《2026初高衔接》[第八讲]——函数概念与有界性_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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函数概念与有界性
函数概念与有界性
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数及其三要素
掌握求定义域、值域的常规方法，
判断两个函数是否相同
数学抽象、数学运算
函数抽象性与解析
理解函数的抽象性，熟练换元、配
凑法求抽象函数
数学抽象、逻辑推理
一函数的概念
初中我们学习了函数的概念与简单的函数．初中函数定义：一般的在一个变化过程中，有两个变量x 和y，
对于x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，称x 为自变量，y 为因变量，y 是x 的函数．
由初中定义出发，y = 100 是函数吗？
显然初中阶段函数的概念侧重变量的运动变化，描述“一个量随着另一个量变化”；我们结合生活中的薪
酬对应重新理解函数．设工作天数为自变量x，当日报酬为因变量y．
变化型对应关系：国庆节来临之际，公司安排加班，加班第1 天薪资100 元，第2 天200 元，第3 天300
元，按此规律递增．随着天数x 改变，报酬y 随之规律变化，且每个确定天数对应唯一报酬，符合函数定义．
固定型对应关系：在正常工作日，每日报酬固定100 元．即便天数x 变化，每日报酬y 始终保持不变．每
个确定天数对应唯一报酬，符合函数定义．
很多同学会误以为“函数必须是变化的”，致使我们忽视了y = 100 这类特殊的函数．但通过这个案例可
以明确：y = 100 也是函数．无论是变化型还是固定型，只要满足“唯一对应”的核心要求，就是函数关系．
我们把范围收束到数集，用更严谨的语言重新定义函数：
函数
设A,B 是非空的实数集，按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有
唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
y = f(x), x ∈A
所有输入值x 组成的集合A 叫作函数f(x) 的定义域．所有输出值y 组成的集合叫作函数f(x) 的值域．
刚刚的薪酬模型，现在可以重新用数集观点定义：
1
2
3
100
200
300
定义域
值域
对应关系f
1
2
3
100
定义域
值域
对应关系f
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高中不再局限于“量与量的变化”，只要满足数集间的唯一对应就是函数，这也是函数走向抽象的起点．
1 (★★☆☆☆)下列对应是从集合A 到B 的函数的是
(
)
A. A = N，B = N，对应关系f：“求平方根”
B. A = R，B = {0，1}，对应关系f：x →y = 1，x≥2
0，x<2

C. A = R，B = Q，对应关系f：x →y =
1
x-3
D. A = N，B = N*，对应关系f：x →y = |x - 2|
1
(★☆☆☆☆)对于函数y = f(x)，以下说法不正确的是
(
)
A. y 是x 的函数
B. 对于不同的x，y 的值可以不同
C. f(a) 表示当x = a 时函数f(x) 的值
D. f(x) 一定可用一个具体的式子表示出来
2
(多选•★☆☆☆☆)下列是函数图象的是
(
)
A.
x
y
B.
x
y
C.
x
y
D.
x
y
3
(★☆☆☆☆)以下一定是y 关于x 的函数的是
(
)
A. y =± x(x > 0)
B. y2= x - 1(x > 1)
C. y =
x ± 1(x > 0)
D. y = 1
x
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二函数三要素
由函数定义可知，两个变量关系要构成函数关系，需要具备以下三个要素：定义域、对应关系f、值域．
函数定义域约束
自变量x 的取值范围叫作函数f(x) 的定义域．目前阶段，函数定义域主要有以下几个约束条件产生：
1 分式的分母不能为零；
2 根号下被开方数大于等于零；
3 零指数幂的底数不能为0
函数对应关系
解析法、表格法和图象法
同一函数
由函数的构成要素：定义域、对应关系和值域．可知值域是由定义域和对应关系决定的，若两个函数
的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．
函数三要素
没有任何约束时函数
的定义域可以取全体
实数，即x ∈R．
要点补注
要点补注
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2 (★★☆☆☆)下列各组函数中为同一函数的是
(
)
A. f(x) =
(x-1)2，g(x) = x - 1
B. f(x) = x2+ 1，g(t) = ( t2+1)2
C. f(x) =
x2-1，g(x) =
x+1 ⋅
x-1
D. f(x) = x，g(x) = x2
x
4 (★☆☆☆☆)求下列函数的定义域
(1) f(x) = 3 - 1
2 x
(2) f(x) = 2 x -
1-7x
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(3) f(x) = (x+1)0
x+2
(4) f(x) =
x+3 +
1
x+2
5
(★★☆☆☆)函数f(x) =
3x+1
2x-1 的定义域是
(
)
A. {x - 1
3 ≤x≤1
2


B.
x - 1
3 ≤x< 1
2



C. {x|x ≤- 1
3 或x > 1
2 }
D. {x|x ≤- 1
3 或x ≥1
2 }
6
(★★☆☆☆)对于函数f:A →B，若a ∈A，则下列说法错误的是
(
)
A. f(a) ∈B
B. f(a) 有且只有一个
C. 若f(a) = f(b)，则a = b
D. 若a = b，则f(a) = f(b)
7
(★★☆☆☆)函数y = 3 - 4x(x ∈(-1，2] 且x ∈Z) 的值域为
(
)
A. [-5，7)
B. {-5，-1，3}
C. (-5，7)
D. {-5．-1，3，7}
8
(★★☆☆☆)下列各组函数中，表示同一函数的是
(
)
A. y = x2-9
x-3 与y = x + 3
B. y =
x2-1 与y = x - 1
C. y = x0(x ≠0) 与y = 1(x ≠0)
D. y = 2x + 1，x ∈Z 与y = 2x - 1，x ∈Z
9
(★★★☆☆)已知集合A = {1，2，3}，B = {4，5}，则从A 到B 的函数f(x) 有
(
)
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
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10 (★★★☆☆)若函数y =
ax+1
ax2-4ax+2
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
(
)
A.
0, 1
2



B.
0, 1
2


C.
0, 1
2



D.
0, 1
2




11 (★★★☆☆)若函数y =
ax2+4x+1 的值域为[0，+∞)，则a 的取值范围为
(
)
A. (0，4)
B. (4，+∞)
C. [0，4]
D. [4，+∞)
12 (★★★☆☆)已知f(x) = 1-x
1+x (x ≠-1)．求：
(1) f(0) 及f f 1
2




的值；
(2) f(1 - x) 及f(f(x)).
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三函数抽象性的初步认识
初中阶段主要学习三类典型函数，仅对函数形成基础认知．通过刚刚对函数的定义和了解，我们能发现，
高中则从抽象视角对所有函数进行整体表达即f(x)．
初中阶段函数用y 表示函数，高中阶段为什么非要引入f x


表示呢？
其一，单纯使用y，无法区分不同函数的特征；而f(x) 可以借助不同的对应关系，区分各类函数的结构．
如：f(x) = x．g x


= x2- 1，h x


= 1
x 等等
其二，初中只用y，本质只聚焦纵轴取值，是单一结果维度．高中f(x) 是二维绑定：x 代表横轴（自变量、
输入值），f 代表对应法则（横到纵的映射规则），合起来f(x) 直接把横坐标、对应规则、纵坐标三者绑定，
完成平面坐标上的完整定位．相比初中阶段更加精准严谨．
如：f(2) 的含义就是x = 2 时对应的函数值．它既明确了横坐标为2，也确定了对应的纵坐标f(2)，能精
准表达这个点在二维平面内的位置．即见到f(2) 便能定位一个点2,f(2)


．
什么是抽象性?
记号f(x) 可以用来指代任意函数．这本身就是一种高度抽象的整体表达．刚刚我们提到了f(x) 可以看出自
变量x 的特征．由此我们可以对自变量作很多改写和变换：如：f 2x


、f x-1


、f x2


．我们将这些没有特
定解析式，只是抽象表达函数概念的符号结构称为抽象函数．
如何深度理解抽象函数f(x)/f 2x


等?
我们把对应法则f 看作一套固定不变的一台加工机器：
- 括号( )：机器的投料口；
- 括号内整体：投入机器的原材料；
- f(原材料)：机器加工后产出的成品（函数值y）．
f(x)/f 2x


二者虽然投入的原材料括号内整体即定义域


不一样两个x并不相同或等价


，但机器的生产
标准已经固定了，它能接受的材料受投料口限制，所以括号的范围要保持一致，然后机器是固定的，所以生产
出来的成品也是一致的，即二者的值域保持不变．由此我们可以知道抽象函数中非常重要的几个特性：
一个确定对应关系f 下：两个抽象表达f A


与f B


存在如下重要性质:
①二者的定义域x 的取值范围不一定一样．但二者的括号范围是一致．
借助此原则，利用A 范围= B 范围，可以求解抽象函数的定义域．
②f A


与f B


的值域相等．
只要对应关系不发生改变，值域不变．这是后面换元法的重要前提．
抽象函数的特性
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3 (★★★☆☆)若函数f(x) 的定义域为[0，3]，则函数g(x) = f(x2-1)
x2-1
的定义域为
(
)
A. (-1，1) ∪(1，8]
B. [-1，1) ∪(1，8]
C. [-2，-1) ∪(-1，1) ∪(1，2]
D. [-2，-1) ∪(1，2]
13 (★☆☆☆☆)已知函数f(x) 的定义域为[-3，0]，
则函数f(2x + 1) 的定义域为
(
)
A.
-2，- 1
2




B. [-3，0]
C.
- 3
2 ，0




D. [-2，1]
14 (★☆☆☆☆)若函数y = f(x) 的定义域为[0，4]，则函数y = f(2x)
x-1 的定义域为
(
)
A. [0，1) ∪(1，2]
B. [0，1)
C. (1，2]
D. [0，1) ∪(1，4]
15 (★☆☆☆☆)已知函数f(2x + 1) 的定义域为(-1，0)，则函数f(x) 的定义域为
(
)
A. (-1，1)
B.
-1，- 1
2


C. (-1，0)
D.
1
2 ，1


16 (★★☆☆☆)已知函数f(3x - 1) 的定义域为[-1，3]，则函数g(x) = f(x+2)
x-3
的定义域为
(
)
A. [-6，3) ∪(3，6]
B. [-3，1]
C. [-1，3)
D. [-2，3) ∪(3，6]
17 (★★☆☆☆)已知函数f(x + 1) 的定义域为(0，2)，则函数f(x) + f(x2- 1) 的定义域为
(
)
A. (1，
2)
B. (1，
3)
C. ( 2，2)
D. (1，8)
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18 (★★★☆☆)设x ∈R，f(0) = 1，对∀x，y ∈R，有f(x - y) = f(x) - y(2x - y + 1)，求f(x) 解析式
19 (★★★☆☆)设f(x) 是定义在R 上的函数，且任意实数x，y 满足f(x - y) = f(x) + f(y) + xy - 1 恒成
立．
(1) 求f(0)，f(1)；
(2) 求函数f(x) 的解析式．
20 (★★★☆☆)已知定义域为R 的函数f(x) 满足：
①f(x + y) = f(x)•f(y) 对任何实数x、y 都成立；
②存在实数x1、x2使，f(x1) ≠f(x2)．
求证：(1) f(0) = 1；
(2) f(x) > 0．
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四函数解析式与换元法(选)
进入高中，常常接触抽象函数方程．这类问题需要对式子进行变形、运算与转化，以此推出f(x) 解析式．
换元法
定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些变量，将问题所给形式化繁为简的方法．
换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初中阶段的代换过于粗糙．由前面对函数的定义可知，我们所
谓的换元法，也是一种函数的对应关系，根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:
换元法的步骤：
1 设出新元(对应关系)；
2 确定新元的范围(定义域、值域)；
3 用新元表示旧元(代换的关键).
换元法完整步骤
此处三个步骤看似很简单，后期
很多学生一做题就只知道设新元，
从来不标新元的范围．一定要把
换元法的完整步骤记完整．
要点补注
要点补注
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函数解析式的求解方法
已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式．
对含两个对应关系描述的解析式(eg:f(x) ± f 1
x


或f(x) ± f(−x))，可用方程组法求出函数解析式．
4 (★★★☆☆)求解下列函数的解析式
1


已知f( x + 1) = x + 2 x，求f(x)
2


g x


满足g x


= 2 x ⋅g 1
x


- 1，求g x


3


已知二次函数f(x) 满足f(0) = 0，且f(x + 1) = f(x) + 2x - 1．求f(x) 的解析式.
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21 (★☆☆☆☆)已知f( x - 1) = x - 2 x，则g(x) = f(x + 1) 的解析式为
(
)
A. g(x) = (x + 1)2- 1(x ≥-2)
B. g(x) = (x + 1)2+ 1(x ≥-1)
C. g(x) = x2- 1(x ≥-1)
D. g(x) = x2+ 1(x ≥0)
22 (★★★☆☆) f(x) 的定义域为(0，+∞)，满足2f(x) - f 1
x


= 2x + 1，则f(x) 的最小值为
(
)
A. 1 + 4 2
3
B. 1 + 2 2
3
C. 1 +
2
3
D. 2 2
3
23 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = x2- 2kx + m．
(1) 若函数f(x) 满足f(0) = f(4) 且f(x) 的最小值为-3，求f(x) 的解析式；
(2) 当m = 2 时，f(x) ≥0 对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围．
24 (★★★☆☆)已知f(x - 2) = x - 1．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 当x ∈[-1，8] 时，求g(x) = 2x -
f(x) 值域
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1 (★☆☆☆☆) f(x) =
x+3 + (x + 2)0 定义域是
(
)
A. [-3，+∞)
B. [-3，-2)
C. [-3，-2) ∪(-2，+∞)
D. (-2, +∞)
2 (★☆☆☆☆)下列四个命题中正确的是
(
)
A. f(x) =
x-2 +
1-x 有意义
B. f(x) 表示的是含有x 的代数式
C. 函数y = 2x(x ∈N) 的图象是一直线
D. 函数y = x2,x≥0
-x2,x<0

的图象是连续曲线
3 (★★☆☆☆)下列函数与y = |x| 表示同一函数的是
(
)
A. y = ( x)2
B. y =
3 x3
C. y = x，x≥0，
-x，x<0

D. y = x2
|x|
4 (★★☆☆☆)已知函数f(x) 的定义域为[-2，2]，则函数g(x) = f(3x) +
x 的定义域为
(
)
A. (0，1]
B.
0，2
3




C.
- 2
3 ，1




D.
0，2
3



5 (★★☆☆☆)已知函数f(x + 2) 的定义域为(-3，4)，则函数g(x) =
f(x)
3x-1 的定义域为
(
)
A.
1
3 ，4


B.
1
3 ，2


C.
1
3 ，6


D.
1
3 ，1


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6 (★★★☆☆)函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，则实数m 的取值范围是
(
)
A.
1
8 ,+∞



B.
1
8 ,+∞


C.
0, 1
8


D.
0, 1
8




7 (★★☆☆☆)已知二次函数f(x) 满足f(x + 1) - f(x) = 2x，f(0) = 1．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) ∀x ∈[-1，3]，f(x) + m > 0 恒成立，求m 的取值范围．
8 (★★★☆☆)已知函数f(x + 1) = x2- x + 3．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 设函数g(x) = (a + 3)x + f(x)，若g(x) 在[-1，2] 上的最小值是1，求a 的取值集合．