文档文本内容
第 44 讲 圆锥曲线的综合应用
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程 ( 不同时为0)代入圆锥
曲线C的方程 ，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
由 消去y，得 .
(1)当 时，设一元二次方程 的判别式为 ，则：
直线与圆锥曲线C相交；
直线与圆锥曲线C相切；
直线与圆锥曲线C相离．
(2)当 时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2.弦长公式
设斜率为 的直线l与圆锥曲线C相交于 两点， ，则
或
.
3.中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以 为中点的弦所在直线的斜率为 ，其中 ，
为弦 的端点坐标．
在椭圆 中，中点弦所在直线的斜率 ;
在双曲线 中，中点弦所在直线的斜率 ;在抛物线 中， 中点弦所在直线的斜率 .
考点一 弦长问题
考点二 面积问题
考点三 中点弦问题
考点四 定点问题
考点五 定值问题
考点一：弦长问题
例1．已知焦点在y轴上的椭圆C，过点 ，离心率 直线l: 被椭圆C所截得的弦长为
，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数 的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.
（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.
【详解】（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点 ，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为 ，
由离心率 得： ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程是 .
（2）由 消去y并整理得： ，
有 ，即 ，设直线l被椭圆C所截弦的端点 ，于是 ， ，
解得 ，满足条件，
所以 .
考点二：面积问题
例2．设直线 与抛物线 相交于 两点，且 .
(1)求抛物线方程；
(2)求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消元得出韦达定理，将 表示为坐标形式，列方程化简计
算，可得抛物线方程；
（2）利用三角形的面积公式，结合韦达定理，根据 的取值，得出面积的最小值．
【详解】（1）设直线与抛物线交于点 ，
联立 得 ，显然 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，代入得
解得 ，
所以抛物线方程为
（2）因为直线 过定点 ，
所以 ，
当且仅当 时， 的面积取得最小值为
考点三：中点弦问题例3．已知椭圆 ： （ ）上任意一点 到两个焦点的距离之和为 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作直线 交椭圆于 ， 两点，点 为线段 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出 ，再由离心率求出 ，根据 求出 ，即可求得椭圆
的标准方程；
（2）使用点差法进行求解即可.
【详解】（1）由椭圆的定义知， ，∴ ，
又∵椭圆的离心率 ，∴ ，
∴ ，
∴椭圆 的标准方程为 .
（2）∵ 为椭圆 内一点，∴直线 与椭圆必交于 ， 两点，
设 ， ，当 时，不合题意，故 ，
∵ 为线段 的中点，∴ ，∴ ，
又∵ ， 均在椭圆上，∴ ，
两式相减，得 ，即 ，
∴ ，∴ ，即 ，∴直线 的方程为 ，即 ．
考点四：定点问题
例4．已知点 ，直线 交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段
MF的垂直平分线交于点P．
(1)求点P的轨迹C的方程：
(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且 ，证明直线AB必过定点，并求出该定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据抛物线定义写出点P轨迹C的方程；
（2）设 ，联立抛物线应用韦达定理，根据向量数量积的坐标表示列方程求
参数b，即可证直线过定点及其坐标.
【详解】（1）由题意 ，则点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以轨迹方程 .
（2）设直线 ，
联立 ，而 ①，
∴ ，则 ，
由 ，即 满足①式，
∴直线 ： 必过点 .
考点五：定值问题
例5．已知椭圆 ，离心率 ，过点 ．
(1)求 的方程；(2)直线 过点 ，交椭圆与 两点，记 ，证明 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立方程组求出 即可；
（2）由题意知直线 的斜率存在，联立方程组消元，利用韦达定理及直线斜率公式证明即可.
【详解】（1）由题得 ，解得 ，
于是 ；
（2）由题意知直线斜率存在，
设直线 ，联立方程即 ，
消 可得 ，
由 ，
设 ，
韦达定理可得 ；综上所述： .
1．已知椭圆 中， ，离心率 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于 、 两点，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到 ，再结合 ，即可求解；
（2）设 ， ，联立直线与椭圆方程消 得到关于 的方程，利用韦达定理和弦长公式，即
可求解.
【详解】（1）由题知 ， ，即 ，
又 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）设 ， ，
联立直线与椭圆方程得 ，整理得 ，
则 ， ， .
所民认
.
2．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率
为 ， 为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆 的左焦点且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两 、 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率得到 ，再由直线 的斜率求出 ，即可求出 、 ，从而得解；
（2）首先求出直线 的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得.
【详解】（1）解：由离心率 ，则 ，右焦点 ，
直线 的斜率 ，解得 ， ，
所以 ，
椭圆 的方程为 ；
（2）解：由（1）可知椭圆的左焦点 ，则直线 的方程为 ，由 ，解得 或 ，不妨令 、 ，
所以 .
3．已知双曲线 的渐近线为 ，抛物线 的焦点为F，点
在抛物线 上，且 ，抛物线 交双曲线 的两条渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线 的离心率；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)48
【分析】（1）结合抛物线的定义，列出方程，求得 的值，即可得到本题答案；
（2）联立渐近线方程和抛物线方程，求得点 和点 的坐标，即可得到本题答案.
【详解】（1）由题意．双曲线 的渐近线为 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率 ．
（2）抛物线 的准线方程为 ，所以 ，解得 ，所以 的方程为
，焦点为 ，不妨设A在左侧，B在右侧，
联立 得 ，所以 ，直线 的方程为 ，
所以点F到直线 的距离为8，所以 的面积为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，
B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；
(2)求证： ABO与 MNO的面积之比为定值．
【答案】(△1)y2＝4x △
(2)证明见解析
【分析】（1）由焦点坐标得焦参数 ，从而得抛物线方程；
（2）直线垂直于x轴时直接求出面积比，直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，
y)，N(－2，y)，A(x，y)，B(x，y)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得 ，然后计算面积比可得．
1 1 2 2
【详解】（1）由焦点坐标可知， ＝1，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
（2）证明：当直线垂直于x轴时， ABO与 MNO相似，
△ △
所以 ＝( )2＝ .
当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，y)，N(－2，y)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由 得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以xx＝1，
1 2
所以 ＝ ＝ ＝ · ＝ ，综上， ＝ .
5．已知抛物线 是抛物线 上的点，且 .
(1)求抛物线 的方程；(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 的长，由几何知识即可求出抛物线 的方程；
（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据 的中点即可求出
直线 的方程.
【详解】（1）由题意，
在抛物线 中， ，
由几何知识得，
，
解得： ，
故抛物线 的方程为： .
（2）由题意及（1）得，
直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，
则 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
因为 的中点为 ，
∴ ，
∴直线 的方程为： ，即 ，经检验，满足题意.
6．双曲线C的焦点与椭圆 的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为 ，求此弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距 ，再由准线方程求得 ，从而可得 ，然后可得双
曲线方程．
（2）设弦的两端分别为 ， ，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得
弦所在直线斜率，从而得直线方程．
【详解】（1）∵椭圆 的焦点为 ， ∴
∵一条准线方程为 ， ，解得 ，∴ ，
∴双曲线 的方程为 ．
（2）设弦的两端分别为 ， ．则有：
．
弦中点为 ， ．
故直线的斜率 ．
则所求直线方程为： ．7．已知椭圆 的右焦点为 ，A、B分别是椭圆 的左、右顶点， 为椭圆
的上顶点， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 ，若直线 的斜率与直线 的斜率
互为相反数，求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得 ，据此可求得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合 ，可得m与k的关系即可得直线恒过的
定点.
【详解】（1）由题知 ， ， ， ，
由 的面积为 ，得 ，
又 ，代入可得 ， ，∴椭圆 的方程为 .
（2）联立 得 ，
设 ， ，可得 ， ，
由题知 ，
即 ，
即 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，故直线 恒过定点 .8．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，抛物
线C过点 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且 ，证明：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入抛物线即可求解；
（2）设 ，直线l的方程为 ，将直线l与抛物线进行联立可得
，结合 可得 ，即可求证
【详解】（1）因为抛物线C过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线C的标准方程为 ．
（2）设 ，直线l的方程为 ，
联立 ，化为 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
解得 ，满足 ，
∴直线l的方程为 ，∴直线过定点 ．
9．已知椭圆 .
(1)若直线 与椭圆 相交于 两点，椭圆内一点 是线段 的中点，求直线 的方程；
(2)已知 分别为椭圆 的左右顶点，点 是椭圆上异于 的一个动点，求直线 的斜率与直线
的斜率之积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，利用“点差法”即可求出直线 的斜率，从而可得出直线 的方程；
（2）设 ，则 ，直接计算直线 与直线 的斜率之积，得出定值即可.
【详解】（1）设 ，
由题意得 ，两式相减得 ，
即 ，
所以直线 的斜率 .
因为点 是线段 的中点，则 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .（2）设 ，则 ，所以 ，
∵ ，所以
所以直线 与直线 的斜率之积为定值 .
10．已知椭圆C： 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，O为
坐标原点，OB的中点为D（D在 的左方）， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是 ， ，试问
是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 是定值，定值为 .
【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出 ，可得椭圆的标准方程；
（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为 ，代入 ，设 ， ，根据韦
达定理得 和 ，再利用斜率公式得 ，代入 和 ，化简可得 .
【详解】（1）依题意， ， ， ， ，
所以 ，
所以椭圆C的标准方程为： .
（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为 ，联立 ，消去 并整理得 ，
，
设 ， ，
则 ， ，
所以
.
所以为定值.
