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7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02
实
识
落
主干知
..................................................................................................................................3
一、四个公理........................................................................................................................................3
二、直线与直线的位置关系................................................................................................................3
三、直线与平面的位置关系................................................................................................................4
四、平面与平面的位置关系................................................................................................................4
五、等角定理........................................................................................................................................4
03
题型
探究核心
..................................................................................................................................5
题型一：共面、共线、共点问题的证明............................................................................................5
题型二：判定空间两条直线是异面直线............................................................................................7
题型三：截面问题................................................................................................................................8
题型四：平面的基本性质....................................................................................................................9
题型五：等角定理..............................................................................................................................10
题型六：异面直线所成的角.............................................................................................................. 11
04
题
一题
解
好
赏析（
多
）................................................................................................................13
05
方
数学思想
法................................................................................................................................14
①数形结合..........................................................................................................................................14
②转化与化归......................................................................................................................................14
③分类讨论..........................................................................................................................................15
06
题、
题
课时精练（真
模拟
）........................................................................................................17
基础过关篇..........................................................................................................................................17
能力拓展篇..........................................................................................................................................19
1
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1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面
的位置关系的定义．
2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
2
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一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
二、直线与直线的位置关系
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平
面
两条异面直线不同在如
何一个平面内
三、直线与平面的位置关系
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
3
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图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
四、平面与平面的位置关系
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都
在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在
唯一的一条直线上
五、等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4
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题型一：共面、共线、共点问题的证明
【例题1】如图，在正方体
中，对角线
与平面
交于点O，AC 与BD 交于点M，
E 为AB 的中点，F 为
的中点，求证：
，O，M 三点共线．
【例题2】如图，在正四棱台
中，
分别为棱
，
，
，
的中点．
(1)判断直线
与
的位置关系，并说明理由；
(2)证明
，
，
相交于一点．
【解题总结】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
5
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（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式1】
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点.
如图，将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位置，且使得
.证明：
、
、
、
共面.
【变式2】如图，已知
分别是正方体
的棱
的中点，
.证明：
直线
交于同一点；
【变式3】在四面体
中，
、
分别是
、
的中点，点
、
分别是
、
边上的点，且
．
(1)求证：
、
、
、
四点共面；
6
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(2)若四面体
为棱长为6 的正四面体，求四边形
的周长
．
题型二：判定空间两条直线是异面直线
【例题3】取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12 条棱中异面直线的对数为
（ ）
A．16
B．24
C．32
D．48
【例题4】已知直线
，若
，
是异面直线，则a 与d 的位置关系为（ ）
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．不确定
【解题总结】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过B 点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式4】若
为异面直线，且它们之间的距离为
，则空间中与
，
均异面且距离也均为
的直线
的条数为（ ）
A．0 条
B．1 条
C．多于1 条，但为有限条
D．无数条
【变式5】如图，正方体
中，
是
的中点，则下列说法中正确的是（ ）．
7
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A．直线
与直线
垂直，直线
平面
B．直线
与直线
相交，直线
平面
C．直线
与直线
平行，直线
平面
D．直线
与直线
异面，直线
平面
【变式6】如图，三棱柱
中，点
分别为
的中点，则下列说法错误
的是（ ）.
A．
四点共面
B．
与
是异面直线
C．∠
=∠
D．
三线共点
题型三：截面问题
【例题5】在棱长为6 的正方体
中，点
分别为
的中点，
，点
在
棱
上，若
，则平面
截正方体
，所得截面多边形的周长 ．
【例题6】如图所示正方体
的棱长为2，E 是棱
的中点，则由
，A，E 三点确定的平
面与正方体
相交所得截面图形的周长为 .
【解题总结】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们
8
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的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式7】如图所示正方体
中棱长为1，
是棱
的中点，则由
，
，
三点确定的
平面与正方体
相交所得截面图形的周长为 ．
【变式8】E、F 分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F 三点的截面的图形
是 .
【变式9】在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱
为
一“堑堵”，
是
的中点，
，则在过点
且与
平行的截面中，当截面图形为等
腰梯形时，该截面的面积为 .
题型四：平面的基本性质
【例题7】（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．若
的三条边所在的直线分别交平面
于
三点，则
三点共线
9
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B．若直线
是异面直线，直线
是异面直线，则直线
是异面直线
C．若三条直线
两两平行且分别交直线于
三点，则这四条直线共面
D．对于三条直线
，若
，则
【例题8】（多选题）下列结论错误的有（ ）
A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．
B．两个平面α，β 有一个公共点A，就说α，β 相交于过A 点的任意一条直线．
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
D．没有公共点的两条直线是异面直线．
【解题总结】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一
个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基
本构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式10】（多选题）（25-26 高三上·河北·开学考试）下列命题正确的有（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．直线与平面
垂直，在平面
内存在无数条直线与直线相交
C．直线与平面
相交，平面
内存在无数条直线和直线异面
D．平面
与平面
垂直，若直线与平面
垂直，则直线与平面
平行
【变式11】（多选题）如图，正四棱台
中，下列说法正确的是（ ）
A．
和
异面
B．
和
共面
C．平面
平面
D．平面
与平面
相交
【变式12】（多选题）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面
，使得点
A、B 到平面
的距离之比为1:2，则这样的平面
不可能有（ ）
A．无数个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
题型五：等角定理
【例题9】如图所示，
和
的对应顶点的连线
，
，
交于同一点
，且
，则
．
10
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【例题10】已知异面直线
所成角的大小为
，直线
且
，则
.
【解题总结】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【变式13】过正方体
的顶点
在空间作直线，使与平面
和直线
所成的角都
等于
，则这样的直线共有 条．
【变式14】如图，在过点A 的三条不共面的射线上，
，则△EFG 与
△BCD 的面积之比为 ．
【变式15】如图，在长方体
中，
点
是
（靠近点
）的一个三等分点，点
是
的中点，
为直线
与平面
的交点，则
.
题型六：异面直线所成的角
【例题11】在正方体
中，点
在棱
上，过点
作平面
的平行平面
，记平面
与平面
的交线为，则
与所成角的大小为 ．
11
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【例题12】如图，已知三棱柱
中，
底面
，
，
，则异
面直线
与
所成角的大小为
【解题总结】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式16】如图，在四面体
中，
，直线
与直线
所成的角为
，
､
分别为
､
的中点.则直线
和直线
所成角的大小为 .
【变式17】正三棱柱
的侧棱长为2，底面边长为1，M 是
中点，N 为线段
中点，则直
线
与直线
所成角的余弦值为 ．
【变式18】在正方体
中，过点
作直线与异面直线
和
所成的角均为
，则
的
取值范围为 .
12
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1．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努
力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基
石．如图所示的一块木料中，ABCD 是正方形，
平面ABCD，
，点E，F 是PC，AD 的
中点．
若要经过点E 和棱AB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
若要经过点B，E，F 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
2．如图，正方体
中，
分别在棱
，
，
上，且
相交于点
求证：DP，RQ，BC 三线共点．
若正方体的棱长为2，且
分别是线段
的中点，求三棱锥
的体积．
13
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①数形结合
1．若直线
和
是异面直线，
在平面
内，
在平面
内，l 是平面
与平面
的交线，则下列命题正
确的是
A．l 与
，
都不相交
B．l 与
，
都相交
C．l 至多与
，
中的一条相交
D．l 至少与
，
中的一条相交
2．三个不互相重合的平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是
A．4
B．5
C．6
D．7
3．在正方体中，E，F，G，H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H 四点共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．如图，在三棱柱
中，E，F，G，H 分别为
，
，
，
的中点，则下列说法
错误的是
14
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A．E，F，G，H 四点共面
B．
C．EG，FH，
三线共点
D．
5．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为梯形，
，且
，E 是棱PD 的中点，
设
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，在正方体
中，过对角线
的一个平面交
于 E，交
于 F，给出下
面几个命题：以上命题中真命题的个数为
①四边形
一定是平行四边形；
②四边形
有可能是正方形；
③平面
有可能垂直于平面
；
④设
与DC 的延长线交于M，
与DA 的延长线交于N，则M､N､
三点共线；
⑤四棱锥
的体积为定值．
A．2
B．3
C．4
D．5
③分类讨论
7．若一条直线和一个平面平行，则称此直线与平面构成一个“平行线面对”．在一个正方体中，由经过
15
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两个顶点的直线和经过四个顶点的平面所构成的“平行线面对”的个数是
A．48
B．44
C．36
D．24
8．如图，S 是圆锥的顶点，AB 是底面圆的直径，
，M 是线段AS 上的点不与端点A，S 重合，
N 是底面圆周上的动点，则直线BS 与MN 不能（ ）
A．异面
B．相交
C．平行
D．垂直
9．对于任意的直线l 与平面
，在平面
内必有直线m，使m 与l（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线
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基础过关篇
1．如图，正方体
中，
分别为棱
的中点，连接
，对空间
任意两点
，若线段
与线段
都不相交，则称
两点可视，下列选项中与点
可视的为
（ ）
A．点
B．点
C．点
D．点
2．已知
是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
且
，则
C．若
且
，则
共面
D．若
共点，则
共面
3．已知正三棱锥
，
，
，
为
中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形
5．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（ ）
A．这两条直线可能既共面，又共点
B．这两条直线可能既不共面，又不共点
C．这两条直线可能共面但不共点
D．这两条直线可能共点但不共面
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6．若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内
B．直线平行平面
C．直线与平面相交
D．直线与平面相交或平行
7．下列说法其中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形．
B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
D．两条直线a，b 分别和异面直线c，d 都相交，则直线a，b 的位置关系可能是异面直线，也可能是相
交直线．
8．在正方体
中，异面直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）如图所示，G､H､M､N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线
、
是异
面直线的图形有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）已知空间中三条不同的直线
，
，和平面
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
与相交，则
与相交
D．若
与
相交，则
与
相交
11．直线
为异面直线，直线
为相交直线，则直线
的位置关系是 ．
12．三条直线两两相交可以确定 个平面．
13．已知在正方体
中，
分别为
、
的中点，
，
．
求证：
四点共面.
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14．（1）已知
是空间四边形，
分别是
的中点，求证：
．
（2）在正方体
中，
分别是正方形
和A1B1C1D1的中心；求证：直线
与
为
异面直线．
能力拓展篇
1．在正方体
中，
分别为棱
的中点，则异面直线
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为异面直线，
平面
平面
，若直线满足
，则下列说法一定错误的是
（ ）
A．
B．
与
相交，且交线平行于
C．
，且交线平行于
D．
，
3．在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线
与直线
垂直
B．直线
与平面
所成角为
C．过
三点的截面是等腰梯形
D．点
到平面
的距离为
4．四面体各面所在平面将空间分成几部分?（ ）
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A．13
B．14
C．15
D．16
5．已知正方体
中，点
为
的中点，点
为
的中点，则平面
截正方体
形成的截面图形为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
6．已知直三棱柱
的所有棱长均为2，则直线
与直线
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．三个平面把空间分成m 部分，m 的所有可能取值组成集合Q，则Q 中所有元素之和为（ ）
A．18
B．19
C．25
D．30
8．如图，在棱长为1 的正四面体
中，M，N 分别为BC，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的正弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）如图所示，已知A、B、C、D、E、F 分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF
异面的是（ ）
A．直线AB
B．直线BC
C．直线CD
D．直线DA
10．（多选题）如图，在正方体
中，对角线
与平面
交于点
，则（ ）
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A．直线
与
所成的角为
B．
平面
C．
D．
为
的垂心
11．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，
分别是所在棱的中点，这四
个点共面的图是 ，
12．如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为
的中点，动点F 沿着线段
从点B 移动到
点
．给出下列四个结论：
①
恒为钝角 ②直线
与直线AB 为异面直线
③
④三棱锥
体积为定值
其中所有正确结论的序号是 ．
13．如图，正方体的棱长是
，点
分别是两条棱的中点．
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(1)求证：四边形
（图中阴影部分）是一个梯形；
(2)求四边形
的面积．
14．如图所示，在棱长为
的正方体
中，
分别是
的中点．
(1)求证：
∥平面
．
(2)求证：
平面
．
(3)求
的长．
15．如图，已知
分别是正方体
的棱
的中点，且
与
相交
于点
.
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(1)求异面直线
与
所成角的大小.
(2)求证:点
在直线
上；
23
