基本不等式专项训练
考点目录
利用基本不等式求代数式最值
利用基本不等式求解三角形中的最值问题
利用基本不等式求函数中的最值问题
利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题
基本不等式的实际应用
1．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知,
0
a b
且
1
ab = ，则
1
1
a
b
+
+
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．2 2
D．8
2．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）已知
0
a
，
0
b
，则
2
2
2
3
12
a
b
b
a
+
+
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．12
D．24
3．（24-25 高二下·江西九江·期末）设0
1
m
<
< ，若
2
1
4
8
1
k
k
m
m
+
³
-
-
恒成立，则k 的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．－1
D．－2
4．（25-26 高二上·河北衡水·开学考试）已知正数,a b 满足9
27
3
a
b
´
=
，则3
2
a
b
+
的最小值为（ ）
A．9
B．12
C．18
D．24
5．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）若
0
x
，则
2024
x
a
x
+
³
恒成立的一个充分条件是（ ）
A．
80
a
B．
80
a <
C．
100
a
D．
100
a <
6．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试·多选）已知x，y 为正实数，
4
x
y
+
=
，则（ ）
A．xy 的最大值为4
B．
x
y
+
的最小值为2 2
C．3
4
x
y
+
的最小值为3
D．
2
2
1
1
x
y
+
+
的最小值为16
考点一
利用基本不等式求代数式最值
7．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知正实数a，b 满足
2
a
b
+
³
，则（ ）
A．
1
³
ab
B．
2
2
2
a
b
+
³
C．1
1
2
a
b
+
³
D．2
2
4
a
b
+
³
8．（25-26 高二上·云南·开学考试·多选）已知正数a，b 满足
2
2
3
a
b
ab
+
=
- ，则（ ）
A．b 的取值范围是1 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
B．ab 的最小值为9
2
C．
1
a
a
+
的最小值为2
D．2a
b
+
的最小值11
2
9．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知
0
x
，
0
y
，则
2
2
y
x
y
x
y
+
+
的最小值为 .
10．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知
0
a
，
0
b
，且
1
a
b
+
= ，则
1
b
a
b
+
的最小值为
．
11．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）若实数,x y 满足
2
2
1
4
2
x
x
y
y
+ -
+
-
=
，则
1
4
2
x
y-
+
的最小值
为
．
12．（25-26 高三上·陕西·阶段练习）已知
0,
0
a
b
，且2
3
3
a
b
+
= ．
(1)求ab 的最大值；
(2)求
1
6
a
b
-
的最大值；
(3)求2
3
1
a
b
+
+ 的最小值．
1．（25-26 高二上·黑龙江·开学考试）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2
2
2
2a
b
c
=
+
，则A
的最大值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
2．（25-26 高二上·安徽·阶段练习）在锐角
ABC
V
中，已知
2
2
2
1 sin
cos
cos
2
B
A
C
=
-
，则
1
1
1
tan
tan
tan
A
B
C
+
+
的最小值
为（ ）
A．
3
B．13
2
C．13
3
D．13
3．（25-26 高三上·山东济南·开学考试·多选）已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
内角, ,
A B C 的对边，下面四个结论正确的是
（ ）
A．若cos
cos
a
A
b
B
=
，则
ABC
V
为等腰三角形
B．在锐角
ABC
V
中，不等式sin
cos
A
B
恒成立
C．若
π ,
2 3
3
B
a
=
=
，且
ABC
V
有两解，则b 的取值范围是
2,2 3
D．若
120
ABC
Ð
=
° ，
ABC
Ð
的平分线交AC 于点D ，
1
BD = ，则4a
c
+ 的最小值为9
4．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）在
ABC
V
中，D 为AC 的中点，且
2
BD = ，若AB
AC
=
，则当BC CD
×
取得
最大值时，cosA =
.
5．（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）已知在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2π
3
A =
，角A 的平
分线交BC 边于点D.若
1
AD = ，则4b
c
+
的最小值为
.
考点二
利用基本不等式求解三角形中的最值问题
6．（25-26 高三上·山东·开学考试）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
(1)求A ；
(2)若
ABC
V
的面积为4 3 ，且∠BAC 的平分线交边BC 于点D，求AD 的最大值．
7．（24-25 高三上·云南大理·开学考试）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且3
3 cos
a
b
C
c
-
=
.
(1)求cosB ；
(2)若
ABC
V
的面积为3 2 ，求b 的最小值.
8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
9．（25-26 高三上·河北·开学考试）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
3sin
sin
cos
sin
sin
sin
C
A
C
A
B
C
+
=
+
.
(1)求角A ；
(2)若
ABC
V
边BC 上的中线AD 的长度为2 3 ，求
ABC
V
面积的最大值．
10．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形ABC 中，记a
b
c
，，分别为内角A
B
C
，，
的对边，
3
sin
2
a
B
c
=
．
(1)求
1
1
tan
tan
A
B
+
的值；
(2)求角C 的最大值．
11．（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，O 为其外心，且满足
AO BC
BO CA
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur .
(1)证明：
2
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)求角C 的最大值.
12．（25-26 高二上·山东日照·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且满足
2 cos
c
b
A
b
-
=
．
(1)求证：
2
A
B
=
；
(2)若
3
cos
4
2
4
B
a
c
=
+
=
,
，求b ；
(3)求3
cos
b
c
b
B
+
的最小值．
13．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）已知在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且满足
tan
tan
2
tan
B
C
a
B
b
+
=
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
ABC
V
的外接圆半径为1，求
ABC
V
面积的最大值.
1．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）设函数
ln
1
f x
x
a
b
x
=
-
-
-
，其中
0,
0
a
b
，若
0
f x ³ 恒成立，则
2
2
a
b
+
的最小值是（ ）
A．
2e
2
B．
2e
4
C．
2e
D．
2
2e
2．（24-25 高一下·广东汕头·期末）已知
1
1
,
x y
和
2
2
,
x
y
是函数
2x
y =
图象上的两点，则（ ）
A．
1
2
1
2
2x
x
y
y
+
+
³
B．
1
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
+
+
£
C．
1
2
1
2
1
1
1
1
2
4
4
2
x
x
x
x
y y
-
-
+
-
³
+
+
D．
1
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
+
+
³
3．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知
,
m n 是正实数，若函数
( )
ex n
f x
-
=
的图象与
( )
g x
x
m
=
+
的图象相切，
则 1
2
m
n
+
的最小值是（ ）
A．2 2
B．3
2 2
+
C．1
2
+
D．3
4．（24-25 高二下·云南丽江·期末）若
1
a ，设函数
4
x
f x
a
x
=
+
-
的零点为m ，
log
4
a
g x
x
x
=
+
-
的零点为
n ，则1
1
m
n
+
的取值范围（ ）
A．7 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
B．
1,+¥
C．
4,+¥
D．9 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
5．（25-26 高三上·安徽·阶段练习·多选）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
1
4ln
ln
y
x
x
=
+
B．
2
y
2
2
x
x
-
=
+
C．
8
8
y
x
x
=
+
+
-
D．
2
2
2
3
2
x
y
x
+
=
+
6．（25-26 高二上·湖南益阳·开学考试）直线
1
0
0,
0
ax
by
a
b
+
- =
经过函数
3
2
log
1
4
2
x
f x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
图
考点三
利用基本不等式求函数中的最值问题
象的对称中心，则2
1
a
b
+
的最小值为
.
7．（24-25 高三下·山东·阶段练习）设函数
( )
(
)(
)(
)
f x
x
a x
b x
c
=
-
-
-
，其中0
a
b
c
<
<
<
，若
(
1)
(4
)
0
f x
f
x
-
×
-
£
，求
2
4
b
a
a
c
+
的最小值
．
8．（24-25 高二下·福建三明·期末）已知函数
x
f x
a
=
（
0
a
，且
1
a ¹ ）.
(1)若
1
e
f
=
，求函数
f x 在点
ln 2,
ln 2
f
处的切线方程；
(2)已知0
1
a
<
< ，若关于x 的不等式
2
2
1
3
f
mx
f
x
f
x
£
+
+
在区间
1,2 上有解，求实数m 的取值范围.
9．（24-25 高一下·甘肃平凉·开学考试）已知
2
log
2
1
2
a
f x
x
a
x
a
é
ù
=
-
+
+
-
ë
û ，（
0
a
且
1
a ¹ ）
(1)求函数
f x 的定义域A ；
(2)若
1
0, 2
a
æ
ö
ç
÷
è
ø，函数
f x 的最小值为2，求a 的值；
(3)在（2）的条件下，存在x
A
，使得不等式
1
1
4
4
3
28
2
2
x
x
x
x
m
m
-
+
-
+
-
-
£
-
成立，求m 的取值范围．
10．（2025·四川自贡·三模）函数
1
2ln
f x
x
x
x
=
-
+
(1)求
f x 的单调区间；
(2)设
*
nN ，证明：
1
1
1
ln2
1
2
1
n
n
n
<
+
+
+
+
-
L
；
(3)若
2
1
0
x
x
，
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
ln
x
x
x x
x x
+
=
+
，比较
3
3
1
2
x
x
+
与2 的大小，并说明理由.
11．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）已知函数
e
e
R .
x
x
f x
t
t
-
=
+
(1)若曲线
y
f x
=
在
0
x =
处的切线平行于直线
0
x
y
+
=
，求t 的值以及函数
f x 的最小值；
(2)证明：对一切的a，
0
b
，a
b
¹
，都有ln
ln
2
a
b
a
b
a
b
-
+
<
-
；
(3)当
0
t =
时，若曲线
y
f x
=
与曲线
2
2
e
y
px p
=
存在两交点A、B，记直线AB 的斜率为k，证明：
.
k
p
<
1．（2025·江西·模拟预测）已知l 为抛物线
2
y
x
=
的切线，且l 交圆
2
2
:
(
1)
4
M x
y
+
-
=
于
,
A B 两点，则AB 的最大值
是（ ）
A．2 3
B．13
C．15
D．4
2．（24-25 高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆
1
C ：
2
2
4
x
y
+
=
和圆
2
C ：
2
2
2
2
4
x
y
-
+
-
=
，若点
,
(
0,
0)
P a b
a
b
在两圆的公共弦上，则1
9
a
b
+
的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．（24-25 高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆
2
2
1
3
2
x
y
+
= ，焦点是
1F ，
2F ，动点P 在椭圆上，则
1
2
cos
F PF
Ð
的
最小值（ ）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．1
6
4．（24-25 高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，椭圆存在一点
P ，若
1
2
120
F PF
Ð
=
o ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．
2
3
,
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
B．1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
3 ,1
2
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
D．1
3
,
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
5．（24-25 高二下·河南周口·阶段练习）已知
1
2
,
F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点.若
1
2
60
F PF
°
Ð
=
，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ）
A．
3
4
B．
3
2
C．1
D．
3
6．（2025·湖北襄阳·模拟预测·多选）若双曲线C ：
2
2
1
8
y
x -
= 的左，右焦点分别为
1F ，
2F ，过C 的右支上一点P
考点四
利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题
作圆
2
2
3
1
x
y
-
+
= 的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．若
1
2
0
PF PF
×
=
uuur uuuur
，则
1
2
PFF
V
的面积为8
B．若Q 为圆
2
2
3
1
x
y
-
+
= 上的一动点，则
2
PF
PQ
+
的最小值为3
C．PA PB
×
uuur uuur 的最小值为2 2
3
-
D．四边形
2
PAF B 面积的最小值为
3
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
9
4
x
y
C
+
= 的两个焦点，点M 在C 上，则
1
2
1
1
MF
MF
+
的最小
值为
.
8．（24-25 高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
m
n
m
n
+
=
与双曲线
2
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
有共同
的焦点
1F ，
2F ，点P 为两曲线的一个公共点，且
1
2
60
F PF
Ð
=
o ，椭圆的离心率为
1e ，双曲线的离心率为
2e ，那么
2
2
1
2
e
e
+
的最小值为
.
9．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）已知直线
1
2
y
x
=
与双曲线
2
2
2
:
1
0
2
x
y
C
a
a -
=
相交于A ，B 两点，且A ，B 两
点的横坐标之积为
8
3
-
．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2) M 是双曲线C 上的一个动点，过M 作C 的渐近线的两条垂线，垂足分别为D ，E ，求四边形MDOE 周长的最
小值．
10．（24-25 高二下·河南新乡·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
的离心率为
3
2
，过点( 2,0)
-
的直线1l 交
E 于,
B C 两点，当1l
y
^
轴时，|
| 4 2
BC =
．
(1)求E 的标准方程；
(2)设点O 为坐标原点，
0
0
,
P x
y
为E 上一点，且P 在第一象限，过点P 的直线
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
+
= 交x 轴y 轴分别于
点,
S T ，且当点P 与点A 重合时，OST
V
的面积最小．
（ⅰ）求点A 的坐标；
（ⅱ）记
ABC
V
的垂心为点H，求点H 的横坐标的最小值．
11．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知
,
A B 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
的左、右顶点，
6 2,
,
ab
M N
=
均为
椭圆C 上异于顶点的点，H 为椭圆C 上的点，直线HM 经过左焦点
1F ，直线HN 经过右焦点
2 1,0
F
．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)试问
1
2
1
2
HF
HF
MF
NF
+
是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)设
HMN
△
的面积与
1
2
HF F
V
的面积分别为
1 2
,
HMN
HF F
S
S
V
V
，求
1 2
HMN
HF F
S
S
V
V
的最小值．
12．（24-25 高二下·安徽·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且
1
2
4
F F =
.
(1)求C 的实轴长与虚轴长之积的最大值.
(2)若过点
2F 的直线与C 的右支交于P，Q 两点，直线
1
PF 与y 轴交于点
2
,
A PAF
V
的内切圆与边
2
AF 相切于点B ，且
|
| 1
AB = .
（i）求C 的方程；
（ii）记
1
2
PFF
V
的内切圆面积为
1
1
2
,
S
QF F
V
的内切圆面积为
2S ，求
1
2
S
S
+
的取值范围.
1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平
方向上速度为v （单位：米/秒）时的跳跃高度H （单位：米）满足
2
2
4
1
H
v
Hv
= -
，则该类昆虫的最大跳跃高度为
（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
2．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的
方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单
位：米）近似满足
2
2
4
1
H
v
Hv
= -
的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2 米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7 米
3．（24-25 高二下·广西南宁·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g 黄金，
售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘
中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数
（ ）
A．大于10 克
B．等于10 克
C．小于10 克
D．与砝码放置顺序有关
4．（24-25 高二下·河北保定·期末）若要用铁皮制作一个容积为
3
4π m
3
的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最
小值为（ ）
A．
2
2 2πm
B．
2
2 3πm
C．
2
4πm
D．
2
2 5πm
5．（25-26 高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品
价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一
定．购物方式比较经济的是第
种，针对上述现象，对于任意两个正实数a ，b ，可得到不等关系
是
．
考点五
基本不等式的实际应用
6．（24-25 高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，利用一堵长8m，高3m 的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于
空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900 元/m2，仓库底面的建造成本为600 元
/m2．整个仓库的建造成本预算为32400 元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为
m3．
7．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色
发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3 米，宽度为
6,10
x
（单位：米），
地面面积为81 平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200 元，屋顶和地面报价共计7200 元，总计报价记为
P x ；
方案二：其给出的整体报价为
3
1200
1
f x
m x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 元，
0
m
(1)当宽度为8 米时，方案二的报价为29700 元，求m 的值；
(2)求
P x 的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的
6,10
x
时，方案二都比方案一省钱，求m 的取值范围.
8．（24-25 高一下·甘肃兰州·阶段练习）2025 年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人
研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形ACDE 中，在点A
处放置机器狗，在AC 的中点B 处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知
8
AC =
米，足球运
动速度为v 米/秒，设机器狗在点F 处捕捉到足球，若点F 在矩形ACDE 内（含边界），则捕捉成功．记足球和机
器狗的运动方向与AC
uuur
所成夹角分别为
π
(0
π),
0
2
a
a
b
b
æ
ö
£
£
£
£
ç
÷
è
ø ．
(1)当AE 长度不受限制，
π
3
a =
时，机器狗以3v 米/秒的速度捕捉足球，则b 为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为π ,
3 AE 长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动
的总路程的最大值．
9．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）国家规定：中小学校每年组织一次在校学生乙肝病毒筛查体检.某学校现有
学生4000 名，假设每名学生携带乙肝病毒的概率是
%
m
，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者.如果对
每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000 次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k
个人进行分组，将各组k 个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性；如果混合血样呈
阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性
还是阳性相互独立.
(1)若
0 4
m = . ，记每人血样平均化验次数为X ，当k 取何值时，X 的数学期望最小；
(2)若
0.8
m =
，设每人血样单独化验一次费用5 元，k 个人混合化验一次费用共
4
k +
元.求当k 取何值时，每人血样
平均化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.
参考数据及公式：10
3.16
»
，
*
1
1
,
2,
0.01
n
x
nx n
n
x
+
» +
³
£
N
.
10．（25-26 高二上·辽宁·阶段练习）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y
（千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为
2
144 ,
0,30
379
144
,
30,
58
1225
v v
y
v
v
v
v
¥
ì
ïï
= í
ï
+
ï
-
+
î
.
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过9 千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位）
11．（24-25 高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的
麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，经测量
2
AB
BC
CD
=
=
=
，
2 2
AD =
．
(1)霍尔顿发现无论BD 多长，
2cos
cos
A
C
-
为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增
大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记
ABD
△
与
BCD
△
的
面积分别为
1S 和
2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求
2
2
1
2
S
S
+
的最大值；
(3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD 的长度平方成正比，比例系数为k ，而总收益与
2
2
1
2
S
S
+
成正比，比例系
数为m （其中
0
k
，
0
m
，
10
4
12
8 2
16
m
k
m
-
-
<
<
）.若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的
BD 长度，并写出此时的最大净收益表达式．
12．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校举行了一场知识竞赛，有A
B
、两类题型，每道A 类题有两道小
题，每位同学答对这两题的概率分别为
0p 、
1p ，两道小题全对可得50 分，否则得0 分. B 类题为25 分，只有一个
小题，每位同学答对的概率为
0
0
0
q
p
q
£
，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A
类题两道B 类题；方案二：选择答两道A 类题.
(1)若
0
1
1
p
p
+
= ，对于方案二，试探究
0p 取何值时，满分的概率最高；
(2)若
0
0
1
1
1
,
2
4
p
q
p
=
=
=
，求选择方案一学生得分的分布列；
(3)若
1
0
0
0
0
1 2
,2
1
p
p q
p
q
= -
+
= ，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道A 类题只需答对任意一道小题即可
得50 分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题.
