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2021 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校”高二期中联考圆锥曲线“一题多解”
——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化
【方法策略简述】
一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、
定点、定值等问题及存在探索性问题.
二、解决此类问题的方法策略主要有三种：
1、根与系数的关系法（主流方法）．
设出动直线的方程（
），与圆锥曲线方程
联立消元得到关于
的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾
的
要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．
2、多变量多参数联动变换法．
此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直
线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体
变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式
的驾驭能力及变换技巧是一种考验．
3、设点求点法．
方法1、2 均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求
出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标
可直接求出；再如动直线
与椭圆
的交点易求出．
【典题精析】
（2021 年秋‧“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考‧22）
已知椭圆
：
的离心率为
，椭圆
的短轴长等于4．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设
,
,过
且斜率为
的动直线与椭圆
交于
，
两点，直线
，
分别交
：
于异于点
的点
，
，设直线
的斜率为
，直线
，
的斜率分别为
．
①求证：
为定值； ②求证：直线
过定点.
【解析】
1
(1)由题意
解得
，所以椭圆的标准方程为：
；
(2) 法一：对称韦达法
① 设MN 的方程为y=k1 x−1，与x2
6 + y2
4 =1联立得：(3k1
2+2)x2−6 k1 x−9=0，
设
M (x1, y1)
，
N ( x2, y2)
，则
，
∴k3⋅k4=
y1−2
x1
⋅
y2−2
x2
=(k1 x1−3)(k2 x2−3)
x1 x2
=
k1
2 x1 x2−3k1( x1+x2)+9
x1 x2
=−2 ，
②设PQ 的方程为y=k2 x+t ，与x2+( y−1)2=1联立得(k2
2+1)x2+2k2(t−1) x+t (t−2)=0，
设
P(x3, y3)
，
Q(x4, y4)
则{
x
3+x
4=−
2k
2
(t−1)
k
2
2
+1
¿{
x
3x
4=
t(t−2)
k
2
2
+1
¿¿¿¿
∴kBP⋅kBQ =
y3−2
x3
⋅
y4−2
x4
=(k2 x3+t−2)(k2 x4+t−2)
x3 x4
=
k2
2 x3 x4+k2(t−2)(x3+x4)+(t−2)2
x1 x2
=
k2
2t (t−2)−2k2
2(t−2)(t−1)+(k2
2+1)(t−2)2
t (t−2)
=
k2
2t−2k2
2(t−1)+(k2
2+1)(t−2)
t
=t−2
t
由k3⋅k4=kBP⋅kBQ 即t−2
t
=−2,∴t=2
3 ,此时
评析：韦达法，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解！
法二：设点求点法
① 直线
的方程为
，与x2
6 + y2
4 =1联立得：
，
解得
或
，故
，
2
同理可得
，
直线
过点
，
,即
，
整理得
，
.
②直线
的方程为
，与
联立得：
，
解得
或
，故
， 同理可得
，
，
于是直线
的方程为
，
令
得
，
故直线
恒过定点
.
评析：处理直线与圆锥曲线相交问题时，设点不求点的思想深入人心．然而当一交点坐标已
知时，可考虑直接求出另一交点的坐标．对本题而言，设点求点思路简洁运算简单，是很好
的解题方向．
3
4
