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专题14 导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）
目录：
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
02 用导数判断或证明函数的单调性
03 含参分类讨论函数的单调区间
04 由函数的在区间上的单调性求参数
05 函数与导数图像之间的关系
06 利用导数比较大小（含构造函数）
07 利用导数解不等式
08 抽象函数与导数
09 用导数解决实际问题
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2024 高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）函数
单调递减区间是（ ）
A．
B．
1
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C．
D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 用导数判断或证明函数的单调性
4．（23-24 高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数
在
处的切线方程为
.
(1)求
，
的值；
(2)证明：
在
上单调递增.
5．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
在
上单调递增．
6．（23-24 高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的解析式；
(2)判断
在
上的单调性.
03 含参分类讨论函数的单调区间
7．（23-24 高三上·湖北·期中）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数
的单调性.
2
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8．（23-24 高二下·山东潍坊·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性.
9．（23-24 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性.
04 由函数的在区间上的单调性求参数
10．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数
的单调递减区间为
，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．27
11．（23-24 高三上·广东汕头·期中）设
，若函数
在
递增，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的可能取值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
13．（2023 高三·全国·专题练习）若函数
恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023·广西玉林·二模）若函数
在
上为增函数，则a 的取值范围是（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
05 函数与导数图像之间的关系
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，
为实数，
的导函数为
，在同一直角坐
标系中，
与
的大致图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（23-24 高二下·安徽合肥·期中）已知函数
的大致图象如图所示（其中
是函数
的
导函数），则
的图象可能是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
17．（2013·广东广州·一模）已知函数
的图像如图所示，则其导函数
的图像可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
06 利用导数比较大小（含构造函数）
18．（23-24 高二下·安徽·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·山东泰安·模拟预测）已知定义域为R 的偶函数
在
上单调递减，则下列结论正确的
5
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是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2024·河北沧州·模拟预测）已知
，设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（23-24 高二下·四川成都·期中）已知
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2024·安徽·三模）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·山西·三模）已知函数
，若
，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
07 利用导数解不等式
6
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24．（23-24 高二下·四川成都·期中）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2024·湖南永州·三模）已知函数
，其中是自然对数的底数.若
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（23-24 高二下·天津·期中）已知定义在
上的奇函数
满足，
，当
时，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（23-24 高二下·河南·期中）已知定义在
上的单调递增函数
满足
恒成立，其中
是函数
的导函数.若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
08 抽象函数与导数
28．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，且有
7
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，且对任意
都有
，则使得
成立的
的取值范
围是 .
29．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，满足
，
，
，当
时，
，则不等式
的解集为 ．
09 用导数解决实际问题
30．（23-24 高三下·上海松江·阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏
斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为
31．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到
污染源距离的平方成反比，比例常数为
.现已知相距18km 的
，
两家化工厂（污染源）的污染
强度分别为
，
，它们连线段上任意一点
处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.若
，且
时，
取得最小值，则
的值为 .
32．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道
相交于点
，一根长度为的直杆
的两端点
分别在
上滑动（
两点不与
点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），
直杆上的点
满足
，则
面积的取值范围是 .
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一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数
，则“
”是“
在
上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数
（ ）
A．是偶函数，且在区间
上单调递增
B．是偶函数，且在区间
上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间
上单调递增
D．既不是奇函数，也不是偶函数
3．（2024·天津红桥·二模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·山东潍坊·三模）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则
不等式
的解集为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2024·江西宜春·三模）已知
，
，
，其中
为自然对数的底数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·山东济南·一模）若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·重庆·二模）设函数
，点
，其中
，且
，则直线
斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·四川达州·一模）已知
，
，若不等式
的
解集中只含有
个正整数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
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9．（2024·山东·模拟预测）已知
分别是定义域为
的偶函数和奇函数，且
，设
函数
，则
（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在
上单调递减
D．在
上单调递增
10．（2023·全国·模拟预测）数学模型在生态学研究中具有重要作用．在研究某生物种群的数量变化时，
该种群经过一段时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线大致呈“S”形，这种类型的种群增长称为“S”形
增长，所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K 值．现有一生物种群符合“S”形增长，初始种群
数量大于0，现用x 表示时间，
表示种群数量，已知当种群数量为
时，种群数量的增长速率最大．
则下列函数模型可用来大致刻画该种群数量变化情况的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上是减函数
D．
在
上是增函数
三、填空题
12．（2024·河北邢台·二模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是 （请用“<”连
接）．
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13．（2024·四川·模拟预测）已知函数
在区间
上不单调，则m 的
取值范围是 .
14．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则下
列说法正确的是 .
①
是奇函数 ②
③
④
时，
四、解答题
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求
在
处的切线；
(2)比较
与
的大小并说明理由.
16．（2024·山东·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)讨论
的单调性．
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
的最小值为
，不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
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(2)若函数
（
为
的导函数），讨论
的单调性.
19．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由
个数
排列成的m 行n 列的
数表
称为
矩阵，其中
称为矩阵A 的第i 行第j 列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵
A 和B，如果4 的列数等于B 的行数，则可以把A 和B 相乘，具体来说：若
，
，则
，其中
.已知
，函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
是
的两个极值点，证明：
，
.
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