基本不等式专项训练
考点目录
利用基本不等式求代数式最值
利用基本不等式求解三角形中的最值问题
利用基本不等式求函数中的最值问题
利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题
基本不等式的实际应用
1．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知,
0
a b
且
1
ab = ，则
1
1
a
b
+
+
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．2 2
D．8
【答案】A
【详解】由题意有
1
1
1
2
2
2
4
a
b
ab
a
b
a
b
ab
+
+
=
+
+
+ =
+
+
³
+
=
，
当且仅当
1
a
b
=
= 时，等号成立，
则
1
1
a
b
+
+
的最小值为4 .
故选：A.
2．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）已知
0
a
，
0
b
，则
2
2
2
3
12
a
b
b
a
+
+
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．12
D．24
【答案】D
【详解】因为
0
a
，
0
b
，
则
2
2
2
2
2
2
3
3
12
12
9
2
2 12
6
2 12 12
24
a
a
b
b
a
b
a
b
a
a
+
+
æ
ö
+
³
×
=
´
+
+
³
´
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2
2
2
3
12
9
a
b
b
a
a
a
ì
+
=
ïïí
ï =
ïî
时取等号，即
2
3
a
b
=
=
时.
故选：D.
3．（24-25 高二下·江西九江·期末）设0
1
m
<
< ，若
2
1
4
8
1
k
k
m
m
+
³
-
-
恒成立，则k 的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．－1
D．－2
【答案】C
【详解】因为
1
4
1
4
1
4
1
5
5
2 4
9
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
-
æ
öé
ù
+
=
+
-
+
=
+
+
³
+
=
ç
֑
û
-
-
-
è
ø
，当且仅当
1
3
m =
时取等号，
考点一
利用基本不等式求代数式最值
所以
2
9
8
k
k
³
-
，解得1
9
k
- £
£
，
所以k 的最小值为1
- .
故选：C.
4．（25-26 高二上·河北衡水·开学考试）已知正数,a b 满足9
27
3
a
b
´
=
，则3
2
a
b
+
的最小值为（ ）
A．9
B．12
C．18
D．24
【答案】D
【详解】
2
3
2
3
9
27
3
3
3
3
a
b
a
b
a
b
+
´
=
´
=
=
，所以2
3
1
a
b
+
= ，
因为a，b 为正数，
所以
2
3
4
9
4
9
3
2
3
2
12
12
2
24
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
³
+
´
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当4
9
b
a
a
b
=
时，即
4
a =
，
6
b =
时，等号成立，
所以3
2
a
b
+
的最小值为24 .
故选：D.
5．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）若
0
x
，则
2024
x
a
x
+
³
恒成立的一个充分条件是（ ）
A．
80
a
B．
80
a <
C．
100
a
D．
100
a <
【答案】B
【详解】当
0
x
时，
2024
2 2024
4 506
x
x
+
³
=
，当且仅当
2024
x =
时等号成立，
因为
2024
x
a
x
+
³
恒成立，所以
4 506
a £
，
因为
2
22
484
=
，
2
23
529
=
，
其中22
506
23
<
<
，所以88
4 506
92
<
<
，
结合各选项知
2024
x
a
x
+
³
恒成立的一个充分条件为
80
a <
.
故选：B.
6．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试·多选）已知x，y 为正实数，
4
x
y
+
=
，则（ ）
A．xy 的最大值为4
B．
x
y
+
的最小值为2 2
C．3
4
x
y
+
的最小值为3
D．
2
2
1
1
x
y
+
+
的最小值为16
【答案】AD
【详解】A 选项，因为,x y 为正实数，
4
x
y
+
=
，则
2
(
)
4
4
x
y
xy
+
£
=
，当且仅当
2
x
y
=
=
时取等号，故A 选项正
确；
B 选项，
2
2
4
2
4
2 4
8
x
y
x
y
xy
xy
+
=
+
+
=
+
£
+
=
，当且仅当
2
x
y
=
=
时取等号，所以
x
y
+
的最大值
为2 2 ，故B 选项错误；
C 选项，因为
4
x
y
+
=
，则
1
1
4 x
y
+
= ，故3
4
3
4
3
4
3
7
1
3
4
4
4
4
4
4
x
x
y
x
y
x
y
y
x
y æ
ö
+
=
ç
æ
ö
è
+
=
è
+
+
+
+ ³
÷ø
ç
ø
+
÷
，当且仅当
8 3
12,
16
8 3
x
y
=
-
=
-
时取等号，故C 选项错误；
D 选项，因为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1
)
1
2
1
x
x
y
x y
x
y
x y
y
xy
+
+
+
+
=
-
+
=
+
+
+
2
2
2
2
17
1
16
x y
xy
xy
=
-
+
=
-
+
，因为
4
xy £
，
所以
2
1
16
16
xy -
+
³
，所以
2
2
1
1
x
y
+
+
的最小值为16，故D 选项正确.
故选：AD
7．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知正实数a，b 满足
2
a
b
+
³
，则（ ）
A．
1
³
ab
B．
2
2
2
a
b
+
³
C．1
1
2
a
b
+
³
D．2
2
4
a
b
+
³
【答案】BD
【详解】对A：取
2
a =
，
0.1
b =
，此时
2.1
2
a
b
+
=
，但
0.2
1
ab =
< ，故A 错误；
对B：
2
2
2
4
2
2
2
a
b
a
b
+
+
³
=
=
，当且仅当
1
a
b
=
= 时，等号成立，故B 正确；
对C：取
2
a =
，
2
b =
，此时
4
2
a
b
+
=
，但1
1
1
2
a
b
+
= <
，故C 错误；
对D：
2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
4
b
b
b
a
a
a+
=
+
³
³
=
×
，
当且仅当
1
a
b
=
= 时，等号成立，故D 正确.
故选：BD.
8．（25-26 高二上·云南·开学考试·多选）已知正数a，b 满足
2
2
3
a
b
ab
+
=
- ，则（ ）
A．b 的取值范围是1 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
B．ab 的最小值为9
2
C．
1
a
a
+
的最小值为2
D．2a
b
+
的最小值11
2
【答案】AB
【详解】对于选项A：因为正数a，b 满足
2
2
3
a
b
ab
+
=
- ，
则
2
3
0
2
1
b
a
b
+
=
-
，
3
0
2
2
a
b
a
+
=
-
，解得
1
a ，
1
2
b
，故A 正确，
对于选项B：因为
2
2
3
2 2
a
b
ab
ab
+
=
-
³
，
整理可得
2
2
2 2
3
2
1
2
3
0
ab
ab
ab
ab
-
×
-
=
+
-
³
，解得
3
2
ab ³
，或
1
2
ab £ -
（舍去），
当且仅当
2
3
a
b
=
= 时，等号成立，
所以
9
2
ab≥，故B 正确；
对于选项C：因为
1
a ，则
1
1
2
2
a
a
a
a
+
×
=
，
所以2 不是
1
a
a
+
的最小值，故C 错误；
对于选项D：因为
3
2
2
a
b
a
+
=
-
，则
3
2
5
2
2
2
1
2
2
1
2
a
a
b
a
a
a
a
+
+
=
+
=
-
+
+
-
-
，
且
1
a ，则
1
0
a -
，
可得
2
2
2
1
2 2
1
4
1
1
a
a
a
a
-
+
³
-
´
=
-
-
，
当且仅当
2
2
1
1
a
a
-
=
- ，即
2
a =
时，等号成立，
所以2a
b
+
的最小值为13
2 ，故D 错误.
故选：AB.
9．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知
0
x
，
0
y
，则
2
2
y
x
y
x
y
+
+
的最小值为 .
【答案】3
【详解】因为
0
x
，
0
y
，
所以
2
2
2
1
2
1
3
2
2
2
y
x
y
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
+
+
=
+
+ ³
×
+ =
，
当且仅当
2
2
y
x
x
y
=
，即
1
2
x
y
=
时等号成立，
所以
2
2
y
x
y
x
y
+
+
的最小值为3.
故答案为：3
10．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知
0
a
，
0
b
，且
1
a
b
+
= ，则
1
b
a
b
+
的最小值为
．
【答案】3
【详解】因为
0
a
，
0
b
，且
1
a
b
+
= ，
所以
1
1
2
1
3
b
b
a
b
b
a
b a
a
b
a
b
a
b
a b
+
+
=
+
=
+
+ ³
×
+ =
，
当且仅当
1
2
a =
，
1
2
b =
时，等号成立，所以
1
b
a
b
+
的最小值为3．
故答案为：3
11．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）若实数,x y 满足
2
2
1
4
2
x
x
y
y
+ -
+
-
=
，则
1
4
2
x
y-
+
的最小值
为
．
【答案】2
【详解】令
2
1
,
0
m
x
x m
=
+ -
，
2
4
n
y
y
=
+
-
，则
2
1
1
x
x
m =
+ +
，
2
4
4
y
y
n =
+
+
，
由题知
2
m n
×
=
，则
2
n
m
=
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
m
x
x
m
x
x
m
m
m
x
x
m
ì
=
+ -
ï
æ
ö
Þ
-
=
Þ
=
-
í
ç
÷
è
ø
=
+ +
ïî
，
2
2
2
4
1
4
4
2
n
y
y
m
y
m
m
y
y
m
n
ì =
+
-
=
ïï
Þ
=
-
í
ï
=
+
+
=
ïî
，
所以
1
1
1
1
1
2
1
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
m
m m
m
m
x
y
m
m
m
-
-
-
-
-
-
-
=
+
=
+
+
+
=
令
1
2
m m
t
-
=
，则
0
t
，
1
1
2
m
m
t
-
=
，
则
1
1
1
2
4
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
x
m
y
t
t
t
t
-
-
-
=
+
=
=
+
+
³
×
×
=
，当且仅当1
2
t
t =
，即
2
t =
时取等号.
故答案为：2 .
12．（25-26 高三上·陕西·阶段练习）已知
0,
0
a
b
，且2
3
3
a
b
+
= ．
(1)求ab 的最大值；
(2)求
1
6
a
b
-
的最大值；
(3)求2
3
1
a
b
+
+ 的最小值．
【答案】(1) 3
8
(2)
1
2
(3) 25
6
【详解】（1）由题意得2
3
3
2 6
a
b
ab
+
=
³
，得
3
8
ab £
，
当且仅当
3
2
3
2
a
b
=
=
，即
3
1
,
4
2
a
b
=
=
时，等号成立．
故ab 的最大值是3
8 ．
（2）由2
3
3
a
b
+
= ，得
3
3
2
2
a
b
=
-
，
则
1
3
3
1
3
3
1
1
2
6
2
2
6
2
2
6
2
a
b
b
b
b
b
æ
ö
-
=
-
+
£
-
×
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当3
1
2
6
b
b
=
，即
1
1,
3
a
b
=
=
时，等号成立．
故
1
6
a
b
-
的最大值是
1
2 ．
（3）由2
3
3
a
b
+
= ，得
2
3
1
6
a
b
+
+
=
，
则2
3
1
2
3
1
6(
1)
6
1
6(
1)
6
25
[2
3(
1)]
13
13
2
1
6
1
6
1
6
1
6
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
é
ù
+
+
æ
ö
é
ù
+
=
+
+
+
=
+
+
³
+
×
=
ê
ú
ç
÷
ê
ú
+
+
+
+
è
ø
ë
û
ë
û
，
当且仅当
6
1
6
1
b
a
a
b
+
=
+
，即
6
1
,
5
5
a
b
=
=
时，等号成立．
故2
3
1
a
b
+
+ 的最小值为25
6 ．
1．（25-26 高二上·黑龙江·开学考试）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2
2
2
2a
b
c
=
+
，则A
的最大值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【详解】由余弦定理得
2
2
2
2
2
1
2
2
cos
2
2
2
2
c
b
b
c
a
bc
A
bc
bc
bc
+
+
-
=
=
³
=
，当且仅当b
c
=
时取等号，
因为0
π
A
<
<
，
cos
y
x
=
在
0,π 单调递减，所以
π
0
3
A
<
£
，即A 的最大值为π
3 ．
故选：B．
2．（25-26 高二上·安徽·阶段练习）在锐角
ABC
V
中，已知
2
2
2
1 sin
cos
cos
2
B
A
C
=
-
，则
1
1
1
tan
tan
tan
A
B
C
+
+
的最小值
为（ ）
A．
3
B．13
2
C．13
3
D．13
【答案】B
【详解】由
2
2
2
1 sin
cos
cos
2
B
A
C
=
-
可得
2
2
2
2
2
2
2
1 sin
cos
cos
1 sin
1 sin
sin
sin
2
B
A
C
A
C
C
A
=
-
= -
-
-
=
-
，
由正弦定理可得
2
2
2
2
2
c
a
b
-
=
，
如图，作BD
AC
^
于D ，设AD
x CD
y BD h
=
=
,
,
= ，
因为
2
2
2
2
2
a
b
c
+
=
，所以
2
2
2
2
2
2(
)
(
)
2(
)
y
h
x
y
x
h
+
+
+
=
+
，
化简得
2
2
2
3
0
x
xy
y
-
-
=
，解得
3
x
y
=
，
易知
tan
tan
A
C
B
+
= -
，tan
tan
tan
1
tan
tan
A
C
B
A
C
+
= -
-
，所以1
tan
tan
1
tan
tan
tan
A
C
A
C
B
-
= -
+
，
因此
1
1
1
tan
tan
tan
A
B
C
+
+
＝
1
1
tan
tan
A
C
+
tan
tan
1
tan
tan
A
C
A
C
-
+
+
2
1
h
x
y
xy
h
h
h
h
x
y
-
=
+
+
+
＝
2
2
4
3
4
y
h
y
h
yh
-
+
＝13
13
4
4
2
y
h
h
y
+
³
，
当且仅当
13
h
y
=
时取得最小值13
2
.
故选：B
考点二
利用基本不等式求解三角形中的最值问题
3．（25-26 高三上·山东济南·开学考试·多选）已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
内角, ,
A B C 的对边，下面四个结论正确的是
（ ）
A．若cos
cos
a
A
b
B
=
，则
ABC
V
为等腰三角形
B．在锐角
ABC
V
中，不等式sin
cos
A
B
恒成立
C．若
π ,
2 3
3
B
a
=
=
，且
ABC
V
有两解，则b 的取值范围是
2,2 3
D．若
120
ABC
Ð
=
° ，
ABC
Ð
的平分线交AC 于点D ，
1
BD = ，则4a
c
+ 的最小值为9
【答案】BD
【详解】选项A，因为cos
cos
a
A
b
B
=
，即
2
2
2
2
2
2
=
2
2
a b
c
a
b a
c
b
bc
ac
+
-
+
-
，
所以有
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
a
c
b
+
-
=
+
-
整理可得
2
2
2
2
2
0
a
b
a
b
c
-
+
-
=
，所以a
b
=
或
2
2
2
a
b
c
+
=
，
故
ABC
V
为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；
选项B，若
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
2
A
B
+
，所以π
π
0
2
2
A
B
-
，
由正弦函数
sin
y
x
=
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 单调递增，则
π
sin
sin
cos
2
A
B
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，故B 正确.
选项C，如图，若
ABC
V
有两解，则sin
a
B
b
a
<
<
，
所以3
2 3
b
<
<
，则b 的取值范围是
3,2 3 ，故C 错误．
选项D，
ABC
Ð
的平分线交AC 于点D ，
1
BD = ，
由
ABC
ABD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
，由角平分线性质和三角形面积公式，
得1
1
1
sin120
sin 60
sin60
2
2
2
ac
a
c
=
+
o
o
o ，即ac
a
c
=
+
，得1
1
1
a
c
+
= ，
得
1
1
4
(4
)(
)
a
c
a
c a
c
+
=
+
+
4
5
c
a
a
c
=
+
+
³
4
2
5
4
5
9
c
a
a
c
×
+
=
+
=
，
当且仅当
4
c
a
a
c
=
，即
2
3
c
a
=
=
时，取等号，故D 正确.
故选：BD
4．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）在
ABC
V
中，D 为AC 的中点，且
2
BD = ，若AB
AC
=
，则当BC CD
×
取得
最大值时，cosA =
.
【答案】3
4 /0.75
【详解】设
,
,
0,
0
BC
m CD
n m
n
=
=
，则
2
AD
n,AB
AC
n
=
=
=
，
由cos
cos
0
ADB
CDB
Ð
+
Ð
=
，再分别在
ABD
△
和
BCD
△
中用余弦定理，
得
2
2
2
2
2
2
0
2
2
AD
BD
AB
CD
BD
BC
AD BD
CD BD
+
-
+
-
+
=
×
×
×
×
，
即
2
2
2
2
2
2
2
(2 )
2
0
2 2
2 2
n
n
n
m
n
n
+
-
+
-
+
=
×
×
，化简得
2
2
2
8
m
n
+
= ，
根据基本不等式，有
2
2
2
8
2 2
m
n
mn
+
=
³
，当且仅当
2
2
m
n
=
=
时等号成立，
即
2 2
mn £
，即BC CD
×
取得最大值时，
2,
2
BC
CD
=
=
，
所以当BC CD
×
取得最大值时，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 )
(2 )
(2 2)
(2 2)
2
3
cos
2
2 2
2
4
2 2 2 2 2
AB
AC
BC
n
n
m
A
AB AC
n
n
+
-
+
-
+
-
=
=
=
=
×
×
×
×
×
×
.
故答案为：3
4
5．（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）已知在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2π
3
A =
，角A 的平
分线交BC 边于点D.若
1
AD = ，则4b
c
+
的最小值为
.
【答案】9
【详解】因为角A 的平分线为AD ，则
π
3
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
，
因
+
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
△
△
△
，且
1
AD = ，则1
π
1
π
1
2π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
c
b
bc
´
+
´
=
，
所以b
c
bc
+
=
，所以1
1
1
b
c
+
= ，
则
1
1
4
4
4
5
5
2
5
4
9
b
c
b c
b
c
b
c
c
b
c
b
æ
ö
+
+
=
+
+
³
+
×
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
4
1
1
1
b
c
c
b
b
c
ì
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，即
3
2
3
b
c
ì =
ïí
ï =
î
时取等号．
所以4b
c
+
的最小值为9．
故答案为：9
6．（25-26 高三上·山东·开学考试）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
(1)求A ；
(2)若
ABC
V
的面积为4 3 ，且∠BAC 的平分线交边BC 于点D，求AD 的最大值．
【答案】(1) π
3
(2)2 3
【详解】（1）在
ABC
V
中，由正弦定理得sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
.
因为
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
，所以a
b
c
b
c
a
b
-
-
=
+
.
整理得
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
.
故
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
.
又
0,π
AÎ
，故
π .
3
A =
（2）由
ABC
V
的面积为4 3 ，
π ,
3
A =
得1
3
sin
4 3
2
4
bc
A
bc
=
=
，解得
16
bc =
，
∵AD 为内角A 的角平分线，∴
π
6
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
，
由
ABC
BAD
CAD
S
S
S
=
+
V
V
V
，得
1
π
1
π
4 3
sin
sin
2
6
2
6
AD c
AD b
=
×
+
×
，
因此
16 3
c
b
AD
=
+
×
，
16 3
16 3
2 3
2
AD
c
b
cb
=
£
=
+
，当且仅当b
c
=
时取等号.
所以线段AD 长的最大值为2 3 .
7．（24-25 高三上·云南大理·开学考试）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且3
3 cos
a
b
C
c
-
=
.
(1)求cosB ；
(2)若
ABC
V
的面积为3 2 ，求b 的最小值.
【答案】(1) 1
3
(2)2 3
【详解】（1）因为3
3 cos
a
b
C
c
-
=
，由正弦定理得3sin
3sin cos
sin
A
B
C
C
-
=
，
又
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
代入化简得3cos sin
sin
B
C
C
=
，
因为sin
0
C ¹
，所以3cos
1
B = ，则
1
cos
3
B =
；
（2）由（1）可知，
2
2 2
sin
1 cos
3
B
B
=
-
=
，
则
ABC
V
的面积
1
2
sin
3 2
2
3
S
ac
B
ac
=
=
=
，可得
9
ac =
，
由余弦定理，
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
12
3
3
b
a
c
ac
B
a
c
ac
ac
ac
=
+
-
=
+
-
³
-
=
，
当且仅当
3
a
c
=
=
时，等号成立，
从而
2 3
b ³
，即b 的最小值为2 3 .
8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1) π
3
(2) 3 3
4
【详解】（1）由正弦定理可得
3 sin
3
sin
sin
sin
b
C
bc
B
C
A
b
c
a
=
+
-
+ -
，
因为
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
，
所以
3bc
a
b
c
b
c
a
+
+
=
+ -
，即
3
a
b
c
b
c
a
bc
+
+
+ -
=
，化简可得
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
故由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
；
（2）因为
3
a =
，
π
3
A =
，所以由余弦定理
2
2
2
2
cos
bc
A
b
c
a
=
+
-
可得
2
2
3
2
3
bc
b
c
bc
=
+
-
³
- ，解得
3
bc £ ，当且仅当b
c
=
时取等号，
所以
ABC
V
面积
1
1
3
3 3
sin
3
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
£
´ ´
=
V
，
即当b
c
=
时，
ABC
V
面积取最大值3 3
4
.
9．（25-26 高三上·河北·开学考试）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
3sin
sin
cos
sin
sin
sin
C
A
C
A
B
C
+
=
+
.
(1)求角A ；
(2)若
ABC
V
边BC 上的中线AD 的长度为2 3 ，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1) π
3
(2) 4 3
【详解】（1）在
ABC
V
中，
sin
sin π
sin
sin
cos
sin
cos
B
A
C
A
C
A
C
C
A
é
ù
=
-
+
=
+
=
+
ë
û
，
代入3sin
sin
cos
sin
sin
sin
C
A
C
A
B
C
+
=
+
整理得3sin
sin
sin
cos
sin
C
A
C
A
C
=
+
，
又因为
,
0,π
A C Î
，sin
0
C ¹
，所以
3sin
cos
1
A
A
=
+ ，
所以
π
3sin
cos
2sin
1
6
A
A
A
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为
π
π 5π
,
6
6
6
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø ，所以
π
π
6
6
A-
=
，解得
π
3
A =
.
（2）因为D 是BC 中点，所以
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边平方得
2
2
2
2
1
1
2
4
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
=
+
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
所以
2
2
1
12
2
cos
4 c
b
bc
BAC
=
+
+
Ð
，即
2
2
48
b
c
bc
+
+
=
，
又由均值不等式可得
2
2
2
3
b
c
bc
bc
bc
bc
+
+
³
+
=
，
当且仅当b
c
=
时等号成立，所以
16
bc £
，
所以
1
sin
4 3
2
ABC
S
bc
A
=
£
V
，即
ABC
V
面积的最大值为4 3 .
10．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形ABC 中，记a
b
c
，，分别为内角A
B
C
，，
的对边，
3
sin
2
a
B
c
=
．
(1)求
1
1
tan
tan
A
B
+
的值；
(2)求角C 的最大值．
【答案】(1) 2 3
3
(2) π
3
【详解】（1）因为
3
sin
2
a
B
c
=
，由正弦定理可得
3
sin
sin
sin
2
A
B
C
=
，
又因为
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，
即
3
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
A
B
A
B
A
B
=
+
，
且
ABC
V
为锐角三角形，则
π
,
0, 2
A B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则sin
0,sin
0,cos
0,cos
0
A
B
A
B
，
可得
3
1
1
1
2
tan
tan
A
B
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，所以
1
1
2 3
tan
tan
3
A
B
+
=
.
（2）因为
1
1
2 3
tan
tan
3
A
B
+
=
，且
π
,
0, 2
A B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则tan
0,tan
0
A
B
，
可得
2 3
tan
tan
tan
tan
2 tan
tan
3
A
B
A
B
A
B
+
=
×
³
×
，解得tan
tan
3
A
B
×
³ ，
当且仅当tan
tan
3
A
B
=
=
，即
3
π
A
B
=
=
时，等号成立，
则
2 3 tan
tan
tan
tan
2 3
1
3
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
1
3 1
tan
tan
A
B
A
B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
×
+
= -
+
=
=
=
-
-
-
，
因为tan
tan
3
A
B
×
³ ，则
1
1
0
tan
tan
3
A
B
<
£
×
，
可得2
1
1
1
3
tan
tan
A
B
£ -
<
×
，
1
3
1
1
2
1
tan
tan
A
B
<
£
-
×
，
则
2 3
1
2 3
tan
, 3
1
3
3
1
tan
tan
C
A
B
æ
ù
=
Îç
ú
çè
û
-
，
即tanC 的最大值为
3 ，且
π
0, 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
所以角C 的最大值为π
3 .
11．（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，O 为其外心，且满足
AO BC
BO CA
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur .
(1)证明：
2
2
2
2
a
b
c
+
=
；
(2)求角C 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2) π
3
【详解】（1）如图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，
由O 为
ABC
V
的外心可知OD
BC
^
，
0
DO BC
×
=
uuur uuur
则
(
)
AO BC
AD
DO
BC
AD BC
DO BC
AD BC
×
=
+
×
=
×
+
×
=
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
因为D 为BC 的中点，
1 (
)
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，且BC
AC
AB
=
-
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
AO BC
AD BC
AB
AC
AC
AB
AC
AB
b
c
×
=
×
=
+
×
-
=
-
=
-
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
同理，取AC 的中点E ，连接OE ，
由O 为
ABC
V
的外心可知OE
AC
^
，
0
EO CA
×
=
uuur uuur
则
(
)
BO CA
BE
EO
CA
BE CA
EO CA
BE CA
×
=
+
×
=
×
+
×
=
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
因为E 为AC 的中点，
1 (
)
2
B
BA
BC
E =
+
uuur
uuur
uuur
，且CA
BA
BC
=
-
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
BO CA
BE CA
BA
BC
BA
BC
BA
BC
c
a
×
=
×
=
+
×
-
=
-
=
-
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
依题意，AO BC
BO CA
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur
，因此
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2
b
c
c
a
-
=
-
，
即
2
2
2
2
b
c
c
a
-
=
-
，
2
2
2
2
a
b
c
+
=
.
（2）根据余弦定理，结合
2
2
2
2
a
b
c
+
=
可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
4
a
b
a
b
a
b
c
a
b
C
ab
ab
ab
+
+
-
+
-
+
=
=
=
，
由基本不等式，
2
2
1
cos
2
4
4
4
4
4
2
a
b
a
b
a
b
C
ab
b
a
b
a
+
=
=
+
³
×
=
，当且仅当a
b
=
时取得，
因为
(0,π)
C Î
，且
cos
y
x
=
在(0,π) 上单调递减，
所以
π
0
3
C
<
£
，即C 的最大值为π
3 .
12．（25-26 高二上·山东日照·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且满足
2 cos
c
b
A
b
-
=
．
(1)求证：
2
A
B
=
；
(2)若
3
cos
4
2
4
B
a
c
=
+
=
,
，求b ；
(3)求3
cos
b
c
b
B
+
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
(3)4 2
【详解】（1）因为
2 cos
c
b
A
b
-
=
，根据正弦定理得：sin
2sin
cos
sin
C
B
A
B
-
=
.
又因为
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，
所以sin
cos
cos sin
sin
A
B
A
B
B
-
=
Þ
sin
sin
A
B
B
-
=
.
又
,
A B 为三角形内角，所以A
B
B
-
=
Þ
2
A
B
=
.
（2）因为
2
A
B
=
，
3
cos
4
B =
，
所以
2
7
sin
1 cos
4
B
B
=
-
=
，
3 7
sin
sin 2
2sin
cos
8
A
B
B
B
=
=
=
，
2
2
3
1
cos
cos2
2cos
1
2
1
4
8
A
B
B
æ
ö
=
=
- =
´
- =
ç
÷
è
ø
.
所以
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
3 7
3
1
7
5 7
8
4
8
4
16
=
´
+
´
=
.
由正弦定理得
3 7
sin
6
8
sin
5
5 7
16
a
A
c
C
=
=
=
，
又
4
2
a
c
+
=
，所以
6
a =
，
5
c =
.
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
3
36
25
2 6 5
16
4
=
+
- ´ ´ ´
=
.
所以
4
b =
.
（3）因为
sin
sin
sin3
=
+
=
C
A
B
B
sin
cos2
cos
sin 2
B
B
B
B
=
+
2
sin
1 2sin
cos
2sin
cos
B
B
B
B
B
=
-
+
×
2
2
sin
1
2sin
2sin
1 sin
B
B
B
B
=
-
+
-
3
3sin
4sin
B
B
=
-
.
由正弦定理3
cos
b
c
b
B
+
3sin
sin
sin
cos
B
C
B
B
+
=
3
6sin
4sin
sin
cos
B
B
B
B
-
=
2
6
4sin
cos
B
B
-
=
2
6
4 1 cos
cos
B
B
-
-
=
2
2
4cos
cos
B
B
+
=
1
2
2cos
cos
B
B
æ
ö
=
´
+
ç
÷
è
ø
因为
π
0
2
B
<
<
，所以cos
0
B
，
所以
1
2cos
2
2cos
2 2
4 2
cos
cos
B
B
B
B
æ
ö
´
+
³
´
=
ç
÷
è
ø
，当且仅当
1
2cos
cos
B
B
=
即
π
4
B =
时取等号.
所以3
cos
b
c
b
B
+
的最小值为4 2 .
13．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）已知在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且满足
tan
tan
2
tan
B
C
a
B
b
+
=
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
ABC
V
的外接圆半径为1，求
ABC
V
面积的最大值.
【答案】(1) 60°
(2) 3 3
4
【详解】（1）根据正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
，
所以
2 sin
a
R
A
=
，
2 sin
b
R
B
=
，
所以tan
tan
2
2sin
tan
sin
B
C
a
A
B
b
B
+
=
=
，
又因为
sin
tan
cos
B
B
B
=
，
sin
tan
cos
C
C
C
=
，
代入化简得sin
cos
sin
cos
2sin
sin
cos
sin
B
C
C
B
A
B
C
B
+
=
①，
根据两角和的正弦公式
sin
sin
cos
cos
sin
B
C
B
C
B
C
+
=
+
，
又
π
A
B
C
+
+
= ，则
sin
sin π
sin
B
C
A
A
+
=
-
=
，
代入①化简得：
sin
2sin
1
cos
sin
cos
sin
2
A
A
C
B
C
B
=
Þ
=
，
因为角
0,π
C Î
，所以角
π
60
3
C
°
=
=
.
（2）已知
ABC
V
的外接圆半径为1，由正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
，
可得
3
2 sin
2 1
3
2
c
R
C
=
=
´ ´
=
，
由余弦定理可知
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，代入,cos
c
C 的值可得
2
2
3
a
b
ab
=
+
-
.
由基本不等式
2
2
2
a
b
ab
+
³
，当且仅当a
b
=
时取等号，
则
2
2
3
2
3
a
b
ab
ab
ab
+
=
+
³
Þ
£
，当且仅当
3
a
b
=
=
时ab 取最大值3.
由三角形面积公式可得
1
3
sin
2
4
ABC
S
ab
C
ab
=
=
V
，
因为
3
ab £
，当且仅当
3
a
b
=
=
时
3
ab =
，
ABC
V
面积最大，
所以
max
3
3 3
3
4
4
ABC
S
=
´ =
V
.
1．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）设函数
ln
1
f x
x
a
b
x
=
-
-
-
，其中
0,
0
a
b
，若
0
f x ³ 恒成立，则
2
2
a
b
+
的最小值是（ ）
A．
2e
2
B．
2e
4
C．
2e
D．
2
2e
【答案】A
【详解】由
ln
1
0
f x
x
a
b
x
=
-
-
-
³
恒成立，可得(
)(ln
1)
0
a
b
x
x
+
-
-
£
恒成立，
当ln
1
0
x -
，即
e
x时，a
b
x
+
£
恒成立，故得a
b
+
£ e ；
当ln
1
0
x - =
时，即
e
x= 时，显然不等式恒成立；
当ln
1
0
x - < 时，即0
e
x
<
<
时，a
b
x
+
³
恒成立，故得
e
a
b
+
³
.
综上分析，可得
e
a
b
+
=
.
因
0,
0
a
b
，则
2
2
e
(
)
2
4
a
b
ab
+
£
=
，当且仅当
e
2
a
b
=
=
时等号成立，
则
2
2
2
2
2
2
2
e
e
(
)
2
e
2
e
2
4
2
a
a
b
ab
b
ab
=
+
-
=
-
³
-
=
+
´
，
即
2
2
a
b
+
的最小值是
2e
2
.
故选：A.
2．（24-25 高一下·广东汕头·期末）已知
1
1
,
x y
和
2
2
,
x
y
是函数
2x
y =
图象上的两点，则（ ）
A．
1
2
1
2
2x
x
y
y
+
+
³
B．
1
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
+
+
£
C．
1
2
1
2
1
1
1
1
2
4
4
2
x
x
x
x
y y
-
-
+
-
³
+
+
D．
1
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
+
+
³
【答案】D
【详解】已知
1
1
( ,
)
x y
和
2
2
(
,
)
x
y
是函数
2x
y =
图象上的两点，
可得：
1
1
2x
y =
，
2
2
2x
y =
，由于
1
2
0
x
，
2
2
0
x
因此
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2 2
2
2 2
x
x
x
x
x
x
y
y
+
+
=
+
³
×
=
´
，当且仅当
1
2
2
2
x
x
=
，即
1
2
x
x
=
时等号成立.
得：
1
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
+
+
³
.
故选：D
3．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知
,
m n 是正实数，若函数
( )
ex n
f x
-
=
的图象与
( )
g x
x
m
=
+
的图象相切，
则 1
2
m
n
+
的最小值是（ ）
考点三
利用基本不等式求函数中的最值问题
A．2 2
B．3
2 2
+
C．1
2
+
D．3
【答案】B
【详解】由
( )
ex n
f x
-
=
求导得
( )
ex n
f
x
-
¢
=
，
设切点为
0
0
(
,
)
x
y
，则
0
0
0
0
0
e
1,
e
x
n
x
n
x
m
y
y
-
-
ì
=
ï
+
=
í
ï
=
î
①
，②
，③
，
由① ③ 联立可得
0
0
1
y
x
n
=
ì
í
=
î
代入② ，可得
1
m
n
+
= ，又
,
0
m n ，
故1
2
1
2
2
2
(
)(
)
3
3
2
3
2 2
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
+
=
+
+
=
+
+
³
+
×
=
+
，当且仅当
2
n
m
=
时等号成立，
即
2
2
2
n
m
=
=
-
时，1
2
m
n
+
取得最小值为3
2 2
+
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·云南丽江·期末）若
1
a ，设函数
4
x
f x
a
x
=
+
-
的零点为m ，
log
4
a
g x
x
x
=
+
-
的零点为
n ，则1
1
m
n
+
的取值范围（ ）
A．7 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
B．
1,+¥
C．
4,+¥
D．9 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
【答案】B
【详解】函数
4
x
f x
a
x
=
+
-
的零点是
x
y
a
=
与
4
y
x
=
-
图象交点A 的横坐标，
函数
log
4
a
g x
x
x
=
+
-
的零点是
loga
y
x
=
与
4
y
x
=
-
图象交点B 的横坐标，
由于
x
y
a
=
与
loga
y
x
=
互为反函数，其图象关于直线y
x
=
对称，
直线
4
y
x
=
-
与直线y
x
=
垂直，
故直线
4
y
x
=
-
与直线y
x
=
的交点
2,2 即是AB 的中点，
4
m
n
\
+
=
，
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
4
4
m
n
m n
m
n
m
n
m
n
n
m
n m
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
=
+
+
=
+
+
³
+
×
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
当且仅当
2
m
n
=
=
时等号成立，故1
1
1
m
n
+
³ ，
故所求的取值范围是
1,+¥ ．
故选：B．
5．（25-26 高三上·安徽·阶段练习·多选）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
1
4ln
ln
y
x
x
=
+
B．
2
y
2
2
x
x
-
=
+
C．
8
8
y
x
x
=
+
+
-
D．
2
2
2
3
2
x
y
x
+
=
+
【答案】BC
【详解】因为对数函数
ln
y
x
=
在
0,
xÎ
+¥ 时，值域为R，所以当0
1
x
<
< 时，
1
4ln
0
ln
y
x
x
=
+
<
，所以A 错误；
因为指数函数
2x
y =
在
R
xÎ
时，值域为
0, ¥
+
，所以
2
4
4
2
2
2
2 2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
y
-
=
+
=
+
³
×
=
，当且仅当
4
2
2
x
x
=
，即
1
x = 时，等式成立，所以B 正确；
函数
8
8
y
x
x
=
+
+
-
定义域为
8,8
-
，则
1
1
1
8
8
2
2 8
2 8
8
8
x
x
y
x
x
x
x
æ
ö
-
-
+
¢ =
-
=
ç
÷
ç
÷
+
-
+
×
-
è
ø
，
令
0
¢
y
，即8
8
0
x
x
-
-
+
，解得
0
x <
，所以在
8,0
-
上函数单调递增，同理可知在
0,8 上函数单调递减，
当
8
x =
时，
4
y =
，当
8
x = - 时，
4
y =
，所以函数
8
8
y
x
x
=
+
+
-
在定义域
8,8
-
上的最小值为4，所以C 正
确；
已知
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
y
x
x
x
x
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
，在
R
xÎ
时，
2
2
2,
x
é
+
Î
+¥
ë
，
根据基本不等式
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
4
2
2
x
x
x
x
+
+
³
+
×
=
+
+
，当且仅当
2
2
2
2
2
2
x
x
+
=
+
，即
2
2
1
x +
= 时成
立，因为
2
2
2,
x
é
+
Î
+¥
ë
，所以等号不能成立，D 错误；
故选：BC.
6．（25-26 高二上·湖南益阳·开学考试）直线
1
0
0,
0
ax
by
a
b
+
- =
经过函数
3
2
log
1
4
2
x
f x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
图
象的对称中心，则2
1
a
b
+
的最小值为
.
【答案】9
【详解】对于函数
3
2
log
1
4
2
x
f x
x
x
x
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
令
0
4
2
0
x
x
x
ì
ï -
í
ï -
¹
î
，解得0
4
x
<
<
且
2
x ¹
，可知函数
f x 的定义域为
0,2
2,4
È
，
因为
3
3
2
4
2
4
log
1 log
4
1
4
2
2
x
x
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
-
æ
ö
æ
ö
+
-
=
-
+
- +
-
+
-
-
ç
÷
ç
÷
-
-
-
è
ø
è
ø
3
3
4
2
2
log
log
2
2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
+
=
ç
÷
ç
÷
-
-
-
è
ø
è
ø
，
可知函数
f x 的对称中心为
2,1 ，
由题意可知：直线
1
0
0,
0
ax
by
a
b
+
- =
经过点
2,1 ，
则2
1
0
a
b
+
- =
，即2
1
a
b
+
= ，
可得
2
1
2
1
2
2
2
2
2
5
5
2
9
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
³
+
×
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当2
2
b
a
a
b
=
，即
1
3
a
b
=
=
时，等号成立，
所以2
1
a
b
+
的最小值为9.
故答案为：9.
7．（24-25 高三下·山东·阶段练习）设函数
( )
(
)(
)(
)
f x
x
a x
b x
c
=
-
-
-
，其中0
a
b
c
<
<
<
，若
(
1)
(4
)
0
f x
f
x
-
×
-
£
，求
2
4
b
a
a
c
+
的最小值
．
【答案】5
【详解】令
(4
)
4
4
4
4
4
4
g x
f
x
x
a
x
b
x
c
x
a
x
b
x
c
= -
-
= -
-
-
-
-
-
-
=
+
-
+
-
+ -
，
因为
( )
(
)(
)(
)
f x
x
a x
b x
c
=
-
-
-
的零点为, ,
a b c ，
可知
1
y
f x
=
-
的零点为
1,
1,
1
a
b
c
+
+
+ ，
y
g x
=
的零点为4
,4
,4
a
b
c
-
-
- ，
又因为0
a
b
c
<
<
<
，则1
1
1
1
a
b
c
<
+ <
+ <
+ ，4
4
4
4
a
b
c
-
-
-
，
若
(
1)
(4
)
0
f x
f
x
-
×
-
£
，即
(
1)
0
f x
g x
-
× -
£
é
ù
ë
û
，则
(
1)
0
f x
g x
-
×
³
，
可知
1
y
f x
=
-
的零点与
y
g x
=
的零点相同，
则
1
4
1
4
1
4
a
c
b
b
c
a
+ =
-
ì
ï + =
-
í
ï + =
-
î
，可得2
3
b
a
c
=
+
= ，
则2
4
4
4
1
2
1
5
c
b
a
a
c
a
c
a
c
a
a
c
a
a
c
a
c
+
+
=
+
=
+
+ ³
×
+ =
，
当且仅当
4
c
a
a
c
=
，即
2
2
c
a
=
=
时，等号成立，
所以2
4
b
a
a
c
+
的最小值为5.
故答案为：5.
8．（24-25 高二下·福建三明·期末）已知函数
x
f x
a
=
（
0
a
，且
1
a ¹ ）.
(1)若
1
e
f
=
，求函数
f x 在点
ln 2,
ln 2
f
处的切线方程；
(2)已知0
1
a
<
< ，若关于x 的不等式
2
2
1
3
f
mx
f
x
f
x
£
+
+
在区间
1,2 上有解，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
2
2ln 2
2
y
x
=
-
+
(2) 5 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
【详解】（1）因为
1
e
f
=
，所以
e
a =
，故
ex
f x =
.所以
ex
f
x
¢
=
.
因为
ln2
ln 2
e
2
f
=
=
，
ln2
ln 2
e
2
f ¢
=
=
.
所以函数
f x 在点
ln 2,
ln 2
f
处的切线方程为：
2
2
ln 2
y
x
-
=
-
，即
2
2ln 2
2
y
x
=
-
+
.
（2）因为
2
2
1
3
f
mx
f
x
f
x
£
+
+
Û
2
2
2
1
3
4
mx
x
x
x
x
a
a
a
a
+
+
+ +
£
×
=
.
由0
1
a
<
< ，所以
2
2
4
mx
x
x
³
+
+
.
所以关于x 的不等式
2
2
1
3
f
mx
f
x
f
x
£
+
+
在区间
1,2 上有解，等价于
2
4
4
2
1
x
x
m
x
x
x
+
+
³
=
+
+ 在区间
1,2
上有解.
因为
4
4
1
2
1
5
x
x
x
x
+
+ ³
×
+ =
，当且仅当
2
x =
时取等号.
所以2
5
m ³
Þ
5
2
m ³
.
所以实数m 的取值范围为：5 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø .
9．（24-25 高一下·甘肃平凉·开学考试）已知
2
log
2
1
2
a
f x
x
a
x
a
é
ù
=
-
+
+
-
ë
û ，（
0
a
且
1
a ¹ ）
(1)求函数
f x 的定义域A ；
(2)若
1
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø，函数
f x 的最小值为2，求a 的值；
(3)在（2）的条件下，存在x
A
Î
，使得不等式
1
1
4
4
3
28
2
2
x
x
x
x
m
m
-
+
-
+
-
-
£
-
成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
1
4
a =
．
(3)
8
m ³ -
【详解】（1）令
2
2
1
2
0
x
a
x
a
-
+
+
-
，即
2
1
0
x
a
x
-
-
<
，
当2
1
a 时，
1,2
A
a
=
；
当2
1
a = 时，A = Æ ；
当2
1
a < 时，
2 ,1
A
a
=
．
（2）当
1
0, 2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø时，
2 ,1
A
a
=
，
令
2
2
1
2
t
x
a
x
a
= -
+
+
-
，
已知
f x 的最小值为2，则
2
2
1
2
t
x
a
x
a
= -
+
+
-
有最大值为
2
a ，
其对称轴为
2
1
2 ,1
2
a
x
a
+
=
Î
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
a
a
a
a
a
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，解得
1
4
a =
．
（3）由题可知
1 ,1
2
x
æ
ö
$ Îç
÷
è
ø，使得
1
1
4
4
3
28
2
2
x
x
x
x
m
m
-
+
-
+
-
-
£
-
成立，
令
2
2
x
x
t
-
=
-
为减函数，
则
3
2
,
2
2
t
æ
ö
Î -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
4
4
2
x
x
t
-
=
+
-
，
即
3
2
,
2
2
t
æ
ö
$ Î -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，使得
2
4
2
3
28
t
m
mt
+
-
-
£
成立，即
2
3
4
20
t
m
t
+
³
-
，
因为
3
0
t +
，故
2
min
4
20
3
t
m
t
æ
ö
-
³ ç
÷
+
è
ø
，
令
2
2
4
3
24
3
16
4
20
16
4
3
24
2 4 16
24
8
3
3
3
t
t
t
h t
t
t
t
t
+
-
+
+
-
=
=
=
+
+
-
³
´
-
= -
+
+
+
，
当且仅当
16
4
3
3
t
t
+
= +
，即
1
t = - 时成立，
所以min
8
h t
= - ，故
8
m ³ -
10．（2025·四川自贡·三模）函数
1
2ln
f x
x
x
x
=
-
+
(1)求
f x 的单调区间；
(2)设
*
nÎN ，证明：
1
1
1
ln2
1
2
1
n
n
n
<
+
+
+
+
-
L
；
(3)若
2
1
0
x
x
，
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
ln
x
x
x x
x x
+
=
+
，比较
3
3
1
2
x
x
+
与2 的大小，并说明理由.
【答案】(1)减区间为
0, ¥
+
，无增区间
(2)证明见解析
(3)
3
3
1
2
2
x
x
+
，理由见解析
【详解】（1）函数
1
2ln
0
f x
x
x
x
x
=
-
+
，
2
2
2
1
2
1
1
0
x
f
x
x
x
x
-
-
=
- -
=
£
¢
，
所以
f x 的单调递减区间为
0, ¥
+
，无增区间.
（2）由（1）知
1
x ，
1
0
f x
f
<
=
，
1
2lnx
x
x
<
-
，
1
1
ln
2
x
x
x
æ
ö
<
-
ç
÷
è
ø，
不妨令
1
k
x
k
+
=
，
*
N
k Î
，
1
2
1
1 1
1
ln
2
1
2
1
k
k
k
k k
k
k
+
+
æ
ö
\
<
=
+
ç
÷
+
+
è
ø ，
1
2
2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
ln
ln
ln
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
+¼+
<
+
+
+
+¼+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
-
+
+
+
-
è
ø
è
ø
è
ø
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
1
2
1
4
4
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
+
=
+
+
+
<
+
+
+
+
-
+
-
+
-
L
L
L
，
2
1
2
2
ln2
ln
ln
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
æ
ö
=
=
´
´¼´
ç
÷
+
-
è
ø
1
2
2
1
1
1
ln
ln
ln
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+¼+
<
+
+
+
+
-
+
-
L
，
1
1
1
ln2
1
2
1
n
n
n
\
<
+
+
+
+
-
L
.
（3）
3
3
1
2
2
x
x
+
，
由
2
1
0
x
x
，
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
ln
x
x
x x
x x
+
=
+
，
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
ln
ln
ln
0
x
x
x
x
x
x
x x
-
\
-
=
=
，
由
1
x ，
1
2lnx
x
x
<
-
，
2
1
x
x
x
=
，
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2ln
ln
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
-
\
=
<
-
=
，
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
ln x
x
x
x
x
x
x x
x x
-
-
\
=
<
，
1
2
1
x x
\
.
3
3
3
1
2
1
2
2
2
x
x
x x
\
+
.
11．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）已知函数
e
e
R .
x
x
f x
t
t
-
=
+
Î
(1)若曲线
y
f x
=
在
0
x =
处的切线平行于直线
0
x
y
+
=
，求t 的值以及函数
f x 的最小值；
(2)证明：对一切的a，
0
b
，a
b
¹
，都有ln
ln
2
a
b
a
b
a
b
-
+
<
-
；
(3)当
0
t =
时，若曲线
y
f x
=
与曲线
2
2
e
y
px p
=
存在两交点A、B，记直线AB 的斜率为k，证明：
.
k
p
<
【答案】(1)
2
t =
，
min
( )
2 2
f x
=
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意，
e
e
x
x
f
x
t
-
=
¢
-
，
0
1
1
f
t
= - = -
¢
，所以
2
t =
，则
e
2e
x
x
f x
-
=
+
，
又
e
2e
2 e
2e
2 2
x
x
x
x
f x
-
-
=
+
³
×
=
，当且仅当
ln
2
x =
时取等号，
所以
min
( )
2 2
f x
=
；
（2）证明：先证
0
a
b
，则ln
ln
2
a
b
a
b
a
b
-
+
<
-
，
设
2
1
ln
(
1)
1
x
g x
x
x
x
-
=
-
+
，
则
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
4
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x x
+
-
-
-
=
-
=
+
¢
-
=
+
+
，
因为
1
x ，所以
0
g
x
¢
，即
g x 在
1, ¥
+
上单调递增，
又1
0
g
=
，所以当
1
x 时，
2
1
1
1
ln
1
ln
2
x
x
x
x
x
x
-
-
+
Þ
<
+
，
当
0
a
b
，则
1
a
b
，所以
1
1
2
ln
ln
2
ln
a
a
a
b
a
b
b
b
a
a
b
b
-
+
-
+
<
Þ
<
-
，
同理，当
0
b
a
，则ln
ln
2
a
b
a
b
a
b
-
+
<
-
也成立；
综上，对一切的a，
0
b
，a
b
¹
，都有ln
ln
2
a
b
a
b
a
b
-
+
<
-
；
（3）证明：如图，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，其中
1
2
x
x
<
，
由（2）知，若,
0
a b
，a
b
¹
，则ln
ln
2
a
b
a
b
a
b
-
+
<
-
，
令
1
ex
a =
，
2
ex
b =
，得
1
2
1
2
1
2
e
e
e
e
2
x
x
x
x
x
x
-
+
<
-
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
e
e
e
e
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y
k
x
x
x
x
-
-
+
+
=
=
<
=
-
-
，
所以
1
2
2
y
y
k
+
①，
将
2
1
1
2
y
px
=
和
2
2
2
2
y
px
=
相减，得
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
p x
x
+
-
=
-
，
1
2
1
2
1
2
2
y
y
p
k
x
x
y
y
-
=
=
-
+
，将
1
2
2p
y
y
k
+
=
代入①，
所以2
2
p
k
k
，即
.
k
p
<
1．（2025·江西·模拟预测）已知l 为抛物线
2
y
x
=
的切线，且l 交圆
2
2
:
(
1)
4
M x
y
+
-
=
于
,
A B 两点，则AB 的最大值
是（ ）
A．2 3
B．13
C．15
D．4
【答案】B
【详解】设切点为
2
0
0
,
x x
，所以
0
0
2
2
x x
y
x
y
x
=
¢
Þ ¢
=
=
，所以直线l 的方程为
2
0
0
0
2
y
x
x
x
x
-
=
-
，即
2
0
0
2
0
x x
y
x
-
-
=
，
圆心
0,1 到直线l 的距离为
2
0
2
0
1
4
1
x
d
x
- -
=
+
，
所以
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
1
1
2
2 4
2 4
4
1
4
1
x
x
AB
r
d
x
x
æ
ö
+
+
ç
÷
=
-
=
-
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
令
2
0
4
1
t
x
=
+ ，所以
2
0
1
4
t
x
-
=
，
所以
2
2
2
2
0
2
0
1
1
1
6
9
9
3
9
3
3
4
2
4
1
16
16
16
8
16
16
8
4
t
x
t
t
t
t
x
t
t
t
t
-
æ
ö
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
=
=
=
+
+
³
´
+
=
+
，
当且仅当
2
9
9
3
16
16
t
t
t
t
=
Þ
=
Þ =
时等号成立，
所以
2
2
0
2
0
1
3
2 4
2 4
13
4
1
4
x
AB
x
+
=
-
£
-
=
+
，
故选：B.
2．（24-25 高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆
1
C ：
2
2
4
x
y
+
=
和圆
2
C ：
2
2
2
2
4
x
y
-
+
-
=
，若点
,
(
0,
0)
P a b
a
b
在两圆的公共弦上，则1
9
a
b
+
的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】圆
1
C ：
2
2
4
x
y
+
= 和圆
2
C ：
2
2
2
2
4
x
y
-
+
-
=
两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：
2
x
y
+
=
，
又点
(
0
0)
P a
b
a
b
，
，
在两圆的公共弦上，即
2
a
b
+
=
，
则
1
9
1
1
9
2 a
b
a
b
a
b
æ
ö
+
=
+
×
+
ç
÷
è
ø
考点四
利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题
1
9
1
9
1
9
10
5
5
2
8
2
2
2
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
+
³
+
´
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
( 当且仅当
3
b
a
=
，即
1
2
a =
，
3
2
b =
时等号成立) ，即1
9
a
b
+
的最小值为8.
故选：D.
3．（24-25 高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆
2
2
1
3
2
x
y
+
= ，焦点是
1F ，
2F ，动点P 在椭圆上，则
1
2
cos
F PF
Ð
的
最小值（ ）
A．2
3
B．
1
2
C．1
3
D．1
6
【答案】C
【详解】在椭圆
2
2
1
3
2
x
y
+
= 中，
3
a =
，
2
b =
，
2
2
1
c
a
b
=
-
= ，
由椭圆定义可得
1
2
2
2 3
PF
PF
a
+
=
=
，
1
2
2
2
F F
c
=
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
2
2
PF
PF
F F
PF
PF
PF
PF
F F
F PF
PF
PF
PF
PF
+
-
-
×
+
-
Ð
=
=
×
×
2
1
2
1
2
12
4
8
8
1
1
1
1
2
6
3
2
2
PF
PF
PF
PF
-
=
- ³
- =
- =
×
æ
ö
+
´ç
÷
è
ø
，
当且仅当
1
2
3
PF
PF
=
=
时，等号成立，
因此，
1
2
cos
F PF
Ð
的最小值为1
3 .
故选：C.
4．（24-25 高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，椭圆存在一点
P ，若
1
2
120
F PF
Ð
=
o ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．
2
3
,
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
B．1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
3 ,1
2
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
D．1
3
,
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
【答案】C
【详解】设
1
1
|
|
PF
r
=
，
2
2
|
|
PF
r
=
，则1
2
2
r
r
a
+
=
，
在
1
2
F PF
V
中，
2
2
2
1
2
1 2
4
cos120
2
r
r
c
rr
o
+
-
=
，
所以
2
2
2
1
2
1 2
4
r
r
c
rr
+
-
= -
，得
2
2
1
2
1 2
1 2
(
)
2
4
r
r
rr
c
rr
+
-
-
= -
，
所以
2
2
1 2
4
4
a
c
rr
-
=
，
因为
1
2
1 2
2
2
a
r
r
rr
=
+
³
，当且仅当1
2
r
r
a
=
=
时，取等号，
所以
2
1 2
rr
a
£
，
所以
2
2
2
4
4
a
c
a
-
£
，所以
2
2
3
4
a
c
£
，
所以
2
2
3
4
c
a ³
，所以
3
2
c
e
a
=
³
，又0
1
e
<
< ，
所以
3
1
2
e
£
< .
故选：C
5．（24-25 高二下·河南周口·阶段练习）已知
1
2
,
F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点.若
1
2
60
F PF
°
Ð
=
，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ）
A．
3
4
B．
3
2
C．1
D．
3
【答案】B
【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点
1
2
,
F F 分别为左、右焦点，点P 在第一象限，
设椭圆的长半轴长为
1a ，双曲线的实半轴长为
2a ，
根据椭圆及双曲线的定义，得
1
2
1
2
PF
PF
a
+
=
，
1
2
2
2
PF
PF
a
-
=
，
∴
1
1
2
PF
a
a
=
+
，
2
1
2
PF
a
a
=
-
，
设
1
2
2
F F
c
=
，在
1
2
PFF
V
中，∵
1
2
60
F PF
°
Ð
=
，
由余弦定理，得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
cos60
c
a
a
a
a
a
a
a
a
°
=
+
+
-
-
+
-
，
化简得
2
2
2
1
2
3
4
a
a
c
+
=
，两边同除以
2c ，得
2
2
2
1
3
1
4
e
e
+
=
.
又∵
2
2
1
2
1 2
1
3
2 3
+
³
e
e
e e ，∴
1 2
2 3
4
e e £
，解得
1 2
3
2
³
e e
，当且仅当
2
1
3
e
e
=
，
即
1
2
2
6
,
2
2
e
e
=
=
时等号成立，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为
3
2
，
故选：B.
6．（2025·湖北襄阳·模拟预测·多选）若双曲线C ：
2
2
1
8
y
x -
= 的左，右焦点分别为
1F ，
2F ，过C 的右支上一点P
作圆
2
2
3
1
x
y
-
+
= 的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．若
1
2
0
PF PF
×
=
uuur uuuur
，则
1
2
PFF
V
的面积为8
B．若Q 为圆
2
2
3
1
x
y
-
+
= 上的一动点，则
2
PF
PQ
+
的最小值为3
C．PA PB
×
uuur uuur 的最小值为2 2
3
-
D．四边形
2
PAF B 面积的最小值为
3
【答案】ABD
【详解】圆
2
2
3
1
x
y
-
+
= 的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点
3,0
±
，
对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得
2
1
2
8
tan
2
b
S
F PF
=
=
Ð
，故A 正确；
对于B，由双曲线的定义可得
2
1
1
2
2
3
6
3
3
PF
PQ
PF
PQ
PF
PF
+
=
+
-
=
+
-
³
-
=
，
当P，
1F ，
2F 三点共线时取等号，故B 正确；
对于C，
2
2
2
2
2
2
cos2
1 1 2sin
PA PB
PA
APF
PF
APF
×
=
Ð
=
-
-
Ð
uuur uuur
uuur
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1 2
3
PF
PF
PF
PF
æ
ö
ç
÷
=
-
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
3
2 2
3
PF
PF
³
´
-
=
- ，
当
2
2
2
PF
=
时取等号，但
2
2
PF ³
，所以取不到等号，故C 错误；
对于D，
2
2
1
2
2
1
2
PAF B
PAF
S
S
PA
=
=
´
´
´
V
，所以当PA 最小时，四边形的面积最小，
由双曲线的性质可得当点P 位于右顶点时，PA 最小，所以
2
2
1
3
PA =
- =
，
所以四边形
2
PAF B 面积的最小值为
3 ，故D 正确.
故选：ABD
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
9
4
x
y
C
+
= 的两个焦点，点M 在C 上，则
1
2
1
1
MF
MF
+
的最小
值为
.
【答案】2
3
【详解】
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
9
4
x
y
C
+
= 的两个焦点，点M 在C 上，
1
2
6
MF
MF
+
=
，
所以
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
6
6
3
MF
MF
MF
MF
MF
MF
MF
MF
MF
MF
æ
ö
æ
ö
+
=
´
+
+
=
+
+
³
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当且仅当
1
2
3
MF
MF
=
= 时，取等号，
所以
1
2
1
1
MF
MF
+
的最小值为2
3 .
故答案为：2
3 .
8．（24-25 高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
m
n
m
n
+
=
与双曲线
2
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
有共同
的焦点
1F ，
2F ，点P 为两曲线的一个公共点，且
1
2
60
F PF
Ð
=
o ，椭圆的离心率为
1e ，双曲线的离心率为
2e ，那么
2
2
1
2
e
e
+
的最小值为
.
【答案】2
2
3
+
【详解】设两曲线的半焦距为c ，由余弦定理得：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
cos60
F F
PF
PF
PF PF
°
=
+
-
，
在椭圆中，
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1 cos60
F F
PF
PF
PF PF
=
+
-
+
° ，
又
1
2
2
PF
PF
m
+
=
，
1
2
2
F F
c
=
，
2
2
2
m
n
c
-
=
，
则
2
2
1
2
4
4
3
c
m
PF PF
=
-
，即
2
1
2
4
3
n
PF PF =
，
在双曲线中，
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1 cos60
F F
PF
PF
PF PF
=
-
+
-
° ，
又
1
2
2
PF
PF
a
-
=
，
1
2
2
F F
c
=
，
2
2
2
a
b
c
+
=
，
则
2
2
1
2
4
4
c
a
PF PF
=
+
，即
2
1
2
4
PF PF
b
=
，
从而
2
2
4
4
3
n
b
=
，得
2
2
3
n
b
=
，0
则
2
2
2
2
2
3
m
n
c
b
c
=
+
=
+
，
2
2
2
a
c
b
=
-
，即
2
2
2
3
4
m
a
c
+
=
，
则
2
2
2
2
3
4
m
a
c
c
+
=
，即
2
2
2
1
3
1
4
e
e
+
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
1
1
3
1 4
4
4
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
1
2
2
1
2
3
1
1
2
3
4
2
4
2 3
4
4
2
e
e
e
e
æ
ö
+
³
+
×
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2
2
2
1
2
2
1
2
3
e
e
e
e
=
，即
2
2
2
1
3
3
3
4
e
e
+
=
=
时等号成立，
即
2
2
1
2
e
e
+
的最小值为2
2
3
+
.
故答案为：2
2
3
+
.
9．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）已知直线
1
2
y
x
=
与双曲线
2
2
2
:
1
0
2
x
y
C
a
a -
=
相交于A ，B 两点，且A ，B 两
点的横坐标之积为
8
3
-
．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2) M 是双曲线C 上的一个动点，过M 作C 的渐近线的两条垂线，垂足分别为D ，E ，求四边形MDOE 周长的最
小值．
【答案】(1) 2
(2)4
【详解】（1）联立方程组
2
2
2
1
2
1
2
y
x
x
y
a
ì
=
ïïí
ï
-
=
ïî
得
2
2
2
8
8
0
a
x
a
-
-
=
，
所以
2
8
0
a
-
¹
，且
2
2
8
8
8
3
a
a
-
= -
-
，故
2
2
a =
．
因此，双曲线C 的离心率为
2
2
1
2
e
a
=
+
=
．
（2）
由（1）知双曲线C 的两条渐近线方程为
0
x
y
+
=
和
0
x
y
-
=
，两条渐近线互相垂直，所以四边形MDOE 为矩形．
设
0
0
,
M x
y
，有
2
2
0
0
1
2
2
x
y
-
= ，则
0
0
0
0
1
2
2
x
y
x
y
MD
ME
-
+
×
=
×
= ，
所以四边形MDOE 周长为
2
4
4
MD
ME
MD
ME
+
³
×
=
，
当
1
MD
ME
=
= ，即
0
2
x = ±
时等号成立．
故四边形MDOE 周长的最小值为4．
10．（24-25 高二下·河南新乡·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
的离心率为
3
2
，过点( 2,0)
-
的直线1l 交
E 于,
B C 两点，当1l
y
^
轴时，|
| 4 2
BC =
．
(1)求E 的标准方程；
(2)设点O 为坐标原点，
0
0
,
P x
y
为E 上一点，且P 在第一象限，过点P 的直线
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
+
= 交x 轴y 轴分别于
点,
S T ，且当点P 与点A 重合时，OST
V
的面积最小．
（ⅰ）求点A 的坐标；
（ⅱ）记
ABC
V
的垂心为点H，求点H 的横坐标的最小值．
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
+
=
(2)（ⅰ）(2,1) ；（ⅱ）
73
4
-
．
【详解】（1）由过点( 2,0)
-
的直线1l 交E 于,
B C 两点，当1l
y
^
轴时，|
| 4 2
BC =
，
可知2
4 2
2 2
a
a
=
Þ
=
，
又因为
3
2
c
e
a
=
=
，所以
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
4
2
b
b
a
c
c
e
a
a
a
a
-
=
=
=
-
=
-
=
-
=
，
即
1
2
2
b
a
=
=
，
所以E 的标准方程为
2
2
1
8
2
x
y
+
= ．
（2）（i）易得
0
0
0
0
0,
0, :
1
8
2
x x
y y
x
y
l
+
= ．
所以点S 的坐标为
0
8 ,0
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，点T 的坐标为
0
2
0, y
æ
ö
ç
÷
è
ø
．所以OST
V
的面积为
0
0
8
x y ，
又因为
2
2
0
0
0
0
1
8
2
2
x
y
x y
=
+
³
，当且仅当
0
0
2,
1
x
y
=
= 时取等号，所以
0
0
8
4
x y ³
，
故点A 的坐标为(2,1) ．
（ⅱ）当直线1l 的斜率为0 时，直线方程为
0
y =
，
不妨设
( 2 2,0),
(2 2,0)
B
C
-
，点
( , )
H s t ，
由
0
BC AH
×
=
uuur uuur
，即(4 2,0) (
2,1
)
0
s
t
×
-
-
=
，得
2
s =
，由
0
BH AC
×
=
uuur uuur
，
即(
2 2, ) (2 2
2, 1)
0
s
t
+
×
-
-
=
，得
4
t =
，故
(2,4)
H
．
当直线1l 的斜率不为0 时，设直线1l 的方程为
2(
4)
x
my
m
=
-
¹
，
点
1
1
,
B x y
，点
2
2
,
C x
y
，点
( , )
H s t ．
联立
2
2
1
8
2
2
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
4
4
4
0
m
y
my
+
-
-
=
，
所以
1
2
1
2
2
2
4
4
,
4
4
m
y
y
y y
m
m
-
+
=
=
+
+
．
因为
2
1
2
1
2
1
2
1
,
,
,
2,
1
BC
x
x y
y
my
my
y
y
AH
s
t
=
-
-
=
-
-
=
-
-
uuur
uuur
，
由
0
BC AH
×
=
uuur uuur
，得
(
2)
1
0
m s
t
-
+ - =
，即
1
(2
)
t
m
s
= +
-
．
又因为
2
2
1
1
,
,
2,
1
HC
x
s y
t
AB
x
y
=
-
-
=
-
-
uuur
uuur
，
由
0
HC AB
×
=
uuur uuur
，得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
x x
sx
x
s
y y
ty
y
t
-
-
+
+
-
-
+ =
，
注意到
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4,
4
x x
m y y
m y
y
x
x
m y
y
=
-
+
+
+
=
+
-
，且
1
(2
)
t
m
s
= +
-
，
代入上式得
2
1
2
1
2
1
(4
1)
2
(4
)
9
0
m
y y
m
y
y
m
m s
+
-
+
+
+
+
-
+
=
，
所以
2
2
2
4
4
1
(4
1)
2
4
4
m
m
m
m
m
m
-
+
-
+
+
+
+
+
(4
)
9
0
m s
-
+ =
，
这等价于
2
2
20
4
4
2
(4
)
9
4
m
m
m
m s
m
+
+
+
-
+
=
+
，
所以
2
3
2
2
2
(
4) 2
3
8
2
11
4
32
(
4)
4
4
m
m
m
m
m
m
m
s
m
m
-
-
-
-
+
+
-
=
=
+
+
．
故
2
2
2
2
3
8
3
16
2
4
4
m
m
m
s
m
m
-
-
+
=
=
-
+
+
，
设3
16
m
p
+
=
，则
16
3
p
m
-
=
，又
4
m ¹
，所以
3
28,
5
p
s
¹
¹
，
所以
2
2
16
4
3
p
s
p
=
-
-
æ
ö +
ç
÷
è
ø
，当
0
p =
时，
2
s =
，
当
0
p
时，
2
9
2
16
36
32
s
p
p
=
-
+
+
-
，
由
2
2
16
36
2 16
36
4 73
p
p
+
+
³
+
=
，当且仅当
2 73
p =
时等号成立，
即
2 73
16
3
m
-
=
，所以
9
73
2
2
4
4 73
32
s
-
= -
£
<
-
，
当
0
p <
时，
2
16
36
4 73
p
p
+
+
£ -
，当且仅当
2 73
p = -
时等号成立，
所以
9
73
2
2
4
4 73
32
s
<
£
-
=
-
-
，
综上所述，点H 的横坐标的最小值为
73
4
-
．
11．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知
,
A B 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
的左、右顶点，
6 2,
,
ab
M N
=
均为
椭圆C 上异于顶点的点，H 为椭圆C 上的点，直线HM 经过左焦点
1F ，直线HN 经过右焦点
2 1,0
F
．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)试问
1
2
1
2
HF
HF
MF
NF
+
是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)设
HMN
△
的面积与
1
2
HF F
V
的面积分别为
1 2
,
HMN
HF F
S
S
V
V
，求
1 2
HMN
HF F
S
S
V
V
的最小值．
【答案】(1)
2
2
1
9
8
x
y
+
=
(2)
1
2
1
2
|
|
|
|
5
|
|
|
|
2
HF
HF
MF
NF
+
=
(3) 81
25
【详解】（1）依题意可得：
2
2
6 2
1
ab
a
b
ì
=
ïí
-
=
ïî
，解得
2
9
a =
，
2
8
b =
，
所以椭圆C 的标准方程
2
2
1.
9
8
x
y
+
=
（2）
易得
1
1,0
F -
，
2 1,0
F
，设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
M x y
N x y
H x y
，
1
HM
tHF
=
uuuur
uuuur
，
2
,1
,1
,
HN
kHF t
k
=
uuur
uuuur
则
1
0
1
0
1
1
x
t x
t
y
t y
ì
=
-
-
ïí
=
-
ïî
，
所以
2
2
0
0
2
2
0
0
1,
9
8
1
1
1,
9
8
x
y
t x
t
t y
ì
+
=
ïïíé
ù
é
ù
-
-
-
ïë
û
ë
û
+
=
ïî
①
②
2
1 t
´
-
-
①
②得
2
0
2
2 1
2
9
t
t x
t
t
t
-
-
=
-
，
0
0
0
9
4
1
5
5
x
t
x
x
+
=
= +
+
+
，
同理可得
0
0
0
9
4
1
5
5
x
k
x
x
-
=
= -
-
-
，
则
0
0
1
2
1
2
5
5
|
|
|
|
1
1
5
|
|
|
|
1
1
4
4
2
x
x
HF
HF
MF
NF
t
k
+
-
+
=
+
=
-
=
-
-
.
（3）由（2）易得
1 2
1
2
1
2
1 |
| |
| sin
|
| |
|
2
.
1
|
| |
|
|
| |
| sin
2
HMN
HF F
HM
HN
MHN
S
HM
HN
tk
S
HF
HF
HF
HF
MHN
×
Ð
×
=
=
=
×
×
Ð
V
V
由1
1
5
1
1
2
t
k
+
=
-
-
，得5
7(
)
9.
tk
t
k
=
+
-
因为
,
1
1
,
t
k
所以
5
7
9
14
9
tk
t
k
tk
=
+
-
³
-
，解得
81
25
tk ³
或
1
tk £ (舍去)，
当且仅当
9
5
t
k
=
=
时，等号成立，
故
1 2
HMN
HF F
S
S
V
V
的最小值为81
25 .
12．（24-25 高二下·安徽·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且
1
2
4
F F =
.
(1)求C 的实轴长与虚轴长之积的最大值.
(2)若过点
2F 的直线与C 的右支交于P，Q 两点，直线
1
PF 与y 轴交于点
2
,
A PAF
V
的内切圆与边
2
AF 相切于点B ，且
|
| 1
AB = .
（i）求C 的方程；
（ii）记
1
2
PFF
V
的内切圆面积为
1
1
2
,
S
QF F
V
的内切圆面积为
2S ，求
1
2
S
S
+
的取值范围.
【答案】(1)8
(2)（i）
2
2
1
3
y
x -
= （ii）
10π
2π, 3
é
ö
÷
êë
ø
【详解】（1）设C 的半焦距为(
0)
c c
.
因为
1
2
4
F F =
，所以
2
c =
，
由题可知
2
2
2
4,
a
b
c
C
+
=
=
的实轴长为2a，虚轴长为2b，
因为
2
2
2
2
4
2
8
a
b
ab
a
b
×
=
£
+
=
，当且仅当
2
a
b
=
=
时等号成立，
所以C 的实轴长与虚轴长之积的最大值为8.
（2）（i）设
2
PAF
△
的内切圆分别与
2
,
PA PF 相切于点M，N，如图.
由切线长定理可知
2
2
,
,
PM
PN
F B
F N
AM
AB
=
=
=
，
因为
1
2
AF
AF
=
，
所以
1
2
1
2
PF
PF
PM
AM
AF
PN
F N
-
=
+
+
-
+
1
2
2
2
2
2
AM
AF
F N
AB
AF
F B
AB
=
+
-
=
+
-
=
=
，
即2
2,
1
a
a
=
=
所以
4 1
3
b =
- =
，
则C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= ；
（ii）如图，设两内切圆圆心分别为
1
2
,
O O ，半径分别为1
2
1
2
1
2
, ,
,
,
r r PF PF F F 与圆
1
O 分别相切于点
, ,
R S T .
由切线长定理可得
1
2
1
2
PF
PF
PR
RF
PS
SF
-
=
+
-
+
1
2
1
PR
TF
PR
TF
TF
=
+
-
+
=
-
2
TF = 2
2
a =
，
因为
1
2
2
4
TF
TF
c
+
=
=
，所以
1
2
3,
1
TF
TF
=
= ，
所以T 是C 的右顶点(1,0) .
因为
1
OT
x
^
轴，所以点
1
O 的横坐标为1，
同理可求得点
2
O 的横坐标也为1，
设直线PQ 的倾斜角为q ，则
2
1
π 2π
,
,
π
3
3
PF F
q
q
æ
ö
Î
Ð
=
-
ç
÷
è
ø
.
在Rt
1
2
OTF
△
，Rt
2
2
O TF
V
中，有1
2
π
sin
cos
π
1
2
2
2
tan
,
tan
π
2
2
2
sin
tan
cos
2
2
2
2
r
r
q
q
q
q
q
q
q
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
-
=
=
=
=
ç
÷
æ
ö
è
ø
-
ç
÷
è
ø
.
易知
π π
,
2
6 3
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
设
2
tan 2
t
q
=
，则
1 ,3
3
t
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
2
2
2
1
2
2
1
1
tan 2
tan 2
r
r
t
t
q
q
+
=
+
= +
，
令
1
( )
f t
t
t
= + ，则
( )
f t 在区间1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，在区间(1,3)上单调递增.
因为
1
1
1
10
(1)
1
2,
(3)
3
1
3
3
3
f
f
f
æ
ö
= +
=
=
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
( )
f t 在区间1 ,3
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上的值域是
10
2, 3
é
ö÷
êë
ø .
故
2
2
1
2
1
2
π
S
S
r
r
+
=
+
的取值范围是
10π
2π, 3
é
ö
÷
êë
ø
.
1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平
方向上速度为v （单位：米/秒）时的跳跃高度H （单位：米）满足
2
2
4
1
H
v
Hv
= -
，则该类昆虫的最大跳跃高度为
（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
【答案】A
【详解】由
2
2
4
1
H
v
Hv
= -
可知
2
4
4
v
Hv
H
-
=
，且
0
v
，
故
2
2
4
4
1
4
4
2 4
v
v
H
v
v
=
£
=
+
，
当且仅当
2
2
v =
即
2
v =
时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：A.
2．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的
方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单
位：米）近似满足
2
2
4
1
H
v
Hv
= -
的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2 米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7 米
【答案】B
【详解】由
2
2
4
1
H
v
Hv
= -
可知
2
4
4
v
Hv
H
-
=
，故
2
2
4
4
1
4
4
2 4
v
v
H
v
v
=
£
=
+
，
当且仅当
2
2
v =
时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：B.
3．（24-25 高二下·广西南宁·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g 黄金，
售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘
中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数
（ ）
A．大于10 克
B．等于10 克
C．小于10 克
D．与砝码放置顺序有关
【答案】A
【详解】设天平左臂长为a ，右臂长为
b a
b
¹
第一次称重：左盘放5g 砝码，右盘黄金质量为
1
m ，根据杠杆原理，
1
5a
m b
=
，解得：
1
5a
m
b
=
考点五
基本不等式的实际应用
第二次称重：右盘放5g 砝码，左盘黄金质量为
2
m ，根据杠杆原理，
2
5
m a
b
=
，解得
2
5b
m
a
=
两次黄金总质量为：
1
2
5
5
5
a
b
a
b
m
m
b
a
b
a
æ
ö
+
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
因为a
b
¹
，由基本不等式
2
2
a
b
a b
b
a
b a
+
×
=
（当且仅当a
b
=
时取等号），所以：
5
5 2
10
a
b
b
a
æ
ö
+
´
=
ç
÷
è
ø
因此，顾客得到的黄金实际克数大于10克
故选：A.
4．（24-25 高二下·河北保定·期末）若要用铁皮制作一个容积为
3
4π m
3
的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最
小值为（ ）
A．
2
2 2πm
B．
2
2 3πm
C．
2
4πm
D．
2
2 5πm
【答案】B
【详解】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，高度为h ，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1
4π
16
π
π
4
3
3
3
V
R h
R
l
R
R
l
R
l
R
R
=
=
-
=
Þ
-
=
Þ
=
+
，
2
2
2 2
2
2
2
2
4
2
4
4
2
2
2
16
16
8
8
π
π
π
π
π
S
Rl
S
R l
R
R
R
R
R
R
R
R
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
Þ
=
=
+
=
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
所以
2
2
4
2
4
2
3
2
2
2
2
8
8
8
8
π
π
3
12π
S
R
R
R
R
R
R
æ
ö
=
+
+
³
×
×
×
=
ç
÷
è
ø
，即
2 3π
S ³
当且仅当
4
2
2
8
8
R
R
R
=
=
，即
2
R =
时，取等号.
故选：B
5．（25-26 高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品
价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一
定．购物方式比较经济的是第
种，针对上述现象，对于任意两个正实数a ，b ，可得到不等关系
是
．
【答案】
二
2
2
a
b
ab
a
b
+
³
+
，,
R
a b
+
Î
（或者
2
1
1
2
a
b
a
b
+
³
+
）
【详解】依题意，假设第一次价格为
1
x ，第二次价格为
2x ，
1
2
x
x
¹
，
第一种方式购买的平均价格为
1
2
2
x
x
+
，
第二种方式，设每次购买的花费为s，则购买的平均价格为
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
x x
s
s
s
x
x
x
x
x
x
=
=
+
+
+
，
由基本不等式得
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
+
æ
ö
´ç
÷
+
è
ø
<
=
+
+
，
所以选第二种方式比较经济；
不等关系是：
2
2
a
b
ab
a
b
+
³
+
，,
R
a b
+
Î
，等号成立时a
b
=
.
故答案为：二；
2
2
a
b
ab
a
b
+
³
+
，,
R
a b
+
Î
6．（24-25 高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，利用一堵长8m，高3m 的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于
空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900 元/m2，仓库底面的建造成本为600 元
/m2．整个仓库的建造成本预算为32400 元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为
m3．
【答案】36
【详解】设仓库长为a m，高为b m，
则
3
3
900
3
600
32400
b
b
ab
a
+
+
´
+
´
=
，
即6
2
36
b
ab
a
+
+
=
，其中0
8,0
3
a
b
<
£
<
£
，
因为6
2
36
4 3
b
ab
a
ab
ab
+
+
=
³
+
，
即
2 3
4 3
0
ab
ab
-
+
£
,
所以0
12
ab
<
£
，当且仅当
3
6
a
b
=
=
m 时取等号，
所以仓库的储物量
3
36
V
ab
=
£
3
m ，
即仓库的储物量的最大值为
3
36m .
故答案为：36.
7．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色
发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3 米，宽度为
6,10
xÎ
（单位：米），
地面面积为81 平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200 元，屋顶和地面报价共计7200 元，总计报价记为
P x ；
方案二：其给出的整体报价为
3
1200
1
f x
m x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 元，
0
m
(1)当宽度为8 米时，方案二的报价为29700 元，求m 的值；
(2)求
P x 的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的
6,10
xÎ
时，方案二都比方案一省钱，求m 的取值范围.
【答案】(1)18
(2)
81
1200
7200,
6,10
P x
x
x
x
æ
ö
=
+
+
Î
ç
÷
è
ø
28800
(3)
17
0，
【详解】（1）宽度为8 米时，方案二的报价为29700 元，
3
8
1200
1
29700
18
8
f
m
m
æ
ö
\
=
+
=
Þ
=
ç
÷
è
ø
，
所以m 的值为18.
（2）设底面长为y ，
81
81
S
xy
y
x
=
=
Þ
=
，
所以墙面面积为
81
2
3
6
x
y
x
x
æ
ö
+
´ =
+
ç
÷
è
ø，
81
1200
7200,
6,10
P x
x
x
x
æ
ö
=
+
+
Î
ç
÷
è
ø
，
81
1200
7200
28800
P x
x
x
æ
ö
=
+
+
³
ç
÷
è
ø
，当
81
9
x
x
=
=
时取等，
所以
81
1200
7200,
6,10
P x
x
x
x
æ
ö
=
+
+
Î
ç
÷
è
ø
，最小值为28800 .
（3）对任意的
6,10
Î
x
时，方案二都比方案一省钱，
即
6,10
Î
x
时，
3
81
1200
1
1200
7200
m
x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
<
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
恒成立，
整理得
2
min
6
81
3
é
ù
+
+
< ê
ú
+
ë
û
x
x
m
x
，
因为
2
6
81
72
3
3
3
x
x
y
x
x
x
+
+
=
=
+ +
+
+
，
6,10
Î
x
，
设
3
t
x
=
+
，则
72
y
t
t
= +
，
9,13
Î
t
又由对勾函数性质可得
72
y
t
t
= +
在在
9,13 上单调递增，
2
min
6
81
72
9
17
3
9
é
ù
+
+
<
=
+
=
ê
ú
+
ë
û
x
x
m
x
，
又
0
m
，所以
017
mÎ
，
，
所以方案二都比方案一省钱，m 的取值范围为
017
，
.
8．（24-25 高一下·甘肃兰州·阶段练习）2025 年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人
研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形ACDE 中，在点A
处放置机器狗，在AC 的中点B 处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知
8
AC =
米，足球运
动速度为v 米/秒，设机器狗在点F 处捕捉到足球，若点F 在矩形ACDE 内（含边界），则捕捉成功．记足球和机
器狗的运动方向与AC
uuur
所成夹角分别为
π
(0
π),
0
2
a
a
b
b
æ
ö
£
£
£
£
ç
÷
è
ø ．
(1)当AE 长度不受限制，
π
3
a =
时，机器狗以3v 米/秒的速度捕捉足球，则b 为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为π ,
3 AE 长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动
的总路程的最大值．
【答案】(1)
π
6
b =
(2)8 米
【详解】（1）在
ABF
△
中，由正弦定理知sin(π
)
sin
AF
BF
a
b
=
-
，即sin
sin
AF
BF
a
b
=
，
因为
3
AF
BF
=
，
π
3
a =
，所以
3
π
sin
sin 3
BF
BF
b
=
，
解得
1
sin
2
b =
，因为
π
0
2
b
£
£
，所以
π
6
b =
，
此时
4
BF
BA
=
=
，因为
cos
2
4
BF
a
×
=
<
，所有点F 在矩形ACDE 内，捕捉成功．
（2）在
ABF
△
中，由余弦定理知
2
2
2
2
2
cos
(
)
3
3
AB
AF
BF
AF BF
AF
BF
AF BF
=
+
-
×
×
=
+
-
×
，
故
2
2
(
)
16
3
16
3
2
AF
BF
AF
BF
AF BF
+
æ
ö
+
=
+
×
£
+ ´ç
÷
è
ø
，
整理得
2
16
4
AF
BF
+
£
，
即
8
AF
BF
+
£
，当且仅当
4
AF
BF
=
=
时等号成立，此时
2π
3
a =
，
cos
2
4
BF
a
×
=
<
，点F 在矩形ACDE 内，捕捉成功．
故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8 米．
9．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）国家规定：中小学校每年组织一次在校学生乙肝病毒筛查体检.某学校现有
学生4000 名，假设每名学生携带乙肝病毒的概率是
%
m
，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者.如果对
每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000 次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k
个人进行分组，将各组k 个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性；如果混合血样呈
阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性
还是阳性相互独立.
(1)若
0 4
m = . ，记每人血样平均化验次数为X ，当k 取何值时，X 的数学期望最小；
(2)若
0.8
m =
，设每人血样单独化验一次费用5 元，k 个人混合化验一次费用共
4
k +
元.求当k 取何值时，每人血样
平均化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.
参考数据及公式：10
3.16
»
，
*
1
1
,
2,
0.01
n
x
nx n
n
x
+
» +
Î
³
£
N
.
【答案】(1)
16
k =
(2)
10
k =
，7200 元
【详解】（1）每人血样平均化验次数为X ，
若混合血样呈阴性，则
1
X
k
=
，若混合血样呈阳性，则
1
1
X
k
=
+ ，
所以
1
0.996k
P X
k
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，
1
1
1 0.996k
P X
k
æ
ö
=
+
= -
ç
÷
è
ø
，
则
1
1
1
(
)
0.996
1
1 0.996
1
0.996
k
k
k
E X
k
k
k
æ
ö
=
´
+
+
´
-
= +
-
ç
÷
è
ø
1
1
1
(1 0.004)
0.004
k
k
k
k
= +
-
-
»
+
.
令
1
0.004
f x
x
x
=
+
，
0,
xÎ
+¥ ，即
1
250
x
f x
x
=
+
，
则
2
2
2
2
5 10
5 10
1
1
250
250
250
x
x
x
f
x
x
x
x
-
+
-
¢
= -
+
=
=
，
所以当0
5 10
x
<
<
时
0
f
x
¢
<
，当
5 10
x
时
0
f
x
¢
，
所以
f x 在
0,5 10 上单调递减，在
5 10, ¥
+
上单调递增，
因为
Z
k Î
，且
1
(15)
0.004 15
0.1267
15
f
=
+
´
»
，
16
0.1265
f
=
，
所以当
16
k =
时，
E X 取得最小值，为0.1265.
（2）设每组k 人，每组化验总费用为Y 元，
若混合血样呈阴性，则
4
Y
k
=
+
；若混合血样呈阳性，则
6
4
Y
k
=
+
，
且
4
0.992k
P Y
k
=
+
=
，
6
4
1 0.992k
P Y
k
=
+
= -
，
所以
4
0.992
6
4
1 0.992
6
5
0.992
4
k
k
k
E Y
k
k
k
k
=
+
´
+
+
´
-
=
-
´
+
，
则每人血样化验的费用为
( )
4
4
4
6
5 0.992
6
5 (1 0.008)
6
5 (1 0.008 )
k
k
E Y
k
k
k
k
k
=
- ´
+
=
- ´
-
+
»
- ´
-
+
4
4
1 0.04
1
2 0.04
1.8
k
k
k
k
= +
+
³ +
×
=
，
当且仅当
4
0.04k
k
=
，即
10
k =
时取等号，
即10个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小，
此时化验总费用为4000 1.8
7200
´
=
（元）．
10．（25-26 高二上·辽宁·阶段练习）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y
（千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为
2
144 ,
0,30
379
144
,
30,
58
1225
v v
y
v
v
v
v
¥
ì
Î
ïï
= í
ï
Î
+
ï
-
+
î
.
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过9 千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位）
【答案】(1)当汽车的平均速度为35 千米/时时，车流量最大，最大车流量是12 千辆/时
(2)
24,49
【详解】（1）因为
2
144 ,
0,30
379
144
,
30,
58
1225
v v
y
v
v
v
v
¥
ì
Î
ïï
= í
ï
Î
+
ï
-
+
î
，
当
0,30
vÎ
时，
4320
0, 379
y
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
当
30,
v
¥
Î
+
时，
2
144
144
144
12
1225
58
1225
2 1225
58
58
v
y
v
v
v
v
=
=
£
=
-
+
-
+
-
，
当且仅当
1225
v
v
=
，即
35
v =
时等号成立，因为4320
11 12
379 »
<
，
所以当汽车的平均速度为35 千米/时时，车流量最大，最大车流量是12 千辆/时.
（2）当
0,30
vÎ
时，由144
9
379 v
，解得
9 379
23.6875
24
144
v
´
=
»
，当
24
v =
时，满足题意，即24
30
v
≤≤
；
当
30,
v
¥
Î
+
时，由
2
144
9
58
1225
v
y
v
v
=
-
+
及
2
2
58
1225
29
384
0
v
v
v
-
+
=
-
+
，
可得
2
144
9
58
1225
v
v
v
-
+
，
即
2
74
1225
0
v
v
-
+
<
，解得25
49
v
<
<
，即30
49
v
<
<
.
故汽车的平均速度应在
24,49 范围内.
11．（24-25 高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的
麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，经测量
2
AB
BC
CD
=
=
=
，
2 2
AD =
．
(1)霍尔顿发现无论BD 多长，
2cos
cos
A
C
-
为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增
大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记
ABD
△
与
BCD
△
的
面积分别为
1S 和
2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求
2
2
1
2
S
S
+
的最大值；
(3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD 的长度平方成正比，比例系数为k ，而总收益与
2
2
1
2
S
S
+
成正比，比例系
数为m （其中
0
k
，
0
m
，
10
4
12
8 2
16
m
k
m
-
-
<
<
）.若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的
BD 长度，并写出此时的最大净收益表达式．
【答案】(1)验证见解析，
1
2cos
cos
2
A
C
-
=
(2) 23
2
(3)
10
4
m
k
BD
m
-
=
，
2
2
max
23
20
4
2
m
km
k
y
m
-
+
=
【详解】（1）在
ABD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BD
AB
AD
AB AD
A
=
+
-
×
×
，
即
2
4 8 8 2cos
12 8 2cos
BD
A
A
=
+ -
=
-
，
在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BD
CB
CD
CB CD
C
=
+
-
×
×
，
即
2
4
4
8cos
8
8cos
BD
C
C
=
+
-
=
-
，
所以12
8 2cos
8
8cos
A
C
-
=
-
，
即
1
2cos
cos
2
A
C
-
=
．
所以无论BD 多长，
1
2cos
cos
2
A
C
-
=
．
（2）
1
1
1
sin
2 2 2sin
2 2sin
2
2
S
AB AD
A
A
A
=
×
×
=
´ ´
=
，
2
1
1
sin
2 2sin
2sin
2
2
S
CB CD
C
C
C
=
×
×
=
´ ´
=
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
8sin
4sin
12
8cos
4cos
S
S
A
C
A
C
+
=
+
=
-
-
，
由（1）知，
1
2cos
cos
2
A
C
-
=
，
即
1
cos
2cos
2
C
A
=
-
，代入上式，
得
2
2
2
2
2
1
2
1
12
8cos
4
2cos
16cos
4 2cos
11
2
S
S
A
A
A
A
æ
ö
+
=
-
-
-
= -
+
+
ç
÷
è
ø
，
配方得
2
2
2
1
2
2
23
16 cos
8
2
S
S
A
æ
ö
+
= -
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，当
2
cos
8
A =
时，
2
2
1
2
S
S
+
取到最大值为23
2 ．
（3）设BD
x
=
，净收益为y ，则
2
2
2
1
2
y
m s
s
kx
=
+
-
，
由（1）知
2
12 8 2cos
x
A
=
-
，
2
8
8cos
x
C
=
-
，
则
2
12
cos
8 2
x
A
-
=
且
2
12 8 2
16
x
-
<
<
．
由（2）知
2
4
2
2
2
1
2
2
23
5
16 cos
1
8
2
8
2
x
S
S
A
x
æ
ö
+
= -
-
+
= -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
4
2
2
2
2
2
4
2
1
2
5
5
1
8
2
8
2
x
m
m
y
m s
s
kx
m
x
kx
x
k x
m
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
-
+
-
-
= -
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
令
2x
t
= ，（12
8 2
16
t
-
< <
），则
2
5
8
2
m
m
y
t
k t
m
æ
ö
= -
+
-
-
ç
÷
è
ø
，
所以
5
10
4
2
12
8 2,16
2
8
m
k
m
k
t
m
m
-
-
= -
=
Î
-
æ
ö
´ -
ç
÷
è
ø
，即当
10
4
m
k
x
m
-
=
时，
所以
2
2
2
max
10
4
5
2
10
4
23
20
4
8
2
2
m
m
k
m
k
m
k
m
km
k
y
m
m
m
m
-
-
-
-
+
æ
ö
æ
öæ
ö
= -
+
-
=
ç
÷
ç
֍
÷
è
ø
è
øè
ø
．
12．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校举行了一场知识竞赛，有A
B
、两类题型，每道A 类题有两道小
题，每位同学答对这两题的概率分别为
0p 、
1p ，两道小题全对可得50 分，否则得0 分. B 类题为25 分，只有一个
小题，每位同学答对的概率为
0
0
0
q
p
q
£
，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A
类题两道B 类题；方案二：选择答两道A 类题.
(1)若
0
1
1
p
p
+
= ，对于方案二，试探究
0p 取何值时，满分的概率最高；
(2)若
0
0
1
1
1
,
2
4
p
q
p
=
=
=
，求选择方案一学生得分的分布列；
(3)若
1
0
0
0
0
1 2
,2
1
p
p q
p
q
= -
+
= ，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道A 类题只需答对任意一道小题即可
得50 分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题.
【答案】(1) 1
16 ；
(2)分布列见解析；
(3)应选择方案二，理由见解析
【详解】（1）记选择方案二学生的得分为X ，
2
0
1
100
P X
p p
=
=
，
2
0
1
0
1
1
4
4
p
p
p p
+
£
=
Q
，当且仅当
0
1
1
2
p
p
=
=
时取等，
此时满分概率为1
16 ；
（2）在方案一中，记A 类题得分为
1Y ，B 类题得分为
2
Y ，选择方案一学生得分为Z ，
1
1
1
1
1
1
7
50
,
0
1
2
4
8
8
8
P Y
P Y
=
=
´
=
=
= -
=
，
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
,
25
C
,
50
2
2
4
2
2
2
2
2
4
P Y
P Y
P Y
=
=
´
=
=
=
´
=
=
=
´
=
，
由题可知Z 可能的取值为0、25、50、75、100，
7
1
7
7
1
7
7
1
1
1
1
0
,
25
,
50
8
4
32
8
2
16
8
4
8
4
4
P Z
P Z
P Z
=
=
´
=
=
=
´
=
=
=
´
+
´
=
，
1
1
1
1
1
1
75
,
100
8
2
16
8
4
32
P Z
P Z
=
=
´
=
=
=
´
=
，
Z 的分布列为
Z
0
25
50
75
100
P
7
32
7
16
1
4
1
16
1
32
（3）应选择方案二，理由如下：
方法一：记A、B 类题得分分别为事件A、B，当A 类题只需答对一道得50 分为事件A¢，
由
0
0
0
0
2
1
p
q
p
q
+
=
£
可得
0
0
1 2
p
p
£ -
，解得
0
1
0
3
p
<
£
，
2
2
,
E Z
E A
B
E A
E B
E X
E A
E A
=
+
=
+
=
¢
+
，
故
2
E Z
E X
E B
E A
-
=
-
¢ ，
其中
0
0
0
25
0 1
25
E B
q
q
q
=
+
-
=
，
0
1
0
1
0
0
0
50 1
1
1
0 1
1
50 1 2 1
E A
p
p
p
p
p
p q
é
ù
é
ù
=
-
-
-
+
-
-
=
-
-
ë
û
ë
¢
û ，
所以
0
0
0
0
2
50
50 100 1
E Z
E X
E B
E A
q
p
p q
-
=
-
-
+
-
¢ =
0
0
0
0
0
0
0
0
50 1 2
50 100 1
1 2
100 1
1 2
100
p
p
p
p
p
p
p
p
=
-
-
+
-
-
=
-
-
-
2
0
0
0
0
0
100
1
1 2
1
100
2
3
0
p
p
p
p
p
é
ù
=
-
-
-
=
-
<
ë
û
，
所以
E Z
E X
<
，应选择方案二；
方法二：由
0
0
0
0
2
1
p
q
p
q
+
=
£
可得
0
0
1 2
p
p
£ -
，解得
0
1
0
3
p
<
£
，
若选择方案一，学生得分Z 可能的取值分别是0、25、50、75、100，
2
1
0
1
0
0
1
2
0
0
0
1
1
,
25
1
C
1
P Z
p p
q
P Z
p p
q
q
=
=
-
-
=
=
-
-
，
2
2
1
0
1
0
0
1
0
0
1
2
0
0
50
1
1
,
75
C
1
P Z
p p
q
p p q
P Z
p p
q
q
=
=
-
+
-
=
=
-
，
2
0
1
0
100
P Z
p p q
=
=
，
所以
2
1
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
1
0
25 1
C
1
50
1
50 1
E Z
p p
q
q
p p
q
p p q
=
-
-
+
-
+
-
1
2
0
1
2
0
0
0
1
0
75
C
1
100
p p
q
q
p p q
+
-
+
2
2
2
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
50 1
1
50 1
50
1
150
1
100
p p q
q
p p q
p p
q
p p q
q
p p q
é
ù
=
-
-
+
-
+
-
+
-
+
ë
û
2
2
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
50 1
50
1
150
1
100
p p q
p p
q
p p q
q
p p q
=
-
+
-
+
-
+
2
2
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
50
50
50
1
150
150
100
q
p p q
p p
q
p p q
p p q
p p q
=
-
+
-
+
-
+
2
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
50
50
1
100
50
q
p p
q
p p q
p p q
=
+
-
+
-
2
2
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
50
50
1 2
100
50
q
p p
q
q
p p q
p p q
=
+
-
+
+
-
2
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
50
100
50
100
5
50
0
q
p p
p p q
p p q
p p q
p p q
+
+
-
=
-
+
0
0
1
50
50
q
p p
=
+
，
若选择方案二，学生得分X 可能的取值分别是0、50、100，
其中
0
1
0
1
0
1
0
1
50
1
1
1
1
1
1
P X
p p
p
p
p p
p
p
é
ù
=
=
-
-
+
-
-
-
-
ë
û ，
0
1
0
1
100
1
1
1
P X
p p
p
p
é
ù
=
=
-
-
-
ë
û ，
所以
0
1
0
1
0
1
0
1
50
1
1
50 1
1
1
1
E X
p p
p
p
p p
p
p
é
ù
=
-
-
+
-
-
-
-
ë
û
0
1
0
1
100
1
1
1
p p
p
p
é
ù
+
-
-
-
ë
û
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
50
1
1
50 1
50 1
1
1
p p
p
p
p p
p p
p
p
=
-
-
+
-
-
-
-
-
0
1
0
1
0
1
100
100
1
1
p p
p p
p
p
+
-
-
-
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
50
1
1
50
50 1
1
1
50
p p
p
p
p p
p
p
p p
= -
-
-
+
-
-
-
-
+
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
50
1
1
50
50 1
1
50
1
1
50
p p
p
p
p
p
p p
p
p
p p
é
ù
= -
-
-
+
-
-
-
-
-
-
+
ë
û
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
50
1
1
50
50 1
1
50
1
1
50
p p
p
p
p
p
p p
p
p
p p
= -
-
-
+
-
-
-
+
-
-
+
0
1
0
1
50
50
50 1
1
p p
p
p
=
+
-
-
-
，
所以
0
0
1
0
0
0
0
50
50
50 1
1
50
50 100 1
E Z
E X
q
p
p
q
p
p q
-
=
-
+
-
-
=
-
+
-
0
0
0
0
0
0
0
0
50 1 2
50 100 1
1 2
100 1
1 2
100
p
p
p
p
p
p
p
p
=
-
-
+
-
-
=
-
-
-
2
0
0
0
0
0
100
1
1 2
1
100
2
3
0
p
p
p
p
p
é
ù
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-
-
-
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-
<
ë
û
，
所以
E Z
E X
<
，应选择方案二.
