第 14 讲 双曲线的二级结论
双曲线二级结论大全
一：双曲线的三个定义
1.双曲线的第一定义：
2.双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e= (e>1)时，这个
动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
3.双曲线的第三定义：
设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于 , N 的任意一点，若直线PM,
PN 的斜率存在，则必有 （焦点在y 轴上时为 ）
证明：设点
点M,P在双曲线上
两式相减得： , 亦即 证毕。
若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有：
①
；
②
.
二.双曲线的通径过焦点 做 轴的垂线，交于椭圆 两点，设 ，代入椭圆方程 ，
， ，即 ，所以通径 .
①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数 .
②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 .
③双曲线上任意一点 到两渐近线的距离乘积为定值.
， ，
设
，又点 在曲线上，所以
， ，即
三.双曲线的焦点三角形
1.设 ， 的周长：
2．双曲线 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F ，F ，点P为双曲线上任意一点 ，则双
1 2
曲线的焦点角形的面积为 ， .
3．若P为双曲线 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F , F 是焦点, ,
1 2
，则 （或 ）.
4．设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为 F 、F ,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
1 2△PF F 中，记 , , ，则有 .
1 2
5．PT平分△PF F 在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两
1 2
个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7．设P为双曲线上一点，则△PF F 的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
1 2
8．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
9．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.
10．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.
11．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.
12．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在双曲线焦三角
形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
13．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
14．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
15．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比
例.
16．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比
例.
17．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在
直线平行.
18．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.
19．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线
实轴为直径的圆的切点.
20．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
21．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.
22．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
23．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
四．双曲线焦半径
1．双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式： ,
当 在右支上时， , .
当 在左支上时， , .
设 为直线 倾斜角
2.焦比公式
①交双曲线的一支时， ，
所以 ， ， .则 , .
②交双曲线不同支时（左右都相交）
则 ， ，即 ，所以 ，所以
，所以 ，此时变成 .
，则
证明过程：设
.
为焦长公式.
③若 ，则 ,所以 ，
即 .
交双曲线不同支时（左右都相交）
则 ， ，即 ，所以 ，所以
，所以 ，此时变成 .
即 .
3．设P点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F 、F 为其焦点记 ，则(1)
1 2
.(2)
五．双曲线中点弦及切线切点弦
1．双曲线 （a＞0,b＞0）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交双曲线于P P 时
1、 2A P 与A P 交点的轨迹方程是 .
1 1 2 2
2．若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .
3．若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P 、P ，则切点弦
1 2
P P 的直线方程是 .
1 2
4．AB 是双曲线 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则
.
5 ． 若 在 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是
.
6．若 在双曲线 （a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 .
7．过双曲线 （a＞0,b＞o）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，
则直线BC有定向且 （常数）.
8．设双曲线方程 ,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 ： 的共轭直线 上,而且
.
9．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂
直.
10．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
六：
六．中心张直角弦1．已知双曲线 （b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 .（1）
;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;（3） 的最小值是 .
2．MN是经过双曲线 （a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦 ，
则 .
3．若PQ是双曲线 （b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 .
4．若双曲线 （b＞a ＞0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 ,则(1)
;(2) .
七．轨迹
1．在双曲线 中，定长为2m（ ）的弦中点轨迹方程为
2．已知双曲线 （a＞0,b＞0）,点P为其上一点F , F 为双曲线的焦点， 的内（外）角平分
1 2
线为 ，作 F 、F 分别垂直 于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的轨迹方程是 (
1 2
).
3．设 是双曲线 的实轴的两个端点， 是与 垂直的弦，则直线 与 的交点P的轨
迹是双曲线 .4．到双曲线 （a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为 （c为半焦距）的动点的轨迹
是姊妹圆 （e为离心率）.
5．到双曲线 （a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于 （c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆
.
6．到双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于 （c为半焦距）的动点M的轨迹是姊
妹圆 .
7．已知 P 是双曲线 （a＞0,b＞0）上一个动点， 是它实轴的两个端点,且 ,
，则Q点的轨迹方程是 .
8. 过平面上的 点作直线 及 的平行线，分别交 轴于 ，交 轴于 .（1）若
，则 的轨迹方程是 .(2)若 ，则 的轨迹方程是
.
9．AB是双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴， 是双曲线上的动点，过 的切线与过A、B的切线交于
、 两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是 .
10．OA、OB是双曲线 （a＞0,b＞0,且 ）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）
直线 AB 必经过一个定点 .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是
（除原点）。
八．其它1．设 A、B 是双曲线 （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， ,
, ， c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) .(2)
.(3) .
2．经过双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴的两端点A 和A 的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 和
1 2 1
P ，则 .
2
3．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.
4．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F 、F 到直线 的距离分别为d 、d ，那么（1） ，且F 、F
1 2 1 2 1 2
在 异侧 直线L和双曲线相切,或 是双曲线的渐近线.（2） ，且F 、F 在L异侧 直线 和双
1 2
曲线相离，（3） ，或F 、F 在L同侧 直线L和双曲线相交.
1 2
5．设点 为双曲线 （a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点
的任一弦.
(1)如 ,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时 .
(2)如 ,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, .
6.已知双曲线 上有一点 ，过 分别引其渐近线的平行线，分别交 轴于 ，交
轴于 ， 为原点，则： （1） ； （2） .
7．设双曲线 （a＞0,b＞0）实轴的端点为 , 是双曲线上的点过P作斜率为 的直线
，过 分别作垂直于实轴的直线交 于 ,则（1） .（2）四边形 面积趋近于
.
8．给定双曲线 ： （a＞b＞0）, ： ,则(i)对 上任意给定的点 ,它的任一直角弦必须经过 上一定点M .
(ii)对 上任一点 在 上存在唯一的点 ,使得 的任一直角弦都经过 点.
9．已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线 与x轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交
于A、B两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
10． 是双曲线 （a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线
AB必经过一个定点 .（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方
程是
(除P点).
11．L是经过双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴
交点,点 ，e 是离心率， ，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则 是锐角且 或
（当且仅当 时取等号）.
12．设A、B是双曲线 （a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，
且 、 的横坐标 ，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则 ；
（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则 .
13．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和
AQ分别交相应于过B点的直线MN： 于M，N两点,则 .
14．L是经过双曲线 （a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离
心率,点 ，若 ，则 是锐角且 或 （当且仅当 时取等号）.15．设A、B、C、D为双曲线 （a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为 ，直线
AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则 .
16．双曲线 （a＞0,b＞0）上存在两点关于直线 ： 对称的充要条件是
.
17．P 是双曲线 （a＞0，b＞0）上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是
.
18．双曲线 （a＞0,b＞0）与直线 有公共点的充要条件是 .
19．双曲线 （a＞0,b＞0）与直线 有公共点的充要条件是
.
20．MN是经过双曲线 （a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行
于MN的弦，则 .
21．设 为双曲线 （a＞0,b＞0）上一点，P P 为曲线C的动弦,且弦PP , PP 斜率存在，记
1 2 1 2
为k , k , 则直线P P 通过定点 的充要条件是 .
1 2 1 2
22．若双曲线 （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F 、F ，左准线为L，则当1＜e≤ 时，可在
1 2
双曲线上求一点P，使得PF 是P到对应准线距离d 与PF 的比例中项.
1 1 2
23．P 为双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点,F ,F 为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则
1 2
,当且仅当 三点共线且 在左支时，等号成立.24．设A,B为双曲线 （a＞0,b＞0， ）上两点，其直线AB与双曲线 相交于
,则 .
25．设S为双曲线 （a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=
， 是 AB 中点，则当 时，有 , );当 时，有
.
26．设双曲线 （a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M引一条直线
与双曲线相交于P、Q两点，则直线A P、A Q(A A 为两顶点)的交点N在直线 ： 上.
1 2 1 , 2
27．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应
于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
28．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点，A P和A Q交于点M，
1 2 1 2
A P和A Q交于点N，则MF⊥NF.
2 1
29．设△ABC三顶点分别在双曲线 上，且AB为 的直径， 为AB的共轭直径所在的直线， 分别交直线
AC、BC于E和F，又D为 上一点，则CD与双曲线 相切的充要条件是D为EF的中点.
30．过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线
交x轴于P，则 .
31．设A（x ,y ）是双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为 的直线L，又设d是
1 1
原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则 .
32．已知双曲线 （a＞0,b＞0）和 （ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、
C、D四点，则│AB│=|CD│.
33．已知双曲线 （a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则 或 .
34．L是双曲线 （a＞0,b＞0）焦点F 且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L
1
与x轴的交点，点 ， ,离心率为e，半焦距为c，则 为锐角且 或
（当且仅当 时取等号）.
35．已知双曲线 （a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F ,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B
2
与双曲线左焦点F 连结起来，则 （当且仅当AB⊥x轴时取等号）.
1
36．设A、B是双曲线 （a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，
（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴
对称），且 ，则点A、B的横坐标 、 满足 ；（2）若过B点引直线与双曲线这
一支相交于P、Q两点，且 ,则点A、B的横坐标满足 .
37 ． 过 双 曲 线 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 的 右 焦 点 作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 AB 、 CD, 则
；
38. 点 为双曲线 在第一象限的弧上任意一点，过 引 轴、 轴的平行线，交 轴、
轴于 ，交直线 于 ，记 与 的面积为 ，则： .
39. 点 为第一象限内一点，过 引 轴、 轴的平行线，交 轴、 轴于 ，交直线 于 ，
记 与 的面积为 ，已知 ，则 的轨迹方程是 或应用双曲线二级结论解题
一．单选题
1.设 ， 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则△ 的面积为（
）
A． B．3 C． D．2
2.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ． 是 上一点，且 ．
若△ 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3.过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中点，若
，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4.已知 为双曲线 的右顶点， 为双曲线右支上一点，若点 关于双曲线中心 的对称点为
，设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.已知A，B，P是双曲线 （ ， ）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，
PB的斜率乘积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．6.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过左焦点 作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两
点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．
7.若双曲线 的焦点 到其渐近线的距离为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为
A． B．3 C． D．
9.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．
设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
x2 y2
1(a0,b0)
a2 b2
10．已知双曲线 的两条渐近线均和圆 ： 相切，且双曲线的右焦
C
点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
1 1 1 1
5 4 4 5 3 6 6 3
A． B． C． D．
11.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 .过
作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与 的内心，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线离心率倒数
之和的最大值为（ ）A． B． C． D．
13.已知 是双曲线 的右焦点，直线 经过点 且与双曲线相交于 两点，记该双曲线
的离心率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
14.已知 ， 是双曲线 ： 的左，右焦点，过点 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，
右两支分别交于点 ， .若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
15.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过点 且倾斜角为 的直线 与双曲线的左､右支
分别交于点 ， ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16.已知双曲线 ， 过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 、 两点 、
两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直于 的直线 分别交
， 于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18． 是双曲线 的左右焦点，过 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于 两点，若
，则双曲线的离心率为A． B． C． D．
二．多选题
1．方程 表示的曲线为 ，下列正确的命题是（ ）
A．曲线 可以是圆 B．若 ，则曲线 为椭圆
C．曲线 可以表示抛物线 D．若曲线 为双曲线，则 或
2．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， ，过 的直线 与 的右支交于点 ，
若 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．
C．直线 的斜率为 D． 的坐标为 或
3.双曲线 的左、右焦点分别 ，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为 ，双曲线和椭
圆的离心率分别为 的内切圆的圆心为 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A． 到 轴的距离为 B．点 的轨迹是双曲线
C．若 ，则 D．若 ，则
4.已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点，记 的内切
圆 的面积为 ， 的内切圆 的面积为 ，则（ ）
A．圆 和圆 外切 B．圆心 在直线 上
C． D． 的取值范围是
5.设A，B是双曲线 上的两点，下列四个点中可以为线段 中点的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图， 是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
7.已知椭圆 与双曲线 ， 有公共焦点 （左焦点）， （右焦
点），且两条曲线在第一象限的交点为 ，若△ 是以 为底边的等腰三角形， ， 的离心率分别为 和
，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 .过
作直线 交双曲线 的右支于 、 两点，若 、 分别为 与 的内心，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．点 与点 均在同一条定直线上
C．直线 不可能与 平行 D． 的取值范围为
三.填空题
1．已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ： （ ，
）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则
的最小值为______．
2.已知双曲线方程是 ，过 的直线与双曲线右支交于 ， 两点（其中 点在第一象限），设点 、分别为 、 的内心，则 的范围是______.
3.过双曲线 的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为 ，与双曲线的另一条渐近线交于点
，若 ，则此双曲线的离心率为________
4．已知点 是离心率为 的双曲线 上的三点, 直线 的斜率分别是
点 分别是线段 的中点, 为坐标原点，直线 的斜率分别是 .若
则
