文档文本内容
专题10 解答题18 题、19 题压轴题
（6 阶题组）专项训练（一）
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．如图，平面四边形
中，点
是线段
上一点，
，
，沿着
将
折叠得
到四棱锥
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)若
，且
，
，折叠后
．
①求平面
与平面
夹角的余弦值的最大值．
②若三棱锥
的四个顶点均在以
为球心的球上，试问三棱锥
的外接球的体积是否存在最
小值？若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②存在，
．
【分析】（1）根据
折叠后应用线面垂直判定定理得出
平面
，再应用，面面垂直判定
定理证明；
（2）①建立空间直角坐标系计算面面角余弦
根据单调性即可求最大值；②先根
据（1）的结论设外接圆圆心得出
，再结合正弦定理及余弦定理即可
求出最值.
1
【详解】（1）在平面四边形
中，因为点
是线段
上一点，
，
所以折叠后有
，
．
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以平面
平面
．
（2）设
，则
．
①如图，以
为原点，以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系
，
因为
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，由
，
得
令
，则
．
设平面
的法向量为
，由
，
得
令
，则
．
设平面
与平面
的夹角为
，
则
．
2
令
，则
，
所以当
，即
时，
取得最大值
．
②如图，由（1）知平面
平面
，又因为三棱锥
的四个顶点均在以
为球心的球上，
设
和
的外接圆圆心分别
和
，
则球心为过点
和
且分别垂直于平面
、平面
的两直线的交点
，过点
作
于
，
连接
，
设
，显然四边形
为矩形，所以
．
在
中，因为
，所以由余弦定理得
，
再由正弦定理得
的外接圆半径
．
在
中，
，
，
，所以由余弦定理得
，
再由正弦定理得
的外接圆半径
．
所以
，即
，
3
所以
，
故当
时，
取得最小值，即
，此时三棱锥
外接球的体积最小值为
，
故三棱锥
外接球的体积存在最小值
，此时
．
19．已知函数
定义域为
，
，若
，
，当
时，都有
．则称为
在
上的“Ω 点”．
(1)设函数
．
（i）当
时，求
在
上的最大“Ω 点”；
（ii）若
在
上不存在“Ω 点”，求a 的取值范围；
(2)设
，且
，
．证明：
在D 上的“Ω 点”个数不小
于
．
【答案】(1)（i）
；（ii）
(2)证明见解析
【分析】
（1）（i）由题意可得对
，
，当
时，都有
，即可结合导数研究单调性后取
最大值点即可得；
（ii）由题意可得
在
时恒成立，借助导数分
、
、
及
讨论函
数单调性即可得；
（2）分“Ω 点”个数为
，及大于等于
进行讨论，结合
，从而得到相邻两个“Ω
点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω 点”个数与
的关系.
【详解】（1）（i）当
时，
，
4
则
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
即对
，
，当
时，都有
，
即
在
上的最大“Ω 点”为
；
（ii）由题意可得
在
时恒成立，
，
令
，
，
则
，
当
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
则
，
故
在
上单调递减，此时
，符合要求；
当
时，令
，则
，
则当
，即
时，
，即
在
上单调递增，
则
，即
在
上单调递增，
有
，不符合要求，故舍去；
当
，即
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
则
，故
在
上单调递减，
5
此时
，符合要求；
当
，即
时，
若
，
，若
，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
则若需
恒成立，有，解得
，
由
，故
，
由
，故
，
即当
时，符合要求；
综上所述，
；
（2）若
在D 上的“Ω 点”个数为
，则
，符合要求；
若
在D 上的“Ω 点”个数为
，令
在D 上的“Ω 点”分别为、
、
、
，
其中
、
，、
、
、
，
若
，
则若
，由
，则
，即
，
若
，由题意
，
，
，
故
，即
，又
，故
，符合要求；
若
，
则
，
，
，
，
6
由
，则
，
若
，即
，则
，
若
，由题意
，
，且
，
又
，故
，即
，
，
，
，
即有
，即
，
由
，故
，
又
，故
，
即
在D 上的“Ω 点”个数不小于
.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助
，结合定义得到相邻两个“Ω 点”的函
数值之差小于等于，即可得“Ω 点”个数与
的关系.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，
点
，
在椭圆
上，且不与
两点重合.
(1)当四边形
为平行四边形时，请写出点
，
的位置关系（说明理由即可，不需证明）.
(2)在（1）的条件下，若
，且
.
7
（i）求椭圆
的方程；
（ii）若点
在直线
上，且
，
，求
的面积.
【答案】(1)点
，
关于原点对称
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据椭圆的对称性及平行四边形的对称性判断即可；
（2）（i）根据对称性可得
，结合椭圆的定义求出
，设
，则
，由斜
率公式求出
，即可得解；（ii）过点
作
，垂足为
，直线
与
轴交于点
，根据三角
形相似求出
，即可求出
，从而求出
、
坐标，即可求出三角形面积.
【详解】（1）因为四边形
为平行四边形，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，
则
的中点为坐标原点，又点
，
在椭圆
上，
又因为椭圆
为中心对称图形，所以点
，
关于原点对称；
（2）（i）由对称性可知
，又
，所以
，
由椭圆的定义可知
，即
，所以
，
设
，则
，
因为点
在椭圆上，所以
，所以
，
又
，所以
，即
，所以
，
解得
，
所以椭圆方程为
；
8
（ii）如图，过点
作
，垂足为
，直线
与
轴交于点
，
因为
，所以
，又
，
所以
，
所以
，所以
，又
，
，
，
所以
，
，
所以
，又点
在椭圆上，所以
，解得
，
不妨取
，则
，所以
，
又
，
所以
；
由对称性，可得
，
，
或
，
，
或
，
，
时，同理可得
，
综上可得
.
9
19．已知函数
，
，设
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当曲线
经过点
时，
有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于
的实数
，若关于
方程
恰有三个不同的实根，则
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）应用导数的几何意义求一点处的切线方程；
（2）由题设
，构造
并应用导数研究其零点求得
，进而应用导数研究
判断
的零点，即可证；
（3）首先应用导数研究
的函数性质并求出极值，再画出
大致图象，最后应用数形结合及放
缩法判断极值符号，即可证明不等式；
【详解】（1）
时
，则
，故
，
，
点
处的切线方程为
；
（2）因曲线
经过点
，则
，
令
，
.
令
；
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
由
，可得
，此时
，
，
令
，
，则
在
上单调递增，
10
注意到
，结合
在
上递增，
所以
；
，故
在
单调递减，在
上单调递增，则
，
即曲线
经过点
时，
有且仅有一个零点1；
（3）
，其中
，
，
，
令
且
，
，则
，则
在
上单调递增.
注意到
，
，则
，使
，
结合
在
上递增，则
，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
的极小值为
.
注意到
，则
，
令
且
，则
，
所以
在
上单调递减，故
.
注意到
，
，则
，使
；
令
且
，
在
上单调递增，则
，
即
，
，
，
；
令
且
，
.
所以
；
，
11
则
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
所以
，
，
综上，
，
又
，
.
则
，使
，则
、
大致图象如下，
方程
恰有三个不同的实数根，则直线
与
图象有3 个交点，
由图，得
时满足题意.
对小于
的实数
，存在实数
使关于
方程
恰有三个不同的实数根，
注意到
，则
时满足题意，
令
且
，则
，
则
在
上递增，则
，得证.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
12
18．记
.
(1)判断并证明
的奇偶性；
(2)将
的最小值记为
，
（i）求数列
，
（ii）若
恒成立，求
的最小整数值
.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)（i）
；（ii）10
【分析】（1）根据偶函数的定义结合三角函数的奇偶性分析判断即可；
（2）（i）分
和
两种情况，换元令
，可得
，利用导数分
析单调性和最值，进而可得数列
的通项公式；（ii）令
，利用错位相减法求
，进而
分析求解.
【详解】（1）函数
为偶函数，理由如下：
因为
的定义域为
，
且
，
所以函数
为偶函数.
（2）（i）因为
，
，
当
时，
，
当
时，令
，则
，
13
设
，则
，
当
时，则
，
，
可得
，
在
上单调递减；
当
时，则
，
，
可得
，
在
上单调递增；
可知当
时，
取最小值
，
所以
；
当
时，亦适合上式，所以
；
（ii）令
，
则
，
可得
，
两式相减得
，
则
，
14
所以
，即
的最小整数值
为10.
19．平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，
经过
且倾斜角为
的直线与
交于A，B 两点（其中点
在
轴上方），且
的周长为8，现将平
面
沿
轴向上折叠，折叠后A，B 两点在新图形中对应的点分别记为
，且二面角
为
直二面角，如图所示.
(1)求折叠前
的标准方程；
(2)若
，求
；
(3)当
时，折叠后，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆定义和离心率可得
，
，进而可得
和椭圆方程；
（2）可得直线方程为
，与椭圆方程联立结合韦达定理求弦长；
（3）联立方程求点
的坐标，建立空间直角坐标系，分别求平面
与平面
的法向量，利用空
间向量求面面夹角.
【详解】（1）因为
的周长为
，即
，
15
又因为离心率为
，则
，可得
所以折叠前椭圆
的标准方程
.
（2）由（1）可知：
，
直线经过
且斜率为
，则直线方程为
，且直线与椭圆必相交，
与椭圆方程联立
，消去
得
，
设交点
，则
，
由弦长公式可得：
.
（3）当
时，直线的方程为：
，
联立方程
，解得
或
，
即
，
以原来的
轴为
轴，
轴正半轴所在直线为
轴，
轴负半轴所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，如
图所示，
则
，
16
故
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
，则
，
可得
平面
的一个法向量为
，
则
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的离心率为
，焦距为4．
(1)求双曲线
的标准方程．
(2)过双曲线
的左焦点
的直线与双曲线
交于
两点，
的中点为
，点
的轨迹为曲线
．
（i）求
的方程．
17
（ii）已知点
在曲线
上，点
在
轴的右侧，点
在
轴的左侧，
为坐标原点，直线
与直线
分别交于点
．求证：
.
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）利用给定的离心率求出双曲线
的标准方程.
（2）（i）设出直线，与双曲线
的方程联立并求出中点坐标，再消去参数即得
的方程；（ii）设出
直线
方程及点
坐标，与
的方程联立，求出点
的坐标，利用韦达定理列式计算得证.
【详解】（1）由双曲线
的离心率为
，焦距为4，
得半焦距
，
，则
，
所以双曲线
的标准方程为
.
（2）（i）
，当直线不垂直于
时，设其方程为
，
，
由
消去
得
，
，设
，
则
，
，
于是
，
，整理得
，
当直线垂直于
时，由对称性不妨令
，则
，其坐标满足
，
所以
的方程为
.
（ii）设直线
的方程为
，
，
18
由
消去
得
，
，
，
，直线
，直线
，
则
，
，
，所以
.
19．已知函数
．
(1)当
时，求
在
上的最大值．
(2)当
时，证明：
在
上单调递增．
(3)证明：
，使得
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把
代入，利用导数求出
在
上的最大值.
19
（2）求出
的导数，利用利用和差角的正弦公式可得
，再求出
并确
定其正数即可推理得证.
（3）利用正弦函数在
上的图象可得当
时，
，当
时，
，再利
用（2）的结论按
的奇偶分类推理得证.
【详解】（1）当
时，
，
求导得
，
而
，由
，得
；由
，得
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上的最大值为
.
（2）函数
，求导得
，
由
，得
，
，
当
且
时，
，
，
20
因此
，所以当
时，
在
上单调递增.
（3）如图，
由正弦函数
的部分图象知，当
时，
，
当
时，
，
由（2）知
在
上单调递增，取
，
当
时，
，则
；
当
时，
，此时
，
若
为奇数，令
，由
，得
，
；
若
为偶数，令
，则
，
所以
，使得
.
21
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．设抛物线
的焦点为
，过点
的直线交
于
两点，
为坐标原点.
(1)求
；
(2)设点
，直线
，
与
的另一个交点分别为
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）利用直线与抛物线联立，由直线经过
轴上的点的横坐标，可得两交点的纵坐标之积为定
值
，再结合点在抛物线上，又可求得两交点的横坐标之积为定值，从而可得向量积为定值；
（2）利用第一问的结论，来研究
交点的纵坐标，并可求得直线
经过
轴上的点的横坐标，再把
的面积转化为
的纵坐标之差与
的长度之积的一半来进行计算即可求解.
【详解】（1）
设
，
，直线
的方程为
，
由
得
，
时，
则
，
因为直线
经过点
，所以
，故
，此时
而
两点在
上，故
，
，所以
，
22
所以
.
（2）设
，
，因为直线
，
经过点
，
由（1）知，由
，则
，
，
设直线
的方程为
，
同理得
，
，
则
，
，
由
，
而
，所以
，故
.
所以直线
经过定点
，且
，
，
当且仅当
时等号成立，所以
面积的最小值为8.
19．已知函数
.
(1)
为
的导数，讨论
的单调性；
(2)若函数
在定义域内有两个极值点
，
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）将
设成
，通过二次求导，讨论
，可得单调性.
23
（2）（i）
在定义域内有两个极值点，转化为
在区间
上恰有两个“变号”零点问题，进
行求解.
（ii）通过构造差函数，将“双元”转变成“一元”，从而得证.
【详解】（1）由题，
，
.
设
，
，则
，
若
，则
，所以
在
上单调递减.
若
，当
时，
，所以
在
上单调递增.
当
时，
，所以
在
上单调递减.
综上所述，当
，
在
上单调递减；
当
，
在
上单调递增；
在
上单调递减.
（2）（i）函数
在定义域内有两个极值点，
等价于
在区间
上恰有两个“变号”零点，
由（1）知，
，且
，
解得
.
而当
且
时，
;
时，
.
综上所述，
的取值范围为
.
（ii）证明：因为
，
是
的两根，
所以
，即
，两式相减得
.
又
，
24
同理
，则
.
欲证
，即证
，
只需证
，而
，即证
，
因为
，所以
，则只需证
.
令
，则转化为证明
，
.
设
，
，则
，
所以
在
上单调递减，故
，
即
恒成立.
所以
成立.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知函数
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)证明
存在唯一的极大值点
，且
；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
25
【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）对函数求导得
，令
且
，判断导数的区间符号
确定单调性，进而求最大值；
（2）设
，根据零点存在性定理确定零点所在区间，进而判断
的符号，求
的
单调性，再求其极大值点，最后证明
；
（3）问题化为
，讨论
、
、
，再应用导数研究不等式恒成立求参数范围.
【详解】（1）当
时，
，则
.
易知
在
上单调递减，且
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
因此
的极大值即最大值，为
；
（2）
，设
，
因为
，所以
在
上单调递减，又
，
时，
，
因此
，使得
，即
，即
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
因此
存在唯一的极大值点
，
，
当且仅当
时等号成立，得证.
26
（3）
，即
，因为
，所以
，
当
时，不等式恒成立；
当
时，不等式转化为
恒成立，设
，
所以
，
令
，解得
，则在
上
的单调性如下，
在
上
，
单调递增，在
上
，
单调递减，
所以
在
内有唯一极大值点
，即
，从而
，
当
时，不等式转化为
恒成立，
令
，解得
，则在
上
的单调性如下，
在
上
，
单调递减，在
上
，
单调递增，
所以
在
内有唯一极小值点
，则
，从而
，
综上，
的取值范围是
.
19．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，上顶点和右顶点分别为
，
.
(1)求
的方程.
(2)已知过点
的直线与
交于
两点，过点
且与垂直的直线与
交于
两点，
在
轴的上
方，
分别为
的中点，直线
与
交于点
.
27
（i）求证：直线
过定点；
（ii）求
面积的最小值.
【答案】(1)
；
(2)（i）证明见解析；（ii）
.
【分析】（1）根据已知求出椭圆参数值，即可得方程；
（2）（i）设
，直线
，联立椭圆，应用韦达定理
及已知求出
的坐标，进而写出直线
并确定其定点；（ii）连接
，设
为线段
的中点，直线
分别与
相交于点
，连接
，进而得到
，应用弦长公式、
三角形面积公式列方程，再由基本不等式求最小值.
【详解】（1）设
的半焦距为
，由题意知
，
由椭圆的几何性质知，
，
，则
，
，
，故
的方程为
.
（2）（i）由（1）知，
，由题意知，直线与坐标轴不垂直，
设
，直线
，
将
代入
，整理得
，
，
，
28
，同理可得
，
，
∴直线
，即
，
∴直线
过定点
.
（ii）如图，连接
，设
为线段
的中点，直线
分别与
相交于点
，连接
.
分别为
的中点，
，则
，
，故
.
由（i）知，
，
同理可得，
，
29
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
面积的最小值为
.
30
