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2026 年高考数学一轮复习
专题10：利用导数研究函数的极值、最值
知识点一 函数的极值
1、函数的极小值：
若函数y＝f (x)在点x＝a 的函数值f (a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在
点x＝a 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a 叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f
(x)的极小值．
2、函数的极大值：
若函数y＝f (x)在点x＝b 的函数值f (b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在
点x＝b 附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b 叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f
(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二 函数的最值
求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
1
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(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极
值，这个极值就是最值．
一、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数
；
（2）求方程
的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数
的符号如何变化．
①如果
的符号由正变负，则
是极大值；
②如果由负变正，则
是极小值．
③如果在
的根x＝x0的左右侧
的符号不变，则不是极值点．
二、等式恒成立问题常见的转化策略
(1)a＞f (x)恒成立⇔a＞f (x)max，a＜f (x)恒成立⇔a＜f (x)min.
(2)f (x)＞g(x)＋k 恒成立⇔k＜[f (x)－g(x)]min.
(3)f (x)＞g(x)恒成立⇔f (x)min＞g(x)max.
考点一 求函数的极值或极值点
【例1】函数
的极小值点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B【解析】
定义域为
，所以
，
所以当
或
时，
，当
时，
，所以
在
和
上单调
递增，在
上单调递减，所以
在
处取得极小值，.故选：B
2
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【变式1-1】求下列函数的极值．
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）极大值
，极小值
；（2）极大值
，极小值
；（3）极小值为，无极大值．
【详解】
（1）因为
，所以
，
令
，即
，解得
或
，
当
变化时，
、
的变化情况如下表：
3
0
0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
故当
时，函数
有极大值，
，
当
时，函数
有极小值，
．
（2）因为
，定义域为
，
所以
，
令
，解得
或
，
当
变化时，
、
的变化情况如下表：
3
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0
0
减函数
极小
值
增函数
极大值
减函数
故当
时，函数有极小值，
，
当
时，函数有极大值，
．
（3）因为
，
所以
，函数
的定义域为
，
令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，
当
时，
，
故当
时，函数有极小值，
，无极大值.
【变式1-2】已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
【解析】 ∵f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
①当a＞0 时，＜，则随着x 的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝；
当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝0.
②当a＜0 时，＜，则随着x 的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
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f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝0；
当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝.
综上，当a＞0 时，函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a＜0 时，函数f (x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值.
考点二 由极值与极值点求参数
【例2】已知函数
，当
时函数
的极值为
，则
__________．
【答案】
【详解】
解：已知函数
,所以
,
由题意知
，
，即
解得
或
当
时
,
此时函数在
上是增函数,函数
没有极值,不合题意;
当
时
,
令
,解得
,
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当
或
时,
;
当
时,
;
所以函数
在
和
上是增函数,
函数
在
上是减函数,
当
时
取得极大值,符合题意,
所以
,所以
【变式2-1】若函数
在区间[1，2]上无极值点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
得
，由于
在区间[1,2]上无极值点，所以
在[1,2]上单调，当
单调递增时，故
，即
恒成
立，
故
，而
在[1,2]上单调递增，故
当
单调递减时，故
，即
恒成立，故
，而
在[1,2]上单调递增，故
，综上可知：
在区间[1，2]上无极值点，则实数
的取值范围
或
，故答案为：
【变式2-2】已知函数
在
上存在极值点，则实数a 的取值范围
是_____________.
【答案】
或
【详解】
由题可知：
，
因为函数
在
上存在极值点，所以
有解
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所以
，则
或
当
或
时，函数
与
轴只有一个交点，即
所以函数
在
单调递增，没有极值点，故舍去
所以
或
，即
或
故答案为：
或
考点三 求函数的最值（不含参）
【例3】已知函数
.
（1）求
的单调区间；
（2）求函数
在区间
上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为
；单调减区间为
和
；（2）
；
.
【详解】
1 函数
的定义域是R，
，
令
，解得
令
，解得
或
，
所以
的单调递增区间为
，
单调减区间为
和
；
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2 由
在
单调递减，
在
单调递增，
所以
，
而
，
，
故最大值是
.
【变式3】设函数
，
（1）求
、
的值；
（2）求
在
上的最值．
【答案】（1）
，
；（2）
，
【解析】（1）因为
，所以
，取
，则有
，即
；所以
，取
，则有
，即
．故
，
．
（2）由（1）知
，
，则
，
所以
、
与
，
的关系如下表：
0
1
2
0
单调递
增
极大值
单调递减
故
，
．
1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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2.已知
，函数
的极小值为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
，则
在
和
上单调递减，在
上单调递增，所以
，则
，则
．故选：C
3.若函数
在区间
上存在最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
由函数
，可得
，且
在区间
上存在最小值，即
在区
间
上存在
，使得
且
，
，设
，即满足
，且
，可得
，解得
，即实数
的取值范围是
.故选：D.
4.（多选题）函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的
是（ ）
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A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
【答案】AC
【详解】由图象可知
在区间
和
上
，
递增；在区间
上
，
递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间
上，
有极大值为
，C 选项正确.
在区间
上，
是
的极小值点，D 选项错误.故选：AC
5.（多选题）已知函数
（e 为自然对数的底数，
），则关于函数
，下列结论
正确的是（ ）
A．有2 个零点
B．有2 个极值点
C．在
单调递增
D．最小值为1
定义域为R，
，令
得：
或1，当
时，
，
当
时，
，如下表：
0
1
-
0
+
0
-
递减
极小值1
递增
极大值
递减
从而判断出函数有两个极值点，在
上单调递增，BC 正确， 由于
恒成立，所以函数
无零点，A 错误，当
时，
，故函数无最小值，D 错误；.故选：
BC
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6.（多选题）已知
．则下列说法正确的有（ ）
A．函数
有唯一零点
B．函数
的单调递减区间为
C．函数
有极大值
D．若关于x 的方程
有三个不同的根．则实数a 的取值范围是
【详解】由
得：
，即
，故函数
有唯一零点
由题可知：
设
，
，则
，由
得：
；由
得；
；故
在
上单调递增﹐在
上单调递减，
作出
图象，并将
的部分图象关于x 轴对称可得
的图象如下：
观察图象可得函数
的单调递减区间为
，
，B 错，函数
在
时有极大值
，C 对，方程
有三个不同的根，则实数a 的取值范围是
，D 对，故选：ACD.
7.已知函数
，若函数
在
上有极值，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
为二次函数，且对称轴为
，所以函数
在
单调递
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增，则函数
在
单调递增，因为函数
在
上有极值，
所以
在
有解，根据零点的存在性定理可知
，即
，解得
，
故答案为：
.
8.已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)极小值是
，无极大值.(2)
.
(1)当
时，
，
的定义域为
，
，则
.
令
，则
，令
，则
，所以
在
上单调递减，在
上
单调递增.当
时，
取得极小值且为
，无极大值.
(2)
对任意的
恒成立，则
对任意的
恒成
立，
令
，
，所以
，则
在
上单调递减，在
上单调
递增，所以
，
，所以
，则
，则
.
12
