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专题18 函数 y=Asin(wx+φ)的图象和性质与三角函数
模型的应用
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题18 函数 y=Asin(wx+φ)的图象和性质与三角
函数模型的应用
命题解读
命题预测
复习建议
函数
的图象
和性质是高考的热点，高考
中多以中档题为主，常常与
三角函数式的求值、化简相
结合。出题的形式多样，主
要考察图形的变换，以及看
图，用图的能力，有一定的
综合性。
预计
2024
年的函数
的图象和性
质及三角函数应用，仍然是
出题的热点，必有题目考察
这方面的知识，因此对于图
象的掌握要到位，要学会看
图、用图解题。
集合复习策略：
1.掌握函数
的图象和性质，了解参数变
化对函数的影响；
2.会运用三角函数解决简单
的实际问题，会建立三角函
数模型。
→➊考点精析←
函数
的图象和性质
1．.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅
周期
频率
相位
初相
y=Asin(ωx
+φ)
(A>0,ω>0),
A
T=2π
ω
f= 1
T = ω
2π
ωx+φ
φ
2．用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x
-φ
ω
π
2 -φ
ω
π -φ
ω
3 π
2 -φ
ω
2π -φ
ω
ωx+φ
0
π
2
π
3 π
2
2π
y=Asin(ωx+φ
)
0
A
0
-A
0
3. 函数y=sin x 的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤
2
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→➋真题精讲←
1. （2023 全国甲卷10）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的
部分大致图像，考虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，所以
，
3
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而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为
.
故选：C.
2. （2023 全国乙卷10）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
4
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答
案.
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D.
3.（2023 全国Ⅰ卷15） 已知函数
在区间
有且仅有3 个零
点，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
5
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令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
4. （2023 全国Ⅱ卷16）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】设
，依题可得，
，结合
的解可得，
，从而得到
的值，再根据
以及
，即可得
，进而求得
．
6
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【详解】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查根据图象求出
以及函数
的表达式，从而解出，熟练掌握三
角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
5. （2023 北京卷17）设函数
．
（1）若
，求
的值．
（2）已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件
③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
7
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条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
.
（2）条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
.
【解析】
【分析】（1）把
代入
的解析式求出
，再由
即可求出
的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把
的解析式化简，根据
在
上的单调性及函数的最值可求出
，从而求出
的值；把
的值代入
的解
析式，由
和
即可求出
的值；若选条件③：由
的单调性可知
在
处取得最小值
，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【小问1 详解】
因为
8
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所以
，
因为
，所以
.
【小问2 详解】
因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
.
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无
解，故条件①不能使函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
.
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
9
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所以
在
处取得最小值
，即
.
以下与条件②相同．
→➌模拟精练←
1．（2023·重庆·统考三模）将函数
的图象向右平移
个单位得
到函数
的图象，则“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为函数
的图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像，
所以
，
因为
为偶函数，
所以
，即
，
当
时，
可以推导出函数
为偶函数，
而函数
为偶函数不能推导出
，
所以“
”是“
为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象．若
是函数
的一个极值点，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到
，利用平移变换得到
，再根据
是函数
的一个极值点，即当
时，函数
取得最值求解.
【详解】由
，化简得
，
所以
．
又
是函数
的一个极值点，
所以当
时，函数
取得最值，
所以
，
解得
．
因为
，
所以
．
故选：A．
3．（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）将函数
的图象向左平移
个单
位后，得到函数
的图象，则（ ）
A．函数
存在一个极值点
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
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D．函数
在区间
上有两个零点
【答案】AC
【详解】函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，
则
，
对于A，
，令
，
则
，所以
所以
，且当
时，
，当
时，
所以当
，
单调递增，在
单调递减，
所以
是函数
的一个极值点，故A 正确；
对于B，
，故B 不正确；
对于C，令
，
，
解得：
，令
，则
，
则
，所以C 正确；
对于D，因为
，
所以
，
则
，故
无零点，故D 不正确.
故选：AC.
4．（多选）（2023·河北唐山·统考三模）为了得到函数
的图象，只需把余
弦曲线
上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
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B．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
C．向右平移
，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
D．向右平移
，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变
【答案】BC
【详解】函数
的图象向右平移
个长度单位，得
，
再将横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变)，得
；
函数
图象将横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变)，得
，
再向右平移
个长度单位，得
，即
.
故选：BC
5．（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）设函数
向左平移
个单位长
度得到函数
，已知
在
上有且只有5 个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
在
上有且只有5 个极值点
C．
在
上单调递增
D．
的取值范围是
【答案】CD
【详解】由题设
，在
上，若
，
所以
在
上有5 个零点，则
，解得
，D 正
确；
在
上
，由上分析知：极值点个数可能为5 或6 个，B 错误；
且
，故
不为0，A 错误；
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在
上
，则
，故
递增，即
在
上递增，C 正确.
故选：CD
6．（2023·江苏·二模）已知函数
的最小正周期为
，若将
其图象向右平移
个单位长度后关于
轴对称，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于
轴对称及
得到的值，进而可得函数
可能的解析式．
【详解】解：由题意知
．
将
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象，
因为其图像关于
轴对称，
所以
．
又
，
所以
．
即
，
由诱导公式知
，
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故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、
直观想象、逻辑推理等核心素养．
7．（2023·江苏南通·三模）将函数
的图象向右平移
个单位长
度，得到的函数
的图象关于点
对称，且
在区间
上单调递增，则
__________,实数m 的取值范围是__________.
【答案】
/
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位长度，
得到的函数
的图象关于点
对称，
，即
，
因为
，则
，
若
，则
，
在区间
上单调递增，
，
当
，
，
，且
，
即
，且
，
；
若
，则
，
在区间
上单调递增，
，
当
，
，
，且
，
即
且
，故
；
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综上可得，
，
.
故答案为：
；
8．（2023·江苏南京·统考二模）已知
，
．
(1)若函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，求
的值；
(2)若函数
的图象关于
对称，且函数
在
上单调，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意
，即可求出
，从而得到函数
解析式，再代入计算可得；
（2）由对称性得到
，
，再由函数在区间上的单调性求出
的范围，即可得
解.
【详解】（1）因为
，
因为函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，
所以
，则
，所以
，解得
，
所以
，所以
.
（2）由
，函数
的图象关于
对称，
所以
，
，所以
，
，
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由
，
，则
，
又函数
在
上单调，所以
，解得
，
所以当
时
.
→➍专题训练←
1.将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象的函数解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知，将函数
的图象向左平移
个单位长度得
，所以函数解析式为：
故选D.
2. 已知函数
的图像经过点
，且
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的相邻两个零点的距离为
，为得到
的图像，可将
图像上所有点（
）
A．先向右平移
个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变
B．先向左平移
个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变
C．先向左平移
个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不
变
D．先向右平移
个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不
变
【答案】B
【解析】因为相邻两个零点的距离为
,所以函数
的最小正周期
,则
,
又点
在函数图像上,所以
,
解得
,
,即
,
又
,所以当
时,
,
所以
,
18
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则将
先向左平移
个单位可得
,再横坐标缩小为原来的
,纵坐标
不变,
故选：B
3. 已知函数
的定义域为
，值域为
，
则
的值不可能是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
.
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作出函数
的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，
易得
或
满足题意，
所以
的值可能为区间
内的任意实数.
所以A,B 可能，C,D 不可能.
故选CD.
4．已知函数
的图象是由函数
的图象向右平移
个单位得到，则（ ）
A．
的最小正周期为π
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
【答案】AD
【解析】因为
，向右平移
个单位得
，则最小正周期为
，故A 选项正确；
令
，解得
，所以单调递增区间为
，故B 选项错误；
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令
解得
，故C 选项错误；
令
解得
所以函数
的对称中心为
，故D 选
项正确.
故选：AD
5．已知函数
.
(1)求
的最小正周期及对称轴方程；
(2)
时，
的最大值为，最小值为，求
，
的值.
【解析】（1）
∴
，则
的最小正周期为
，
∵
的对称轴为直线
，
，
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∴由
，
，解得
，
，
∴
的对称轴方程为
，
.
（2）
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
当
时，
的最大值为
，最小值为
，
∴由
，解得
，
当
时，
的最大值为
，最小值为
，
∴由
，解得
，
综上所述，
，
或
，
.
6．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知函数
(1)当
，求
的取值范围；
(2)已知锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，求
面积的最大值．
【解析】（1）
，
，
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，
，
，
，
，
的取值范围为
；
（2）由
得：
，
所以
或
，
即
或
，
因为
，
，
由余弦定理
，
所以
（当且仅当
时取“=”）
，
的面积的最大值为
．
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