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课后训练
1．在三棱锥
中，若
平面
，
，则平面
、平面
、平面
、平面
中相互垂直的共有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
2．已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
4．已知
，
为空间两条不同的直线，
，
是空间两个不同的平面，现有如下命题，
正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
5．已知
，
是两条不同直线，
，
是两个不同的平面，且
，
，
，
，则“
与
为异面直线”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2022•岳麓区校级模拟）在长方体
中，直线
与平面
的交点
为
，
为线段
的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
，
四点共面
C．
，
，
，
四点共面
D．
，
，
，
四点共面
【例10】（2023•乙卷）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
，
，
的中点分别为
，
，
，点
在
上，
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求三棱锥
的体积．
1 ．（2026• 咸阳模拟）如图1 ，在等腰梯形
中，
，
，
，
，将四边形
沿
进行折叠，使
到达
位置，且
平面
平面
，连接
，
（如图
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（3）若
，
，
，
四点在一个球面上，求这个球的体积．
3．（2026•西安模拟）如图，四棱锥
中，
，
，
，底面
是边长为6 的正方形．
（1）证明：
平面
；
（2）若
是
的中点，
是
的中点，点
满足
，平面
与棱
交于
点
，求
的长度．
5．（2026•潍坊模拟）如图1，在平面四边形
中，
，
，
将△
沿
翻折，得到如图2 所示的三棱锥
，且
在平面
上的射影恰
为△
的外接圆的圆心．
（1）证明：平面
平面
；
（2）设点
满足
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，
求
的值．
7．（2026•大连一模）在四面体
中，
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026•凯里市校级模拟）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
为正方形，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026•贵阳模拟）如图，已知两个正方形
，
的边长都是1，且它们所在
的平面互相垂直．点
，
分别在正方形对角线
和
上移动，且
．当
的长最小时，直线
和
夹角的余弦值是（ ）
A．
B．0
C．
D．
9．（2026•大连校级一模）如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，
为圆锥底面
圆的直径，
是
的中点，
是母线
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值
为
A．
B．
C．
D．
引申 2 如图,已知正方形
是边
的中点,将
沿
折起至
，
若
为正三角形，则
与平面
所成角的余弦值是_____.
【例5 】（2025• 大理州期末）在三棱锥
中，
为△
的重心，
，
，
，
，若
交平面
于点
，且
，则
的最小值为
A．
B．
C．1
D．
1．（2026 春•武侯区校级期中）已知直线
平面
，且的一个方向向量为
，2，
，平面
的一个法向量为
，
，
，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．2 或
D．
或1
4．（2026•铁岭模拟）在正四棱柱
中，
，以
为球心，表面积为
的球与平面
只有1 个公共点，若
为棱
的中点，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2026•蚌埠模拟）已知正方体
中，
是
的中点，则平面
与
平面
的夹角余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026•岳阳模拟）如图1，
，
，
分别为边长为4 的正方形三边
，
，
的中点．将四边形
沿着线段
折起（如图
，且点
是线段
上一点．
（1）求证：
；
（2）若二面角
的大小为
．且三棱锥
的体积为
，设过直线
且与直线
平行的平面为
，求平面
与平面
所成角的余弦值．
12．（2026•郑州模拟）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，平
面
平面
，
，
，四棱锥
的体积为2．
（1）求证：
；
（2）求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【例6】（2015 浙江
•
）如图，三棱锥
中，
，
，点
，
分别是
，
的中点，则异面直线
，
所成的角的余弦值是
．
【例7】（2015•四川）如图，四边形
和
均为正方形，他们所在的平面互相垂
直，动点
在线段
上，
、
分别为
、
的中点，设异面直线
与
所成的
角为
，则
的最大值为 ．
【例11】如图，在正四面体
中，
是棱
上的动点，设
，
，
记
与
，
所成的角分别为
，
，则（ ）.
A.
B.当
时，
C.
D.当
时，
【例12】(多选)如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
为
的中点，
.则下列判断正确的是
A. 面BDE⊥面PAC B.
B. 二面角
的正弦值为
D.求二面角
的正弦值为
【例13】(多选)如图，在四面体
中，
平面
.
，
，
.
是
的中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
,二面角
的大小为
，则下列判断正确的是
A.
平面
B.二面角
的大小为
C.
D.
体
积为
