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专题18 分类讨论解决含参函数单调性问题
考点一
导函数为一次函数型
考点二
导函数为二次函数型（可因式分解）
考点三
导函数为二次函数型（不可因式分解）
考点四
导函数为一次指数函数型
考点五
导函数为二次指数函数型
考点六
导函数为对数函数型
一、
含参函数单调性讨论的分类标准
①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0 有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
二、
含参函数单调性讨论的过程
求定义域，求导函数fx
观察导函数f x
是否可以分解
不能分解可考虑以∆分类讨论
若能分解看首项是否含有参数
首项含有参数，对首项参数分类讨论
首项不含有参数，求f x
= 0 的根
看根是否在定义域内
比较根的大小
考点一
导函数为一次函数型
例1．（2023·全国·高二专题练习）设m 为实数，函数
.求函数
的单调区间.
例2．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
1
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例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.讨论函数
的单调性.
例4．（2023 春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数
，其中
(1)若函数
在
处取得极值，求
的值；
(2)求函数
的单调区间.
例5．（2023 春·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
考点二
导函数为二次函数型（可因式分解）
例6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，
.讨论函数
的单调性.
例7．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
例8．（山东省潍坊市2022-2023 学年高二下学期期中数学试题）已知函数
，
(1)讨论函数
的单调性;
例9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）实数
，
，
．
(1)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)讨论
的单调性并写出过程．
2
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例10．（2023 春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调性和极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，求
在区间
的最小值．
考点三
导函数为二次函数型（不可因式分解）
例11．（2023·湖北·校联考三模）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知
，讨论
的单调区间.
例14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，讨论函数
的单调性.
例15．（2023·全国·高二专题练习）设函数
，求函数
的单调区间.
考点四
导函数为一次指数函数型
例16．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数
，其中e 为自然对数
的底数．
(1)讨论函数
的单调性；
3
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例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
例19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.讨论函数
的单调性.
例20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
（e 为自然对数的底数）.求函数
的单调区
间.
考点五
导函数为二次指数函数型
例21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
例22．（广东省广州市2023 届高三冲刺（一）数学试题）设函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
例23．（2023 春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
例24．（2023 春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
4
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(2)求
的单调区间；
(3)当
时，写出函数
的零点个数.(只需直接写出结果)
例25．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，讨论函数
的单调性.
考点六
导函数为对数函数型
例26．（2023 春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）设函数
，其中
.
(1)讨论函数
的单调性；
例27．（2023 春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
例28．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知函数
，
为
的导数．
(1)讨论
的单调性；
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
例30．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数
，a 为实数．
(1)求函数
的单调区间；
5
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1．（2023 春·北京·高二人大附中校考期中）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间；
2．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，（e 为自然对数的底数，且
）.
(1)讨论
的单调性；
4．（2023 春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）设函数
，
，其中
、
.
(1)求
的单调区间；
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.讨论
的单调性；
6
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7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的零点个数；
(2)设函数
，讨论
的单调性．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，其中
．
(1)讨论的
单调性；
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数
.
(1)求
的单调区间；
10．（2023 春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知
，
.
(1)讨论
的单调性；
7
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