为
．
当
时，
，由
是偶函数，
∴
的值域为
．
由题意知：
．令
，易知
在
上单调递增，且
；
∴
．
（3）由（2）有
，令
，
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①当
时，
，此时仅有一个零点
．
②当
时，
，此时仅有一个零点
．
③当
时，在
中
，故无零点；在
中
单调增，
而
，
，
∴故此时
，使
，即仅有一个
有
，
．
④当
时，在
中
，零点有
，故有两
个零点；在
中
单调增，而
，即无零点；
综上所述，当
时，方程
有两个实数根；当
时，方程
仅一个实数根．
【点睛】
本题考查了函数，利用函数的奇偶性求解析式，根据二次函数、指数函数确定值域结合已
知条件求参数，将方程根的个数问题转化为函数的零点问题，应用分类讨论的方法研究函
数的零点；
→➍专题训练←
题型一 指数幂的化简与求值
（2023·全国·高三专题练习）化简
的结果为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
（2023·全国·高三专题练习）计算：①
＝________.
②
＝________.
【答案】 1 102
【解析】
①原式＝
.
②原式=
.
故答案为：1；102
（2023·全国·高三专题练习）
___________
【答案】
【解析】
原式
.
故答案为：
.
题型二指数函数的定义及应用
（2022·全国·高三专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．
【答案】③
【解析】
①
的系数不是，不是指数函数；
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②
的指数不是自变量
，不是指数函数；
③
是指数函数；
④
的底数是
不是常数，不是指数函数；
⑤
的指数不是自变量
，不是指数函数；
⑥
是幂函数．
故答案为：③
（2023·全国·高三专题练习）若
时，指数函数
的值总大于1，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
或
【解析】
由已知可得，
且
.
又
时，
，即
，
所以有
，即
，解得
或
.
故答案为：
或
.
题型三指数函数的图象问题
（2022·全国·高三专题练习）已知函数
、
、
、
的大致图象如下
图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图，作出直线
得到
，
所以
.故选：B
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题型四 指数函数的单调性
（2023·全国·高三专题练习）若函数
在R 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（1，3） D．（2，3）
【答案】B
【解析】
要使函数
在R 上单调递增，
只需
，解得：
.故选：B
（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，则M，N 的大小关系为
____．
【答案】
【解析】
令
，
显然
是R 上的减函数，∴
，即
.
故答案为：
.
题型五指数函数的奇偶性
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数 B．
为偶函数
C．
为奇函数 D．
为偶函数
【答案】B
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【解析】
方法一：因为
，所以
，
所以函数
关于
对称，将
的函数图象向左平移
个单位，关于
轴对称，
即
为偶函数.
方法二：因为
，
，
则
，所以
为偶函数；
又
，故
，
，
所以
，
，故
为非奇非偶函数；
又
，故
，
，
所以
，
，故
为非奇非偶函数；
又
，故
，
，
所以
，
，故
为非奇非偶函数.故选：B
题型六指数复合函数的最值问题
（2022 秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知指数函数
的图像经过
点
.
（1）求
的值；
（2）当
时，求函数
的值域.
【答案】
（1）
；（2）
【解析】
（1）∵函数
的图像经过点
，
∴
，得
.
（2）令
，
，则
，
20
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∵
，
∴
，
所以
在
上单调递增，
故当
时，
，
当
时，
，
故当
时，
的值域为
.
题型七指数函数的综合应用
（2022 秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函
数.
（1）求实数a 的值；
（2）求不等式
的解集；
（3）若关于x 的不等式
恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】
（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
即
，即
，
因为
，所以
，所以
（经检验，
符合题意）
（2）由（1）得
，
因为
与
在
上均为增函数，所以
在
上为增函数，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以
，所以不等式
的解集是
.
（3）因为关于x 的不等式
恒成立，即
恒成立，
所以
恒成立，所以
，
因为
，
21
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所以当
，即
时，
取得最小值
.
所以
，即实数k 的取值范围是
（2022·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函
数.
（1）求实数a，b 的值；
（2）判断
在
上的单调性，并证明；
（3）若
在
上恒成立，求实数a 的取值范
围.
【答案】
（1）
，
；（2）单调递增，证明见解析；（3）
.
【解析】
（1）由题设
，可得
，
又
，则
，可得
.
所以
，
.
（2）
在
上单调递增，证明如下：
由（1）：
，令
，
则
，
由
，
，即
，故
，
所以
在
上递增.
（3）由题设及（1）知：
，
由（2）知：
，令
，
则
，整理得：
，
若
且
时等号成立，则
在
上恒成立，
由
开口向上，对称轴为
，
，
所以
，即
时，
在
上恒成立；
22
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，即
或
时，
，
则
，可得
，此时
；
综上，
23
