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压轴07 解三角形综合问题的7 大核心题型
应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有
选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.
题型01 正、余弦定理
1.（2024 全国Ⅰ卷T16）记ABC
V
内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sin
2 cos
C
B
=
，
2
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
(1)求B；
(2)若ABC
V
的面积为3
3
+
，求c．
题型02 最值范围问题
2.（2024 全国Ⅰ卷T15）记ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos
sin2
1
sin
1
cos2
A
B
A
B
=
+
+
．
(1)若
2
3
C
p
=
，求B；
(2)求
2
2
2
a
b
c
+
的最小值．
技法指导
1.正弦定理：在△ABC 中，
𝑎
sin𝐴＝
𝑏
sin𝐵＝
𝑐
sin𝐶＝2R（R 为△ABC 的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin C，sin A＝
𝑎
2𝑅，sin B＝
𝑏
2𝑅，sin C＝
𝑐
2𝑅，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等.
2.余弦定理：在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝
𝑏2＋𝑐2－𝑎2
2𝑏𝑐
.
3.三角形的面积公式：S＝
1
2absin C＝
1
2acsin B＝
1
2bcsin A.
技法指导
解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤
（1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围；
（2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数；
（3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值.
题型03 多边形问题
3.（2023·新课标Ⅱ卷T17）记ABC
V
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知ABC
V
的面积为
3 ，D 为BC
中点，且
1
AD = ．
(1)若
π
3
ADC
Ð
=
，求tan B ；
(2)若
2
2
8
b
c
+
=
，求,b c ．
题型04 角平分线问题
4.（2023 全国甲卷T16）在
ABC
V
中，
60 ,
2,
6
BAC
AB
BC
Ð
=
°
=
=
，
BAC
Ð
的角平分线交BC 于D，则
AD =
．
题型05 中线问题
5.（2025·湖南浏阳三模）锐角ABC
V
中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
tan
tan .
cos
a
B
C
c
B =
+
(1)求角C 的大小；
(2)若边
2
c =
，边AB 的中点为D，求中线CD 长的取值范围．
题型06 高线问题
技法指导
利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略
（1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理建立边角关系进行
求解；
（2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系，交叉使用公共条件进行求解；
（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；
（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.
技法指导
角平分线问题的处理策略：在△ABC 中，AD 平分∠BAC
(1)角平分线定理：AB
AC＝BD
CD.
(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理.
技法指导
中线定理：在
中，AD 是BC 边上的中线，则有
ABC
D
2
2
2
2
1
1
2
4
AD
AB
AC
BC
=
+
-
6 (2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB 边上的高.
题型07 解三角形中的证明问题
7.(2022·全国乙卷)记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin
Bsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A
B
<
，且
1 cos
2sin
sin
b
B
A
B
a
-
=
．
(1)证明：
2
B
A
=
；
(2)当
2
b
a
=
时，求A ．
2．（2025·江苏镇江·模拟）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
3 sin
sin2
0
b
C
c
B
-
=
.
(1)求B ；
(2)若
2 2
b =
，且2 2sin
cos2
1 sin2
A
A
A
+
= +
，求
ABC
V
的面积.
技法指导
高线问题的处理策略
(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.
(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C.
技法指导
对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、
余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且满足
2
2
2
a
c
ac
b
+
-
=
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
1
b = ，求a 的取值范围．
4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形ABCD 中，BC
CD
^
，
2
AD =
，
30
ACD
Ð
=
°，
45
CAD
Ð
=
° .
(1)求AC 的长.
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，求
ABC
V
面积的取值范围.
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c
ABC
V
的面积为
1
sin
sin
sin
2 a c
C
b
B
a
A
+
-
．
(1)求A；
(2)若
2
a =
，且
ABC
V
的周长为5，设D 为边BC 中点，求AD ．
6.（2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c 分别为
ABC
V
的三个内角A，B，C 的对边，且
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
.
(1)求A ；
(2)若边BC 上的高为
3 ，且
ABC
V
的周长为6，求a .
7．（2025·北京大兴·三模）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A 的角平分线交BC
于点D ，且sin
cos 2
A
a
C
c
=
．
(1)求A ；
(2)若
2
b =
，且
ABC
V
的面积为3
2 ，角A 的角平分线为AD ，求AD 的长．
8．（2025·湖北荆州·模拟）已知
ABC
V
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2
cos
sin
cos2
0
A
C
B
+
-
=
.
(1)证明：
2
2
2
2
a
b
c
=
+
；
(2)设
2c
ab
=
，
（ⅰ）求cosC ；
（ⅱ）若
4
a
b
+
=
，角C 的平分线与AB 交于点D ，求CD 的长.
9．
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
(1)求cosB ；
(2)记
ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S ³
，求b 的取值范围．
10．已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
2cos
a
b
a b c
B
c
+
=
.
(1)若
4,
6
b
c
=
=
，求a ；
(2)证明：
sin
sin
B
C
B
=
-
.
11．在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是, ,
a b c ，2
2 cos
3
c
a
B
b
-
=
.
(1)求角A ；
(2)若
1
a = ，
2 3
bc =
，c
b
>
，求AB 边上的高.
12．如图，在平面四边形ABCD 中，
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
BAC
DAC
Ð
= Ð
．
(1)证明：CB
CD
=
；
(2)已知
2
AC =
，
ABC
V
的外接圆半径为2 ，求
BCD
△
面积的取值范围．
