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第17 讲 等比数列
目 录
题型01 等比数列通项公式基本量计算及性质应用
题型02 等比数列前n 项和公式及基本量计算
题型03 等比数列中an 与Sn 的关系
题型04 等比数列前n 项和公式的重要性质
题型05 等比数列中的函数性质
题型06 等比数列的证明
强化训练（共11 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 等比数列通项公式基本量计算及性质应用
题型点拨
（1）等比数列的通项公式
设等比数列
的首项为
，公比为
，则它的通项公式
．
（2）推广形式：
（3）等比中项：如果
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项．
即
是
与
的等比中项 ⇔
，
，
成等比数列 ⇒
．
（4）等比中项的推广：若m+n=r + s时，则aman=ar as，特别地，当m+n=2r时，aman=ar
2．其中
m,n,r ,s∈N
*．
（5）①设{an}为等比数列，则{λ an}（λ为非零常数），{|an|}仍为等比数列；当m∈Z，或在各项
an
m均有意义的前提下，数列{an
m}仍为等比数列，其公比为q
m．
②设
与
为等比数列，则
也为等比数列．
（6）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比
数列．
（7）在等比数列
中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
为
等比数列，公比为q
k，其中k ∈N
*．
【典例1】（25-26·广东）已知等比数列
的前3 项积为8，
，
，则
等于（ ）
A．4
B．
C．16
D．2
【答案】A
【分析】设等比数列公比为
，由题可得
，结合等比数列通项公式可得答案.
【详解】设等比数列公比为
，则
.
由题可得
，则
.
故选：A
【变式1】已知等比数列
的公比大于1，且
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．38
【答案】C
【分析】根据等比数列基本量的运算，可得
，则
，再根
据基本不等式求最值即可．
【详解】设
的公比为
，且
，
因为
，
所以
，即
，
，
，
，又
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：C．
题型2 等比数列前n 项和公式及基本量计算
题型点拨
等比数列的前n 项和公式
等比数列
的公比为
，其前
项和为
注：①等比数列的前
项和公式有两种形式，在求等比数列的前
项和时，首先要判断公比
是否为1，
再由
的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比
是否为1 时，要分
与
两种情况讨论求
解．
②已知
（项数），则利用
求解；已知
，则利用
求
解．
③
，
为关于
的指数型函数，且系数与常数互为
相反数．
【典例1】已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
【答案】C
【分析】应用
，再结合等比数列基本量运算计算求解.
【详解】因为
，则
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
或
舍，
所以
.
故选：C.
【变式1】（25-26·甘肃白银）已知等比数列
的前
项和为
，且
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．64
D．32
【答案】A
【分析】根据等比数列通项公式，前n 项和公式求出首项
和公比
，再代入求值即可.
【详解】设等比数列
的公比为
，
，
，即
，
．
，
，
，
，
．
故选：A.
题型3 等比数列中an 与Sn 的关系
题型点拨
【典例1】已知数列
的前
项和
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用
，求出
，进而得到
，结合
的表达式可得答案.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，
，即
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
所以
，
因为
，所以
.
故选：B
【变式1】记
为数列
的前
项和，若
，则
．
【答案】
【分析】利用
与
关系及等比数列的前
项和公式即可求解.
【详解】当
时，
，解得
，即
，
当
时，
由
，得
，即
，于是有
，
取
时，
此式也满足
，
故数列
的通项公式为
.
所以
，
．
故答案为：
.
题型4 等比数列前n 项和公式的重要性质
题型点拨
（1）公比不为－1 的等比数列
的前
项和为
，则
，
，
仍成等比数列，其公比
为
．
（2）
为等比数列，若
，则
成等比数列．
（3）当
，
时，
是
成等比数列的充要条件，此时
．
【典例1】（25-26·河南南阳）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．56
B．105
C．112
D．189
【答案】B
【分析】根据等比数列性质得
，结合基本量运算计算求解.
【详解】因为
成等比数列，
即
成等比数列，所以
，解得
，
又
，所以
，解得
.
故选:B.
【变式1】（25-26·海南省直辖县级单位）设公比小于零的等比数列
的前
项和为
，
，且
，则
（ ）
A．243
B．216
C．81
D．27
【答案】A
【分析】根据等比数列的前
项和的片段和性质及等比中项的性质即可求解.
【详解】设数列
的公比为
，因为
，且
，所以
，否则
，
所以
，
，
成等比数列且公比为
，即
，
即
，解得
或
，
当
时，由
，
，
成等比数列，其公比为
，舍去
所以
，所以
，
所以
.
故选：A
题型5 等比数列中的函数性质
题型点拨
1、等比数列
的单调性（等比数列的单调性由首项
与公比
决定）．
当
或
时，
为递增数列；
当
或
时，
为递减数列．
当q =1时，{an}为常数列；
当q<0时，由于各项正负交替，{an}既不是递增数列，也不是递减数列。
2、
与
的关系
（1）当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，
它可以变形为
，设
，则上式可以写成
的形式，
由此可见，数列
的图象是函数
图象上的一群孤立的点；
（2）当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，则数列
的图象是函数
图象上
的一群孤立的点。
3、
与
的关系
当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，它可以变形为
设
，
，则上式可写成
的形式，则
是
的一次函数。
【典例1】（25-26·四川）若等比数列
的前
项和为
，则“
”是“
单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等比数列的前n 项和公式及
，结合充分、必要性定义判断条件的关系.
【详解】若
的公比为
，则
，
若
时，
不单调，充分性不成立；
若
单调递增，则
恒成立，故
，必要性成立，
所以“
”是“
单调递增”的必要不充分条件.
故选：B
【变式1】（25-26·吉林松原）设公比为q 的等比数列
的前n 项和为
，前n 项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
无最大值
C．
是数列
中的最大值
D．
【答案】D
【分析】分析得到
，当
时，
，当
时，
，从而得到
有最大值，
最大值为
，
，
，得到D 正确，ABC 错误.
【详解】A 选项，
，若
，则对任意的
，都有
，则
，不合要求，A
错误；
BC 选项，若
，则
，与
矛盾，不合要求，
当
时，
，又
，
所以
，即
，
又
，故
满足要求，
故当
时，
，当
时，
，
故
有最大值，最大值为
，BC 错误；
D 选项，当
时，
，当
时，
，
故
，
，
所以
，D 正确.
故选：D
题型6 等比数列的证明
题型点拨
等比数列的判定方法
1、定义法：an+1
an
=q（常数），且an≠0(n∈N
*)，⇒{an}为等比数列；
2、中项法：
（
）
为等比数列；
3、通项公式法：an=k q
n,k q≠0或an=k q
n−1（其中k ≠0,q≠0）⇒{an}为等比数列.
【典例1】（25-26·广东江门）记数列
的前
项和为
，已知
.
(1)证明：数列
为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由数列
的前
项和
，结合
与
的关系，求得
，进而得到
，即可得证；
【详解】（1）解：因为数列
的前
项和
，
当
时，可得
，
当
时，可得
，
经检验当
时
也成立，所以
，
则
，且
，
所以数列
是首项为，公比为
等比数列．
【变式1】（25-26·广东江门）数列
满足
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可证明结论.
（2）利用累加法可求得数列
的通项公式.
【详解】（1）∵
，
∴
，即
，
∴数列
是等比数列.
（2）由（1）得数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
∴
，
∴当
时，
，
当
时，
，满足上式，
∴
.
强化训练（共11 题）
1．（25-26·福建）在等比数列
中，
，若
，
，
成等差数列，则
的公比为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】设等比数列
的公比为
，则
，由
，
，
成等差数列得出
，结合
得出
，即可求解．
【详解】设等比数列
的公比为
，则
，
因为
，
，
成等差数列，所以
，
又
，所以
，
所以
，故
，
故选：B．
2．（25-26·江苏苏州）已知
为等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．0
B．3
C．
D．12
【答案】D
【分析】利用等比数列前
项和
即可求解.
【详解】由题意有：
，
所以
，
故选：D.
3．（25-26·江苏南京）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1 或
D．
或
【答案】B
【分析】先判断
，再运用等比数列求和公式化简方程，求得
，利用等比数列通项公式化简所
求式即得.
【详解】设等比数列
的公比为
，若
，则
，故
，
则由
可得：
，
因
，可将其化简为：
，即
，
解得
（舍去）或
.则
.
故选：B.
4．（25-26·黑龙江哈尔滨）对于等比数列
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项．
【详解】
是等比数列，则
，
，
，等价于
，
当
时，
，数列
为递增数列；
当
时，
，则数列
不一定递增，如
时，
，
不能推出
为单调递增数列，不满足充分性；
若
为单调递增数列，则对于任意
，有
，
令
，则
，
为单调递增数列能推出
，满足必要性，
“
”是“数列
为单调递增数列”的必要不充分条件，故A 正确．
故选：A．
5．（25-26·安徽合肥）已知等比数列
的前n 项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．40
C．30 或
D．
或40
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前
项和公式即可得解.
【详解】等比数列的公比为
，
因为
，且
，
，
，故
，
所以
，即
，
解得
或
（舍去），
所以
，可得
，
故选：B.
6．（25-26·山西吕梁）数列
的通项公式为
，当
的前n 项积最大时，n 为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先根据等比数列的单调性判断
时，
的前n 项积越来越大 ，当
时，
的前n 项
积越来越小 ，从而可得答案.
【详解】因为
，所以数列
是递减数列，
，
，
所以
所以
时，
的前n 项积越来越大 ，
当
时，
的前n 项积越来越小 ，
所以当数列
的前
项积最大时
的值为4．
故选：C．
7．（25-26·浙江湖州）已知数列
的前n 项和为
，若
，且
（
），则（ ）
A．
为等比数列
B．
为等差数列
C．
为等比数列
D．
为等
差数列
【答案】A
【分析】利用
求出
的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可.
【详解】由
得当
时，
，
两式相减得
，即
，
又当
时，
，
所以数列
即不是等比数列也不是等差数列，CD 错误；
所以
，
当
时，
所以当
时，
，符合
，
所以
，
又
时
，所以
为等比数列，A 正确，B 错误.
故选：A.
8．（25-26·北京昌平）设无穷等比数列
的公比为
，前
项积为
，则“
有最大值”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】充分性：
，
例如
，则
，在
时，
取最大值，因此是不充分的，
必要性：当
时，对任意的无穷等比数列
，
若
，必存在正整数
，使得
时，
，
时，
，所以
时，
最大（若
，则
是最大值），
若
，则
是
中的最大值，若
，只要比较
前后的正项的大小即可得（注意
中的正、
负项均以两项为一组交替出现）
若
，则
，
是递减数列，
中第一个正项即为最大值，
因此是必要的，
所以应为必要不充分条件，
故选：B．
9．设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项不正确的是（ ）
A．
为递减数列
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得
的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列
为等比数列，且
，
，所以
，即数列
为正项等比数列，
当
时，则
，不满足
，舍去，
所以
，即数列
为单调递减数列，A 说法正确；
由
可得
，
，
所以
，即
，B 说法错误；
因为数列
单调递减，且
，
，所以
是数列
中的最大项，C 说法正确；
由等比中项可知
，D 说法正确；
故选：B
10．（25-26·福建宁德）已知数列
中，
.
(1)若
依次成等差数列，求
；
(2)若
，证明：数列
为等比数列；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系得到
，
，再结合等差中项的性质建立方程，求解
即
可.
（2）利用等比数列的定义证明即可.
【详解】（1）由题意得在数列
中，
令
，得到
，令
，得到
，
，
因为
依次成等差数列，所以
，
即
，解得
.
（2）由题意得首项为
，
因为
，
所以
，故
是首项为1，公比为2 的等比数列.
11．（25-26·广东东莞）已知
为数列
的前n 项和，且
（
）．
(1)证明数列
为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由已知可得
，利用等比数列的定义证明；
【详解】（1）当
时，
，得
，故
，
由
（
） ①，
得
②，
②－①，得
，
得
，即
，
所以
，即
，
所以，数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·北京海淀）在等比数列
中，已知
，则n 为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】由题意可得
，进而得
，求解即可.
【详解】在等比数列
中，
，所以
，
由
，解得
.
故选：A.
2．（25-26·福建龙岩）已知
是等比数列，
，
，则
（ ）
A．10
B．
C．6
D．
或6
【答案】C
【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可
【详解】由等比中项的性质可得
,
设等比数列的公比为
，
因为
, 所以
,
故选:C
3．已知实数
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出
.
【详解】设等比数列的公比为
，则
，且
，解得
.
故选：C
4．设等比数列
的前n 项和为
.已知
，
，则
.
【答案】
/31.5
【分析】根据
得
相减可得公比，由
求解首项，即可由求和公式代入求解.
【详解】当
的公比为1 时，由
可知显然不成立，故公比不为1，
由
得
，
所以
时，
，相减可得
，故公比
，又
，
故
，
故答案为：
5．（25-26·黑龙江哈尔滨）已知等比数列
中，
，则公比
（ ）
A．2
B．4
C．16
D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义即可求解．
【详解】当
时，则
，
而
，
，故舍去；
当
时，
，
，
可得
，
.
故选：C.
