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专题16 数列递推公式归类
目录
题型一：观察归纳型求通项..............................................................................................................................................1
题型二：累加型求通项及应用..........................................................................................................................................2
题型三：累积型求通项及应用..........................................................................................................................................3
题型四：周期型求通项及应用..........................................................................................................................................4
题型五：由sn 求通项.........................................................................................................................................................4
题型六：二阶等比型求通项..............................................................................................................................................5
题型七：二阶f（n）型递推..............................................................................................................................................6
题型八：三阶型递推构造等比..........................................................................................................................................7
题型九：分式型构造等差..................................................................................................................................................8
题型十：分式型构造等比..................................................................................................................................................8
题型十一：分段型求通项及应用......................................................................................................................................9
题型十二：三阶型递推构造等差....................................................................................................................................10
题型十三：裂项型递推....................................................................................................................................................11
题型十四：二阶“和”为f（n）型................................................................................................................................11
题型十五：齐次同构型....................................................................................................................................................12
题型十六：超难构造型求通项........................................................................................................................................13
题型一：观察归纳型求通项
1．（24-25 高三上·广西柳州·阶段练习）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，
7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22
B．50
C．37
D．46
2．（23-24 高二下·北京·期中）数列
的前四项依次是4，44，444，4444，则数列
的通项公式可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·贵州黔南·二模）
，数列1，
，7，
，31，
的一个通项公式为（ ）
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据
与项数
的关系，猜想数列的通项公式，
最后再证明.
1
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A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得
弦）．”意即“勾”
、“股”
与“弦” 之间的关系为
（其中
）．当
时，有
如下勾股弦数组序列：
，
，则在这个序列中，第10 个勾股弦数组中
的“弦”等于（ ）
A．145
B．181
C．221
D．265
5．（23-24 高二下·辽宁大连·阶段练习）数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：累加型求通项及应用
1．（2022·湖南长沙·二模）已知数列{
}满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）数列
、
满足：
，
，
，则数列
的最大项是（ ）
A．第7 项
B．第9 项
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
2
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C．第11 项
D．第12 项
4．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高二下·山东青岛·开学考试）数列
满足
，
，
，则
的整数部分是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
题型三：累积型求通项及应用
1．（24-25 高三上·广东深圳·开学考试）数列
中，
，
，记
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列
对任意
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三上·安徽滁州·阶段练习）已知数列
满足
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
累乘法：
若在已知数列中相邻两项存在：
的关系，可用“累乘法”求通项.
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
3
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4．（22-23 高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列
的前n 项和为
，且
为常数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高二·全国·mn）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，则
（ ）．
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
题型四：周期型求通项及应用
1．（22-23 高二上·河南洛阳·期末）已知数列
满足
=1，
，且
(
)，则数列{
}的前18 项和为（ ）
A．54
B．3
C．
D．
2．（23-24 高二上·浙江宁波）已知无穷正整数数列
满足
，则
的可能值有
（ ）个
A．2
B．4
C．6
D．9
3．（21-22 高三上·河南商丘·阶段练习）设数列
的通项公式为
，其
前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．180
D．240
4．（23-24 高二上·云南昆明·阶段练习）数列
中，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．
5．（23-24 高二下·辽宁葫芦岛）已知函数
，数列
满足
，
常见周期数列：
若数列{a
n}满足
若数列{a
n}满足
若数列{a
n}满足
若数列{a
n}满足
4
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，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
题型五：由sn 求通项
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．190
B．210
C．380
D．420
2．（23-24 高二上·四川成都）若数列
满足
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·浙江）已知数列
的前
项和为
，首项
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·福建三明·）已知数列
，
的前n 项和分别为
，若
，
，
，则
（ ）
A．150
B．100
C．200
D．5050
5．（23-24 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，且
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：二阶等比型求通项
若在已知数列中存在：
的关系，可以利用项和公式
，求数
列的通项.
5
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1．（23-24 高二下·内蒙古呼和浩特）数列{an}满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山东聊城·一模）已知数列
满足
，则“
”是“
是等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2022 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则满足不等式
的
的值
为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（2023 高二上·湖南岳阳）在数列
中，
，
，则
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（21-22 高二上·河南·阶段练习）设数列
满足
，且
，则（ ）
A．
为等比数列
B．
为等比数列
C．
为等比数列
D．
为等比数列
题型七：二阶f（n）型递推
1．（21-22 高二上·河南·阶段练习）在数列
中，
，
，若
，
则n 的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．（22-23 高二上·全国·单元测试）已知数列
满足
= ，
，则数列
的通项公式是
（ ）.
二阶等比构造法有两种方法：
1.形如
为常数）,构造等比数列
。特殊情况下，
当q 为2 时，
=p，
2.形如
，变形为
，新数列累加法即可
二阶f（n）型构造法有两种方法：
1.形如
为常数）,构造等比数列
。
2.形如
，变形为
，新数列累加法即可
6
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A．
B．
C．
D．
3．（浙江省杭州市富阳中学2021-2022 学年高三上学期第一次二校联考数学试题）已知数列{an}的前n 项
和为
，且满足
，数列{bn}的通项
，则使得
恒成立的最小的k 值最接近（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2014 高一·全国）等差数列
满足
为其前
项和，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 河北沧州·一模）已知数列
满足
，
，
.设
，若对于
，都有
恒成立，则的最大值为
A．3
B．4
C．7
D．9
题型八：三阶型递推构造等比
1．（22-23 高三河南南阳模拟）已知数列{an}，{bn}满足
，
，
，
，则使
成立的最小正整数
为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
2．（22-23 高三·全国模拟）已知数列
中，
，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
三阶递推数列
形如
，常凑配系数构等比数列
形如
形如
7
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3．（21-22 高二上·河南商丘·期中）已知数列
满足
，
，
，设
，
有下列四个结论
①
；
②
是等比数列；
③
是等差数列；
④
的通项公式为
．
其中所有结论的序号为（ ）
A．①②③
B．②
C．②④
D．②③④
4．（22-23 高三·全国）已知数列
满足
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·河南郑州·模拟预测）在数列
中，
，则
的前
项和
的
最大值为（ ）
A．64
B．53
C．42
D．25
题型九：分式型构造等差
1．（23-24 高二上·广东湛江·阶段练习）在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．100
2．（23-24 高二下·吉林长春·期中）已知数列
中，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高二下·广东肇庆）已知数列
满足
，
，则数列
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·浙江杭州）若数列
满足递推关系式
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二上·云南昆明）已知数列
中，
且
，则
为（ ）
形如
，可以取倒数变形为
；
8
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A．
B．
C．
D．
题型十：分式型构造等比
1．（23-24 高二下·河北·开学考试）已知数列
满足
，
（
），则满足
的
的最小取值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）设数列{an}的前
项和为
，
，
，若
，则正整数
的值为（ ）
A．2024
B．2023
C．2022
D．2021
4．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列
满足
（
且
），则
与
的比值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
5．（23-24 高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列
满足
，设
的前n 项和为
，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
题型十一：分段型求通项及应用
形如
，可以取倒数变形为
，再构造等比
9
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1．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列{an}满足
，当
时，有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列
的前n 项和为
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·云南曲靖·模拟预测）数列
满足
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知数列
满足
，
，记
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·陕西安康·模拟预测）已知数列
的首项为，
，则数列
的前2023 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十二：三阶型递推构造等差
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
三阶递推型，可以通过凑配系数来构造等比数列。
10
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1．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，其前n 项和为
，则使得
成立的n 的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列
满足
，
且
，若
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·福建·期中）设数列
满足
，
，
，若
表示大于
的最
小整数，如
，
，记
，则数列
的前2022 项之和为（ ）
A．4044
B．4045
C．4046
D．4047
4．（23-24 高三上·山东烟台·期中）斐波那契数列
以如下递归的方法定义:
，若斐波那契数列
对任意
，存在常数
，使得
成等差数列，则
的值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
5．（22-23 高二下·广东佛山·阶段练习）若数列
满足
，且对于
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：裂项型递推
1．（23-24 高二上·甘肃白银·期中）在数列
中，若
，则数列
的前
项中所有有理项之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二上·全国·课堂例题）在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）若数列{an}满足
（
且
），
，则
11
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（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高二下·北京昌平·期中）已知数列
满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十四：二阶“和”为f（n）型
1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则下列说法中错误的是
（ ）
A．若
，则
是等差数列
B．若
，则
是等差数列
C．若
，则
是等比数列
D．若
，则
是等比数列
2．（23-24 高三上·广东佛山·开学考试）已知数列
对任意
满足
，则
（ ）
A．4040
B．4043
C．4046
D．4049
3．（24-25 高二上·全国·课后作业）若公差为d 的等差数列
满足
，则下列结论错误的为
（ ）
A．数列
也是等差数列
B．
满足
，称为“和”数列，常见如下几种：
1.“和”常数型：
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：
，则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
12
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C．
D．13 是数列
中的项
4．（2024·全国·模拟预测）若数列
满足对任意的
均有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（19-20 高三上·贵州·期末）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an+1+an＝3n（n∈N*），则a2020的值等于
（ ）
A．2020
B．3028
C．6059
D．3029
题型十五：齐次同构型
1．（23-24 高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列
满足
，且
，则数列
的前101 项中能被整除的项数为（ ）
A．42
B．41
C．40
D．39
2．（20-21 高二上·河南·阶段练习）已知数列{an}的首项
，且满足
，则
{an}中最小的一项是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·河南·阶段练习）在数列
中，
，则“
”是“
是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（19-20 高三上·浙江·阶段练习）设无穷数列{an}满足
，
，
，若{an}为周期数列，则pq 的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
5．（2022 高三·全国·专题练习）数列
满足
，
，若
，且数
列
的前
项和为
，则
（ ）
A．64
B．80
C．
D．
通过齐次型同除，或者因式分解等，构造结构相同的递推数列求解
13
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题型十六：超难构造型求通项
1．（23-24 高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知数列
满足
，且
，数列
的
各项均不为0，且
.若
，则
.
2．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在
中，
是
边上一点，且
，
为直线
上一点列，满足：
，且
，则
，
设数列
，则
的通项公式为 .
3．（22-23 高二上·河南开封·阶段练习）已知数列
中，
，
，
，
设
，则数列
的前40 项的和为（ ）
A．860
B．820
C．
D．
4．（2021·全国·模拟预测）在数列
中，
，
，若
，则实数
的不同
取值的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高一上海浦东新·）已知数列
满足：
，若
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14
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15
