压轴08 三角函数中有关ω的求解的4 大核心题型
在三角函数的图象与性质中，ω 的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识
点多，历来是我们复习中的难点
题型01 利用三角函数的对称性求解
1.（2025·辽宁沈阳二模）已知函数
( )
cos(
)(
0)
3
f x
x
p
w
w
=
+
>
的一条对称轴为直线
3
x
p
=
，一个对称中心为点
(
,0)
12
p
，则w 有
A．最小值2
B．最大值2
C．最小值1
D．最大值1
【答案】A
【解析】由
3
x
p
=
满足余弦函数对称轴方程可知
1
3
3
1(
)
3
3
3
x
k
k
k
k
k
Z
p
p
p
w
p
w
p
w
w
+
=
Þ
+
=
Þ
+ =
Þ
=
-
Î
，
再由
12
x
p
=
满足对称中心方程可知
3
2
12
3
2
12
6
x
k
k
k
p
p
p
p
p
p
p
w
p
w
p
w
p
+
=
+
Þ
+
=
+
Þ
=
+
2 12 (
)
k k
Z
w =
+
Î
，综合可知w 的最小值为2，故选A.
2.将函数
( )
sin
0
6
f x
x
p
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象向右平移3
2
p
w 个单位长度后得到函数
g x 的图象，若
F x
f x g x
=
的图象关于点
,0
3
p
æ
ö
ç
÷
è
ø对称，则w 的最小值为
A．1
3
B．1
2
C．1
D．2
【答案】C
【解析】将函数
f x 的图像向右平移3
2w
p 个单位长度，得到函数
技法指导
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T
2，相邻的对称轴和对称中心之
间的“水平间隔”为T
4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于
运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.
3
3
sin
(
)
sin
cos
2
6
6
2
6
g x
w x
wx
wx
w
p
p
p
p
p
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
又因为
F x
f x g x
=
的图像关于点
,0
3
p
æ
ö
ç
÷
è
ø对称，
所以
sin
cos
6
6
F x
wx
wx
p
p
æ
ö
æ
ö
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø = 1 sin 2
2
3
wx
p
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的图像关于点
,0
3
p
æ
ö
ç
÷
è
ø对称，则2
3
3
w
k
p
p
p
×
+
=
，所以
3
1
2
k
w
-
=
，又因为
0
w >
，所以w 的最小值为1，故选C.
题型02 利用三角函数的单调性求解
3.（2025·广东肇庆·模拟）已知函数
3sin
,
0
f x
x
w
j
w
=
+
>
，若
3
6
f
p
æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
0
f p =
，
f x 在
,
6 3
p p
æ
ö
ç
÷
è
ø
上单调递减，那么w 的取值共有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【解析】
3
6
f
p
æ
ö =
ç
÷
è
ø
Q
，
0
f p =
，
2
1
6
4
n
T
p
p
-
\
-
=
×
，
10
3(2
1)
T
n
p
=
-
,
f x
Q
在
,
6 3
p p
æ
ö
ç
÷
è
ø上单调递减,
2
3
6
6
T
p
p
p
\
-
=
…
，
3
T
p
\
…
,
即
10
3(2
1)
3
n
n
p
-
…
，
2
1 10
n
\
- £
，
1,2,3,4,5
n
\
=
，即周期T 有5 个不同取值，
所以w 的取值共有5 个，故选D
4.（2024·广西·一模）已知函数f(x)＝cosωx－sinωx(ω＞0)在
,
2 2
p p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递减，则ω 的取值不可能为( )
A．1
5
B．1
4
C．1
2
D．3
4
【答案】D
【解析】由题意，得
π
( )
2 cos(
)
4
f x
x
w
=
+
，令
π
2 π
π
2 π
4
k
x
k
w
£
+
£
+
，解得
π
2 π
3π
2 π (
Z)
4
4
k
k
x
k
w
w
w
w
-
+
£
£
+
Î
，∴
π
4
2
3π
π
4
2
p
w
w
ì-
£ -
ïïí
ï
³
ïî
，解得
1
2
w £
，又
0
w >
，则
1
0
2
w
<
≤
，故选D.
题型03 利用三角函数的零点求解
技法指导
由函数的单调性求参数ω的取值范围，需要把ωx＋φ作为一个整体.根据区间之间的包含关系建立
不等式(组)，即可求ω的范围.
5.（2023·新课标Ⅰ卷T15）已知函数
cos
1(
0)
f x
x
w
w
=
-
>
在区间
0,2π 有且仅有3 个零点，则w 的取值范
围是
．
【答案】[2,3)
【解析】因为0
2π
x
£
£
，所以0
2
x
π
w
w
≤
≤
，
令
( )
cos
1
0
f x
x
w
=
- =
，则cos
1
x
w = 有3 个根，
令t
x
w
=
，则cos
1
t = 有3 个根，其中
[0,2 π]
t
w
Î
，
结合余弦函数
cos
y
t
=
的图像性质可得4π
2 π
6π
w
£
<
，故2
3
w
£
<
，
6.（2025·湖南株洲·一模）已知
*
sin
N
f x
x
w
w
=
Î
，若在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上存在两个不相等的实数a，b，满
足
2
f a
f b
+
=
，则w 的取值范围
．（填一个值即可）
【答案】
*
5,
N
w
w
³
Î
【解析】因为
π
0
2
x
£
£
，所以
π
0
2
x
w
w
£
£
，
又
*
sin
N
f x
x
w
w
=
Î
在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上存在两个不相等的实数a，b，满足
2
f a
f b
+
=
，
所以π
5π
2
2
w ³
，解得
*
5,
N
w
w
³
Î
.
题型04 利用三角函数的最（极）值求解
7.（2025·江苏南京二模）已知函数
π
sin
(
0)
6
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
在区间
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内有最大值，但无最小值，则w
的取值范围是（ ）
A．2 8
,
3 3
æ
ù
ç
ú
è
û
B．1 5
,
6 6
é
ö
÷
êë
ø
C．2 5
,
3 6
æ
ù
ç
ú
è
û
D．1 8
,
6 3
é
ö
÷
êë
ø
技法指导
利用零点求参数ω 的两个思路
(1)直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解.
(2)利用函数的周期与所给区间的关系求解.
技法指导
若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，
进而求解.
【答案】A
【解析】因为
0
w >
，所以当
π
0
2
x
<
<
时，则有π
π
π
π
6
6
2
6
x
w
w
<
+
<
+
，
因为
f x 在区间
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内有最大值，但无最小值，
结合函数图象，得π
π
π
3π
2
2
6
2
w
<
+
£
，解得2
8
3
3
w
<
£
，故选：A
8.已知偶函数
( )
sin(
)
3 cos(
)
f x
x
x
w
j
w
j
=
+
-
+
（
0
w >
，
π
|
|
2
j <
）在( 0, 1) 上恰有2 个极大值点，则实数w
的取值范围为（ ）
A．(2π,4π]
B．(3π,4π]
C．(4π,6π]
D．(3π,5π]
【答案】D
【解析】
( )
sin(
)
3 cos(
)
2sin(
)
3
f x
x
x
x
p
w
j
w
j
w
j
=
+
-
+
=
+
-
，
因为
π
|
|
2
j <
，则
5
6
3
6
p
p
p
j
-
<
-
<
，故
(0)
2sin(
)
3
f
p
j
=
-
，
又函数
( )
f x 为偶函数，故
3
2
p
p
j -
= -
，解得
6
p
j = -
，
故
( )
2sin(
)
2cos
2
f x
x
x
p
w
w
=
-
= -
，
因为函数
( )
f x 在( 0, 1) 上恰有2 个极大值，故当
1
x = 时，3
1
5
p
w
p
<
´ £
，
即3
5
p
w
p
<
£
，故选D.
1．（2025·陕西汉中·一模）已知函数
sin 2
0
π
j
j
=
+
<
<
f
x
x
的图象关于直线
π
6
x =
对称，则j 的值为
（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】A
【解析】因为函数
( )
sin(2
)(0
π)
f x
x
j
j
=
+
<
<
的图象关于直线
π
6
x =
对称
所以
π
π
2
π
,
Z
6
2
k
k
j
×
+
=
+
Î
，故
π
π
6
k
j =
+
，
Z
k Î
，又因为0
π
j
<
<
，令
0
k =
得
π
6
j =
，故选：A
2．（2025·四川内江二模）已知
0
j >
，函数
sin 2
f x
x
j
=
+
，x
" ÎR ，
4π
3
f x
f æ
ö
£
ç
÷
è
ø ，则j 的最小值为
（ ）
A．π
6
B．5π
6
C．4π
3
D．
11π
6
【答案】B
【解析】因为
sin 2
f x
x
j
=
+
，且
x
" ÎR ，
4π
3
f x
f æ
ö
£
ç
÷
è
ø ，
即
4π
3
f æ
ö
ç
÷
è
ø 为最大值或最小值，即
4π
3
x =
为函数
f x 的一条对称轴，
所以
4π
π
2
π,
Z
3
2
k
k
j
´
+
=
+
Î
，解得
13π
π,
Z
6
k
k
j = -
+
Î
，
又
0
j >
，所以当
3
k =
时j 取得最小值5π
6 .故选：B
3．（2025·四川泸州·一模）若函数
π
sin
0
3
f
x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
在
π
0, 6
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，则w 的取值范围是（ ）
A．
0,2
B．
0,1
C．
1
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
D．1 ,1
2
é
ù
ê
ú
ë
û
【答案】B
【解析】由题意设
π
3
t
x
w
=
+
，由
π
0, 6
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
π π
π
,
3 6
3
t
w
é
ù
Î
+
ê
ú
ë
û ，
则
sin
y
t
=
在π π
π
,
3 6
3
w
é
ù
+
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以π
π
π
6
3
2
w +
£
，解得
1
w £ ，又
0
w >
，
所以0
1
w
<
£ ，即w 的取值范围是
0,1 ，故选：B.
4．（2025·北京卷T8）设函数
sin
cos
(
0)
f x
x
x
w
w
w
=
+
>
，若
(
π)
( )
f x
f x
+
=
恒成立，且
( )
f x 在
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上存
在零点，则w 的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解析】函数
π
sin
cos
2 sin
(
0)
4
f x
x
x
x
w
w
w
w
æ
ö
=
+
=
+
>
ç
÷
è
ø
，
设函数
( )
f x 的最小正周期为T，由
(
π)
( )
f x
f x
+
=
可得
π,
N
kT
k
*
=
Î
，
所以
2π
π ,
N
T
k
k
w
*
=
=
Î
，即
2 ,
N
k
k
w
*
=
Î
；
又函数
( )
f x 在
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上存在零点，且当
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
π
π π
π
,
4
4
4
4
x
w
w
é
ù
+
Î
+
ê
ú
ë
û ，
所以π
4
4
π
π
w +
³
，即
3
w ³
，综上，w 的最小值为4，故选：C.
5．（2025·福建南平·三模）已知函数
π
sin
0
4
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
在区间
0, π 恰有两个极大值点、三个对称中
心，则（ ）
A．11
15
4
4
w
<
£
B．11
15
4
4
w
£
<
C．15
17
4
4
w
<
£
D．15
17
4
4
w
£
<
【答案】A
【解析】
0
w >
，
, π
0
xÎ
时，
π
π
π
, π +
4
4
4
x
w
w
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
因为
π
sin
4
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 在区间
0, π 恰有两个极大值点、三个对称中心，
故
π
π +
3π,4π
4
w
Î
，解得
11 15
,
4
4
w
æ
ù
Îç
ú
è
û .
故选：A
6．（2025·江西赣州·二模）已知函数
π
( )
sin
(
0)
4
f x
x
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
w
w
相邻两个对称轴之间的距离为2π，若
( )
f x 在
(
,
)
m m
-
上是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A．
π
0, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
B．
π
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
C．
3π
0, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
D．
3π
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】B
【解析】因为
π
( )
sin
(
0)
4
f x
x
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
w
w
相邻两个对称轴之间的距离为2π，
则1
2π
2 T =
，即
4π
T =
，则
2π
1
4π
2
w =
=
，则
( )
f x =
1
π
sin 2
4
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø，
由
π
1
π
π
2 π
2 π
2
2
4
2
k
x
k
-
£
+
£
+
，得
3π
4 π
4 π
2
k
x
k
-
£
£
+ π (
)
2 k ÎZ ，
所以
( )
f x 在
3π π
,
2
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
上是增函数，由(
, )
m m
-
Í
3π π
,
2
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
，得
π
0
2
m
<
£
.
故选：B
7．（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量
2
~
2,
N
x
s
，且
1
P
P
x
x
w
£
=
³
，若函数
2
2sin
0
π,
3
x
f x
b
b
w
j
j
æ
ö
=
+
+
<
<
Î
ç
÷
è
ø
R ，将
f x 向左平移j 个单位后，所得函数在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，则j =
（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
12
D．2π
3
【答案】B
【解析】因为随机变量
2
~
2,
N
x
s
，且
1
P
P
x
x
w
£
=
³
，
所以1
2
2
w
+
=
，解得
3
w =
，
所以
2sin 2
0
π,
f x
x
b
b
j
j
=
+
+
<
<
ÎR .
将
f x 向左平移j 个单位后，所得函数为
2sin 2
3
0
π,
g x
x
b
b
j
j
=
+
+
<
<
ÎR .
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
2
0,π
xÎ
，故
2
3
3 ,3
π
x
j
j
j
+
Î
+
.
因为函数
g x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以
π
3
2 π
2
π
3
π
2 π
2
k
k
k
j
j
ì
³ -
+
ïï
Î
í
ï
+
£
+
ïî
Z ，即
π
2 π
6
3
π
2 π
6
3
k
k
k
j
j
ì
³ -
+
ïï
Î
í
ï
£ -
+
ïî
Z ，
所以
π
2 π
6
3
j = -
+
Î
k
k
Z .
因为0
π
j
<
<
，所以
π
2 π
0
π
6
3
k
k
< -
+
<
ÎZ ，解得
1
7
4
4
k
k
<
<
ÎZ ，
所以
1
k = ，所以
π
2π
π
6
3
2
j = -
+
=
，故选B.
8．（多选）（2025·广东汕尾·三模）已知函数
π
sin
0
2
,
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
2
w =
B．
π
3
j =
C．
12
y
f
x
p
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 是奇函数
D．当
3π,4π
xÎ
时，
f x 的图象与x 轴有2 个交点
【答案】ABD
【解析】由图像可得
7π
π
π
2
12
12
2
T =
-
=
，故
π
T =
，故
2
=
w
，故A 正确；
故
sin 2
f x
x
j
=
+
，而
π
1
12
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，故
π
π
2
2 π,
Z
12
2
k k
j
´
+
=
+
Î
，
故
π
2 π,
Z
3
k k
j =
+
Î
，而
π
2
j <
，故
π
3
j =
，故B 正确；
因为
π
π
π
sin 2
cos2
12
6
3
f
x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故
π
12
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 为偶函数，故C 错误；
故
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，当
3π,4π
xÎ
时，
π
π
π
6π
2
8π
3
3
3
x
+
£
+
£
+
，
因为
sin
y
t
=
在
π
π
6π
,8π
3
3
é
ù
+
+
ê
ú
ë
û 上的零点为7π,8π ，
故
f x 在
3π,4π 上有两个不同的零点，故D 正确，
故选：ABD.
9．（多选）（2025·甘肃白银·二模）已知
cos
(
0,
0,0
π),
f
x
A
x
A
f
x
w
j
w
j
=
+
>
>
<
<
在
π
3
x =
处取得极小
值2
- ，与该极小值点相邻的一个对称中心为
π ,0
12
æ
ö
ç
÷
è
ø，则（ ）
A．
π
2cos 2
12
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
B．将
2cos2
y
x
=
的图象向左平移π
6 个单位长度即可得到
f x 的图象
C．
f x 在区间
π
0, 6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减
D．
f x 在区间
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上的值域为
2, 3
é
ù
-
ë
û
【答案】BC
【解析】对于A，
f x
Q
的极小值为2,
2
A
- \
=
，
f x
Q
的最小正周期
π
π
4
π
3
12
T
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，又
0
w >
，∴
2π
2
T
w =
=
，
π
2π
2π
2cos
2,
π
2 π
3
3
3
f
k
k
j
j
æ
ö
æ
ö
=
+
= - \
+
=
+
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Z
Q
，
解得：
π
π
2 π
,
0
π,
3
3
k
k
j
j
j
=
+
Î
<
<
\
=
Z Q
，
π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
\
=
+
ç
÷
è
ø ，故A 错误；
对于B，由
2cos2
y
x
=
的图象向左平移π
6 个单位长度得到
π
π
2cos2
2cos 2
6
3
y
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故B 正确；
对于C，由
π
0
6
x
<
<
得π
π
2π
2
3
3
3
x
<
+
<
，则
f x 在区间
π
0, 6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，故C 正确；对于D，
π
π
π 4π
π
1
0
,
2
,
,
cos 2
1,
2
3
3
3
3
2
x
x
x
é
ö
æ
ö
é
ù
£
<
\
+
Î
\
+
Î -
÷
ç
÷
ê
ê
ú
ë
ø
è
ø
ë
û
Q
，
π
2cos 2
2 1 ,
3
,
x
f x
æ
ö
\
+
Î -
\
ç
÷
è
ø
在区间
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上的值域为
2,1
-
，故D 错误.
故选：BC
10．（2025·山东泰山一模）若将函数
sin 2
0
π
f x
x
j
j
=
+
<
<
的图象向右平移π
3 个单位长度后得到的图
象对应函数为奇函数，则j =
．
【答案】2π
3
【解析】函数
sin(2
)
f x
x
j
=
+
的图象向右平移π
3 个单位长度后得到的图象对应的函数为
2π
sin 2
3
y
x
j
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø ，要使该函数为奇函数，则
2π
π
3
k
j -
=
，
Z
k Î
，
即
2π
π
3
k
j =
+
，
Z
k Î
，又0
π
j
<
<
，则
2π
3
j =
．
11．（2025·河南郑州一模）已知函数
π
2cos
5
y
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø （
0
w >
）的图象与=
2
y -
的图象的两相邻公共点间
的距离为π ，将
2sin
y
x
w
=
的图象向左平移j （
0
j >
）个单位长度得到
π
2cos
5
y
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的图象，则j 的
最小值为
.
【答案】7
20
p / 7
20p
【解析】由函数
π
2cos(
)
5
y
x
w
=
+
的图象与=
2
y -
的图象的两相邻公共点间的距离为π ，
可得
π
T =
，所以2π
π
w =
，解得
2
w =
，所以
π
2cos(2
)
5
y
x
=
+
，
又由
π
2sin 2
2cos(2
)
2
y
x
x
=
=
-
，其向左平移j （
0
j >
）个单位长度得：
π
π
2cos 2
2cos(2
2
)
2
2
y
x
x
j
j
é
ù
=
+
-
=
+
-
ê
ú
ë
û
，则
π
π
2
2 π,
Z
2
5
k k
j -
=
+
Î
，
解得
7π
π,
Z
20
k k
j =
+
Î
，当
0
k =
时，j 取最小值7
20
π .
12．（2025·吉林长春·模拟）已知函数
sin
(
0)
f x
x
w
w
=
>
，将函数
f x 的图象向右平移π
3w 个单位得到函数
g x 的图象，点, ,
A B C 是函数
f x 与
g x 图象的连续相邻的三个交点，若
ABC
V
是钝角三角形，则w 的
取值范围是
.
【答案】
3π
0,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【解析】易知
π
π
1
3
sin
sin
sin
cos
3
3
2
2
g x
x
x
x
x
w
w
w
w
w
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
令
tan
3
f x
g x
x
w
=
Þ
= -
，即
π
π
3
x
k
w = -
+
，
根据周期性不妨k 取0,1,2 ，此时
π 2π 5π
,
,
3
3
3
x
w = -
，
则
π
3
2π
3
5π
3
,
,
,
,
,
3
2
3
2
3
2
A
B
C
w
w
w
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
易知
ABC
V
是以B 为顶点的等腰三角形，
若要满足为钝角三角形，则
5π
π
3
3
3
3
2
2
2
w
w
æ
ö
- -
ç
÷
æ
ö
è
ø
- -
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
，解之得
3π
0,
3
w
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
13．（2025·云南昆明·模拟）小明同学用“五点法”作函数
π
cos
0,
2
f x
A
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø在某一周期内的
图象时，列表并填入部分数据如下表：
x
π
3
4π
3
7π
3
x
w
j
+
0
π
2
π
3π
2
2π
f x
0
2
-
0
2
(1)求
f x 的解析式，并说明函数
y
f x
=
的图象由
2cos
y
x
=
的图象经过怎样的变换得到？
(2)解不等式
1
f x ≤.
【解】（1）由表格知
π
π
3
2
2, 4π
π
3
A
w
j
w
j
ì
+
=
ïï
=
í
ï
+
=
ïî
，解得
1
π
,
2
3
w
j
=
=
，
所以
1
π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
.
先把函数
2cos
y
x
=
的图象向左平移π
3 个单位，得到
π
2cos
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø的图象；
然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，
得到函数
1
π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø的图象.
（2）由（1）可得
1
π
2cos
1
2
3
x
æ
ö
+
£
ç
÷
è
ø
，
解得
1
π
1
cos 2
3
2
x
æ
ö
+
£
ç
÷
è
ø
，
所以
π
1
π
5π
2 π
2 π
,
3
2
3
3
k
x
k
k
+
£
+
£
+
ÎZ ，
解得
8π
4 π
4 π
,
3
k
x
k
k
£
£
+
ÎZ ，
所以不等式
1
f x ≤的解集为
8π
4 π,4 π
,
3
k
k
k
é
ù
+
Î
ê
ú
ë
û
Z .
14．（2025·福建漳州·模拟）设函数
3sin 2
cos2
1
0
f x
x
x
w
w
w
=
+
+
>
，且
f x 的图象相邻两条对称轴的
距离为π
2 .
(1)求
f x 的单调递增区间；
(2)将
f x 所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列
nx
，求数列的前30 项和.
【解】（1）因为
π
3sin 2
cos2
1
2sin 2
1
6
f x
x
x
x
w
w
w
æ
ö
=
+
+ =
+
+
ç
÷
è
ø
，
因为
f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ，所以
f x 的最小正周期为π ，
所以
2π
π
2w =
，又
0
w >
，所以
1
w = ，
所以
π
2sin 2
1
6
f x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
6
2
k
x
k
-
+
£
+
£
+
，k ÎZ ，
解得
π
π
π
π
3
6
k
x
k
-
+
£
£
+
，k ÎZ ，
所以
f x 的单调递增区间为
π
π
π,
π
3
6
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
Z ；
（2）因为
π
2sin 2
1
6
f x
x
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
，令
0
f x =
，得
π
1
sin 2
6
2
x
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
π
5π
2
2 π
6
6
x
k
+
= -
+
或
π
π
2
2 π
6
6
x
k
+
= -
+
，k ÎZ ，
即
π
π
2
x
k
= -
+
或
π
π
6
x
k
= -
+
，k ÎZ ，
所以
f x 所有的正零点为
π
π
2
x
k
= -
+
或
π
π
6
x
k
= -
+
，k ÎZ ，
所以
2
1
n
x
-
是以π
2 为首项，π 为公差的等差数列，
所以
2n
x
是以5π
6 为首项，π 为公差的等差数列，
所以
1
2
3
4
29
30
1
3
29
2
4
30
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+×××+
+
=
+
+×××+
+
+
+×××+
π
15 14
5π
15 14
15
π
15
π
230π
2
2
6
2
´
´
æ
ö
æ
ö
=
´
+
´
+
´
+
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
