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专题19 计数原理与二项式定理
一、知识速览
二、考点速览
1
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知识点1 两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1 类方案中有m 种不同的方法，
在第2 类方案中有n 种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方
法，完成这件事共有N＝m·n 种不同的方法。
3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
知识点2 排列与组合
1、排列与排列数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个排列．从
个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的排列数，用符号
表示．
（2）排列数的公式：
．
特例：当
时，
；规定：
．
（3）排列数的性质：①
；②
；③
．
2、组合与组合数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个组合．从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的组合数，用符号
表示．
（2）组合数公式及其推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
2
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因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表
示为：
．特例：
．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是
按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①
；②
．
3、排列和组合的区别
（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在
于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是
在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排
列”．
知识点3 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：
，
（2）通项公式：
，表示展开式的第
项：，
（3）二项式系数：系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
（2）二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
3
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②如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
（3）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，
设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
3、二项展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，
变形式
．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
（3）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
一、求解排列应用问题的六种常用方法
1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；
3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
6、间接法：正难则反、等价转化的方法
【典例1】（2023 上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南
苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为
“村BA”.村BA 给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，
同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023 年8 月20 日晚上村BA 西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛
顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2 名球员参加扣
篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4
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【解析】由题意易知，一共有8 个人需要排列.
先确定贵州两名球员的顺序为
，在确定其余6 人顺序为
，
由分步乘法原理可得一共有
种顺序.故选：C.
【典例2】（2023 上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）现有4 男3 女共7 个人排成一排照相，其中三个女
生不全相邻的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】7 个人全排列诚去3 个女生全部相邻的情形，即
，故选：B.
【典例3】（2022 上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、
乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可
以不相邻），则这样的出场排序有（ ）
A．24 种 B．40 种 C．60 种 D．84 种
【答案】B
【解析】五个元素的全排列数为
，
由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2 种排法，
所以满足条件的排法有
.故选：B．
【典例4】（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有
《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排
序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，
则不同的排列种数为
种.
【典例5】（2023 上·上海·高三延安中学校考期中）从甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，
要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1 人入选的不同参赛方案共有 种.
【答案】54
【解析】若甲､乙等5 人中任选3 人参加三个不同项目的比赛，共有
种不同参赛方案，
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若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有
种，
所以甲､乙中至少有1 人入选的不同参赛方案共有
种.
二、组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
【典例1】（2023 上·河北邢台·高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4 个，每个小球上都标
有不同的编号.从中任取3 个小球，若这3 个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（
）
A．160 种 B．220 种 C．256 种 D．472 种
【答案】A
【解析】若取出的球中有1 个红球，不同的取法有
种；
若取出的球中有2 个红球，不同的取法有
种.
故不同取法有
种.故选：A.
【典例2】（2023·云南·高三校联考模拟预测）2023 年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备
优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，
则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【解析】①恰有2 个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2 个部门取出，有
种；
第二步，从6 个旅游地中选出3 个排序，有
种，
根据分步计数原理可得，方法有
种；
②4 个部门所选的旅游地都不相同的方法有
种，
根据分类加法计数原理得，甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的
方法种数共有
种．故选：B
三、分组分配问题的解题思路
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
6
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①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例1】（2023 上·江苏常州·高三统考期中）将5 本不同的书分发给4 位同学，其中甲、乙两本书不能同
时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为 （用
数字作答）
【答案】216
【解析】5 本书送4 人，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，共有
种方案，
甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，
则剩余3 本书分别给3 位同学，有
种方案，
综上，不同的分配方案数为
种．
【典例2】（2023 上·广东广州·高三空港实验中学校考期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比
赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
【答案】
【解析】将四人分成两人两组共有
种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有
种，
又甲、乙安排在一起共有
种，
所以甲、乙安排在一起的概率为
.
【典例3】（2023 上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，
书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2 门，该校学生小明想用前3 学年将五门选修课
程选完，则小明的不同选修方式有 种.（用数字作答）
【答案】90
【解析】由题意，前三年修完5 门选修课程，每学年至多选2 门，
则小明同学每年所修课程数为1，2，2，
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先将5 门学科按1，2，2 分成三组，有
种方法，
再分到这三个学年，有
种不同方法，
由分步乘法计数原理得，不同选修方式共有
种.
【典例4】（2023 上·重庆·高三统考期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设
三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60 种 B．150 种 C．180 种 D．300 种
【答案】B
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选
三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有
种；
②三组人数为2、2、1，此时有
种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150 种．故选：B．
四、二项展开式中的特定项求解
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特
定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（2023 上·天津·高三南开中学校考阶段练习）二项式
的展开式中的常数项为
.
【答案】240
【解析】二项式
的展开式通项为
，
由
，得
，
所以所求常数项为
.
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【典例2】（2023 上·重庆·高三八中校考阶段练习）
的展开式的第4 项是 .
【答案】
【解析】由题设，二项式展开式通项为
，
第4 项为
.
【典例3】（2023 下·河北邯郸·高三校联考开学考试）
的展开式中,有理项是 .（用关于x
的式子表示）
【答案】
和
【解析】由题知,记
展开式的通项为
,
则
,
由
,得
或8,
所以
,
故有理项是
和
.
五、三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要
得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（2019 下·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）
的展开式中常数项为 .
【答案】
【解析】
中的常数项为
，故答案为:88
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【典例2】（2020 下·山东枣庄·高二枣庄第三中学校考阶段练习）在
的展开式中，x2项的系
数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】B
【解析】在
的展开式中，通项公式为Tr+1
•
.
对于
，通项公式为Tk+1
•xr
2021
﹣
k，k≤r，r、k∈N，r≤10.
令r
2021
﹣
k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，
故x2项的系数为
•
45，故选：B.
【典例3】（2022 上·广东深圳·高三校联考阶段练习）下列各式中，不是
的展开式中的项是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
表示4 个因式
的乘积，
在这4 个因式中，有一个因式选
，其余的3 个因式选
，所得的项为
，
所以
是
的展开式中的项，
在这4 个因式中，有2 个因式选
，其余的2 个因式选
，所得的项为
，
所以
是
的展开式中的项，
在这4 个因式中，有1 个因式选
，剩下的3 个因式选
，所得的项为
，
所以
是
的展开式中的项，
在这4 个因式中，有2 个因式选
，其余的2 个因式中有一个选
，剩下的一个因式选
，
所得的项为
，
所以
不是
的展开式中的项.故选:D.
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六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展
开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（2023 上·河南·高三实验中学校考期中）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
【答案】B
【解析】
，
而
展开式的通项为
，
所以当
时，
的系数为
，
当
时，
的系数为
，
所以
的系数为
，故选：B
【典例2】（2023·全国·模拟预测）
的展开式中，常数项为（ ）
A．
B．
C．180 D．300
【答案】B
【解析】
的展开式的通项为
．
当
为常数时，
，解得
，
则
；
为常数时，
，解得
，
则
，
所以
的展开式中常数项为
．故选：B．
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【典例3】（2023·河南·高三校联考模拟预测）在
的展开式中，按
的升幂排列的第三项为
.
【答案】
【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为
项．
整个式子中
项可由
，
的展开式中的常数项
与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，
其中
展开式的通项为
（
），
展开式的通项为
（
）；
故所求为
．
七、二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和
题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1 等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
【典例1】（2023·浙江·模拟预测）若
，且奇数项二项式系数之和为
512，则
.
【答案】
【解析】由题意，
，
在
中，两边同时求导得，
，
当
时，
，
∵奇数项二项式系数之和为512，
∴
，解得：
，
∴
.
【典例2】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若
，
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】令
得：
，所以选项A 正确；
令
得：
，所以
，所以选项B 错误；
因为
，
所以
选项C 正确；
，
两边对
求导得：
，
令
得：
，选项D 错误；故选：AC.
【典例3】（2023 上·山西大同·高三统考阶段练习）若
，则
.
【答案】
【解析】由
，
其中二项式
展开式的通项公式为
，
当
时，可得
，所以
.
故答案为：
.
八、二项式系数最大与最小
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
（2）如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
【典例1】（2023 下·云南·高三师大附中校考阶段练习）
的展开式中二项式系数最大的项是（
）
A．160 B．240 C．
D．
【答案】C
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【解析】因为
，所以
的展开式中二项式系数最大为
，
即展开式的第4 项，即
.故选：C．
【典例2】（2023 上·海南·高三洋浦中学校考阶段练习）若
的展开式中只有第5 项的二项式系数
最大，则展开式中的
项为 .
【答案】
【解析】由题意，只有第5 项的二项式系数最大知，展开式中有共项，则
，
所以
的展开式的通项为
，
令
，解得
，
故展开式中的
项为
.
【典例3】（2023·山东·高三省实验中学校考二模）
展开式中二项式系数最大的项的系数为 ．
【答案】
【解析】由二项式系数的基本性质可知，
展开式中二项式系数最大的项为
.
因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为
.
九、二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用 从而解出k 来，即得．
【典例1】（2023 上·全国·高三阶段练习）已知
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的展开式的通项为
，
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由题可知
，解得
．故选：A
【典例2】（2023·湖北襄阳·高三襄阳四中校考模拟预测）已知
的展开式中前三项的二项式系数和
为
，则展开式中系数最大的项为第（ ）
A．项 B．项 C．项 D．
项
【答案】D
【解析】
的展开式中前三项的二项式系数和为
，
整理可得
，
且
，解得
，
的展开式通项为
，
设展开式中第
项的系数最大，则
，
即
，解得
，
因为
，故
，因此，展开式中系数最大的项为第
项.故选：D.
易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误
点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一
个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一
种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分
成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同
的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【典例1】（2023 上·广东佛山·高三统考阶段练习）5 名同学去听同时举行的3 个课外知识讲座，每名同学
可自由选择听其中的1 个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是 ．
【答案】
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【解析】根据题意，把甲乙看成一个同学，由分步计数原理，可得不同选择的种类是
．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5 个行政区域，现给该地区的5 个区域涂色，要求相
邻区域不得使用同一种颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】72
【解析】观察图形知，2 区与4 区不相邻，3 区与5 区不相邻，且不相邻的区域可用同1 种颜色涂色，
因此计算涂色方法可用3 色和4 色，
使用3 种颜色，则2 区与4 区同色，3 区与5 区必同色，涂2 区与4 区有4 种方法，
涂3 区与5 区有3 种方法，涂1 区有2 种方法，则涂色方法有
（种）；
使用4 种颜色，选取同色的方案有2 种，涂同色的两块有4 种方法，
涂另外3 块依次有3，2，1 种方法，则涂色方法有
（种），
所以不同的涂色方法共有
（种）.
【典例2】（2023 上·陕西西安·高三阶段练习）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、
西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，
且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有
种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有
种方法；
由分类计数原理可得，共有
种方法.
设
“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有
种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有
种方法，
则第二步共有
种方法；
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由分步计数原理，则完成事件
共有
种方法.
由古典概型概率公式得
.故选：C.
易错点2 数字排列中“0”的位置不明
点拨：对于数字排列问题，0 是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0 不在首位的特殊要求。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）从0，1，…，9 中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数
字可以出现两次），如5224．则这样的四位数共有 个．
【答案】3888
【解析】分三种情形讨论．
四位数中不含0 的有
（个）；
四位数中含0 且0 只出现一次的有
（个）．
从而，共有
个．
【典例2】（2023·福建泉州·高三统考模拟预测）将，，
，，
任意排成一行，可以组成 个
不同的6 位数．（用数字作答）
【答案】
【解析】将，，
，，
任意排成一行，且数字不在首位，则有
种，
数字和相邻且在之前的排法有
种，
故所求满足题意的位数有
个.
【典例3】（2023·广东·高三深圳中学校联考模拟预测）用0，1，2，3，4，5 这六个数字组成无重复数字
的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个.
【答案】108
【解析】满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分宜以下几类：
第一类：0,2,4 排在从左至右的第一位，第三位，第五位，
先排第一位有两种排法，再排第三位和第五位有
种排法，
再将奇数排在第二，四，六位有
种排法，所以第一类包含的六位数的个数为
，
第二类：0,2,4 排在从左至右的第一位，第三位，第六位，
先排第一位有两种排法，再排第三位和第六位有
种排法，
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再将奇数排在第二，四，五位有
种排法，所以第二类包含的六位数的个数为
，
第三类：0,2,4 排在从左至右的第一位，第四位，第六位，
先排第一位有两种排法，再排第四位和第六位有
种排法，
再将奇数排在第二，三，五位有
种排法，所以第三类包含的六位数的个数为
，
第四类：0,2,4 排在从左至右的第二位，第四位，第六位，
先排偶数数字有
种排法，再将奇数排在第一，三，五位有
种排法，
所以第四类包含的六位数的个数为
，
由分类加法计数原理可得满足条件的六位共有
个.故答案为：108.
易错点3 忽略二项式中的负号
点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b 的系数为-1，展开求解释不要忽略。
【典例1】（2023 上·北京·高三三十五中学校考期中）二项式
展开式的常数项为 ．
【答案】60
【解析】
展开式的通项为
，
取
，解得
，常数项为
.
【典例2】（2023·浙江·高三统考一模）
展开式中
的系数为 .
【答案】
【解析】设
的通项为
，
当
时，
.
故答案为：
易错点4 混淆二项式系数与系数
点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1 项的系数是
，
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其值只与
有关，与
无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；
但当a，b 的系数不是1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性
具体讨论而定.
【典例1】（2023 上·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）在二项式
的展开式中，下列说法
正确的是（ ）
A．第6 项的二项式系数最大 B．第6 项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为
D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】通项公式为
，
，
其二项式系数为
，二项式
的展开式共
项，中间项的二项式系数最大，
故第6 项的二项式系数
是最大的，故A 正确；
二项式系数和为
，所以C 正确；
令
得所有项的系数和为1，故D 正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B 选项错误，故选：
ACD.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列关于
的展开式的说法中正确的是（ ）
A．常数项为－160 B．第4 项的系数最大
C．第4 项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1
【答案】ACD
【解析】
展开式的通项为
.
对于A，令
，解得
，∴常数项为
，A 正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0，2，4，6，
∴
，
，
，
，
∴展开式第5 项的系数最大，B 错误；
对于C，展开式共有7 项，得第4 项的二项式系数最大，C 正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为，D 正确.故选：ACD.
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