压轴09 三角函数与解三角形中的创新与融合问题的3 大核心题型
参考答案
压轴题型精讲
题型01 三角函数、解三角形及平面向量的交汇
1.【解】（1）根据题意知，向量
3, 3
ON =
uuur
的相伴函数为
π
( )
3sin
3 cos
2 3sin(
)
6
f x
x
x
x
=
+
=
+
，
当
π
( )
2 3sin
3
6
f x
x
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
时，
π
3
sin
6
2
x
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
又
π π
,
3 3
x
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，则
π
π π
,
6
6 2
x
æ
ö
+
Î -
ç
÷
è
ø，所以
π
π
6
3
x +
=
，故
π
6
x =
.
（2）因为
π
π
π
π
π
π
( )
3 cos
cos
3 cos cos
sin sin
cos cos
sin sin
3
6
3
3
6
6
g x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
-
=
-
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
整理得到( )
sin
3 cos
g x
x
x
= -
+
，故函数( )
g x 的相伴特征向量
1, 3
OM = -
uuuur
，
则与
1, 3
OM = -
uuuur
同向的单位向量为
1
1
3
( 1, 3)
,
2
2
2
OM
OM
æ
ö
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
uuuur
.
（3）由题意得，( )
cos
h x
x
=
，
在
ABC
V
中，
2
AB =
，
π
π
3
cos
( )
cos
6
6
2
C
h
=
=
=
，因此
π
6
C =
，
设
ABC
V
外接圆半径为R ，根据正弦定理，
2
4
sin
AB
R
C =
=
，故
2
R =
，
所以
2
GA
GB
GC
=
=
=
uuur
uuur
uuur
，
(
)
(
) (
)
GC AB
CA CB
GC
GB
GA
GA
GC
GB
GC
×
+
×
=
×
-
+
-
×
-
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
=
2
GC GB
GC GA
GA GB
GA GC
GC GB
GC
×
-
×
+
×
-
×
-
×
+
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur
2
2
8cos
4cos
4
GC GA
GA GB
GC
AGC
AGB
= -
×
+
×
+
= -
Ð
+
Ð
+
uuur uuur
uuur uuur
uuur
，
π
π
π
1
,
2
, cos
cos
6
3
3
2
C
AGB
C
AGB
=
Ð
=
=
Ð
=
=
，
代入可得
6
8cos
GC AB
CA CB
AGC
×
+
×
=
-
Ð
uuur uuur
uuur uuur
，
所以当
π
AGC
Ð
=
时，GC AB
CA CB
×
+
×
uuur uuur
uuur uuur
取得最大值14．
2.【解】（1）因为
π
cos
cos
sin
cos
2
f x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
+
-
= -
+
ç
÷
è
ø
，
所以
f x 的互生向量
1,1
OM = -
uuuur
.
（2）由题意可得
3
1
π
3sin
cos
2
sin
cos
2sin
2
2
6
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
π
2
2sin 2
6
f
x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，
令
π
π
π
2 π
2
2 π
,
Z
2
6
2
k
x
k
k
-
£
-
£
+
Î
，解得
π
π
π
π
,
Z
6
3
k
x
k
k
-
£
£
+
Î
，
因为
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
，所以
π
0
3
x
£
£
，
所以函数
2
y
f
x
=
在
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
上的严格增区间为
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û .
（3）由题
2sin
f x
x
=
，则
2 3 cos
2sin
2 3 cos
g x
f x
x
k
x
x
k
=
+
-
=
+
-
，
若函数
g x 在
0,2π 上有四个零点，则
2sin
2 3 cos
k
x
x
=
+
在
0,2π 上有四个实数根，
则函数
2sin
2 3 cos
h x
x
x
=
+
与y
k
=
在
0,2π 上的图象有四个交点，
因为
π
3π
2sin
2 3 cos ,0
2π
2
2
2sin
2 3 cos
π
3π
2sin
2 3 cos , 2
2
x
x
x
x
h x
x
x
x
x
x
ì
+
£
£
£
£
ïï
=
+
= í
ï
-
<
<
ïî
或
，
所以
π
π
3π
4sin
,0
2π
3
2
2
π
π
3π
4sin
,
3
2
2
x
x
x
h x
x
x
ì
æ
ö
+
£
£
£
£
ç
÷
ïï
è
ø
= í
æ
ö
ï
+
<
<
ç
÷
ï
è
ø
î
或
，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知k 的取值范围为
2,2 3
2 3,4
È
.
题型02 三角与数列的交汇
3.【解】（1）
1
1
2
a =
，
2
2
a = ，
3
1
a = - ，
4
1
2
a =
，
5
2
a =
，……，
故数列
na
的周期为3，
2024
2
2
a
a
=
=
.
（2）法一：由
1
1
2
a =
，
2
2
a = ，得到
1
1
3sin
2
2
1
3sin 2
2
2
π
π
0
3,
2
2
w
j
w
j
w
j
ì-
+
+
=
ï
ïï-
+
+
=
í
ï
ï <
<
-
£
£
ïî
，
则
sin
0
3
sin 2
2
π
π
0
3,
2
2
w
j
w
j
w
j
ì
+
=
ï
ïï
+
= -
í
ï
ï <
<
-
£
£
ïî
，解得：
2π
3
w =
，
π
3
j =
.
法二：因为
na
的周期为3，所以
2π
3
w =
又由
1
1
2
a =
，则
2π
1
1
3sin
3
2
2
j
æ
ö
-
+
+
=
ç
÷
è
ø
，即
2π
sin
0
3
j
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
则2π
π,
Z
3
k
k
j
+
=
Î
，即
2π
π
,
Z
3
k
k
j =
-
Î
，因为
π
π
2
2
j
-
£
£
，
解得
π
3
j =
.
4.【解】（1）由已知条件可知，由于cos
0
na >
，
故
2
2
2
2
1
1
2
2
sin
cos
π
1
0,
,tan
1
tan
2
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
æ
ö
Î
=
=
= +
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
1
tan
tan
1
n
n
a
a
+ -
= ，
故数列
2
tan
na
是以1 为公差的等差数列，且首项为
2
2
1
3
tan
tan π
1
6
a =
=
，
故
2
1
3
2
tan
1
3
3
n
n
a
n
-
=
- +
=
，
即
3
2
tan
3
n
n
a
-
=
.
（2）
1
2
1
1
2
2
sin
sin
sin
tan
cos
tan
cos
tan
cos
m
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
×
×
×
=
×
×
L
L
1
2
2
3
1
tan
tan
tan
tan
tan
tan
m
m
a
a
a
a
a
a +
=
×
×
×
L
1
1
tan
1
tan
3
1
m
a
a
m
+
=
=
+
，
由
1
1
3
1
100
m
=
+
，得
3333
m =
.
题型03 三角函数、解三角形的新定义问题
5.【解】（1）平方关系：
2
2
ch
sh
1
x
x
-
= ；倍角公式：
sh 2
2sh
ch
x
x
x
=
；
导数：
sh
ch
ch
sh
x
x
x
x
¢
¢
ì
=
ïí
ï
=
î
．
理由如下：平方关系:
2
2
2
2
2
2
2
2
e
e
e
e
e
e
2
e
e
2
ch
sh
1
2
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
æ
ö
æ
ö
+
-
+
+
+
-
-
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
倍角公式：
2
2
e
e
e
e
e
e
sh 2
2sh
ch
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
+
-
=
=
=
；
导数：
e
e
e
e
sh
ch
2
2
x
x
x
x
x
x
-
-
- -
+
¢ =
=
=
，
e
e
ch
sh
2
x
x
x
x
-
-
¢ =
=
；
以上三个结论，证对一个即可．
（2）构造函数
sh
F x
x
kx
=
-
，
0,
xÎ
+¥ ，由（1）可知
ch
F
x
x
k
¢
=
-
，
①当
1
k £ 时，由
e
e
ch
e
e
1
2
x
x
x
x
x
-
-
+
=
³
×
= ，
又因为
0
x >
，故e
e
x
x
-
¹
，等号不成立，
所以
ch
0
F
x
x
k
¢
=
-
>
，故
F x 为严格增函数，
此时
0
0
F x
F
>
=
，故对任意
0
x >
，
sh x
kx
>
恒成立，满足题意；
②当
1
k > 时，令
G x
F
x
¢
=
，
0,
xÎ
+¥ ，
则
sh
0
G
x
x
=
>
¢
，可知
G x 是严格增函数，
由
0
1
0
G
k
= -
<
与
1
ln2
0
4
G
k
k
=
>
可知，存在唯一
0
0,ln 2
x
k
Î
，使得
0
0
G x
=
，
故当
0
0,
x
x
Î
时，
0
0
F
x
G x
G x
=
<
=
¢
，则
F x 在
0
0, x
上为严格减函数，
故对任意
0
0,
x
x
Î
，
0
0
F x
F
<
=
，即
sh x
kx
>
，矛盾；
综上所述，实数k 的取值范围为
,1
-¥
；
（3）因为
ch
sh
ex
x
x
+
=
，
所以原式变为
2
1
2
1
2
1
2
1
e
1 e
sin
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
×
>
+
-
-
，
即证
1
2
1
1
1
2
1
2
1
e
sin
e
sin
e
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
-
+
>
-
+
-
，
设函数
e
sin
x
f x
x
-
=
，即证
1
2
1
2
1
f x
x
f x
x f
x
+
+
¢
>
，
e
cos
x
f
x
x
¢
=
-
，
设
e
cos
x
t x
f
x
x
=
-
¢
=
，
e
sin
x
t
x
x
=
+
¢
，
0
x >
时
0
t
x
¢
>
，
t x 在
0, ¥
+
上单调递增，
即
e
cos
x
f
x
x
¢
=
-
在
0, ¥
+
上单调递增，
设
1
1
1
h x
f x
x
f x
xf
x
=
¢
+
-
-
，（
0
x >
），则
1
1
h x
f
x
x
f
x
=
+
¢
-
¢
¢
，
由于
e
cos
x
f
x
x
¢
=
-
在
0, ¥
+
上单调递增，
1
1
x
x
x
+
>
，
所以
1
1
f
x
x
f
x
¢
¢
+
>
，即
0
h x
¢
>
，故
h x 在
0, ¥
+
上单调递增，
又
0
0
h
=
，所以
0
x >
时，
0
h x >
，
所以
1
1
1
0
f x
x
f x
xf
x
-
¢
+
-
>
，即
1
1
1
f x
x
f x
xf
x
+
>
¢
+
，
因此
1
2
1
2
1
f x
x
f x
x f
x
+
+
¢
>
恒成立，所以原不等式成立，得证．
6.【解】（1）①若
30
q =
° ，
则
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
ABC
PAB
PBC
PAC
S
S
S
S
c AP
a BP
b CP
q
q
q
=
+
+
=
×
+
×
+
×
V
V
V
V
1
1
sin
2
4
c AP
a BP
b CP
c AP
a BP
b CP
q
=
×
+
×
+ ×
=
×
+
×
+ ×
，
所以
4
ABC
c AP
a BP
b CP
S
×
+
×
+ ×
=
V
，
在
,
,
PAB
PBC
PAC
V
V
V
中，分别由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
BP
c
AP
c AP
q
=
+
-
×
，
2
2
2
2
cos
CP
a
BP
a BP
q
=
+
-
×
，
2
2
2
2
cos
AP
b
CP
b CP
q
=
+
-
×
，
三式相加整理得
2
2
2
2cos
c AP
a BP
b CP
a
b
c
q
×
+
×
+ ×
=
+
+
，
即
2
2
2
3
4
ABC
S
a
b
c
´
=
+
+
V
，
所以
2
2
2
4 3
ABC
a
b
c
S
+
+
=
△
；
②由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
co
4
4 3
s
3
ABC
ABC
a
b
c
bc
A
b
c
S
S
=
-
-
+
+
-
+
V
△
2
2
2
2
2
cos
2 3
sin
b
c
bc
A
bc
A
=
+
-
-
2
2
π
2
2
4
sin
6
b
c
bc
A
æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
è
ø
4
4
0
bc
bc
³
-
=
，
当且仅当b
c
=
且
π
sin
1
6
A
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
时取等号，
有
0,π
AÎ
，所以
π
π 7π
,
6
6
6
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，所以
π
π
6
2
A+
=
，所以
π
3
A =
，
即当且仅当b
c
=
且
π
3
A =
时取等号，
即当且仅当
ABC
V
为等边三角形时取等号，
所以
2
2
2
4 3
ABC
a
b
c
S
+
+
³
△
，当且仅当
ABC
V
为等边三角形时取等号，
又由①知
2
2
2
4 3
ABC
a
b
c
S
+
+
=
△
，
所以
ABC
V
为等边三角形；
（2）由（1）得
1 sin
2
ABC
S
c AP
a BP
b CP
q
=
×
+
×
+ ×
V
，
所以
2
sin
ABC
S
c AP
a BP
b CP
q
×
+
×
+ ×
=
V
2
2
2
2cos
a
b
c
c AP
a BP
b CP
q
+
+
=
×
+
×
+ ×
，
所以
2
2
2
2
2
sin 2
2cos
2cos
4
cos
sin
sin
ABC
S
bc
a
b
c
bc
q
q
q
q
q
q
+
+
=
×
=
×
=
V
，
又由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
cos2
2
cos
sin
b
c
a
bc
a
bc
q
q
q
+
=
+
=
+
-
，
所以
2
2
2
2
2
2
cos
sin
4
cos
a
bc
bc
q
q
q
+
-
=
，
所以
2
2
2
sin
cos
a
bc
q
q
=
+
，所以
2
a
bc
=
，
由正弦定理可得
2
sin
sin sin
A
B
C
=
1.【答案】D
【详解】若
5
1
2
AM
AB
-
=
，则
3
5
5
1
2
5
1
BM
MA
-
-
=
=
-
，
即
5
1
2
AM
AB
-
=
Þ 点M 为线段AB 的黄金分割点，
当
0
a =
时，
1
AB
BC = ，不存在w 使点B 为线段AC 的黄金分割点，故选项A，C 错误；
如下图，当
1
a ® 时，
0
AB
BC ®
，当
1
a ® - 时，AB
BC
¥
® +
，则
0,
AB
BC
¥
Î
+
，
则存在一个
0
1,1
a Î -
使得
5
1
2
AB
BC
-
=
，故选项B 错；
对于选项D，若
sin
y
x
=
与
( 1
1)
y
a
a
=
- <
<
相交于相邻的三点, ,
A B C ，
其横坐标分别为
1
2
3
1
2
3
,
,
x x
x
x
x
x
£
£
，则
2
1
3
1
x
x
AB
AC
x
x
-
=
-
，
将
sin
y
x
=
变换成
sin
y
x
w
j
=
+
后，点, ,
A B C 分别对应到点
,
,
A B C
¢
¢
¢ ，
且满足
3
1
2
1
2
3
,
,
x
x
x
x
x
x
j
j
j
w
w
w
-
-
-
¢
¢
¢
=
=
=
，
故
2
1
2
1
3
1
3
1
x
x
x
x
A B
AB
A C
x
x
AC
x
x
¢
¢
-
-
=
=
=
-
¢
¢
-
¢ ¢
¢ ¢
，即
,
w j 对比值AB
AC 无影响，故选项D 正确.
故选：D.
2.【答案】C
【详解】当k 为偶数时，
5π
5π
sin
π
sin
12
12
k
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，所以
5π
2sin
1
12
f k
é
ù
=
=
ê
ú
ë
û
；
当k 为奇数时，
5π
5π
sin
π
sin
12
12
k
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，所以
0
0
f k =
=
，
所以
f k 的值域为
0,1 .
故选：C.
3.【答案】C
【详解】由题知，集合
,
,
6 2 6
p p p
ì
ü
-
í
ý
î
þ 相对于m 的“正弦方差”为
2
2
2
2
sin
sin
sin
6
2
6
3
m
m
m
p
p
p
s
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
=
L
1
cos
2
1
cos
2
1
cos
2
1
3
3
3
2
2
2
m
m
m
p
p
p
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
ç
÷
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
1 3
cos
2
cos
2
cos
2
6
3
3
m
m
m
p
p
p
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
-
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
把
1
3
cos
2
cos 2
sin 2
3
2
2
m
m
m
p
æ
ö
+
=
-
ç
÷
è
ø
，
cos
2
cos 2
m
m
p -
= -
，
1
3
cos
2
cos 2
sin 2
3
2
2
m
m
m
p
æ
ö
-
=
+
ç
÷
è
ø
，代入上式整理得，
2
1
2
s
=
.
故选：C.
4.【答案】BCD
【详解】A 选项，因为
π
sin
cos
π
2
cot
tan
π
sin
2
cos 2
x
x
y
x
x
x
x
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
=
=
=
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
-
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
π
5π
( )
cot 3
tan
3
tan 3
3
2
3
6
f x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
+
= -
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø，
由
5π
tan 3
6
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø有意义可得
5π
π
3
π
6
2
x
k
-
¹
+
，
Z
k Î
，
所以
π
4π
3
9
k
x ¹
+
，
Z
k Î
，
所以函数
π
( )
cot 3
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的定义域为
π
4π ,
Z
3
9
k
x x
k
ì
ü
¹
+
Î
í
ý
î
þ
，A 错误；
B 选项，因为
5π
( )
tan 3
6
f x
x
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø ，
令
5π
π
3
6
2
k
x -
=
，
Z
k Î
，可得
π
5π
6
18
k
x =
+
，
Z
k Î
，
所以
( )
f x 图象的对称中心为
π
5π ,0 (
)
6
18
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ，B 正确；
C 选项，令
π
5π
π
π
3
π
2
6
2
k
x
k
-
<
-
<
+
，
Z
k Î
，
可得π
π
π
4π
+
3
9
3
9
k
k
x
<
<
+
，
Z
k Î
，
所以
( )
f x 的单调递减区间为
π
π 4π
π
,
Z
9
3
9
3
k
k
k
æ
ö
+
+
Î
ç
÷
è
ø
，C 正确；
D 选项，设函数
( )
f x 的图象关于直线
7π
36
x =
对称的图象经过点
,
m n ，
则点
,
m n 关于直线
7π
36
x =
的对称点7π
,
18
m n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 在函数
( )
f x 的图象上，
所以
7π
5π
tan
3
6
6
n
m
æ
ö
= -
-
-
ç
÷
è
ø ，所以
π
tan 3
3
n
m
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，
所以
( )
f x 与
π
( )
tan 3
3
g x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 的图象关于直线
7π
36
x =
对称，D 正确；
故选：BCD.
5.【答案】12
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以
1
1
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
k
k
w
p
p
w
p
p
ì
ï
=
ïïí
ï
ï
=
ïî
，
1
2
,
Z
k k Î
,
1
2
2
2
80
2
5
80
2
5
n
k
n
n
k
n
ì
+
=
ïï
\í
ï
-
=
ïî
1 ，两式相加得：
1
2
2
160
2
5 k
k
n
=
+
，
2
4
2
1
2
400
2
5
n
k
k
\
×
+
=
=
´
，
又
1
2
Z
k
k
+
Î
Q
，且
N
Î
n
，
2
N
n Î
，
n
\ 的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入
1 式中能同时使
1k ，
2k 为整数的n 值即为正解；
经检验：n 的值为2 和10；
所以正整数n 的所有可能取值之和为2 10
12
+
=
.
6.【答案】
9,+¥
【详解】由已知可得
2
2
2
2
2
sin
csc
tan
15
sin
cos
m
m
x
x
x
x
x
×
+
=
+
³
，
即
4
2
2
sin
15sin
cos
x
x
m
x
³
-
，
因为
π
π
(
Z)
2
x
k
k
¹
+
Î
，所以
2
cos
(0,1]
xÎ
，
则
4
2
2
sin
15sin
cos
x
x
x -
2
2
2
2
2
2
(1 cos
)
1
=15 1 cos
=17
(
+16cos
)
cos
cos
x
x
x
x
x
-
-
-
-
，
因
2
2
2
2
1
1
+16cos
2
16cos
8
cos
cos
x
x
x
x
³
×
=
，当且仅当
2
1
cos
4
x =
时等号成立，
此时
4
2
2
sin
15sin
cos
x
x
x -
17
8
9
£
-
=
，故
9
m ³
.
7.【答案】30 6
【详解】设圆的半径为r ，
1
cos
4
q =
时圆心角q 所对应的弦长为l ，
利用余弦定理可知
2
2
2
2
2
3
2
cos
2
l
r
r
r
r
q
=
+
-
=
，即可得
6
2
l
r
=
又60o 的圆心角所对的弦长恰好等于圆O 的半径，60o 的圆心角所对的弦长为60 个单位，
即与半径等长的弦长为60 个单位，所以
6
60
30 6
2
l =
´
=
.
8.【解】（1）由题意知
1
1
2
2
π
π
6
,
,
Z
π
π
π
2
2
k
k k
k
w
j
w
j
ì
+
=
ïï
Î
í
ï
+
=
+
ïî
，消去w 解得
1
2
3
π
π
2
4
k
k
j
-
=
-
，
令
1
2
3
,
Z
k
k
t t
-
=
Î
，则
π
π
2
4
t
j =
-
，因为
π
0
2
j
<
<
，
则
π
π
0
π
2
4
2
t
<
-
<
，解得1
3
2
2
< <
t
，
而
Z
t Î
，故
1
t = ，所以
π
4
j =
.
（2）由（1）知
π
4
j =
，代入
1
2
π
π
6
π
π
π
2
2
k
k
w
j
w
j
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
+
ïî
，得
1
1
2
2
2
3
6
2
,
Z
1
3
2
2
1
2
2
k
k k
k
k
w
w
ì
=
-
ïï
Î
í
ï
=
+
= -
+
+
ïî
，
所以
1
1
3
6
,
Z
2
k
k
w =
-
Î
，因为0
100
w
<
<
，
故
1
3
0
6
100
2
k
<
-
<
，解得
1
1
203
4
12
k
<
<
，而
1
Z
k Î
，故
1
1
16
k
£
£
，
则w 值是首项为9
2 ，公差为6 的等差数列的前16 项，设这16 项的和为S ，
则
9
16 15
16
6
792
2
2
S
´
=
´
+
´
=
.
9.【解】（1）因为cos
, cos , cos
b
C a
A c
B 成等差数列，
所以2 cos
cos
cos
a
A
b
C
c
B
=
+
，
由正弦定理可得
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
A
A
B
C
C
B
B
C
=
+
=
+
，
因为
π
A
B
C
+
+
= ，所以
sin
sin π
sin
A
B
C
B
C
é
ù
=
-
+
=
+
ë
û
且sin
0
A ¹
，
所以
1
cos
2
A =
，故
π
3
A =
，
（2）因为
1
sin
2
ABD
S
AB AD
BAD
=
×
×
Ð
V
，
1
sin
2
ADC
S
AD AC
DAC
=
×
×
Ð
V
，
设
π
,
0, 3
DAC
q q
æ
ö
Ð
=
Îç
÷
è
ø ，则
π
3
BAD
q
Ð
=
-
，
因为
2
BD
DC
=
，
2
ABD
ADC
S
S
=
△
△
，
所以
π
sin
2
sin
3
AB
AC
q
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为
2
b
c
=
，所以
π
sin 3
2
2sin
AC
AB
q
q
æ
ö
-
ç
÷
è
ø =
=
，即
π
sin
4sin
3
q
q
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
sin
cos
cos
sin
4sin
3
3
q
q
q
-
=
，则3 cos
9sin
q
q
=
，
因为
2
2
sin
cos
1
q
q
+
= ，故
7
sin
14
q =
，即
7
in
14
s
CAD =
Ð
.
10.【解】（1）因为AD 是角A 的平分线，所以
BAD
DAC
Ð
= Ð
且D 在线段BC 上，
所以
sin
, ;
sin
AB
BAD
c
B C D
AC
DAC
b
Ð
=
=
Ð
，
又
3
b
c
=
，所以
1
,
;
3
c
B C D
b
=
=
；
（2）因为点D 在射线BC 上，
60
BAC
Ð
=
°，且AB
AD
^
，所以D 在线段BC 外，且
30
DAC
Ð
=
°，
所以
sin
sin90
2
, ;
4
sin
sin30
AB
BAD
c
c
B C D
AC
DAC
b
b
Ð
°
= -
= -
= -
= -
Ð
°
，
所以
2
c
b
=
，
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，
所以
2
2
2
2
4
4
4
cos60
b
b
b
=
+
-
° ，即
2
3
16
b =
解得
4 3
3
b =
或
4 3
3
b = -
（舍去），
所以
ABC
V
的周长为
4
4 3
ABC
C
a
b
c
=
+
+
=
+
V
.
（3）因为
0
sin
s n
;
i
,
B
C
C D
B
=
>
，所以
sin
sin
AB
BAD
c
AC
DAC
b
Ð
=
Ð
，则
BAD
DAC
Ð
= Ð
，
因为
120
A =
°，所以
60
BAD
DAC
Ð
= Ð
=
° ，
又
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
V
V
V
，所以1
1
1
sin120
sin 60
sin 60
2
2
2
bc
b AD
c AD
° =
×
°+
×
°，
又
4
=
AD
，所以
4
bc
b
c
=
+
，所以4
4
1
b
c
+
= ，
所以
16
4
16
4
4
4
20
2
2
6
4
4
0
3
c
b
c
b
b
b
b
c
b
c
c
b
c
c
æ
ö
+
=
+
=
+
+
³
×
+
=
ç
÷
è
+
ø
，
当且仅当16
4
c
b
b
c
=
，即
12
b =
，
6
c = 时等号成立，
所以
4
b
c
+
的最小值为36.
11.【解】（1）由正弦定理可得3
4
ca
bc
=
，即3
4
a
b
=
，即
4
3
a
b
=
，
又
2
a
c
b
+
=
，即
2
3
c
b
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
4
2
11
3
3
cos
4
2
2
16
2
3
3
b
b
b
a
c
b
B
ac
b
b
æ
ö
æ
ö
+
-
ç
÷
ç
÷
+
-
è
ø
è
ø
=
=
=
´
´
.
（2）因为a
c
b
l
+
=
，所以sin
sin
sin
A
C
B
l
+
=
，
即2sin
cos
2 sin
cos
2
2
2
2
A
C
A
C
B
B
l
+
-
×
=
×
.
则
2
cos
cos
2
A
C
A
C
l
-
+
=
.
故
2
cos
cos
sin
sin
2
2
2
A
C
A
C
×
+
×
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
A
C
A
C
l
l
=
×
-
×
，
即
1
sin
sin
1 cos
cos
2
2
2
2
A
C
A
C
l
l
+
×
=
-
×
.
故
1
tan
tan
2
2
1
A
C
l
l
-
×
=
+
.
（3）存在
2
2
1
f
l
l
l
= -
+ .下面给出证明.
因为
2
2
2
1
tan
tan
2
1
A
C
l
l
-
×
=
+
，所以，
2
2
1
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
1
A
C
A
C
l
l
-
-
-
×
=
+
+
+
.
展开整理可得
2
4
2
1 cos
cos
4 cos
cos
A
C
A
C
l
l
l
-
+
+
= -
，
即
2
4
2
1 cos
cos
4
cos
cos
A
C
A
C
l
l
l
-
+
+
= -
,
故
2
2
2
cos
cos
2
1
cos
cos
1
A
C
A
C
l
l
l
l
+
-
+
=
×
+
.
因此，
2
2
2
cos
cos
1
1
2
cos
cos
1
A
C
A
C
l
l
l
l
+
-
+
= -
-
×
+
.
所以，存在函数
2
2
1
f
l
l
l
= -
+
.
12.【解】（1）因为cos3
cos
cos2
sin
sin 2
q
q
q
q
q
=
-
2
2
3
cos
2cos
1
2sin
cos
4cos
3cos
q
q
q
q
q
q
=
-
-
=
-
，
所以
3
3
4
3
f
x
x
x
=
-
.
（2）因为
cos(
2)
cos[(
1)
]
cos(
1)
cos
sin(
1)
sin
cos(
)
cos[(
1)
]
cos(
1)
cos
sin(
1)
sin
n
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
nx
n
x
x
n
x
x
n
x
x
+
=
+
+
=
+
×
-
+
×
ì
í
=
+
-
=
+
×
+
+
×
î
，
两式相加得
cos
2
cos
2cos
cos
1
n
x
nx
x
n
x
+
+
=
×
+
，
即
2
1
( )
2
( )
( )
n
n
n
f
x
xf
x
f
x
+
+
=
-
.
（3）因为
3
3(cos )
cos3
4cos
3cos
f
q
q
q
q
=
=
-
，
所以
2
2
3
6
4
6
2
(cos )
cos6
2cos 3
1
2 4cos
3cos
1
32cos
48cos
18cos
1
f
q
q
q
q
q
q
q
q
=
=
- =
-
- =
-
+
- ，
即
6
4
2
6( )
32
48
18
1
f
x
x
x
x
=
-
+
- ，
6
4
2
( )
16
24
9
g x
x
x
x
k
=
-
+
+
，
6(cos )
cos6
f
q
q
=
，当
[ 1,1]
xÎ -
时，
6
6
1
( )
[ 1,1], ( )
( ) 1
[ ,
1]
2
f
x
g x
f
x
k
k k
Î -
=
+
+
Î
+
，
因为
g x 有一个绝对值不大于1 的零点，则
0
1
0
k
k
£
ì
í + ³
î
，解得1
0
k
- £
£
，
令
2
0
t
x
=
³
，即
3
2
( )
16
24
9
h t
t
t
t
k
=
-
+
+
，则
2
( )
48
48
9
h t
t
t
¢
=
-
+
，
①当
1
x > 时，即
1
t > 时，
( )
(1)
9
0
h t
h
¢
¢
>
=
>
，则
h t 在
1, ¥
+
上单调递增，
g x 在
1, ¥
+
上单调递增，
即
1
x > 时，( )
(1) 1
0
g x
g
k
>
- +
³
，即
0
g x >
恒成立，即
g x 在
1, ¥
+
上无零点，
②当
1
x < - 时，
1
t > ，
( )
0
h t
¢
>
，则
h t 在
1, ¥
+
上单调递增，则
g x 在(
, 1)
¥
-
-
上单调递减，
即
1
x < - 时，( )
( 1)
1
0
g x
g
k
>
-
= +
³
，即( )
0
g x >
恒成立，即( )
g x 在(
, 1)
¥
-
-
上无零点；
综合①②可知，
g x 所有零点的绝对值都不大于1.
13.【解】（1）①导数：
sinh
cosh
x
x
¢ =
，
cosh
sinh
x
x
¢ =
，证明如下：
e
e
e
e
sin h
cosh
2
2
e
e
e
e
cosh
sin h
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
¢
-
-
¢
¢
-
-
¢
ì
æ
ö
-
+
ï
=
=
=
ç
÷
ï
è
ø
í
æ
ö
ï
+
-
=
=
=
ç
÷
ï
è
ø
î
，
②二倍角公式：
2
cosh 2
2 cosh
1
x
x
=
- ，证明如下：
2
2
2
2
2
2
e
e
e
2
e
e
2 cosh
1
2
1
1
cosh 2
2
2
2
e
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
æ
ö
+
+
+
+
- =
´
- =
- =
=
ç
÷
è
ø
；
③平方关系：
2
2
(cosh )
(sinh )
1
x
x
-
= ，证明如下：
2
2
2
2
2
2
2
2
e
e
e
e
e
e
2
e
2
e
cosh
sinh
1
2
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
æ
ö
æ
ö
+
-
+
+
-
+
-
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
（2）令
sinh
F x
x
kx
=
-
，
(0,
)
xÎ
+¥ ，
cosh
F
x
x
k
¢
=
-
，
①当
1
k £ 时，由
e
cosh
e
e
2
e
1
x
x
x
x
x
-
-
+
=
³
×
= ，
又因为
0
x >
，所以e
e
x
x
-
¹
，等号不成立，
所以
cosh
0
F
x
x
k
¢
=
-
>
，即
( )
F x 为增函数，
此时
( )
(0)
0
F x
F
>
=
，对任意
0
x >
，sinhx
kx
>
恒成立，满足题意；
②当
1
k > 时，令
( )
( )
G x
F x
=
¢
，
(0,
)
xÎ
+¥ ，则
sinh
0
G
x
x
¢
=
>
，可知
( )
G x 是增函数，
由
(0)
1
0
G
k
= -
<
与
1
ln2
0
4
G
k
k
=
>
可知，存在唯一
0
0,ln 2
x
k
Î
，使得
0
(
)
0
G x
=
，
所以当
0
(0,
)
x
x
Î
时，
0
( )
( )
(
)
0
F x
G x
G x
=
<
=
¢
，则
( )
F x 在
0
(0,
)
x
上为减函数，
所以对任意
0
(0,
)
x
x
Î
，
( )
(0)
0
F x
F
<
=
，不合题意；
综上知，实数k 的取值范围是
,1
-¥
；
（3）方法一、由
1
1
a
a
=
> ，函数
e
e
cosh
2
x
x
x
-
+
=
的值域为
1,+¥ ，
对于任意大于1 的实数
1a ，存在不为0 的实数m ，使得
1
coshm
a
=
，
类比双曲余弦函数的二倍角公式
2
cosh 2
2 cosh
1
x
x
=
- ，
由
1
coshm
a
=
，
2
2
2 cosh
1
cosh 2
a
m
m
=
- =
，
2
3
cosh 2
a
m
=
，
猜想：
1
cosh 2n
na
m
-
=
，
由数学归纳法证明如下：①当
1
n = 时，
1 1
1
cosh 2
cosh
a
a
m
m
-
=
=
=
成立；
②假设当
(
n
k k
=
为正整数）时，猜想成立，即
1
cosh(2
)
k
k
a
m
-
=
，则
2
2
1
1
1
2
1
2 cosh 2
1
cosh 2 2
cosh 2
k
k
k
k
k
a
a
m
m
m
-
-
+
é
ù
=
- =
- =
´
=
ë
û
，符合上式，
综上知，
1
cosh 2n
na
m
-
=
；
若
2023
2024
17
cosh 2
8
a
m
=
=
，
设
2023
2
t
m
=
，则
e
17
cosh
2
8
et
t
t
-
+
=
=
，解得：e
4
t =
或1
4 ，
即
ln 4
t = ±
，所以
2022
ln 2
2
m = ±
，即
2022
2022
1
1
2
2
1
e
1
cosh
2
2
2
e
2
m
m
a
m
-
-
æ
ö
+
=
=
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
综上知，存在实数
2022
2022
1
1
2
2
1 2
2
2
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，使得
2024
17
8
a
=
成立．
方法二、构造数列(
0)
n
n
x
x >
，且
cosh
n
n
a
x
=
，
因为
2
1
2
1
n
n
a
a
+ =
- ，所以
2
1
2 cosh
1
cosh 2
n
n
n
a
x
x
+ =
- =
，
则
1
1
cosh
cosh 2
n
n
n
a
x
x
+
+
=
=
，
因为
cosh x 在(0,
)
+¥ 上单调递增，所以
1
2
n
n
x
x
+ =
，即{ }
nx
是以2 为公比的等比数列，
所以
2023
2024
12
x
x
=
，所以
2023
2024
1
2
e
e
x
x
=
，所以
2023
2024
1
1
2
e
ex
x =
，
又因为
2024
2024
2024
2024
e
1
17
cosh
e
2
8
x
x
a
x
-
=
=
+
=
，解得
2024
e
4
x
=
或1
4 ，
所以
2023
2023
2022
2022
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
cosh
e
4
4
2
2
2
2
2
ex
x
a
a
x
-
-
-
æ
ö
æ
ö
=
=
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
综上知，存在实数
2022
2022
1
1
2
2
1 2
2
2
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，使得
2024
17
8
a
=
成立．
14.【解】（1）因为集合
π π
,
4 6
A
ì
ü
= í
ý
î
þ，
0
0
q =
，
所以
2
2
π
π
1
3
cos
cos
5
4
6
2
4
2
2
8
m
+
+
=
=
=
；
（2）由“余弦方差”的定义得：
2
2
2
0
0
0
π
2π
cos
cos
cos
π
3
3
3
q
q
q
m
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
2
2
2
0
0
0
0
0
1
3
1
3
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
3
q
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
2
2
2
0
0
0
1
3
cos
sin
cos
1
2
2
3
2
q
q
q
+
=
=
+
.
所以
1
2
m =
是与
0
q 无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：
2
2
2
0
0
0
π
cos
cos
cos
4
3
q
a
q
b
q
m
æ
ö
-
+
-
+
-
ç
÷
è
ø
=
2
2
0
0
0
0
1
2
2
1
cos
sin
cos
cos
sin
sin
3
2
2
3
q
q
a
q
a
q
æ
ö
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
2
0
0
1 cos
cos
sin
sin
3
b
q
b
q
+
+
2
2
2
2
0
0
0
0
0
1 1
1
1
sin 2
cos
cos
2cos
cos
sin
sin
sin
sin
3 2
2
3
q
a
q
a
q
a
q
a
q
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
0
0
0
0
1 cos
cos
2cos
cos
sin
sin
sin
sin
3
b
q
b
q
b
q
b
q
+
+
+
2
2
2
2
0
0
0
0
1 1
1
1
1
sin 2
cos
cos
sin 2 sin 2
sin
sin
3 2
2
3
2
q
a
q
a
q
a
q
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
2
0
0
0
1
1
cos
cos
sin 2
sin 2
sin
sin
3
2
b
q
b
q
b
q
æ
ö
+
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
1
1
cos
cos
cos
sin
sin
sin
sin 2
1 sin 2
sin 2
6
3
3
6
q
a
b
q
a
b
q
a
b
=
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
0
0
0
1 cos2
1 cos2
1
1
1
1
cos
cos
sin
sin
sin 2
1 sin 2
sin 2
6
3
2
3
2
6
q
q
a
b
a
b
q
a
b
+
-
=
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
0
0
cos2
1
1
cos
cos
sin
sin
sin 2
1 sin 2
sin 2
2
6
6
q
a
b
a
b
q
a
b
=
+
+
-
-
+
+
+
0
0
cos2
1
1
cos2
cos2
sin 2
1 sin 2
sin 2
2
6
6
q
a
b
q
a
b
=
+
+
+
+
+
，
要使m 是一个与
0
q 无关的定值，则
cos2
cos2
0
sin 2
sin 2
1
a
b
a
b
+
=
ì
í
+
= -
î
，
因为cos2
cos2
a
b
= -
，所以2a 与2b 的终边关于y 轴对称或关于原点对称，
又sin 2
sin 2
1
a
b
+
= - ，所以2a 与2b 的终边只能关于y 轴对称，
所以
cos2
cos2
0
1
sin 2
sin 2
2
a
b
a
b
+
=
ìïí
=
= -
ïî
，
因为
0,π
Î
a
，
π,0
b Î -
，所以
2
0,2π
a Î
，
2
2π 0
b Î -
，
当
7π
2
6
a =
时，2
6
π
b = -
，当
11π
2
6
a =
时，2
5π
6
b = -
，
所以
7 ,
π
π
12
12
a
b
=
= -
或
,
12
11π
5π
12
a
b
=
= -
时，
相对任何常数
0
q 的“余弦方差”是一个与
0
q 无关的定值
