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专题15 直线与圆的方程（讲义）
一、直线的方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做
直线l 的倾斜角；
(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α 的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝
tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l 上的两点，则向量P1P2＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行
的向量都是直线的方向向量.若直线l 的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x 轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直
线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均
不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
点法（向）式
已知直线过点
，一个法向量为
，
则直线
的点法（向）式方程为：
；
常用结论：
1.直线的倾斜角α 和斜率k 之间的对应关系：
α
0
0<α<
<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
二、两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都
不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线
斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P 的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P 的坐标是
方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
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(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b 的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
常用结论：
1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂
直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
三、圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝
r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在圆内.
常用结论：
1.圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
四、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l 的距离为d，由消去y(或
x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心距d＝|C1C2|＝.
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距
与半径
的关系
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－2|<d<r1
＋r2
d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
2
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图示
公切线条数
4
0
2
1
3
常用结论：
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r 和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消
去y，得关于x 的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
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