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第十九题 导数及其应用
高考真题
19. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
知识点总结
1. 导数的几何意义
(1) 函数y＝f(x)在x＝x 处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线的斜率k，即k＝
0 0 0
f′(x )．
0
(2) 曲线y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线方程为 .
0 0
2. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝
f(x)＝xα(α是实数) f′(x)＝
f(x)＝sinx f′(x)＝
f(x)＝cosx f′(x)＝
f(x)＝ex f′(x)＝f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝
f(x)＝lnx f′(x)＝
f(x)＝log x(a＞0，a≠1) f′(x)＝
a
3. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则：
(1) [f(x)±g(x)]′＝ ；
(2) [f(x)·g(x)]′＝ ；
(3) ′＝ (g(x)≠0)．
4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝ .
5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t )表示物体在t＝t 时刻的 ; 设v＝v(t)是
0 0
速度函数，则v′(t )表示物体在t＝t 时刻的 .
0 0
6. 函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，
则f(x)为减函数．
7. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 时，f(x)在相应区间上是
减函数．
8．导数与函数的极值
(1)函数的极小值与极小值点
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值 ，f′
(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极
小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 ，f′(b)
＝0，而且在x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，
f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
9．导数与函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中 的一个是最大值， 的
一个是最小值．
题型展示
导数的运算
(1) 已知f(x)＝(ax2＋1)(x＋2)，若f′(－1)＝4，则a的值为 .
(2) 下列求导运算不正确的是( )
A. (cosx)′＝－sinx
B. (tanx)′＝
C. (2x)′＝ln2·2x
D. ()′＝－
(3) (2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝ .
求曲线的切线方程
(1) (2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1
C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1
(2) (2022·秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝lnx－e1－x，则曲线y＝f(x)
在x＝－1处的切线方程为( )
A. y－e2＋1＝0 B. y＋1＝0 C. (e2－1)x－y＋e2－2＝0 D. 2x＋y＋3＝0
求曲线f(x)经过点P(x ，y )的切线方程的方法：设切点坐标为(a，f(a))，则切线方程为y－
0 0
f(a)＝f′(a)(x－a)，代入点P(x ，y )的坐标，求出a的值，可得切线方程．注：在做此类题目
0 0
时，需仔细审题，若求曲线在某点处的切线方程，则该点即为切点；若求曲线过某点处的切
线方程，则该点不一定是切点．
求函数的单调区间(1) 函数f(x)＝的减区间是( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. D. (3，＋∞)
(2) 设f(x)＝，讨论f(x)的单调性．
含参函数的单调性讨论
已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
(1) 研究含参数的函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开
口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等．
(2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0
在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
利用函数的单调性求参数
(1) (2022·河北省级联测)若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在上存在减区间，则m的取值范围是
.
(2) (2021·全国卷)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间内是减函数，则实数 a的取值范围是
.
由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法：
(1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)(f′(x)在
该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
(2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存
在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I
是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
知图判断函数极值情况
(2023·重庆渝中区月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)
的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．
两者结合可得极值点．
已知函数解析式求极值或极值点
(1)(2022·西安模拟)已知f(x)＝，则f(x) ( )
A．在(－∞，＋∞)上单调递增 B．在(－∞，1)上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
(2)(2022·湖南省教育联盟第二次联考)函数f(x)＝＋ln |x|的极值点为_______．
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有
根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧导数值的符号；(5)求出极值．
已知函数的极值求参数的值或取值范围
(1)(2023·牡丹江高三第一次段考)若函数y＝ax2－ln x在x＝处取得极值，则a＝______．
(2)(2023·岳阳二模)已知函数f(x)＝cosx－ax2，其中a∈R．
①当a＝－时，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程；②若函数f(x)在(－π，π)上恰有两个极小值点x1，x2，求a的取值范围．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后
必须验证根的合理性．
导数与函数的最值
(1)(2022·全国甲卷(理))当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
(2)(2022·济南质检)已知函数f(x)＝excosx－x．
①求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最
小值．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上有极值，则先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比
较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的
实际应用中经常用到．
真题演练
一、单选题
1．函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
6．函数 的最小值为 .7．设函数 ．若 ，则a= ．
8．曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
三、解答题
9．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
10．已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
11．已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．12．已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
13．已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
14．已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
模拟训练
一、单选题
1．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．4．已知函数 ，设a，b，c是任意三角形的三边长，若一定存在以 ， ，
为三边长的三角形，则t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．已知 ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
三、填空题
7．如图，已知平面五边形 的周长为12，若四边形 为正方形，且 ，则当 的面
积取得最大值时， ．
8．若直线 与曲线 相切，则 ．四、解答题
9．已知函数 ， 是自然对数的底数.
(1)当 时，求整数 的值，使得函数 在区间 上存在零点；
(2)若存在 使得 ，试求 的取值范围.
10．已知函数 ， ， 为函数 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求 的取值范围.
11．已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)若 在区间 有2个零点，求 的取值范围．12．已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)求证： ．
