教师版高三数学暑假《精进小组课》教材册_2026年暑假《新东方》高三精进班讲义（数学）

01 二次函数
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握二次函数含参最值问题的求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握一元二次方程根的分布问题
知识清单
教法备注
1．二次函数在考纲中考查对函数图像与函数性质的理解，以及运用图像与性质求解相关问题的方法运用，考
纲中明确对该知识点的考查涉及记忆水平、解释性理解水平及探究性理解水平，考查学生的数学素养，包括
数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题为主，难度中等，偶尔会在填选压轴中结合其他知识点综合考查，分值约为24分，
占比16%；
3．对应教材：必修一第五章
4．本讲知识点涉及二次函数的值域问题以及一元二次方程根的分布问题，后续会和函数性质、函数图像与零
点等内容有综合考查运用，公立学校会在高三初复习，部分重点学校（如四校八大）会在高二下提前开始复
习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
2
【课堂引入】
若函数 f(x) = x2 + ax 在区间 [1, 2] 上的最大值为 a + 1 ，则 a 的取值范围为____________。
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——二次函数及其最值分类讨论
考点1：二次函数的概念
知识笔记
二次函数的形式
（1）一般式：形如 f(x) = ax2 + bx + c
(a ≠0)
（2）顶点式：形如
 f(x) = a(x + b
2a )
2
+ 4ac −b2
4a
(a ≠0)
（3）交点式：形如 f(x) = a (x −x1) (x −x2)
(a ≠0)
经典例题
例1
已知f (x) = 1 + log3 x (1 ≤x ≤9)，设g (x) = f 2 (x) + f (x2)，则函数y = g (x)的值域为 
 ．
[2, 7]
确定函数y = g (x)的定义域，化简可得y = g (x)的表达式，换元令log3 x = t, (t ∈[0, 1])，可得y = t2 + 4t + 2，
结合二次函数的性质即得答案.
由题意得{
，则1 ≤x ≤3，即g (x) = f 2 (x) + f (x2)的定义域为[1, 3]，
故g (x) = f 2 (x) + f (x2) = (1 + log3x)2 + 1 + log3 x2 = (log3x)2 + 4 log3 x + 2，
令log3 x = t, (t ∈[0, 1])，则y = t2 + 4t + 2 = (t + 2)2 −2，
函数y = (t + 2)2 −2在[0, 1]上单调递增，故y ∈[2, 7]，
故函数y = g (x)的值域为[2, 7]，
故答案为：[2, 7]
答案
解析
1 ≤x ≤9
1 ≤x2 ≤9
3
教法备注
【考点】复合函数的值域
【教法】整体换元转化为二次函数，引导学生选择合适的变量进行换元
变式1-1
“a < 2”是“函数f (x) = −x2 −2 (a + 1)x + 3在(−∞, −3]上单调递增”的（       ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
求出f (x) = −x2 −2 (a + 1)x + 3的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出a ≤2，结合a < 2是a ≤2的真
子集，确定答案.
f (x) = −x2 −2 (a + 1)x + 3开口向下，对称轴为x = −−2 (a + 1)
−2
= −a −1，
要想f (x) = −x2 −2 (a + 1)x + 3在(−∞, −3]上单调递增，则−a −1 ≥−3，
解得a ≤2，
由于a < 2是a ≤2的真子集，
故“a < 2”是“函数f (x) = −x2 −2 (a + 1)x + 3在(−∞, −3]上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
答案
解析
变式1-2
已知f(x) = ax2 + 2x −a (a > 0)，函数y = f(x)，x ∈R有最小值m(a)，则m(a)的最大值为 
 .
−2
由f(x) = ax2 + 2x −a (a > 0)有f (x) = a(x + 1
a )
2
−1
a −a，即可得m (a) = −1
a −a，根据基本不等式即可
求解.
由题意可得，f (x) = a(x + 1
a )
2
−1
a −a，
答案
解析
4
故m (a) = −1
a −a，a > 0，m (a) = −(a + 1
a ) ≤−2，
当且仅当a = 1
a ，即a = 1时，等号成立，所以m(a)的最大值为−2.
故答案为：−2.
变式1-3
若f (x) = −x2 + (b + 2)x + 3, x ∈[b, c]的图像x=1对称，则c=_______．
2
本题考查函数的对称性
又f (x) = −x2 + (b + 2)x + 3 = −(x −b + 2
2
)
2
+ ( b + 2
2
)
2
+ 3的对称轴为x = b + 2
2
则b + 2
2
= 1，得b = 0；
由f (x) = −x2 + (b + 2)x + 3, x ∈[b, c]的图象x = 1对称知其定义域[b, c]关于直线x = 1对称，则有b + c = 2；
所以c = 2
答案
解析
变式1-4
若函数f (x) = {
在区间(a −1, 3 −2a)上有最大值，则实数a的取值范围是 
 .
[0, 1)
作出函数f (x)的图象，数形结合，由题意列出相应不等式组，即可求得答案.
令g (x) = −2x2 + 4x，x > 0，
所以g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，
又f(1) = 2 = f(−1)，作出函数f(x)的大致图象，
−2x2 + 4x, x > 0
2x2, x ≤0
答案
解析
5
由于函数f (x) = {
在区间(a −1, 3 −2a)上有最大值，
结合图象，由题意可得{
，解得0 ≤a < 1，
所以实数a的取值范围是[0, 1)，
故答案为：[0, 1)
教法备注
【考点】二次函数的图像与最值
【教法】让学生画分段二次函数的图像，逐步变动区间使得函数渠道最大值，注意区间端点是开区间取不到
最值
−2x2 + 4x, x > 0
2x2, x ≤0
3 −2a > 1
−1 ≤a −1 < 1
考点2：含参最值的分类讨论
知识笔记
二次函数最值分类讨论
在研究含参一元二次函数的最值时，若参数的取值改变了最值的取到位置，则需要分类讨论。通常情况下，分
类标准可制定为：对称轴相对于区间的位置
以开口向上为例，求 f(x) = ax2 + bx + c 在区间 [m, n] 上的最值：
（1）求最小值
 
图像
  
  
  
对称轴
  −b
2a < m  
  m ≤−b
2a ≤n  
  −b
2a > n  
6
（2）求最大值
（3）求值域
最小值
f(m)  
f (−b
2a )  
f(n)  
 
图像
对称轴
−b
2a < m + n
2
  
−b
2a ≥m + n
2
  
最大值
f(n)  
f(m)  
 
图像
对称轴
−b
2a < m
m ≤−b
2a < m + n
2
m + n
2
≤−b
2a ≤n
−b
2a > n
值域
[f(m), f (n)]  
[f (−b
2a ), f (n)]
  
[f (−b
2a ), f (m)]
[f(n), f (m)]    
经典例题
例2
已知函数f (x) = (m + 1)x2 −(m −1)x + m −1．
(1)
若不等式f (x) < 1的解集为R，求m的取值范围；
(2)
若不等式f (x) ≥0对一切x ∈[−1
2 , 1
2 ]恒成立，求m的取值范围．
7
(1) m < 1 −2√7
3
(2) m ≥1
(1) ①当m + 1 = 0，即m = −1时，f(x) = 2x −2，不合题意；
②当m + 1 ≠0，即m ≠−1时，
∵f(x) < 1的解集为R，即(m + 1)x2 −(m −1)x + m −2 < 0的解集为R，
∴{
，即{
，
则m < −1时，m < 1 −2√7
3
或m > 1 + 2√7
3
．
所以m < 1 −2√7
3
．
(2) (m + 1)x2 −(m −1)x + m −1 ≥0，即m (x2 −x + 1) ≥−x2 −x + 1，
∵x2 −x + 1 > 0恒成立，
∴m ≥−x2 −x + 1
x2 −x + 1
= −1 +
2(1 −x)
x2 −x + 1 ，
设1 −x = t，则t ∈[ 1
2 , 3
2 ], x = 1 −t，
∴
1 −x
x2 −x + 1 =
t
(1 −t)2 −(1 −t) + 1 =
t
t2 −t + 1 =
1
t + 1
t −1
，
∵t + 1
t ≥2，当且仅当t = 1时取等号，
∴
1 −x
x2 −x + 1 ≤1，当且仅当x = 0时取等号，
∴当x = 0时，( −x2 −x + 1
x2 −x + 1 )
max
= 1，
∴m ≥1．
教法备注
【考点】不等式恒成立
【教法】根据恒成立问题求解二次函数的最值
答案
解析
m + 1 < 0
Δ = (m −1)2 −4 (m + 1) (m −2) < 0
m < −1
3m2 −2m −9 > 0
变式2-1
设函数f (x) = x2 −2tx + 2，其中t ∈R．
求f (x)在区间[0, 4]上的最值．
8
答案见解析
f (x) = x2 −2tx + 2的对称轴为x = −−2t
2
= t，
当t ≤0时，f(x)在[0, 4]上单调递增，
所以f(x)min = f(0) = 2，f(x)max = f(4) = 18 −8t，
当0 < t ≤2时，f(x)在[0, t]上单调递减，在[t, 4]上单调递增，
所以f(x)min = f(t) = 2 −t2，f(x)max = f(4) = 18 −8t，
当2 < t ≤4时，f(x)在[0, t]上单调递减，在[t, 4]上单调递增，
所以f(x)min = f(t) = 2 −t2，f(x)max = f(0) = 2，
当t ≥4时，f(x)在[0, 4]上单调递减，
所以f(x)min = f(4) = 18 −8t，f(x)max = f(0) = 2.
答案
解析
变式2-2
若函数f(x) = x2 + ax在区间[1, 2]上的最大值为a + 1，则a的取值范围为 
 
(−∞, −3]
函数f(x)的对称轴为x = −a
2 ，分两种情况：−a
2 ≤3
2 和−a
2 ≥3
2 讨论函数的最值，从而求得结果.
∵f(x) = x2 + ax的对称轴为x = −a
2
（1）当a > −3时，即−a
2 ≤3
2 ， f(x)max = f(2) = 4 + 2a = a + 1，解得：a = −3不符合题意，舍去；
（2）当a ≤−3，即−a
2 ≥3
2 ， f(x)max = f(1) = 1 + a，符合题意，故a ≤−3；
综上可知，a的取值范围为(−∞, −3]
故答案为：(−∞, −3]
方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）
答案
解析
9
轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中
间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.
教法备注
【考点】二次函数的最值
【教法】讨论对称轴的位置，对最大值进行分类讨论
知识点2——一元二次方程根的分布
考点3：一元二次方程根的分布
知识笔记
根的分布
一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根从几何意义上来说就是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交点的横坐标。所
以研究 ax2 + bx + c = 0 的实根的情况，可以从函数 y = ax2 + bx + c 的图像上进行研究。大致可以分为以下两类
（以开口向上为例）：
根的分布
大致图像
结论
两根都小于 k
⎧
⎨
⎩
Δ > 0
−b
2a < k
f(k) > 0
两根都大于 k
⎧
⎨
⎩
Δ > 0
−b
2a > k
f(k) > 0
一根大于 k，一根小于 k
f(k) < 0
10
两根都在 (m, n) 内
⎧
⎨
⎩
Δ > 0
f(m) > 0
f(n) > 0
m < −b
2a < n
两根有且仅有一根在 (m, n) 内
（图象有两种，只画了一种）
f(m) ⋅f(n) < 0
一根在 (m, n) 内，
另一根在 (p, q) 内
{f(m)f(n) < 0
f(p)f(q) < 0
经典例题
例3
关于x的方程x2 + (m −2)x + 2m −1 = 0恰有一根属于(0, 1)，则实数m的取值范围是（       ）
A. [ 1
2 , 2
3 ]
B. ( 1
2 , 2
3 ]
C. [ 1
2 , 2)
D. ( 1
2 , 2
3 ) ∪( 2
3 , 2)
B
把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于(0, 1)，分为两种情况，一种是另一根刚好过端
点，另一种是另一根不过端点求解；
解：方程x2 + (m −2)x + 2m −1 = 0对应的二次函数设为：f(x) = x2 + (m −2)x + 2m −1，
因为方程x2 + (m −2)x + 2m −1 = 0恰有一根属于(0, 1)，则需要满足：
答案
解析
11
①f(0) ⋅f(1) < 0 或者②函数f(x)有一个零点刚好经过点(0, 0)或者(1, 0)，另一个零点属于(0, 1)，
解①得：(2m −1)(3m −2) < 0，解得：1
2 < m < 2
3
解②得： 把点(0, 0)代入f(x) = x2 + (m −2)x + 2m −1，解得：m = 1
2 ，此时方程为x2 −3
2 x = 0，两根为
0，3
2 ，而3
2 ∈(0, 1)，不合题意，舍去，
把点(1, 0)代入f(x) = x2 + (m −2)x + 2m −1，解得：m = 2
3 ，此时方程为3x2 −4x + 1 = 0，两根为1，1
3 ，
而1
3 ∈(0, 1)，故符合题意，
综上：实数m的取值范围为( 1
2 , 2
3 ]
故选：B
教法备注
【考点】根的分布
【教法】需要先对根的情况进行分类讨论，然后再进入列式环节
【注】一元二次方程判别式为零对应“两”相等实根，不在题目要求内，请老师们课堂合理引导和强调。
变式3-1
已知关于x的方程x2 + mx + 1 = 0(m ∈R)的两个不相等的实根均在区间(0, +∞)内，则m的取值范围为
(　　)
A. (−∞, 0)
B. (2, +∞)
C. (−∞, −2)
D. (−∞，−2) ⋃(2，+∞)
C
答案
解析
变式3-2
已知一元二次方程x2 + (m + 1)x + 1 = 0(m ∈Z)有两个实数根x1，x2，且0 < x1 < 1 < x2 < 3，则m的值为(　　)
A. −4
B. −5
C. −6
D. −7
12
A
【常规讲解】
解：一元二次方程x2 + (m + 1)x + 1 = 0(m ∈Z)有两个实数根x1，x2，且0 < x1 < 1 < x2 < 3，
令g(x) = x2 + (m + 1)x + 1 = 0，
则
，即
，解得−13
3 < m < −3，
∵m ∈Z，
∴m = −4．
故选：A．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
g(0) > 0
g(1) < 0
g(3) > 0
⎧
⎨
⎩
1 > 0
3 + m < 0
13 + 3m > 0
02 幂指对函数
1
学习目标
教法备注
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握幂函数的性质与图像问题
求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数函数的性质与图像问
题求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数的运算法则
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数函数的性质与图像问
题求解方法
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用基本初等函数图像与性质
求解相关问题
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握幂函数的性质与图像问题求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数函数的性质与图像问题求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数的运算法则
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数函数的性质与图像问题求解方法
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用基本初等函数图像与性质求解相关问题
知识清单
2
教法备注
1．基本初等函数在考纲中考查对函数图像与函数性质的理解，以及运用图像与性质求解相关问题的方法运
用，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆水平、解释性理解水平及探究性理解水平，考查学生的数学素
养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题为主，难度中等，偶尔会在填选压轴中结合其他知识点综合考查，分值约为18分，
占比12%；
3．对应教材：必修一，第三章幂、指数与对数，第四章幂函数、指数函数与对数函数；
4．本讲知识点涉及基本初等函数的图像与性质运用问题，后续会和函数性质、函数图像与零点等内容有综合
考查运用，公立学校会在高三初复习，部分重点学校（如四校八大）会在高二下提前开始复习，与新东方秋
季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
【课堂引入】
方程 1 + log 2x = log 2 (x2 −3) 的解为__________.
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——幂函数、对勾函数与飘带函数
考点1：幂函数的图像及其性质
知识笔记
3
幂函数的形式
形如
 y = xk(k ∈R) 
的函数叫做幂函数
幂函数的图像
通常只作 y = xk(k ∈Q) 的图像
第一步：把 y = xk(k ∈Q) 化成根式，方便确认
定义域
与
奇偶性
第二步：由于幂函数必过第
一
象限和定点
(1, 1)
，根据指数 k 的大小确认第一象限内图像的单调性，有：
k < 0 ：严格
递减
； 0 < k < 1 ：减速递增；k > 1 ：加速递增。
经典例题
例1
已知α ∈{−3, −2, 1
3 , 2}，若幂函数f (x) = xα为奇函数，且在(0, +∞)上单调递减，则α的值为（       ）
A. -3
B. -2
C. 1
3
D. 2
A
根据幂函数的单调性与奇偶性，逐项判定，即可求解.
当α = −3时，函数f (x) = x−3，此时函数f (x)的定义域为(−∞, 0) ⋃(0, +∞)关于原地对称，且
f (−x) = (−x)−3 = −x−3 = −f (x)，所以函数f (x)为奇函数，且在(0, +∞)上单调递减，满足题意；
当α = −2时，函数f (x) = x−2，此时函数f (x)满足f (−x) = (−x)−2 = x−2 = f (x)，所以函数f (x)为偶函数，
不满足题意；
当α = 1
3 时，函数f (x) = x
1
3 ，此时函数f (x)的在(0, +∞)上单调递增，不满足题意；
当α = 2时，函数f (x) = x2，此时函数f (x)的在(0, +∞)上单调递增，不满足题意.
故选：A.
本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记幂函数的单调性与奇偶性是解答的关键，着
重考查推理与运算能力，属于基础题.
答案
解析
变式1-1
已知函数f(x) = (m2 + 5m + 7)xm(x ≠0)是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m = 
 ．
4
−3
根据幂函数的定义得到m2 + 5m + 7 = 1，求出m值，进行检验即可.
根据其为幂函数，则m2 + 5m + 7 = 1，解得m = −2或−3，
当m = −2时，f (x) = x−2 = 1
x2 ，则其定义域关于原点对称，f (−x) =
1
(−x)2 = f (x)，故其为偶函数，且分
布在一、二象限，图像如图所示：
故m = −2舍去，
当m = −3时，f (x) = x−3 = 1
x3 ，则其定义域关于原点对称，f (−x) =
1
(−x)3 = −f (x)，故其为奇函数，且
分布在一、三象限，图像如图所示：
故答案为：−3.
答案
解析
变式1-2
幂函数y = xa在(0, +∞)上是严格增函数，且经过(−1, 1)，则a的值可能是（      ）
A. −2
B. 3
C. 2
3
D. 3
2
答案
5
C
根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点(−1, 1)，可排除B和 D.
因为幂函数y = xa在(0, +∞)上是严格增函数，所以a > 0，故A错误.
对于B，若a = 3，则y = x3，当x = −1时，y = (−1)3 = −1，y = x3不经过(−1, 1)，故B错误.
对于C ，若a = 2
3 ，则y = x
2
3 ，当x = −1时，y = (−1)
2
3 =
3√(−1)2 = 1，y = x
2
3 经过(−1, 1)，故C正确.
对于D，若a = 3
2 ，则y = x
3
2 ，定义域为(0, +∞)，不符合题意，故D错误.
故答案为：C.
解析
变式1-3
已知幂函数 f (x) = ( 1
x )
1
10 ，若f (a −1) < f (8 −2a)，则a的取值范围是 
 .
(3, 4)
根据题意得到幂函数f (x)的定义域和单调性，得到不等式f (a −1) < f (8 −2a)的等价不等式组，即可求解.
由幂函数f (x) = ( 1
x )
1
10 =
1
10√x
= x
−1
10 ，
可得函数f (x)的定义域为(0, +∞)，且是递减函数，
因为f (a −1) < f (8 −2a)，可得
，解得3 < a < 4，
即实数a的取值范围为(3, 4).
故答案为：(3, 4)
教法备注
【考点】利用幂函数的图像解不等式
【教法】画出幂函数图像，根据图像解不等式，但要注意幂函数图像的不同会造成不等式解法上的难易有区
别
答案
解析
⎧
⎨
⎩
a −1 > 8 −2a
a −1 > 0
8 −2a > 0
6
考点2：对勾函数与飘带函数
知识笔记
对勾函数与飘带函数
对勾函数
飘带函数
 解析式
f(x) = ax + b
x (a > 0, b > 0)
 f(x) = ax −b
x (a > 0, b > 0)
图像
 
定义域
(−∞, 0) ∪(0, +∞)
(−∞, 0) ∪(0, +∞)
值域
(−∞, −2√ab] ∪[2√ab, +∞)
R 
奇偶性
奇函数
奇函数
严格增区间
(−∞, −√b
a ],
[√b
a , +∞)
(−∞, 0),
(0, +∞) 
严格减区间
[−√b
a , 0), (0, √b
a ]
无 
特殊点
(−√b
a , −2√ab),
(√b
a , 2√ab)
(−√b
a , 0),
(√b
a , 0)
 
渐近线
y 轴, y = ax
y 轴, y = ax
注意：对勾函数第一象限最小值的计算方式为基本不等式：ax + b
x ≥2√ab ，横坐标的计算方式为其取等条件，
当且仅当 ax = b
x 时取到。
经典例题
例2
7
已知函数f (x) = 2x +
a
2x + 1 的最小值为5，则实数a = 
 ．
9
利用参变量分离法可知a ≥9，再利用基本不等式可得出关于a的等式，即可得解.
由题意可知f (x) = 2x +
a
2x + 1 ≥5对任意的x ∈R恒成立，即a ≥(5 −2x) (2x + 1)，
另一方面(5 −2x) (2x + 1) = −(2x)2 + 4 ⋅2x + 5 = −(2x −2)2 + 9 ≤9，
当且仅当2x = 2时，即当x = 1时，等号成立，所以，a ≥9，
另一方面，由基本不等式可得f (x) = (2x + 1) +
a
2x + 1 −1 ≥2√a −1 = 5，可得a = 9，
当且仅当2x + 1 = 3时，即当x = 1时，等号成立，故a = 9.
故答案为：9.
教法备注
【考点】对勾函数的最值
【教法】讨论a取值的不同对函数类型的影响，最终在对勾函数的类型下求解参数
答案
解析
变式2-1
已知函数f (x) = x + k
x (k ∈R)，则（ ）.
A. 当k = 1时，f (x)的值域为R
B. 当k = −1时，f (x)的值域为R
C. 当k = 1时，f (x)在(0, +∞)上单调递增
D. 当k = −1时，f (x)在(0, +∞)上单调递增
BD
对于选项A，当k = 1时f (x) = x + 1
x ，当x > 0时，x + 1
x ≥2, 当x < 0时，x + 1
x ≤−2，故值域不是R，A
错误；对于选项B，当k = −1时f (x) = x −1
x ，值域为R，B正确；对于选项C，当k = 1时f (x) = x + 1
x ，
由对勾函数可知f (x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，C错误；对于选项D，当k = −1时
f (x) = x −1
x ，在(0, +∞)上单调递增，D正确.故选BD.
答案
解析
8
变式2-2
现要围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修)，其他三面围墙需要新
建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180
元/m，设利用旧墙长度为xm(x > 2)，总费用为y（单位：元）
   
(1)
写出总费用y关于x的表达式；
(2)
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
(1) y = 225x + 3602
x
−360 (x > 0)
(2) 当 x = 24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元
(1) 设矩形的另一边长为am，
则y = 45x + 180 (x −2) + 180 ⋅2a = 225x + 360a −360，
由已知xa = 360，得a = 360
x ，所以y = 225x + 3602
x
−360 (x > 0).
(2) ∵x > 0，∴225x + 3602
x
≥2√225 × 3602 = 10800
∴y = 225x + 3602
x
−360 ≥10440
当且仅当225x = 3602
x
，即x = 24m时等号成立，
∴当x = 24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
教法备注
答案
解析
9
【考点】函数应用题
【教法】根据题意建立函数模型（对勾函数模型），并利用对勾函数的性质求解最值
知识点2——指数函数
考点3：指数函数图像与性质
知识笔记
指数函数的形式
一般地，形如 y = ax(a > 0 ，且 a ≠1) 叫做指数函数。
指数函数的图像与性质
底数
a > 1
0 < a < 1
图像
定义域
R
R
值域
(0, +∞)
(0, +∞)
单调性
严格递增
严格递减
定点
过定点 (0, 1)
过定点 (0, 1)
渐近线
x 轴
x 轴
经典例题
例3
已知函数y = ax(a > 0, a ≠1)在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a
3 ，求实数a的值.
10
a = 4
3 或 a = 2
3 .
由题意按照a > 1、$0<1$分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解.
当a > 1时，y = ax是增函数，则a2 −a = a
3 ，解得a = 4
3 或a = 0（舍去）；
当$0<1$时，y = ax是减函数，则a −a2 = a
3 ，解得a = 2
3 或a = 0（舍去）；
综上，a = 4
3 或a = 2
3 .
关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1
两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.
教法备注
【考点】指数函数的最值
【教法】对指数函数的底数进行分类讨论
答案
解析
变式3-1
设a、b为常数，若a > 1, b < −1，则函数y = ax + b的图象必定不经过第 
 象限
二
由指数函数的性质与图象的平移可得.
已知a > 1, b < −1,
则指数函数y = ax单调递增，过定点(0, 1)，且|b| > 1，
函数y = ax + b的图象是由函数函数y = ax向下平移|b|个单位，
作出函数y = ax + b的图象，可知图象必定不经过第二象限.
故答案为：二.
答案
解析
11
变式3-2
函数y = ax−1 + 3（常数a > 0且a ≠1）的图像总是经过点 
 .
(1, 4)
根据指数型函数的性质判断.
当x = 1时，y = 4，所以函数图象总经过(1, 4).
故答案为：(1, 4).
答案
解析
变式3-3
已知f (x) = 2x (x ∈R)．
(1)
解不等式：f (2x) −4f (x) ≤32；
(2)
记g (x) = f (x) + f (−x)，求函数y = g (2x) −2g (x)的最小值．
12
(1) （−∞，3]
(2) −2
(1) f(x) = 2x(x ∈R)，所以f(2x) = 22x，不等式f (2x) −4f (x) ≤32，
即22x −4 ⋅2x −32 ≤0，即(2x + 4) (2x −8) ≤0，2x + 4 > 0恒成立，
故2x ≤8，解得x ≤3，即不等式的解集为（−∞，3]．
(2) g(x) = f(x) + f(−x) = 2x + 2−x，则y = g(2x) −2g(x) = (22x + 2−2x) −2 (2x + 2−x)，
令t = 2x + 2−x，则t = 2x + 2−x ≥2√2x ⋅2−x = 2，当且仅当2x = 2−x，x = 0时取等号，
则22x + 2−2x = (2x + 2−x)2 −2 = t2 −2，
所以问题转化为求函数h (t) = t2 −2 −2t，t ∈[2, +∞)的最小值，
因为h (t) = (t −1)2 −3对称轴为t = 1，开口向上，所以h (t)在[2, +∞)上单调递增，
所以h(t)min = h (2) = −2，
所以函数y = g(2x) −2g(x)的最小值为−2．
教法备注
【考点】指数函数、复合函数
【教法】利用换元法解决复合函数的最值问题，引导学生思考新元的设立过程
答案
解析
13
知识点3——对数运算与对数函数
考点4：对数运算
知识笔记
对数的定义
若 aN = b(a > 0, a ≠1) ，则 N 叫做以 a 为底 b 的对数，即N = loga b
对数的运算法则
（1）对数恒等式：
aloga M=
 M
；loga a=
 1 
 ；loga 1=
 0  
（2）对数的运算法则：
loga MN =
  loga M + loga N
loga
M
N = 
   loga M −loga N
loga M N = 
 N loga M  
（3）换底公式：
loga M = logb M
logb a
(b > 0, b ≠1)
注意：换底公式有一些二级结论，可用于简化对数运算，例如
loga b =
1
logb a ；logaN bM =
 M
N loga b 
；logaN bN =
 loga b  
经典例题
例4
计算：(√2)
log2(√7−3)
2
+ 5
log25(√7+2)
2
= 
 .
5
利用loga b = logan bn以及alogab = b计算即可.
答案
解析
14
(√2)
log2(√7−3)
2
+ 5
log25(√7+2)
2
= (√2)
log√2(3−√7)
+ 5
log5(√7+2)
= (3 −√7) + (√7 + 2) = 5
故答案为：5
练4-1
方程log2(x + 1) + log2(x −1) = 1的解为 
 .
√3
利用对数的运算法则将对数方程转化为关于x的方程，求解即可．
原方程可化为log2 (x + 1) = −log2 (x −1) + 1,
即 log2 (x + 1) = log2
2
x −1 .
所以x + 1 =
2
x −1 ,
解得 x = √3或x = −√3.
又x + 1 > 0 且x −1 > 0,
所以 x > 1.所以x = −√3不满足题意,
因此应舍去.故方程的解为x = √3.
故答案为：√3.
本题考查解对数方程，求解对数方程时，利用对数运算性质转化为关于真数的方程时，要注意等价变化，同
时要满足真数大于0的条件，是基础题．
答案
解析
练4-2
已知3m = 6，用m表示log3 54为 
 ．
m + 2
先根据指对互化可得m = log3 6，再结合对数运算求解.
答案
解析
15
∵3m = 6，则m = log3 6，
∴log3 54 = log3 (6 × 32) = log3 6 + log3 32 = m + 2.
故答案为：m + 2.
练4-3
已知log73 = a，log74 = b，用a，b表示log4948为 
 ．
a + 2b
2
试题分析：log4948 = 1
2 log748 = 1
2 log73 × 16 = 1
2 (log73 + 2log74) = 1
2 (a + 2b)．
考点：1、换底公式；2、对数的运算．
教法备注
【考点】换底公式
【教法】选择合适的底数，再利用对数的运算法则进行求解
答案
解析
考点5：对数函数的图像与性质
知识笔记
对数函数的图像与性质
一般地，形如 y = loga x(a > 0, a ≠1) 叫做对数函数
底数
a > 1
0 < a < 1
图像
定义域
(0, +∞)
(0, +∞)
16
值域
R
R
单调性
严格递增
严格递减
定点
过定点 (1, 0)
过定点 (1, 0)
渐近线
y 轴
y 轴
经典例题
例5
若函数f (x) = loga (x + b)的大致图象如图，其中a, b为常数，则函数g (x) = ax + b的大致图象是（       ）
A.
B.
C.
D.
答案
17
B
由函数f(x) = loga(x + b)的图象可推得，0 < a < 1，且0 < b < 1，可得函数g(x) = ax + b的图象递减，且
1 < g(0) < 2，从而可判断答案.
由函数f(x) = loga(x + b)的图象为减函数可知，0 < a < 1，
再由图象的平移变换知，f(x) = loga(x + b)的图象由f(x) = loga x向左平移不超过一个单位，可知0 < b < 1，
故函数g(x) = ax + b的图象递减，且1 < g(0) = 1 + b < 2，则符合题意的只有B中图象
故选：B.
解析
练5-1
已知函数y = loga(x + 3) + 2(a > 0且a ≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标为 
 ．
（-2,2）
由对数函数图象恒过（1,0）点，即可求解.
因为对数函数图象恒过（1,0）点，
所以令x + 3 = 1，解得：x = −2，
所以函数y = loga(x + 3) + 2(a > 0且a ≠1)的图像恒过（-2,2）.
故答案为：（-2,2）
答案
解析
练5-2
已知x满足1
2 ≤x ≤8.
(1)
求log2 x的取值范围；
(2)
求函数f (x) = log2 (2x) ⋅log2
x
4 的最小值.
答案
18
(1) −1 ≤log2 x ≤3
(2) −9
4
(1) 由1
2 ≤x ≤8，得−1 ≤log2 x ≤3.
(2) 因为f (x) = log2 (2x) ⋅log2
x
4 = (log2 x + 1) (log2 x −2) = (log2 x −1
2 )
2
−9
4 ，
所以当log2 x = 1
2 即x = √2时，f(x)取得最小值−9
4 .
教法备注
【考点】对数函数、复合函数
【教法】根据对数函数运算法则进行函数形式的整理，转化为一元二次函数的最值问题
解析
03 函数概念
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数定义域的求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数解析式的求解方法
目标4
★★★★☆☆ 识别
解决各类函数的值域问题
知识清单
教法备注
1．函数概念在考纲中考查对函数概念、对函数表示方法、定义域值域对应关系的理解，以及函数定义域、值
域、解析式求解方法的掌握情况，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆水平、解释性理解水平及探究性理
解水平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、
数学应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题为主，难度中等，偶尔会在填选压轴中结合其他知识点综合考查，分值约为10分，
占比6.67%；
3．对应教材：必修一，第五章函数的概念、性质及应用；
4．本讲知识点涉及集合不等式的求解，后续会和三角函数、数列等内容有综合考查运用，公立学校会在高三
2
初复习，部分重点学校（如四校八大）会在高二下提前开始复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习
有关。
教法备注
【课堂引入】
设曲线 C 与函数 f(x) = √3
12 x2(0 ≤x ≤m) 的图像关于直线 y = √3x 对称，若曲线 C 仍为某函数的图像，则
实数 m 的取值范围为 _________ .
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——函数的定义与定义域
考点1：函数的定义
知识笔记
函数的定义
设 D 是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对集合 D 中的任意给定的 x ，都有
唯一确
定
的实数 y 和它对应，那么就称这个对应关系 f 为集合 D 上的一个函数，记作 y = f(x), x ∈D 。
其中，x 是自变量，x 的取值范围叫做这个函数的定义域，相应 y 的取值范围叫做函数的值域。（ 需注意：一
个 x 只能对应一个 y ，但一个 y 可对应一个或多个 x ）
经典例题
例1
1
下列说法中正确的是（       ）
A. 函数的定义域和值域一定是无限集
B. 函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应
C. 函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
D. 若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
3
D
根据函数的定义以及值域、定义域的定义，可得答案.
函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对
应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误．
故选：D.
答案
解析
变式1-1
1
下列图象中，不能表示函数的是（   ）
A.  
 
B.  
 
C.  
 
D.  
 
C
C选项的函数图像中存在x0 ∈(0, +∞)，对应两个不同的函数值，故不是函数图像.
故选：C
答案
解析
4
变式1-2
1
已知函数y = f (x)的定义域为{−2, −1, 1, 2}，值域为{−2, 2}，则满足条件的函数y = f (x) 最多有 
 个.
14
由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解.
由函数定义，转化为给−2, 2安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数，
给−2取3个自变量，则2对应1个自变量，有C3
4种，
给−2取2个自变量，则2对应2个自变量，有C2
4种，
给−2取1个自变量，则2对应3个自变量，有C1
4种，
所以由分类加法计数原理知，共有C3
4 + C2
4 + C1
4 = 14种不同的对应方式，
故答案为：14
教法备注
【考点】函数的定义
【教法】根据函数一一对应的关系进行分类
答案
解析
考点2：函数的定义域
知识笔记
具体函数和抽象函数的定义域
具体函数的定义域：
（1）分母不为 0 ；（2）偶次根式 ≥0 ；（3）真数 > 0 ；（4） 0 的 0 次方无意义等
抽象函数的定义域：
（1）括号内的取值范围是一致的；（2）定义域指的是 x 的范围。
经典例题
5
例2
1
求下列函数y =
lg (3 −x)
√12 + x −x2 + (x + 1)0的定义域.
(−3, −1) ⋃(−1, 3)
要使该函数表达式有意义，只需3 −x > 0，12 + x −x2 > 0，x + 1 ≠0同时成立，解不等式即可求出结果．
由
，即$\left\{ \begin{matrix} x<3 \ -3<4 \ x\ne -1 \ \end{matrix} \right.$，所以$-3<-1$或
$-1<3$，
故该函数的定义域为(−3, −1) ⋃(−1, 3)．
本题主要考查函数定义域的求法，求函数定义域时：①由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，
解此不等式（或组）即得原函数的定义域；②函数解析式一般不要变形或化简；③定义域要用集合或区间来表
示．
答案
解析
⎧
⎨
⎩
3 −x > 0
12 + x −x2 > 0
x + 1 ≠0
变式2-1
1
求下列函数的定义域：
（1）y =
1
|x + 2| −1 ；
（2）f (x) = √1 + x + lg (1 −x)
6
（1） (−∞, −3) ⋃(−3, −1) ⋃(−1, +∞)；（2） [−1, 1)；
根据题意，列出使函数解析式有意义的关于自变量的不等式（组)，求出解集即可．
解：（1）因为y =
1
|x + 2| −1 ；
所以|x + 2| −1 ≠0，
即|x + 2| ≠1，
解得x ≠−1，且x ≠−3；
∴f(x)的定义域是{x|x ≠−1，且x ≠−3}即(−∞, −3) ⋃(−3, −1) ⋃(−1, +∞)．
（2）因为f (x) = √1 + x + lg (1 −x)；
{
，
解得−1 ≤x < 1；
∴f(x)的定义域是[−1, 1)；
答案
解析
x + 1 ≥0
1 −x > 0
变式2-2
1
与函数y = √x3为同一函数的是（       ）
A. y = x√x
B. y = −x√x
C. y = x√−x
D. y = |x|
A
先判断函数定义域是否相同，再判断解析式是否相同即可.
函数y = √x3的定义域为[0, +∞)，
对于A：函数y = x√x的定义域为[0, +∞)且y = x√x = √x3，所以A正确；
对于B：函数y = −x√x的定义域为[0, +∞)，y = −x√x = −√x3，所以B错误；
对于C：函数y = x√−x的定义域为(−∞, 0]，C错误；
对于D：函数y = |x|的定义域为R，D错误，
答案
解析
7
故选：A
例3
1
已知函数f(x)的定义域为[0, 4]，求函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为（       ）
A. [−2, −1]
B. [1, 2]
C. [−2, 1]
D. [−1, 2]
C
根据抽象函数的定义域得到关于x的不等式组，解出即可
函数f(x)的定义域为[0, 4]，
所以函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域满足：{
解得{
，即−2 ≤x ≤1
所以函数y = f(x + 3) + f(x2)的定义域为[−2, 1]
故选：：C
教法备注
【考点】抽象函数的定义域
【教法】分别求出f(x + 3)和f (x2)的定义域，注意最后需要求解公共定义域
答案
解析
0 ≤x + 3 ≤4
0 ≤x2 ≤4
−3 ≤x ≤1
−2 ≤x ≤2
变式3-1
1
（1）已知函数f(x)的定义域为(0, 1)，求函数f(x2)的定义域;
（2）已知函数f(2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f(x)的定义域;
（3）已知函数f(x + 1)的定义域为[−2, 3]，求f(2x2 −2)的定义域.
8
（1） {x| −1或0；（2） {x|1；（3）\{x|-\sqrt{3}\le x\le -\dfrac{\sqrt{2}}{2}或\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le x\le
\sqrt{3}\}$.
求抽象函数的定义域时，注意括号内范围等同即可求出答案，比如若已知函数函数f(x)的定义域为[a, b]，则符
合函数f (g (x))的定义域由a ≤g (x) ≤b求出．
解：（1）∵f(x)的定义域为(0, 1)，
∴要使f(x2)有意义，需使0 < x2 < 1<>，即$-1或$0，
∴f(x2)的定义域为$\{x|-1；
（2）∵f(2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其自变量x的取值范围是$0，
令t = 2x + 1，则$1，
即关于t的函数f(t)的定义域为$\{t|1，
从而函数f(x)的定义域为$\{x|1；
（3）∵f(x + 1)的定义域为[−2, 3]，即其自变量x的取值范围是−2 ≤x ≤3，
若令t = x + 1，则−1 ≤t ≤4，
即关于t的函数f(t)的定义域为{t| −1 ≤t ≤4}，
从而要使函数f(2x2 −2)有意义，
只需−1 ≤2x2 −2 ≤4，解得−√3 ≤x ≤−√2
2 或
√2
2
≤x ≤√3，
∴f(2x2 −2)的定义域为{x| −√3 ≤x ≤−√2
2 或√2
2
≤x ≤√3}．
本题主要考查抽象函数的定义域，注意括号内范围等同，比如已知函数函数f(x)的定义域为[a, b]，则符合函数
f (g (x))的定义域由a ≤g (x) ≤b求出，属于中档题．
教法备注
【考点】抽象函数的定义域
【教法】根据抽象函数定义域的求解要求解决该问题
答案
解析
例4
1
已知函数y = √mx + 1 (m < 0)在(−∞, 2]上有意义，则实数m的范围是 
 ．
9
[−1
2 , 0)
求出函数的定义域(−∞, −1
m ]，使(−∞, 2] ⊆(−∞, −1
m ]，列不等式即可求解.
要使函数有意义，则mx + 1 ≥0（m < 0），
解得x ≤−1
m ，所以函数的定义域为(−∞, −1
m ]，
所以(−∞, 2] ⊆(−∞, −1
m ]，所以−1
m ≥2，解得0 > m ≥−1
2 ，
所以实数m的范围是[−1
2 , 0).
故答案为：[−1
2 , 0)
教法备注
【考点】函数的定义域
【教法】含参函数的定义域问题转化为不等式恒成立问题
答案
解析
变式4-1
1
函数y = √ax −1的定义域为[0, +∞)，则实数a的取值范围为 
 .
(1, +∞)
结合定义域可以判断出y = ax为增函数，从而求出实数a的取值范围.
由题意得：ax −1 ≥0的解集为[0, +∞)，即ax ≥1 = a0的解集为[0, +∞)，故y = ax为增函数，所以a > 1
故答案为：(1, +∞)
答案
解析
10
知识点2——函数解析式
考点3：函数解析式的求解
知识笔记
函数解析式的求解方法
（1）待定系数法：已知函数类型，设参数求解；
（2）换元法：对复杂部分进行换元处理；
（3）构造方程组法：根据题目所给方程，合理更换变量形式，构造方程，联立求解；
（4）配凑法：针对变量形式，整体配凑换元。
经典例题
例5
1
（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式；
（2） 已知函数f(x)的定义域为R且满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0时，函数f(x)的
解析式；
（3） 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f( 1
x )＝3
x ＋1，求函数f(x)的解析式．
11
（1）f(x)＝ 1
2 x ＋ 1
2 x；（2）f(x)＝－ x
2 (x＋1)；（3）f(x)＝ 15
16 x－ 9
16x ＋ 1
8 .
（1）设出二次函数的解析式，求出f (x + 1)，根据已知条件，列出方程，即可求出结果；
（2）根据f(x＋1)＝2f(x)，结合已知解析式，即可求得结果；
（3）利用解方程组的方法，即可求得结果.
（1） 因为f(x)为二次函数，
所以设f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)，
则f(0)＝c＝0，所以f(x)＝ax ＋bx.
因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
所以a(x＋1) ＋b(x＋1)＝ax ＋bx＋x＋1，
ax ＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax ＋(b＋1)x＋1，
所以{
解得
所以f(x)＝1
2 x ＋1
2 x；
（2） 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
所以f(x)＝f(x + 1)
2
＝1
2 (x＋1)(1－x－1)＝－x
2 (x＋1)．
（3） 因为3f(x)＋5f( 1
2 )＝3
x ＋1，①
所以3f( 1
x )＋5f(x)＝3x＋1，②
由①＋②，得8f(x)＋8f ( 1
x )＝3x＋3
x ＋2，③
由②－3
8 ③，得2f(x)＝15
8 x－9
8x ＋1
4 ，
所以f(x)＝15
16 x－9
16x ＋1
8 .
本题考查利用待定系数法求函数解析式、用递推关系求函数解析式以及用解方程组的方法求函数解析式.
教法备注
【考点】函数的解析式
【教法】（1）已知函数类型可以用待定系数法；
（2）已知函数的部分解析式，可以利用函数性质求解其他部分的解析式；
（3）更换变量形式，令x = 1
x ，构造方程组求解析式
答案
2
解析
2
2
2
2
2
2
2a + b = b + 1
a + b = 1
⎧
⎨
⎩
a = 1
2
b = 1
2
2
12
变式5-1
1
（1）已知函数f(x)是一次函数，且f(0) = 1，f(x + 1) −f(x) = 2，求f(x)的解析式．
（2）已知f (√x) = x + 2√x，求f(x)的解析式；
（1） f(x) = 2x + 1；（2） f(x) = x2 + 2x（x ≥0）
（1）设f(x) = ax + b，根据已知列出方程，求解得出a, b的值即可；
（2）换元t = √x，x = t2，代入即可得出答案.
（1）设f(x) = ax + b，则有f(0) = b = 1
f(x + 1) −f(x) = a(x + 1) + b −(ax + b) = a = 2，故f(x) = 2x + 1
（2）令t = √x，则t ≥0，x = t2，
因为f (√x) = x + 2√x，所以f(t) = t2 + 2t，
所以f(x) = x2 + 2x（x ≥0）.
教法备注
【考点】函数的解析式
【教法】（1）已知函数类型可以用待定系数法；
（2）整体换元法，令√x = t
答案
解析
知识点3——函数值域
13
考点4：函数值域的求解
知识笔记
函数值域的求解方法
（1）基本初等函数：图像法；
（2）分式型函数：分离常数法，图像法，换元法，判别式法；
（3）根式型函数：单调性，换元法，分子有理化，平方法；
（4）绝对值函数：几何意义，零点分段法；
（5）复合型函数：换元。
经典例题
例6
1
求下列函数的值域：
(1)
f (x) = 2x −√x −1；
(2)
f (x) = 2x −3
x + 1 , x ∈(1, 3)；
(3)
f (x) = x2 + 2x + 1
x2 + x + 1 , x ∈(3, 5).
14
(1) [ 15
8 , +∞)
(2) (−1
2 , 3
4 )
(3) ( 36
31 , 16
13 )
(1) 令t = √x −1，则x = t2 + 1，t ≥0，
所以y = 2t2 + 2 −t = 2(t −1
4 )
2
+ 15
8 ≥15
8 ，
所以f (x)的值域为[ 15
8 , +∞).
(2) f (x) = 2x −3
x + 1 = 2 −
5
x + 1 ，
由反比例函数性质可知，f (x)在(1, 3)上单调递增，
所以f (1) < f (x) < f (3)，即−1
2 < f (x) < 3
4 ，
所以f (x)的值域为(−1
2 , 3
4 ).
(3) f (x) = x2 + 2x + 1
x2 + x + 1 = 1 +
x
x2 + x + 1 = 1 +
1
x + 1 + 1
x
,
令t = x + 1
x ，则y = 1 +
1
t + 1 ，
由对勾函数性质可知，t = x + 1
x 在(3, 5)上单调递增，所以10
3 < t < 26
5 ，
由反比例函数性质可知，y = 1 +
1
t + 1 在( 10
3 , 26
5 )单调递减，
所以36
31 < y < 16
13 ，即f (x)的值域为( 36
31 , 16
13 ).
教法备注
【考点】函数值域的求解
【教法】（1）换元法，令t = √x −1，转化为一元二次函数的值域
（2）分离常数法或者直接画出其图像，根据图像求值域
（3）2次比2次型，可以分离常数转化为1次比2次型求值域
答案
解析
变式6-1
1
求下列函数的值域：
15
(1)
y = x2 −3x + 3
x −1
；
(2)
y = 2x + 4√1 −x．
(1) (−∞, −3 ]∪[1, +∞)
(2) (−∞, 4]．
(1) 解：设t = x −1，则x = t + 1，
因为x ∈(−∞, 1) ∪(1, +∞)，所以t ∈(−∞, 0) ∪(0, +∞)，
所以y = (t + 1)2 −3 (t + 1) + 3
t
= t2 −t + 1
t
= t + 1
t −1．
因为t + 1
t ∈(−∞, −2 ]∪[2, +∞)，所以t + 1
t −1 ∈(−∞, −3 ]∪[1, +∞)，
故函数y = x2 −3x + 3
x −1
的值域为(−∞, −3 ]∪[1, +∞)．
(2) 解：设t = √1 −x，则t ≥0，x = 1 −t2，
所以y = 2 (1 −t2) + 4t = −2(t −1)2 + 4，
显然y的最大值是4，
所以函数y = 2x + 4√1 −x的值域为(−∞, 4]．
教法备注
【考点】函数值域的求解
【教法】（1）2次比1次型，可以换元分母，令t = x −1，转化为对勾/飘带函数
（2）换元法，令t = √1 −x，转化为一元二次函数的值域
答案
解析
变式6-2
16
1
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 
 .
(−∞, 3)
求出分段函数的解析式，即可求出其最小值.
x ≤−1时，|x + 1| + |x −2| = −x −1 −x + 2 = −2x + 1 ≥3，
−1 < x < 2时，|x + 1| + |x −2| = x + 1 −x + 2 = 3，
x ≥2时，|x + 1| + |x −2| = x + 1 + x −2 = 2x −1 ≥3，
则|x + 1| + |x −2| ≥3，
故a < (|x + 1| + |x −2|)min = 3，
故实数a的取值范围是(−∞, 3).
故答案为：(−∞, 3).
答案
解析
04 奇偶性
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数奇偶性的定义及判定方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
运用奇偶性质解决参数问题
知识清单
教法备注
1．函数奇偶性在考纲中考查奇偶判定及证明方法，以及相关应用的掌握情况，考纲中明确对该知识点的考查
涉及解释性理解水平及探究性理解水平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能
力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度中等，偶尔会在填选压轴中结合其他知识点综合考查，分值约
为10分，占比16%；
3．对应教材：必修一，第五章函数的概念、性质及应用；
4．本讲知识点涉及函数的解析式、定义域等问题，后续会和三角函数等内容有综合考查运用，公立学校会在
高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
2
教法备注
【课堂引入】
已知函数f(x) = (a + 1)x2 + (a −1)x + (a2 −1)，其中a ∈R。
（1）当f(x)是奇函数时，求实数 的值；
（2）当函数f(x)在[2, +∞)上单调递增时，求实数 的取值范围。
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——函数奇偶性定义及判定
考点1：奇偶函数的定义域特征
知识笔记
奇偶函数的判断
1，具有奇偶性的函数的定义域特征：定义域关于原点对称
为此，确定函数的奇偶性时，须先判定函数定义域是否关于原点对称。
 
2，确定奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简）：
（1）定义法：如果对于函数y = f(x)定义域D内任意实数 ，都有
f(−x) = −f(x) ⇔ 为奇；
f(−x) = f(x) ⇔  为偶；
（2）利用函数奇偶性定义的等价形式：f(−x) ± f(x) = 0或者 f(−x)
f(x)
= ±1
（3）图像法：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 y轴对称；
（4）奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶；
奇×÷奇=偶，偶×÷偶=偶，奇×÷偶=奇；
（5）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；
注意：证明函数奇偶性，必须用定义法；而证明函数既非奇函数也非偶函数，只需举反例，或者说明定义域不关
于原点对称即可。
经典例题
3
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x) = x(x + 2)
x + 2
；（2）f(x) =
√1 −x2
|x + 2| −2 ；
（3）f(x) = {
（4）f(x) = (1 −x)√x + 1
x −1 (x ≠−1)．
（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）奇函数．
（1）函数f(x) = x(x + 2)
x + 2
= x, x ≠−2．
∵函数f(x)的定义域(−∞, −2) ∪(−2, +∞)不关于原点对称，
∴函数f(x)是非奇非偶函数．
（2）函数的定义域是[−1, 0) ∪(0, 1]关于原点对称，f(x) =
√1 −x2
|x + 2| −2 = √1 −x2
x
，
f(−x) =
√1 −(−x)2
−x
= −√1 −x2
x
= −f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
（3）函数的定义域(−∞, 0) ⋃(0, +∞)关于原点对称．
① 当x > 0时，−x < 0，则f(−x) = (−x)2 −1 = x2 −1 = −(−x2 + 1) = −f(x)；
② 当x < 0时，−x > 0，则f(−x) = −(−x)2 + 1 = −x2 + 1 = −(x2 −1) = −f(x)．
综上，f(−x) = −f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
（4）函数的定义域(−∞, 1) ∪(1, +∞)关于原点对称．
f(−x)
f(x)
= (1 + x)√−x + 1
−x −1 ⋅
1
1 −x
√x −1
x + 1 = 1 + x
1 −x
√( x −1
x + 1 )
2
= 1 + x
1 −x ⋅x −1
x + 1 = −1，
即f(−x) = −f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，解题的关键是利用函数奇偶性的定义，先要判断函数的定义域，然后检
验f(−x)与f(x)的关系.
−x2 + 1,
x > 0,
x2 −1,
x < 0;
答案
解析
变式1-1
已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．
4
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
（1） (−1, 1)
（2）偶函数
（1）由{
，求得x的取值范围即可取得定义域.
（2）根据定义域关于原点对称，再根据f (−x) = f (x)，可得f (x)为偶函数.
（1）由{
，求得$-1<1$，
∴函数f (x)的定义域为(−1, 1).
（2）定义域关于原点对称，对于任意的x ∈(−1, 1)
∵f (−x) = lg (1 −x) + lg (1 + x) = f (x)，
∴f (x)为偶函数.
本题主要考查函数的定义域以及函数的奇偶性，在判断函数奇偶性时，需求出函数的定义域，属于基础题
答案
解析
1 + x > 0
1 −x > 0
1 + x > 0
1 −x > 0
变式1-2
判断函数f (x) = log2 (√x2 + 1 + x)的奇偶性.
5
奇函数
解：∵√x2 + 1 + x > √x2 + x = |x| + x ≥0，
∴f (x)的定义域为R，
又f (x) + f (−x) = log2 (√x2 + 1 + x) + log2 (√x2 + 1 −x) = log2 (x2 + 1 −x2) = 0，
即f (x) = −f (−x)，
所以f (x)是奇函数.
本题考查函数奇偶性的判断，是基础题.
答案
解析
变式1-3
讨论函数f (x) = x2 −|x −a| + 2的奇偶性．
答案见解析
对参数进行分类讨论，判断奇偶性即可.
函数f (x) = x2 −|x −a| + 2的定义域为R，关于原点对称．
①当a = 0时，f (x) = x2 −|x| + 2，f (−x) = x2 −|x| + 2，
∴f (−x) = f (x)，∴f (x)为偶函数；
②当a ≠0时，f (x) = x2 −|x −a| + 2，f (a) = a2 + 2，f (−a) = a2 −2 |a| + 2．
∵a ≠0，∴f (−a) ≠f (a)，∴f (x)不是偶函数．
∵若f (−a) = −f (a)，则2 (a2 + 2) = 2 |a|无解．
答案
解析
6
∴f (x)不为奇函数，∴f (x)为非奇非偶函数．
综上，当a = 0时，f (x)为偶函数；当a ≠0时，f (x)为非奇非偶函数．
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
例2
对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（       ）
A. 若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x) ⋅g(x)是奇函数
B. 若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x) ⋅g(x)是偶函数
C. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x) ⋅g(x)是偶函数
D. 若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x) + g(x)不一定是奇函数
B
由函数的奇偶性的定义即可判断.
对于A，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x) = −f(x)，g(−x) = −g(x)，
令h(x) = f(x) ⋅g(x)，则h(−x) = f(−x) ⋅g(−x) = f(x) ⋅g(x) = h(x)，
所以f(x) ⋅g(x)是偶函数，故A错误；
对于B，因为f(x)和g(x)都是偶函数，所以f(−x) = f(x)，g(−x) = g(x)，
令h(x) = f(x) ⋅g(x)，则h(−x) = f(−x) ⋅g(−x) = f(x) ⋅g(x) = h(x)，
所以f(x) ⋅g(x)是偶函数，故B正确；
对于C，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x) = −f(x)，g(−x) = g(x)，
令h(x) = f(x) ⋅g(x)，则h(−x) = f(−x) ⋅g(−x) = −f(x) ⋅g(x) = −h(x)，
所以f(x) ⋅g(x)是奇函数，故C错误；
对于D，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x) = −f(x)，g(−x) = −g(x)，
令h(x) = f(x) + g(x)，则h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) −g(x) = −h(x)，
所以f(x) + g(x)是奇函数，故D错误.
故选：B
答案
解析
变式2-1
7
设函数f (x)在(−∞, +∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是（       ）
A. y = −|f(x)|
B. y = xf (x2)
C. y = −f(−x)
D. y = f(x) + f(−x)
B
根据奇偶性的定义依次判断即可.
对A，y = −|f(x)|中，−|f(−x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，y = xf (x2)中，∵−xf [(−x)2] = −f (x2)，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，y = −f(−x)中，−f(x)与f(−x)不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，y = f(x) + f(−x)为偶函数，故D错误.
故选：B.
答案
解析
变式2-2
（1）已知f(x)是奇函数，定义域为D，g(x)是偶函数，定义域也是D.设F(x) = f(x)g(x)，判断函数F(x)的奇偶
性；
（2）已知f(x)、g(x)的定义域都是D，若F(x) = f(x)g(x)是偶函数，研究f(x)和g(x)的奇偶性.
8
（1）奇函数（2）答案不唯一，具体见解析
（1）利用奇偶函数性质进行求解判断即可
（2）可采取分类讨论法，f(x)和g(x)同是奇函数或同是偶函数、f(x)和g(x)都是非奇非偶函数，三种基本情
况，依次判断合理性，进而判断f(x)和g(x)的奇偶性
（1）f(x)是奇函数，定义域为D，则f(−x) = −f (x)
g(x)是偶函数，定义域也是D，则g(−x) = g (x)
F(x) = f(x)g(x)，则F(−x) = f(−x)g(−x) = −f (x)g (x)，F(x) + F(−x) = 0
所以F(x)为奇函数
（2）f(x)和g(x)同是奇函数或同是偶函数，则F(x)为偶函数；
证明如下：
①若f(x)和g(x)同是奇函数，则f(−x) = −f (x)，g(−x) = −g (x)
F(x) = f(x)g(x)，F(−x) = f(−x)g(−x) = −f (x) [−g (x)] = f (x)g (x)
所以F(x)为偶函数
②若f(x)和g(x)同是偶函数，则f(−x) = f (x)，g(−x) = g (x)
F(x) = f(x)g(x)，F(−x) = f(−x)g(−x) = f (x)g (x)
所以F(x)为偶函数
③若f(x)和g(x)都是非奇非偶函数，F(x)也可以为偶函数，比如f(x) = x + 1，g(x) = x −1，F(x) = x2 −1
本题考查构造函数奇偶性的证明，证明基本原理还是基于奇偶函数的性质，本题证明结论可作为常规性结论
加以熟记
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握抽象函数奇偶运算的应用
答案
解析
例3
定义在R上的单调函数f (x)满足对任意x，y均有f (x + y) = f (x) + f (y)，且f (1) = 1.
(1)
求f (0)的值，判断并证明f (x)的奇偶性；
(2)
判断函数单调性，求f (x)在区间[−3, 3]上的最小值.
9
(1) f (0) = 0， f (x)为奇函数，理由见解析
(2) f (x)单调递增，理由见解析，最小值为 −3.
(1) f (x + y) = f (x) + f (y)中，令x = y = 0得，f (0) = 2f (0)，
解得f (0) = 0，
f (x + y) = f (x) + f (y)中，令y = −x得f (x) + f (−x) = f (0) = 0，且f (x)的定义域为R，
故f (x)为奇函数；
(2) f (1) = 1 > f (0)，f (x)为单调函数，故f (x)只能单调递增，
f (x)在区间[−3, 3]上的最小值为f (−3)，
f (x + y) = f (x) + f (y)中，令x = 1, y = −1得f (1) + f (−1) = f (0)，
故f (−1) = f (0) −f (1) = 0 −1 = −1，
令x = y = −1得f (−2) = 2f (−1) = −2，
令x = −1, y = −2得f (−3) = f (−1) + f (−2) = −3，
故f (x)在区间[−3, 3]上的最小值为−3.
答案
解析
变式3-1
定义在R上的函数f(x)，对任意的x, y ∈R，有f (x + y) + f (x −y) = 2f (x)f (y)，且f(0) ≠0.
（1）求证：f(0) = 1；             
（2）求证：f(x)是偶函数.
10
（1）证明见解析，（2）证明见解析
（1）在f (x + y) + f (x −y) = 2f (x)f (y)中，令x = 0可证；
（2）在f (x + y) + f (x −y) = 2f (x)f (y)中，令x = 0, y = x，利用偶函数的定义可证.
（1）证明：在f (x + y) + f (x −y) = 2f (x)f (y)中，
令x = y = 0，得2f(0) = 2[f(0)]2，
又f(0) ≠0，所以f(0) = 1.
（2）证明：在f (x + y) + f (x −y) = 2f (x)f (y)中，
令x = 0, y = x，得f(x) + f(−x) = 2f(0)f(x)，
又f(0) = 1，所以f(x) + f(−x) = 2f(x)，
即f(−x) = f(x)，所以f(x)是定义在R上的偶函数.
本题考查了赋值法，考查了利用偶函数的定义证明函数为偶函数，属于基础题.
答案
解析
函数奇偶性的应用
考点2：奇偶性的应用
知识笔记
函数的奇偶性 
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调
性，则单调性相反；
11
（2）若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0) = 0。但f(0) = 0是 为奇函数的既不充分也不必要条件；
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”： 
f(x) = 1
2 [f(x) + f(−x)] + 1
2 [f(x) −f(−x)]，其中y = 1
2 [f(x) + f(−x)]为偶, y = 1
2 [f(x) −f(−x)]为奇；
（4）既奇又偶函数有无穷多个（f(x) = 0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。
经典例题
例4
已知函数f (x) = 1
x3 + ax3 −bx −5，且f(−2) = 2，那么f(2)= 
 .
-12
代入x = −2, x = 2，整体代换求值即可.
由题意，f (−2) =
1
(−2)3 + a(−2)3 −b × (−2) −5 = 2，即1
23 + a × 23 −b × 2 = −7，
故f (2) = 1
23 + a × 23 −2b −5 = −7 −5 = −12,
故答案为：-12
答案
解析
变式4-1
已知函数f (x) = x2 + ax + 4，x ∈[b, 3]是偶函数，则a + b = 
 .
−3
根据偶函数的定义求出a, b即可.
因为函数f (x) = x2 + ax + 4是偶函数，
所以f (−x) = f (x)，即x2 −ax + 4 = x2 + ax + 4，可得a = 0，
又因为x ∈[b, 3]，可得b = −3，
即f (x) = x2 + 4在x ∈[−3, 3]上是偶函数，
则a + b = −3.
答案
解析
12
故答案为：−3.
变式4-2
若定义在R上的函数y = f (x)和y = g (x)均为奇函数，设F (x) = af (x) −bg (x) + 3，且F (1) = 1，则F (−1) =
 .
5
根据奇函数的性质直接计算.
因为y = f (x)和y = g (x)均为定义在R上的奇函数，所以
F (1) + F (−1) = a [f (1) + f (−1)]−b [g (1) + g (−1)] + 6 = 6，
因此F (−1) = 5，
故答案为：5.
答案
解析
例5
设a为实数，函数f (x) = {
是奇函数，则g (x) = 
 ．
2x
1 −x
根据定义在R上的奇函数的性质f (0) = 0可得a = −2，进而结合奇函数的定义求解即可.
由题意，函数f (x)在R上为奇函数，f (−x) = −f (x)，
所以f (0) = a + 2 = 0，即a = −2，
则x ≤0时，f (x) = −
2
x + 1 + 2 =
2x
x + 1 ，
所以x > 0时，−x < 0，则f (−x) =
−2x
−x + 1 = −f (x)，即f (x) =
2x
1 −x ，
即g (x) =
2x
1 −x .
g (x), x > 0
a
x + 1 + 2, x ≤0
答案
解析
13
故答案为：
2x
1 −x .
变式5-1
函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x) = x2 + x，(x > 0)，则f (x) = 
 ．
f (x) = {
根据奇函数的定义f (−x) = −f (x)，求解函数的解析式.
∵函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，       ∴f (0) = 0
∀x < 0, −x > 0，则f (−x) = x2 −x
又f (−x) = −f (x)，       
∴f (x) = −f (−x) = −x2 + x，将0代入可得，0也满足该式，
∴f (x) = −f (−x) = −x2 + x，x ≤0.
故答案为：f (x) = {
.
答案
−x2 + x, x ≤0
x2 + x, x > 0
解析
−x2 + x, x ≤0
x2 + x, x > 0
例6
设常数a ≥0，函数f(x) = 2x + a
2x −a ．
（1）若a = 1，求函数y = f(x)的值域；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y = f(x)的奇偶性，并说明理由．
14
（1） (−∞, −1) ∪(1, +∞)；（2）当 a = 0时，函数 f (x)是偶函数； 当 a = 1时，函数 f (x)是奇函数；当
a > 0且 a ≠1时，函数 f (x)是非奇非偶函数．
（1）将a = 1代入函数解析式，求得函数的定义域，将函数解析式化简，之后借助于指数函数的值域以及不
等式的性质求得结果；
（2）分类讨论，利用函数的奇偶性定义，讨论函数的奇偶性，从而求得结果.
（1）当a = 1 时，f (x) = 2x + 1
2x −1 =1 +
2
2x −1 ，f (x)定义域为(−∞, 0) ∪(0, +∞)
，                                                       
当x > 0时，2x > 1 ⇒2x −1 > 0 ⇒
2
2x −1 > 0 ⇒f (x) > 1；
当x < 0时，0 < 2x < 1 ⇒−1 < 2x −1 < 0 ⇒
1
2x −1 < −1 ⇒
2
2x −1 < −2 ⇒f (x) < −1；
所以f (x)值域为(−∞, −1) ∪(1, +∞)                                　
（2）①当a = 0时，f (x) = 1，定义域为R，故函数y = f (x)为偶函数；
②当a > 0且a ≠1时，定义域为(−∞, log2a) ∪(log2a, +∞)不关于原点对称，故函数f (x)是非奇非偶函
数；                                          
③当a = 1时，f (x) = 2x + 1
2x −1 定义域为(−∞, 0) ∪(0, +∞) 关于原点对称，
f (−x) = 2−x + 1
2−x −1 = 1 + 2x
1 −2x = −f (x)，故函数f (x)是奇函数；
综上：
当a = 0时，函数f (x)是偶函数； 当a = 1时，函数f (x)是奇函数；当a > 0且a ≠1时，函数f (x)是非奇非偶
函数．
方法点睛：本题考查函数的值域的求法，函数奇偶性的判断，判断函数的奇偶性：先求函数的定义域是否关
于原点对称，若关于原点对称，再判断f (x)与f (−x)的关系，若f (x) = −f (−x)，则函数为奇函数；若
f (x) = f (−x)，则函数为偶函数，考查学生分类讨论思想的应用，属于中档题目.
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
答案
解析
变式6-1
已知函数y = f (x)的表达式为f (x) = 1 −ax2
1 + x2 ，且f (x) + f ( 1
x ) = −1（x ≠0）.
(1)
求实数a的值，并判断函数y = f (x)的奇偶性；
(2)
判断函数y = f (x)的单调性，并证明；
15
(3)
解关于x的不等式f (x) + f (
1
2x −1 ) + 1 < 0.
(1) a = 2，偶函数
(2) [0, +∞)上单调递减，在 (−∞, 0]上单调递增，证明见解析
(3) ( 1
3 , 1
2 ) ∪( 1
2 , 1)
(1)
f ( 1
x ) =
1 −a( 1
x )
2
1 + ( 1
x )
2
= x2 −a
x2 + 1 ，
故f (x) + f ( 1
x ) = 1 −ax2
1 + x2 + x2 −a
x2 + 1 = (1 −a) (1 + x2)
x2 + 1
= 1 −a = −1，即a = 2．
f (x) = 1 −2x2
1 + x2 ，y = f (x)为偶函数，证明如下：
f (x)的定义域为R，关于原点对称，
f (−x) = 1 −2(−x)2
1 + (−x)2 = 1 −2x2
1 + x2 = f (x)
所以y = f (x)为偶函数.
(2) f (x) =
3
1 + x2 −2在[0, +∞)上单调递减．f(x)在(−∞, 0]上单调递增．下面证明：
设x1，x2 ∈[0, +∞)，且x1 < x2.计算f(x1) −f(x2)：
f (x1) −f (x2) =
3
1 + x2
1
−
3
1 + x2
2
= 3 × (1 + x2
2) −(1 + x2
1)
(1 + x2
1)(1 + x2
2)
= 3 ×
x2
2 −x2
1
(1 + x2
1)(1 + x2
2) = 3 ×
(x2 −x1)(x2 + x1)
(1 + x2
1)(1 + x2
2)
因为x1，x2 ∈[0, +∞)，且x1 < x2，所以x2 −x1 > 0，x2 + x1 > 0，1 + x2
1 > 0，1 + x2
2 > 0.
那么3 × (x2 −x1)(x2 + x1)
(1 + x2
1)(1 + x2
2)
> 0，即f(x1) −f(x2) > 0，所以f(x1) > f(x2).
根据函数单调性的定义可知，函数f (x) = 1 −2x2
1 + x2 在[0, +∞)上单调递减.
又因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(−∞, 0]上单调递增．
答案
解析
16
(3) 因为f (x) + f ( 1
x ) = −1，所以f ( 1
x ) = −1 −f (x)，
由f (x) + f (
1
2x −1 ) + 1 < 0得f (x) < −1 −f (
1
2x −1 ) = f (2x −1), (x ≠1
2 )，
由函数f(x)的性质得：|x| > |2x −1|，
则
⇒
，
解得：x ∈( 1
3 , 1
2 ) ∪( 1
2 , 1)．
故该不等式的解集为( 1
3 , 1
2 ) ∪( 1
2 , 1)．
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
⎧
⎨
⎩
x2 > (2x −1)2
x ≠1
2
⎧
⎨
⎩
3x2 −4x + 1 < 0
x ≠1
2
变式6-2
已知函数f (x) =
2x
x2 + 1 ，x ∈R.
(1)
求不等式f (x) > 1
2 的解集；
(2)
判断函数f (x)的奇偶性；
(3)
已知|f (x)| < a恒成立，求实数a的取值范围.
(1) (2 −√3, 2 + √3)
(2) f (x)为奇函数
(3) (1, +∞)
答案
17
(1) 因为f (x) =
2x
x2 + 1 ，所以不等式f (x) > 1
2 ，即
2x
x2 + 1 > 1
2 ，
显然x2 + 1 > 0，
所以4x > x2 + 1，即x2 −4x + 1 < 0，解得2 −√3 < x < 2 + √3，
即不等式f (x) > 1
2 的解集为(2 −√3, 2 + √3)；
(2) f (x)为奇函数，
理由如下：因为函数f (x) =
2x
x2 + 1 ，x ∈R，
又f (−x) =
−2x
(−x)2 + 1
= −
2x
x2 + 1 = −f (x)，
所以f (x)为奇函数；
(3) 因为f (x) =
2x
x2 + 1 为奇函数，且f (0) = 0，
当x > 0时，f (x) =
2x
x2 + 1 > 0且f (x) =
2x
x2 + 1 =
2
x + 1
x
≤
2
2√x ⋅1
x
= 1，
当且仅当x = 1
x ，即x = 1时取等号，所以f (x) ∈(0, 1]，
则当x < 0时，f (x) ∈[−1, 0)，
所以f (x) ∈[−1, 1]，
因为|f (x)| < a恒成立，显然a > 0，所以−a < f (x) < a恒成立，
则a > 1，即实数a的取值范围为(1, +∞).
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
解析
例7
已知函数f(x) = x2 + a
x , (x ≠0, a ∈R)，讨论函数f(x)的奇偶性
18
当 a = 0时， f(x)为偶函数；当 a ≠0时， f(x)为非奇非偶函数
分a = 0、a ≠0两种情况讨论即可.
f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称
当a = 0时，f(x) = x2，f (−x) = x2 = f (x)，为偶函数
当a ≠0时，f(−x) = x2 −a
x ，所以有f (−x) ≠f (x)，且f (−x) ≠−f (x)
所以f(x)为非奇非偶函数
答案
解析
变式7-1
已知函数f (x)是定义域为R的偶函数f (x + 1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f (x) = k ⋅2x + a，若f (0) + f (3) = 6，则
f (log2 96) =（       ）
A. 2
B. 0
C. -3
D. -6
C
根据条件，可以证明f (x) 是周期为4的周期函数，计算出a 和k，由周期性可得f (log2 96) = f (1 + log2 3) ，再
利用函数的对称性即可求解.
因为f (x + 1)为奇函数，所以f (−x + 1) = −f (x + 1)，又f (x)为偶函数，
所以f (−x + 1) = f (x −1)，所以f (x −1) = −f (x + 1)，即f (x) = −f (x + 2)，
所以f (x + 4) = −f (x + 2) = f (x)，故f (x)是以4为周期的周期函数；
由f (−x + 1) = −f (x + 1)，易得f (1) = 0，f (3) = f (−1) = f (1) = 0，所以f (0) = 6，
所以k + a = 6，2k + a = 0，解得k = −6，a = 12；
所以f (log2 96) = f (5 + log2 3) = f (1 + log2 3)
答案
解析
19
= −f (log2 3 −1) = −f (log2
3
2 ) = −−6 × 2
log2
3
2 + 12
= −3；
故选：C．
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
05 单调性
1
学习目标
教法备注
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数的单调性
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数的单调性判定及证明
方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
运用函数的单调性解决相关问
题
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数的单调性的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数的单调性判定及证明方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
运用函数的单调性解决相关问题
知识清单
教法备注
2
1．函数单调性在考纲中考查单调性、对应的图像关系，判定及证明方法，以及相关应用的掌握情况，考纲中
明确对该知识点的考查涉及解释性理解水平及探究性理解水平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和
基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度中等，偶尔会在填选压轴中结合其他知识点综合考查，分值约
为10分，占比16%；
3．对应教材：必修一，第五章函数的概念、性质及应用；
4．本讲知识点涉及函数的解析式、定义域等问题，后续会和三角函数等内容有综合考查运用，公立学校会在
高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
【课堂引入】
（2021•虹口一模）已知函数f(x) = (a + 1)x2 + (a −1)x + (a2 −1)，其中a ∈R。
（1）当f(x)是奇函数时，求实数 的值；
（2）当函数f(x)在[2, +∞)上单调递增时，求实数 的取值范围。
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——函数单调性的定义及判定
考点1：函数单调性的判定
知识笔记
单调性的定义
    对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x1,x2,
当x1 < x2时,都有f(x1) ≤(<)f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增（严格增）函数;
当x1 < x2时,都有f(x2) ≤(<)f(x1)，那么就说函数f(x)在这个区间上是减（严格减）函数。
如果函数f(x)在某个区间上是增函数或者减函数，那么就说函数f(x)在这一个区间上是单调函数，这个区间叫做
函数f(x)的单调区间。
注意：函数的单调性只是函数的局部性质，函数在定义域内可以不是单调函数，但可能存在单调区间。多个单调
区间用“，”或者“和”连接。
3
经典例题
例1
已知a>0，函数f(x)＝x＋a
x (x>0)，证明：函数f(x)在(0，√a]上是减函数，在[√a，＋∞)上是增函数.
证明见解析
证明：设x ，x 是任意两个正数，且0<x <x ，
则f(x )－f(x )＝(x1 + a
x1
)－(x2 + a
x2
)＝x1 −x2
x1x2
 (x x －a).
当0<x <x ≤√a时，0<x x <a，又x －x <0，所以f(x )－f(x )>0，即f(x )>f(x )，
所以函数f(x)在(0，√a]上是减函数；
当√a≤x <x 时，x x >a，又x －x <0，所以f(x )－f(x )<0，即f(x )<f(x )，
所以函数f(x)在[√a，＋∞)上是增函数.即证.
本题考查利用单调性的定义，证明函数单调性，属基础题.
答案
解析
1
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
变式1-1
已知函数f (x) = 2x −1
2x + 1 ．
(1)
求证：函数f(x)是定义域为R的奇函数；
4
(2)
判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义证明．
(1) 证明见解析
(2) 函数 f(x)在 R上单调递增，证明见解析
(1) 函数f (x) = 2x −1
2x + 1 的定义域为R，对于∀x ∈R，都有−x ∈R，
且f (−x) = 2−x −1
2−x + 1 = 1 −2x
1 + 2x = −2x −1
2x + 1 = −f (x)，
所以函数f(x)是定义域为R的奇函数．
(2) 函数f(x)在R上单调递增，证明如下：
对于∀x1, x2 ∈R，且x1 < x2，
f (x1) −f (x2) = 2x1 −1
2x1 + 1 −2x2 −1
2x2 + 1 = (2x1 −1) (2x2 + 1) −(2x2 −1) (2x1 + 1)
(2x1 + 1) (2x2 + 1)
=
2 (2x1 −2x2)
(2x1 + 1) (2x2 + 1) ，
因为x1 < x2，所以0 < 2x1 < 2x2，则2x1 −2x2 < 0, 2x1 + 1 > 0, 2x2 + 1 > 0，
则f (x1) −f (x2) < 0，即$f\left(x_1\right)，
故函数f(x)在R上单调递增.
答案
解析
例2
已知函数f (x) = |x + 1
x −5
2 | (x > 0)，则f(x)的递减区间是 
 .
(0, 1
2 )，(1, 2)
答案
解析
5
由题意
f\left(x\right)=| x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{5}{2}| =\left\{
，
当0 < x < 1
2 时，函数f (x) = x + 1
x −5
2 单调递减；
当1
2 ≤x < 2时，函数f (x) = −x −1
x + 5
2 ，在( 1
2 , 1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减；
当x ≥2时，函数f (x) = x + 1
x −5
2 单调递增；
综上所述，函数f (x) = |x + 1
x −5
2 |的单调递减区间为(0, 1
2 )，(1, 2)，
故答案为：(0, 1
2 )，(1, 2).
x + 1
x −5
2 , 0
−x −1
x + 5
2 ,
x + 1
x + 5
2 , x
变式2-1
函数y = lg sin x的单调递增区间是 
 
(2kπ, π
2 + 2kπ) (k ∈Z)
根据对数真数大于零可确定函数的定义域；根据复合函数单调性的判断方法可得到所求单调递增区间.
由sin x > 0得：$2k\pi <\pi +2k\pi \left( k\in Z \right)$；
令{
，当$2k\pi <\dfrac{\pi }{2}+2k\pi \left( k\in Z \right)$时，μ = sin x单调递增，
由复合函数单调性可知：y = lg sin x的单调递增区间为(2kπ, π
2 + 2kπ) (k ∈Z).
故答案为：(2kπ, π
2 + 2kπ) (k ∈Z).
教法备注
【考点】复合函数单调性
【教法】让学生学会判断复合函数单调中同增异减的应用
答案
解析
μ = sin x
y = lg μ
变式2-2
设函数f (x)的定义域为R．则“f (x)在R上严格递增”是“g (x) = f (x) + x在R上严格递增”的（       ）条件
6
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
A
利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
若函数f (x)在R上严格递增，对任意的x1、x2 ∈R且x1 < x2，$f\left( {{x}_{1}} \right)，
由不等式的性质可得$f\left( {{x}_{1}} \right)+{{x}_{1}}，即$g\left( {{x}_{1}} \right)，
所以，g (x) = f (x) + x在R上严格递增，
所以，“f (x)在R上严格递增”⇒“g (x) = f (x) + x在R上严格递增”；
若g (x) = f (x) + x在R上严格递增，不妨取f (x) = −1
2 x，
则函数g (x) = f (x) + x = 1
2 x在R上严格递增，但函数f (x) = −1
2 x在R上严格递减，
所以，“f (x)在R上严格递增”/⇐“g (x) = f (x) + x在R上严格递增”.
因此，“f (x)在R上严格递增”是“g (x) = f (x) + x在R上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
答案
解析
变式2-3
若函数y=f（x）在区间D上是增函数，且函数y= f (x)
x
在区间D上是减函数，则称函数f（x）是区间D上的“H函数”．
对于命题：
①函数f（x）=-x+√x是区间（0，1）上的“H函数”；
②函数g（x）=
2x
1 −x2 是区间（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（　　）
A. ①和②均为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题
D. ①和②均为假命题
C
答案
解析
7
对于①，求得函数f（x）=-x+
的导数，即可判断单调性；
对于②，函数g（x）=
2x
1 −x2 即为g（x）=
2
1
x −x
，考虑y= 1
x -x在（0，1）上y＞0，且递减，可得g（x）的单
调性，再由y= g (x)
x
在（0，1）的单调性，可判断结论．
函数f（x）=-x+√x的导数为f′（x）=-1+
1
2√x
，
可得f（x）在（0，1
4 ）递增，在（1
4 ，1）递减，不满足新定义，
不是区间（0，1）上的“H函数”；
②函数g（x）=
2x
1 −x2 即为g（x）=
2
1
x −x
，
由y= 1
x -x在（0，1）上y＞0，且递减，
可得g（x）在（0，1）递增；
又y= g (x)
x
=
2
1 −x2 在（0，1）递增，
则g（x）是区间（0，1）上的“H函数”，
则①为假命题，②为真命题，
故选C．
本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的判断，注意运用导数和性质，考查运算能力，属于基础
题．
教法备注
【考点】函数单调性
【教法】让学生学会判断函数单调的应用
知识点2——函数单调性的含参问题
考点2：利用函数单调性求参/解不等式
知识笔记
函数的单调性
（1）设任意x1, x2 ∈D，且x1 < x2；
 f(x1) >f(x2) 严格减函数⇔f(x1) −f(x2)
x1 −x2
< 0；
8
 f(x1) < f(x2)严格增函数⇔f(x1) −f(x2)
x1 −x2
> 0；
 在比较f(x1)与f(x2)大小时，常用“作差法”，比较f(x1)−f(x2)与零的大小；
（2）奇函数的图像在y轴两侧单调性一致；偶函数的图像在y轴两侧单调性相反；
（3）互为反函数的单调性一致；
（4）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；
（5）复合函数单调性由“同增异减”判定。
经典例题
例3
设函数f(x) = x2 + |x −a|，a为常数.
（1）若f(x)为偶函数，求a的值；
（2）设a > 0，g(x) = f(x)
x
，x ∈(0, a]为减函数，求实数a的取值范围.
（1） a = 0；（2） $0.
（1）因为f(x)为偶函数，且x ∈R，所以f(−x) = f(x)
即(−x)2 + | −x −a| = x2 + |x −a|
即|−x −a| = |x −a| ⇔| −x −a|2 = |x −a|2
所以4ax = 0对一切x ∈R成立，所以a = 0
答案
解析
9
（2）因为a > 0，且x ∈(0, a]
所以g(x) = f(x)
x
= x2 + |x −a|
x
= x2 + a −x
x
= x + a
x −1，
任取0 < x1 < x2 ≤a，g(x1) −g(x2) = x1 + a
x1
−x2 −a
x2
= (x1 −x2) + a(x2 −x1)
x1x2
= (x1 −x2) (x1x2 −a)
x1x2
因为0 < x1 < x2 ≤a，所以x1 −x2 < 0且0 < x1x2 < a2
又g(x)在区间(0, a]上为减函数，所以x1x2 −a < 0
即a > x1x2，所以a ≥a2又a > 0，所以$0.
变式3-1
已知函数y = {
在R上为严格减函数，则实数a的取值范围为 
 .
[−5, −1)
根据分段函数的单调性得到{
，解得答案.
函数y = {
在R上为严格减函数，则{
，
解得−5 ≤a < −1.
故答案为：[−5, −1)
(a + 1)x + 1, x < 1
−x2 + 2x −4, x ≥1
答案
解析
a + 1 < 0
a + 1 + 1 ≥−1 + 2 −4
(a + 1)x + 1, x < 1
−x2 + 2x −4, x ≥1
a + 1 < 0
a + 1 + 1 ≥−1 + 2 −4
变式3-2
已知函数y = ax + 2
x −1 在区间[2, +∞)上是严格增函数，则a的取值范围是 
 .
a < −2
将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解.
由于y = ax + 2
x −1 = a (x −1) + a + 2
x −1
= a + a + 2
x −1 在区间[2, +∞)上是严格增函数，
所以a + 2 < 0，故a < −2，
答案
解析
10
故答案为：a < −2
变式3-3
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是 
 .
1 < a < 3
2
利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围.
由y = loga (3 −ax)，得a > 0且a ≠1，因此函数u = 3 −ax单调递减，而x ∈[0, 2]，则umin = 3 −2a，
由y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，得函数y = loga u在(0, +∞)上单调递增，且3 −2a > 0，
因此{
，解得1 < a < 3
2 ，
所以实数a的取值范围是1 < a < 3
2 .
故答案为：1 < a < 3
2
教法备注
【考点】复合函数单调性
【教法】让学生学会判断复合函数单调中同增异减的应用
答案
解析
a > 1
3 −2a > 0
例4
已知函数f(x) = x + sin x，若f(a −1) + f(2a2) ≤0，则实数a的取值范围是 
 .
[−1, 1
2 ]
先由函数奇偶性的判断得到f (x)是奇函数，再由导数得到f (x)在R上单调递增，从而利用f (x)的奇偶性与单
调性即可解得不等式得到a的取值范围.
因为f(x) = x + sin x，所以f (x)的定义域为R，显然关于原点对称，
答案
解析
11
又f(−x) = −x + sin (−x) = −(x + sin x) = −f(x)，所以f (x)是奇函数，
又f ′(x) = 1 + cos x ≥0，所以f (x)在R上单调递增，
所以由f(a −1) + f(2a2) ≤0得f(2a2) ≤−f(a −1)，则f(2a2) ≤f(1 −a)，
所以2a2 ≤1 −a，即2a2 + a −1 ≤0，解得−1 ≤a ≤1
2 ，即a ∈[−1, 1
2 ].
故答案为：[−1, 1
2 ].
教法备注
【考点】函数单调性与奇偶相结合
【教法】单调性的常考应用之一--------单调性比大小
变式4-1
设f(x) = 1
x −lg x，则不等式f( 1
x −1) < 1的解集为 
 ．
(0,   1
2 )
由题意，函数f(x) = 1
x −lg x，
根据初等函数的性质，可得函数f (x)为单调递减函数，且f(1) = 1，
则不等式f( 1
x −1) < 1等价于1
x −1 > 1，即1
x −2 = 1 −2x
x
> 0，解得$0<\dfrac{1}{2}$，
所以不等式的解集为(0,   1
2 ).
故答案为：(0,   1
2 ).
答案
解析
变式4-2
已知f (x) = 2x + x，则不等式f (|2x −3|) < 3的解集为 
 .
12
(1, 2)
利用函数的单调性脱去法则，再解不等式即得.
函数y = 2x, y = x都是R上的增函数，则函数f (x) = 2x + x是R上的增函数，
不等式f (|2x −3|) < 3 ⇔f (|2x −3|) < f(1) ⇔|2x −3| < 1，则−1 < 2x −3 < 1，解得1 < x < 2，
所以不等式f (|2x −3|) < 3的解集为(1, 2).
故答案为：(1, 2)
答案
解析
06  函数周期性与对称性
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解函数周期性与对称性的定义
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数周期性的判定及证明方法
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用周期性和对称性解决相关函数问题
知识清单
教法备注
1．函数周期性在考纲中考查对函数周期性、对应的图像性质，判定及证明方法，以及相关应用的掌握情况，
函数对称性考纲中考查对性质的应用，考纲中明确对该知识点的考查涉及解释性理解水平及探究性理解水
平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学
应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度中等，偶尔会在填选压轴中结合其他知识点综合考查，分值约
为10分，占比16%；
3．对应教材：必修一，第五章函数的概念、性质及应用；
4．本讲知识点涉及函数的解析式、奇偶性、单调性等问题，后续会和三角函数、数列等内容有综合考查运
用，公立学校会在高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
2
教法备注
【课堂引入】
（2022•静安一模）已知偶函数y = f(x)是实数集上的周期为2的周期函数, 当x ∈[2, 3]时, f(x) =2x, 则当
x ∈[0, 2] 时, f(x) =__________。
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——对称性
考点1：函数对称性
知识笔记
轴对称
偶函数的图像关于y轴对称，将此概念推广，我们有下面的轴对称的定义：f(a + x) = f(b −x) ⇔f(x) 的图象关于
直线x = (a + x) + (b −x)
2
= a + b
2
对称．
中心对称
奇函数的图像关于原点对称，将此概念推广，我们有下面的中心对称的定义：f(a + x) + f(b −x) = 2c ⇔f(x) 的
图象关于点( a + b
2
, c)对称．
经典例题
例1
函数y = x −1
x −b 的图像关于点(3, c)中心对称，则b + c = 
 ．
4
根据对称中心求得b, c，从而求得b + c.
答案
解析
3
函数y = x −1
x −b = (x −b) + b −1
x −b
= 1 + b −1
x −b 的图像关于点(3, c)中心对称，
所以{
，解得b = 3, c = 1，
所以b + c = 4.
故答案为：4
3 −b = 0
c = 1
变式1-1
已知函数f (x) = 2x −3
x + 1 的图像关于点P中心对称，则点P的坐标是 
 ．
(−1, 2)；
由题意，对函数进行简化，可得f (x) = 2x −3
x + 1 = 2 +
−5
x + 1 ，即可求得点P的坐标.
f (x) = 2x −3
x + 1 = 2 +
−5
x + 1 ，
∵函数f (x) = 2x −3
x + 1 的图像关于点P中心对称，
∴点P的坐标是(−1, 2).
故答案为：(−1, 2)
本题主要考查函数的中心对称点，对于分式形式可采用分离参数法求解，属于基础题.
答案
解析
变式1-2
函数y = 4x + 1
2x
的图像的对称性为（       ）
A. 关于x轴对称
B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y = x对称
B
将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．
解：因为f(x) = 4x + 1
2x
= 4x
2x + 1
2x = 2x + 2−x，所以f(−x) = 2−x + 2x = 2x + 2−x = f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，即函数图象关于y轴对称．
答案
解析
4
故选：B．
例2
已知函数f(x) = ax + k ⋅bx，其中k ∈R，a > 0且a ≠1，b > 0且b ≠1.
（1）若ab = 1，试判断f(x)的奇偶性；
（2）若a = 2，b = 1
2 ，k = 16，证明f (x)的图像是轴对称图形，并求出对称轴.
(1)见解析（2）函数 f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是直线 x = 2．
（1）由ab = 1得出b = a−1，于是得出f (x) = ax + k ⋅a−x，利用偶函数的定义得出k = 1，利用奇函数的定义
得出k = −1，于是得出当k ≠±1时，函数y = f (x)为非奇非偶函数；
（2）先得出f (x) = 2x + 16 ⋅2−x，并设函数y = f (x)图象的对称轴为直线x = m，利用定义
f (m −x) = f (m + x)，列等式求出m的值，即可而出函数y = f (x)图象的对称轴方程.
（1）由已知，b = 1
a ，于是f (x) = ax + k ⋅a−x，则f (−x) = a−x + k ⋅ax，
若f (x)是偶函数，则f (x) = f (−x)，即ax + k ⋅a−x = a−x + k ⋅ax，
所以(k −1) (ax −a−x) = 0对任意实数x恒成立，所以k = 1．
若f (x)是奇函数，则f (−x) = −f (x)，即a−x + k ⋅ax = −(ax + k ⋅a−x)，
所以(k + 1) (ax + a−x) = 0对任意实数x恒成立，所以k = −1．
综上，当k = 1时，f(x)是偶函数；
当k = −1时，f (x)奇函数，当k ≠±1，f (x)既不是奇函数也不是偶函数；
（2）f (x) = 2x + 16 ⋅2−x，若函数f (x)的图像是轴对称图形，且对称轴是直线x = m，即对任意实数x，
f (m −x) = f (m + x)恒成立，
2m−1 + 16 ⋅2−(m−x) = 2m+x + 16 ⋅2−(m+x)，化简得(2x + 2−x) (2m −16 ⋅2−m) = 0，
因为上式对任意x ∈R成立，所以2m −16 ⋅2−m = 0，2m = 4，m = 2．
所以，函数f (x)的图像是轴对称图形，其对称轴是直线x = 2．
答案
解析
5
本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶性的定义以及对称性定义
列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
教法备注
【考点】函数的奇偶
【教法】通过函数奇偶性解决问题，引导学生通过换元和画图解决零点问题
变式2-1
定义在R上的函数f (x)满足f (x + 2) + f (x) = f (2), f (x + 6) = f (−x), f ( 3
2 ) = 1，则（       ）
A. f (x)是周期函数
B. f (2024) = 0
C. f (x)的图象关于直线x = 2k −1 (k ∈Z)对称
D.
2024
∑
k=1
kf (k −1
2 ) = 2024
ABC
对于A，由已知，可得f (x + 4) = f (x)，则f (x)的周期为4，即可判断；对于B，令x = 0，可得f (0) = 0，则
f (2024) = f (0 + 4 × 506) = f (0) = 0，即可判断；对于C，由已知，可得函数f (x)关于x = 3对称，f (x)关于
x = 1对称，则的f (x)的图象关于直线x = 2k −1 (k ∈Z)对称，即可判断；由已知，得f (2) = f (0) = 0，
f (x + 2) + f (x) = 0
，
代
值
可
推
得
2024
∑
k=1
kf (k −1
2 ) = (1 + 2 −3 −4) + (5 + 6 −7 −8) + ⋯+ (2021 + 2022 −2023 −2024) = −2024，即可判断.
由f (x + 2) + f (x) = f (2)可得f (x + 4) + f (x + 2) = f (2)，
所以f (x + 4) = f (x)，所以f (x)的周期为4，故A正确；
由f (x + 2) + f (x) = f (2)，令x = 0，
则f (2) + f (0) = f (2)，所以f (0) = 0，
又f (2024) = f (0 + 4 × 506) = f (0) = 0，故B正确；
由f (x + 6) = f (−x)，可知函数f (x)关于x = 3对称，
又f (x)的周期为4，则f (x + 6) = f (x + 2)，
所以f (x + 2) = f (−x)，即函数f (x)关于x = 1对称，
则f (x)的图象关于直线x = 2k −1 (k ∈Z)对称，故C正确；
由f (0) = 0，且f (x)关于x = 1对称，
则f (2) = f (0) = 0，所以f (x + 2) + f (x) = 0，
答案
解析
6
又f ( 3
2 ) = f ( 1
2 ) = 1，且f ( 5
2 ) + f ( 1
2 ) = 0，
则f ( 5
2 ) = −f ( 1
2 ) = −1，又f ( 7
2 ) + f ( 3
2 ) = 0，
所以f ( 7
2 ) = −1，
2024
∑
k=1
kf (k −1
2 ) = (1 + 2 −3 −4) + (5 + 6 −7 −8) + ⋯+ (2021 + 2022 −2023 −2024)
= −4 × 506 = −2024，故D错误.
故选：ABC.
教法备注
【考点】函数的性质
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
变式2-2
设f (x) = x3 + ax2 −2x (x ∈R)，其中常数a ∈R.
（1）判断函数y = f (x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式f (x) > 3
2 x3在区间[ 1
2 , 1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知：若对函数y = h (x)定义域内的任意x，都有h (x) + h (2m −x) = 2n，则函数y = h (x)的图象有对称中
心(m, n).利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数y = f (x)是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用
a表示)；若不是，证明你的结论.
（1）答案见解析；（2） ( 5
2 , +∞)；（3）有对称中心，对称中心为 (−a
3 , 2a3
27 + 2a
3 ).
（1）当a = 0时，f (x) = x3 −2x，f (−x) = −x3 + 2x
所以f (x) = −f (−x)，y = f (x)为奇函数.
答案
解析
7
当a ≠0时，f (1) = a −1，f (−1) = a + 1，
因为f (−1) ≠±f (1)，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数.
（2）原问题可化为a > 1
2 x + 2
x 在区间[ 1
2 ,1]有解，则a > ( 1
2 x + 2
x )
min
，
因为函数y = 1
2 x + 2
x 在区间[ 1
2 ,1]单调递减，
所以ymin = 5
2 ，所以a > 5
2 ，
所以a的取值范围是( 5
2 , +∞).
（3）假设存在对称中心(m, n)，则x3 + ax2 −2x + (2m −x)3 + a(2m −x)2 −2 (2m −x) = 2n恒成立，
得(6m + 2a)x2 −(12m2 + 4am)x + 8m3 + 4am2 −4m = 2n恒成立
所以
，
得m = −a
3 ，n = 2a3
27 + 2a
3 ，
所以函数y = f (x)有对称中心(−a
3 , 2a3
27 + 2a
3 ).
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若k ≥f(x)在[a, b]上恒成立，则k ≥f(x)max；
②若k ≤f(x)在[a, b]上恒成立，则k ≤f(x)min；
③若k ≥f(x)在[a, b]上有解，则k ≥f(x)min；
④若k ≤f(x)在[a, b]上有解，则k ≤f(x)max；
教法备注
【考点】函数的性质
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
⎧
⎨
⎩
6m + 2a = 0
12m2 + 4am = 0
8m3 + 4am2 −4m = 2n
考点2：函数对称性的应用
经典例题
例3
如果函数f (x) = x2 + bx + c，对任意实数x都有f (2 + x) = f (2 −x)，试比较f (−3)、f (2)、f (3)的大小.
8
$f\left( 2 \right)
由题意结合f (2 + x) = f (2 −x)可得函数的对称轴，再由二次函数的图象与性质即可得解.
因为函数f (x) = x2 + bx + c，且对任意实数x都有f (2 + x) = f (2 −x)，
所以函数f (x)的图象是以直线x = 2为对称轴，开口朝上的抛物线，
即函数f (x)在[2, +∞)上单调递增，
所以f (−3) = f (7)，$f\left( 2 \right)，
所以$f\left( 2 \right).
本题考查了函数对称性的应用，考查了二次函数图象与性质的应用，属于基础题.
答案
解析
变式3-1
若函数f(x) = 2|x−a|(a ∈R)满足f(1 + x) = f(1 −x)，且f(x)在[m, +∞)单调递增，则实数m的最小值等于 
 ．
1
试题分析：根据f(1 + x) = f(1 −x)可知函数
的图像关于直线
对称，可知
，从而可以确定函数
在
上是增函数，从而有
，所以
，故
的最小值等于.
考点：函数图像的对称性，函数的单调性.
【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增
函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件
，得出函数图像的对称性，确定出函数
图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围.
教法备注
【考点】函数的性质
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
答案
解析
9
变式3-2
已知函数f（x）＝|x+2|，g（x）＝|x+t|，定义函数F（x）= {
，若对任意的x∈R，都有F（x）＝F
（2﹣x）成立，则t的取值为（       ）
A. ﹣4
B. ﹣2
C. 0
D. 2
A
利用F (x) = F (2 −x)可得F (x)关于x = 1对称,因为f (x)关于x = −2对称,则推测g (x)关于x = 4对称,再将g (x)
代回F (x)检验即可由F (x) = F (2 −x)可得F (x)关于x = 1对称,
因为f (x) = |x + 2|,则f (x)关于x = −2对称,所以g (x) = |x + t|关于x = 4对称,即t = −4,
此时F (x) = {
符合条件,故t = −4符合题意,
故选：A
本题考查函数的对称性的应用,考查数形结合思想
教法备注
【考点】函数的性质
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
f (x)
f (x) ≤g (x)
g (x)
f (x)＞g (x)
答案
解析
f (x), x ≤1
g (x), x > 1
例4
已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x <2<x ，且x ＋
x >4，则f(x )＋f(x )的值（       ）
A. 可正可负
B. 恒大于0
C. 可能为0
D. 恒小于0
B
首先根据条件f(−x) = −f(x + 4)转化为f(4 −x) = −f(x)，再根据函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递增，将x1
转换为4 −x1，从而4 −x1，x2都在(2, +∞)的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即
可判断f(x1) + f(x2)的值的符号．
解：定义域为R的函数f(x)满足f(−x) = −f(x + 4)，
1
2
1
2
1
2
答案
解析
10
将x换为−x，有f(4 −x) = −f(x)，
∵x1 < 2 < x2，且x1 + x2 > 4，
∴x2 > 4 −x1 > 2，
∵函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递增，
∴f(x2) > f(4 −x1)，
∵f(4 −x) = −f(x)，
∴f(4 −x1) = −f(x1)，即f(x2) > −f(x1)，
∴f(x1) + f(x2) > 0，
故选：B．
变式4-1
已知定义在R上的函数f (x)满足f(x + 1) = f(1 −x)且在[1, +∞)上是增函数，不等式f(ax + 2) ≤f(x −1)对任意
x ∈[ 1
2 , 1]恒成立，则实数a的取值范围是
A. [−3, −1]
B. [−2, 0]
C. [−5, −1]
D. [−2, 1]
B
本题主要考查函数的单调性、对称性，由f(x + 1) = f(1 −x)可知函数对称轴为x = 1，再由f (x)在[1, +∞)上
的单调性可以在其他区间的单调性，然后通过取特殊值来得出结果．因为f(x + 1) = f(1 −x)，
所以函数f (x)对称轴为x = 1，
因为函数f (x)在[1, +∞)上是增函数
所以函数f (x)在(−∞, 1]上是减函数，即函数f (x)在[ 1
2 , 1]上是减函数，
当a = 0时，不等式f(ax + 2) ≤f(x −1)即f(2) ≤f(x −1)，
根据函数f (x)的图像特征可得出|2 −1| ≤|x −1 −1|，
解得x ≥3或x ≤1，满足题意，所以排除A、C．
当a = 1时，不等式f(ax + 2) ≤f(x −1)变为f(x + 2) ≤f(x −1)，
根据函数图像特征可得出|x + 2 −1 | ≤|x −1 −1|
解得x ≤1
2 ，不满足题意，排除D．
在计算一些选择题时，无需计算出答案，可以根据四个选项的区别通过取特殊值法进行判断．
答案
解析
变式4-2
已知函数f(x) = x3 + 2x −2−x + 3，若实数a、b满足f (2a2) + f (b2 −1) = 6，则a√1 + 2b2的最大值为 
 .
11
3
4 | 0.75
由题知f(x)满足任意x ∈R，都有f(x) + f(−x) = 6，进而得2a2 + b2 = 1，再根据基本不等式求解即可.
解：令g (x) = x3 + 2x −2−x，因为g (−x) = (−x)3 + 2−x −2x = −g (x)
所以，函数g (x) = x3 + 2x −2−x是R上的奇函数，
所以函数g (x) = f (x) −3关于(0, 0)中心对称，
所以，f(x) = x3 + 2x −2−x + 3关于(0, 3)中心对称，
所以，f(x)满足任意x ∈R，都有f(x) + f(−x) = 6.
因为f (2a2) + f (b2 −1) = 6，
所以2a2 + b2 −1 = 0，即2a2 + b2 = 1.
所以a√1 + 2b2 = 1
2 ⋅2a√1 + 2b2 ≤1
2 ⋅4a2 + 1 + 2b2
2
= 2 + 1
4
= 3
4 ，
当且仅当2a = √1 + 2b2 = √6
2 ，即a = √6
4 ，b = ± 1
2 时取等号，
所以a√1 + 2b2的最大值为3
4 .
故答案为：3
4
教法备注
【考点】函数的性质
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
答案
解析
知识点2：函数周期性
考点3：函数周期性
知识笔记
周期性的定义
对于函数f(x) (x ∈D),如果存在一个非零常数T，使得x取D内每一个值时，都有等式f(x + T) = f(x)恒成立，那
么这个函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做函数f(x)的周期，对于一个周期函数f(x)来说，如果在所有的周期中
存在一个最小的正数，这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期。
注意：①如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ, n ≠0)也是函数f(x)的周期；
②周期T是一个非零常数，可正可负。
12
周期的相关结论
       (1）若f(x + a) = −f(x)(a ≠0)恒成立，则T = 2a；
（2）若f(x + a) =
1
f(x) (a ≠0)恒成立，则T = 2a；
（3）若f(x + a) = −
1
f(x) (a ≠0)恒成立，则T = 2a；
（4）若f(x + a) = f(x + b)，则f(x)是周期函数，|b −a|是它的一个周期；
（5）f(x)的周期为T ⇔f(ωx)的周期为T
|ω| 。
对称性与周期性的关系
（1）若函数f(x)有两条相邻对称轴，关于直线x = a和直线x = b对称，则函数为周期函数，周期为T = 2|a −b|；
（2）若函数f(x)有两个相邻对称中心，关于点(a, 0)和点(b, 0)对称，则函数为周期函数，周期为T = 2|a −b|；
（3）若函数f(x)有两相邻对称轴和对称中心，关于直线x = a和点(b, 0)对称，则函数为周期函数，周期为
T = 4|a −b|。
经典例题
例5
已知f (x + 2) = −f (x)，那么f (x)的最小正周期为__________。
变式5-1
已知f (x + 2) =
1
f(x) ，那么f (x)的最小正周期为___________。
例6
设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1, 1)上f (x) = {
,其中a ∈R.若
f (−5
2 ) = f ( 9
2 )，则f (2022a)的值是 
 .
−2
5 | -0.4
x + a, −1 ≤x < 0
2
5 −x, 0 ≤x < 1
答案
解析
13
根据函数的周期性及f (−5
2 ) = f ( 9
2 )可得a的值，进而利用周期性即可求解f (2022a)的值.
解：因为f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1, 1)上f (x) = {
,
所以f (−5
2 ) = f (−1
2 ) = −1
2 + a，f ( 9
2 ) = f ( 1
2 ) = 2
5 −1
2 = −1
10 ，
又f (−5
2 ) = f ( 9
2 )，即−1
2 + a = −1
10 ，解得a = 2
5 ，
所以f (2022a) = f (2022 × 2
5 ) = f (808 + 4
5 ) = f ( 4
5 ) = 2
5 −4
5 = −2
5 ，
故答案为：−2
5 .
x + a, −1 ≤x < 0
2
5 −x, 0 ≤x < 1
变式6-1
设由函数f (x)是定义在R上且周期为2的函数，，在区间[−1, 1]上，f (x) =
，其中a, b∈R，若
f ( 1
2 ) = f ( 3
2 )，则a + 3b的值为 
 .
−10
根据题意，得到f ( 1
2 ) = f (−1
2 )且f(−1) = f(1)，列出方程组，求得a, b的值，即可求解.
由函数f (x)是定义在R上且周期为2的函数，且f (x) =
，
可得f ( 3
2 ) = f (−1
2 )，因为f ( 1
2 ) = f ( 3
2 )，所以f ( 1
2 ) = f (−1
2 )，
可得
1
2 b + 2
1
2 + 1
= −1
2 a + 1，即3a + 2b = −2，
又由f(−1) = f(1)，可得−a + 1 = b + 2
2
，即b = −2a，
联立方程组{
，解得a = 2, b = −4，所以a + 3b = −10.
故答案为：−10.
⎧
⎨
⎩
ax + 1, −1 ≤x < 0
bx + 2
x + 1 , 0 ≤x ≤1
答案
解析
⎧
⎨
⎩
ax + 1, −1 ≤x < 0
bx + 2
x + 1 , 0 ≤x ≤1
3a + 2b = −2
b = −2a
变式6-2
奇函数y = f(x)满足对任意x ∈R都有f(2 + x) + f(2 −x) = 0,且f(1) = 9,则f(2016) + f(2017) + f(2018)的值为
 
14
9
由f(2 + x) + f(2 −x) = 0推导出f(x + 4) = f(x)即可得到f(x)的周期为4,当x = 0时,由 f(2) + f(2) = 0得
f(2) = 0.结合f(1) = 9,即可求得f(2016) + f(2017) + f(2018)的值.∵ f(2 + x) + f(2 −x) = 0
∴f(2 + x) = −f(2 −x) ┄①
∵ f(x)为奇函数,故f(−x) = −f(x)
∴f(2 −x) = f[−(x −2)] = −f(x −2) ┄②
由①②可得:f(2 + x) = f(x −2)
即:f(x + 4) = f(x) 可得:f(x)的周期为4
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得: f(0) = 0
∵ 当x = 0时, 由f(2 + x) + f(2 −x) = 0,可得: f(2 + 0) + f(2 −0) = 0
∴ f(2) = 0
∴f(2016) = f(504 × 4 + 0) = f(0)
f(2017) = f(2016 + 1) = f(1) = 9
f(2018) = f(2016 + 2) = f(2) = 0
∴ f(2016) + f(2017) + f(2018) = 9
故答案为:9.
本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周
期性求函数的值.
教法备注
【考点】函数的性质
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
答案
解析
例7
函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (1 −x) = −f (x)，当x ∈[2, 3]时，f (x) = x，则当x ∈[−1, 0]时，f (x)的解
析式为
A. x + 4
B. x −2
C. x + 3
D. −x + 2
15
D
试题分析：由于函数f (x)是偶函数，f (1 + x) = f (1 −x) = −f (x)，故f (x)周期为2.令x ∈[−1, 0]，则
−x + 2 ∈[2, 3]，f (x) = f (−x) = f (−x + 2) = −x + 2.
考点：分段函数解析式.
答案
解析
变式7-1
设函数y = f (x)为周期为4的奇函数，且对于x ∈R都有f (x + 2) = −f (x)．
(1)
若当−1 ≤x ≤1时，f (x) = sin x，写出1 ≤x ≤5时f (x)的解析式；
(2)
对于（1）中的f (x)，若A = {x ||f(x)| > a} ≠∅，求实数a的取值范围．
(1) f (x) = {
(2) (−∞, sin 1)
(1) 当x ∈R，有f (x + 2) = −f (x)，且函数y = f (x)为周期为4的奇函数，
所以f (x + 2) = −f (x) = f (x −2)，即有f (x −4) = f (x)，
当−1 ≤x ≤1时，f (x) = sin x，
当1 ≤x < 3时， −1 ≤x −2 < 1<>，此时f (x −2) = sin (x −2) = −f(x)，所以f (x) = −sin (x −2).
当3 ≤x ≤5时，f (x) = f (x −4) = sin (x −4)；
综上，当1 ≤x ≤5时，f (x) = {
.
答案
−sin (x −2), 1 ≤x < 3
sin (x −4), 3 ≤x ≤5
解析
−sin (x −2), 1 ≤x < 3
sin (x −4), 3 ≤x ≤5
16
(2) 由（1）可知当1 ≤x ≤5时，f (x) = {
，
∴ f (x)在一个周期上的值域是[−sin 1, sin 1]，
若使A ≠∅⇒a < |f (x)|的最大值，∴ a < sin 1．
故a的取值范围为：(−∞, sin 1).
−sin (x −2), 1 ≤x < 3
sin (x −4), 3 ≤x ≤5
变式7-2
已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且y = f (x)的图象关于直线x = 2对称．
(1)
证明：f (x)是周期函数．
(2)
若当x ∈[−2, 2]时，f (x) = −x2 + 1，求当x ∈[2, 6]时，f (x)的解析式．
(1) 证明见解析
(2) f (x) = −(x −4)2 + 1， x ∈[2, 6]
(1) 由函数y = f (x)的图象关于直线x = 2对称，
所以f (x + 2) = f (2 −x)，即有f (−x) = f (x + 4)，
又函数f (x)是定义在R上的偶函数，有f (−x) = f (x)，
所以f (x + 4) = f (−x) = f (x)，
即f (x)是周期为4的周期函数；
(2) 当x ∈[−2, 2]时，f (x) = −x2 + 1，又f (x)是周期为4的周期函数，
当x ∈[2, 6]，则x −4 ∈[−2, 2]，
所以f (x) = f (x −4) = −(x −4)2 + 1，
所以f (x) = −(x −4)2 + 1，x ∈[2, 6].
教法备注
【考点】函数的性质
答案
解析
17
【教法】通过函数性质解决函数图像特点，引导学生函数性质推理或者画图解决问题
07 函数图像与函数零点
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握函数图像变换方法
目标2
★★★★★☆ 迁移
运用函数图像求解函数零点相关问题
知识清单
教法备注
【考情分析】
1．函数图像和函数零点问题在考纲中考查对函数图像变换以及数形结合求解零点问题的掌握情况，函数零点
在考纲中考查对概念的理解记忆以及数形结合方法的使用，考纲中明确对该知识点的考查涉及探究性理解水
平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学
应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度涵盖中等难度和较高难度，经常会在填选压轴中结合其他知识
点综合考查，分值约为10分，占比16%；
3．对应教材：必修一，第四章幂函数、指数函数与对数函数，第五章函数的概念、性质及应用；             4．
本讲知识点涉及基本初等函数的图像、性质等问题，后续会和三角函数内容有综合考查运用，公立学校会在
高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关.
2
教法备注
【课堂引入】
（2020•浦东二模）已知函数f(x) = x2 + alog2(x2 + 2) + a −2的零点有且只有一个，则实数 的取值集合为
________.
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解.
知识点1——函数图像
考点1：函数图像及其变换
知识笔记
平移变换
（1）水平平移：函数y = f(x + a)的图像可以把函数y = f(x)的图像沿x轴方向向左(a > 0)或向右(a < 0)平移|a|个
单位即可得到；
（2）竖直平移：函数y = f(x) + a的图像可以把函数y = f(x)的图像沿x轴方向向上(a > 0)或向下(a < 0)平移|a|个
单位即可得到.
对称变换
（1）函数y = f(−x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于
y轴
对称即可得到；
（2）函数y = −f(x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于x
轴
对称即可得到；
（3）函数y = −f(−x)的图像可以将函数y = f(x)的图像关于
原点对称
即可得到.
翻折变换
（1）函数y = |f(x)|的图像可以将函数y = f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，
并保留y = f(x)的x轴上方部分即可得到；
（2）函数y = f(|x|)的图像可以将函数y = f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y = f(x)
在y轴右边部分即可得到.
伸缩变换
（1）函数y = af(x) (a > 0)的图像可以将函数y = f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a > 1)或压缩（
0 < a < 1）为原来的a倍得到；
3
（2）函数y = f(ax)(a > 0)的图像可以将函数y = f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a > 1)或压缩（
0 < a < 1）为原来的1
a 倍得到.
经典例题
例1
分别作出下列函数的图象：
（1）y＝|lg(x－1)|；（2）y = 2x+1 −1；（3）y＝x －|x|－2；（4）y＝2x −1
x −1 .
（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）作图见解析.
（1）首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，
再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，
即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图所示(实线部分)；
2
答案
解析
4
（2）将y＝2 的图象向左平移1个单位，得到y = 2x+1的图象，
再将所得图象向下平移1个单位，得到y = 2x+1 −1的图象，如图所示；
（3）y＝x －|x|－2＝{
，
由二次函数的图象可作出其图象如图所示；
（4）y＝2x −1
x −1 ＝2＋
1
x −1 ，故函数的图象可由y＝1
x 的图象向右平移1个单位，
再向上平移2个单位得到，如图所示.
本题考查了具体函数图象的作法，考查了函数图象变换的应用，属于基础题.
x
2
x2 −x −2, x ≥0
x2 + x −2, x < 0
变式1-1
5
指出下列函数图象的变换过程，从 y = 2
x 到①y =
2
x + 1 ；② y = 2
x −1；③y =
2
x −1 + 3.
①向左平移 1个单位；②向下平移 1个单位；③向右平移 1个单位再向上平移 3个单位.
由图象的平移变换即可得出答案.
①将y = 2
x 向左平移1个单位可得y =
2
x + 1 ；
②将y = 2
x 向下平移1个单位可得y = 2
x −1；
③将y = 2
x 向右平移1个单位再向上平移3个单位可得y =
2
x −1 + 3.
答案
解析
变式1-2
为了得到函数y = 2 sin( x
3 +
 π 
6 ), x ∈R的图象，只需把函数y = 2 sin x，x ∈R的图象上所有的点（       ）
A. 向左平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的1
3 倍（纵坐标不变）
B. 向右平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3 倍（纵坐标不变）
C. 向左平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D. 向右平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
C
按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案.
对于A，把函数y = 2 sin x，x ∈R的图象上所有的点向左平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的1
3 倍（纵坐标不变）得到函数y = 2 sin(3x + π
6 )的图象，故A不正确；
对于B，把函数y = 2 sin x，x ∈R的图象上所有的点向右平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
答案
解析
6
来的1
3 倍（纵坐标不变）得到函数y = 2 sin(3x −π
6 )的图象，故B不正确；
对于C，把函数y = 2 sin x，x ∈R的图象上所有的点向左平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的3倍（纵坐标不变）得到函数y = 2 sin( 1
3 x + π
6 )的图象，故C正确；
对于D，把函数y = 2 sin x，x ∈R的图象上所有的点向右平移
 π 
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到
原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y = 2 sin( 1
3 x −π
6 )的图象，故D不正确.
故选：C.
本题考查了三角函数的平移变换与周期变换，属于基础题.
变式1-3
在同一坐标系中，函数y = ax + 1与y = a|x−1|（a>0且a≠1）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
当a＞1时，直线y=ax+1的斜率大于1，函数y=a
|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是增函数，选项C满足条件．
当1＞a＞0时，直线y=ax+1的斜率大于0小于1，且过(0, 1)，函数y=a
|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是减函
数，没有选项满足条件．
故选C．
教法备注
【考点】函数的图像
【教法】通过画图找零点，引导学生通过画图解决零点问题
答案
解析
|x-1
|x-1
7
知识点2——函数零点
考点2：已知零点个数求参 
知识笔记
零点的定义
函数y = f(x)的零点不是点，而是方程f(x) = 0的解，也是函数y = f(x)与x轴交点的横坐标.
零点个数问题
求函数y = f(x)零点个数的方法：
（1）利用定义，转化为方程f(x) = 0的根，有几个根就有几个零点；
（2）画出函数y = f(x)的图像，判断它与x轴交点个数，从而判断函数零点的个数.
函数零点关系问题
一般求解函数零点和或积，利用函数性质寻找零点关系，进而求解.
经典例题
例2
若函数f (x) = 3|x| −m |x| + m2 −2 (x ∈R)有唯一零点，则实数m的值为 
 .
±1
根据偶函数的性质，可得f(0) = 0，解得m = ±1，然后分情况验证.
解：∵x ∈R, f (−x) = 3|−x| −m |−x| + m2 −2 = f(x)
∴f(x)是偶函数
根据偶函数的性质，可得f(0) = 0，30 + m2 −2 = 0，解得m = ±1
当m = 1时，此时f (x) = 3|x| −|x| −1，有唯一零点；
当m = −1时，此时f (x) = 3|x| + |x| −1，也有唯一零点；
故m = ±1时有唯一零点.
故答案为：±1
答案
解析
8
变式2-1
函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x −1)为偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x) = √x，若函数g(x) = f(x) −x −m有
三个零点，则实数m的取值范围是（       ）
A. (−1
4 , 1
4 )
B. (1 −√2, √2 −1)
C. (4k −1
4 , 4k + 1
4 )(k ∈Z)
D. (4k + 1 −√2, 4k + √2 −1)(k ∈Z)
C
由题意，画出函数f(x)图象的草图，利用数形结合的方法找出当函数f(x)的图象与直线y = x + m有3个交点时
m的取值范围，即可得解.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x −1)为偶函数，
∴f(x −1) = f (−x −1) = −f (x + 1)，∴f(x −1) = f (x + 3)，
∴f(x)的对称轴为x = −1且周期为4，
又x ∈[0, 1]时，f(x) = √x，∴可作出函数f(x)图象的草图，如下：
若函数g(x) = f(x) −x −m有3个零点，则方程f(x) = x + m有3个实根，
∴函数f(x)的图象与直线y = x + m有3个交点，
当x ∈[0, 1]时，f ′(x) = 1
2 x
−1
2 = 1，解得x = 1
4 ，即当直线y = x + m与f(x) = √x的图象相切时切点为
( 1
4 , 1
2 )，此时m = 1
4 ，
由图象的对称性可知当m ∈(−1
4 , 1
4 )时，函数f(x)的图象与直线y = x + m有3个交点，
再由周期性可知，当m ∈(4k −1
4 , 4k + 1
4 )(k ∈Z)时，函数函数f(x)的图象与直线y = x + m有3个交点.
故选：C.
本题考查了函数奇偶性、周期性与对称性的综合应用，考查了函数零点与方程根的关系，体现了转化化归思
想与数形结合思想，属于中档题.
答案
解析
变式2-2
9
已知y = f(x)是奇函数，定义域为[−1, 0) ∪(0, 1]，当x > 0时，f (x) =
( 1
2 )
2x−1
−xα
−1 (α > 0)，当函数
g(x) = f(x) −m有3个零点时，则实数m的取值范围是 
 .
(−1, −0.5] ∪[0.5, 1)
首先通过y = ( 1
2 )
2x−1
−xα的单调性作出大致图像，然后利用平移变换和对称变换以及奇函数的性质作出
f(x)的图像，再将数g (x) = f (x) −m的零点个数转化为f(x)图像与y = m的交点个数即可求解.
不妨令y = ( 1
2 )
2x−1
−xα，由α > 0，易知y = ( 1
2 )
2x−1
−xα在(0, 1]上单调递减，
当x →0时，y →2，f(x) →1；当x = 1时，y = −1
2 ，f (1) = −3
2 ，
故y = ( 1
2 )
2x−1
−xα在(0, 1]上的大致图像如下：
   
由函数平移变换和对称变换f (x) =
( 1
2 )
2x−1
−xα
−1在(0, 1]上的大致图像如下：
   
又因为f(x)为奇函数，故f(x)在[−1, 0) ∪(0, 1]上的图像如下：
   
因为g (x) = f (x) −m有3个零点等价于f(x)的图像与y = m有三个不同的交点，
所以−1 < m ≤−0.5或0.5 ≤m < 1，即实数m的取值范围为(−1, −0.5] ∪[0.5, 1).
答案
解析
10
故答案为：(−1, −0.5] ∪[0.5, 1).
教法备注
【考点】函数的图像
【教法】通过画图找零点，引导学生通过画图解决零点问题
变式2-3
已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1．
①当a=0时，不等式f（x）+1＞0的解集为     ；
②若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是     ．
（0，+∞）; （2 √2，+∞）
①把a=0代入函数解析式，可得不等式，对x分类求解得答案；
②转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合，通过函数的导数求解即可．
①当a=0时，不等式f（x）+1＞0⇔x|2x|﹣1+1＞0，
即2x|x|＞0，
若x＜0，得﹣2x ＞0，不合题意；
若x=0，得0＞0，不合题意；
若x＞0，得2x ＞0，则x＞0．
综上，当a=0时，不等式f（x）+1＞0的解集为（0，+∞）；
②若函数f（x）有三个不同的零点，即方程x|2x﹣a|﹣1=0有3个不同根．
即|2x﹣a|= 1
x 有三个解，
令y=|2x﹣a|，则y=
，画出两个函数的图象，如图：
x＜a
2 ，y= 1
x ，由y′= −1
x2 = −2，解得x= √2
2 ，x= −√2
2 （舍去），
此时切点坐标（
√2
2 ，√2），代入y=a﹣2x，可得a=2×
√2
2
+ √2 =2√2，
函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，
则实数a的取值范围为（2√2，+∞）．
故答案为（0，+∞）；（2√2，+∞）．
答案
解析
2
2
⎧
⎨
⎩
2x −a，x ≥a
2
a −2x，x＜a
2
11
本题绝对值不等式的解法，考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．
教法备注
【考点】函数的图像
【教法】通过画图找零点，引导学生通过画图解决零点问题
考点3：利用函数性质探究零点关系
例3
已知函数f (x) = {
 若存在实数x1，x2，x3，x4 (x1 < x2 < x3 < x4)，满足
f (x1) = f (x2) = f (x3) = f (x4)，则x1x2x3x4的取值范围是（       ）
A. (0, 375
4 )
B. (0, 100)
C. (75, 375
4 )
D. (75, 100)
C
根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
画出f (x)的图象如下图：
由题意可知−log5 x1 = log5 x2 ⇒x1x2 = 1，−cos ( π
5 x3) = −cos ( π
5 x4)，由图象可知x3, x4关于直线x = 10对
称，所以x3 + x4 = 20，因此x1x2x3x4 = x3x4，
当−cos ( π
5 x3) = −cos ( π
5 x4) = 1时，x3 = 5, x4 = 15，此时x3x4 = 75，
当−cos ( π
5 x3) = −cos ( π
5 x4) = 0时，x3 = 15
2 , x4 = 25
2 ，此时x3x4 = 375
4 ，
当存在x1，x2，x3，x4 (x1 < x2 < x3 < x4)使得f (x1) = f (x2) = f (x3) = f (x4) = a ∈(0, 1)时，此时
x1x2x3x4 = x3x4 ∈(75, 375
4 )，
|log5 x|, 0 < x < 5,
−cos ( π
5 x), 5 ≤x ≤15.
答案
解析
12
故选：C
变式3-1
已知函数f(x) = 2cos2 ( π
2 x −π
4 ) −1,
g(x) = x3，设函数F(x) = f(x) −g(x)，则F(x)所有的零点之和为 
．
0
先化简f(x)，再转化为f(x)和g(x)图象交点的横坐标之和，即可得解.
解：f(x) = 2cos2 ( π
2 x −π
4 ) −1 = cos (πx −π
2 ) = sin πx，作出f(x)和g(x)的图象，F(x)的零点之和即为
f(x)和g(x)图象交点的横坐标之和，根据图像的对称性可知，f(x)和g(x)所有的交点的横坐标之和为0.
故答案为：0
答案
解析
变式3-2
13
设f(x) =
x2 −2x ，则函数y = f(x) −2024的所有零点之和为 
 ．
2
画出函数图象。利用对称性即可求解.
由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x) =
x2 −2x 的图象如图所示，
根据图象可知y = f(x) −2024共有2个零点，且2个零点关于x = 1对称，
所以零点之和为2，
故答案为：2
答案
解析
变式3-3
已知函数f(x)＝||x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有四个互不相等的实根x ，x ，x ，x ，则x x x x 的取值
范围是 
 ．
(－3，0)
试题分析：函数f(x) = ||x −1| −1|的图象如下图所示：
1
2
3
4
1 2 3 4
答案
解析
14
由图可知，若m ∈(0, 1)的四个互不相等的实数根，则
，且
分别为：
，
∴
.
考点：根的存在性及根的个数判断．
教法备注
【考点】函数的图像
【教法】通过画图找零点，引导学生通过画图解决零点问题
例4
已知λ ∈R，函数f (x) = {
若函数f (x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是 
 .
(1, 3] ∪(4, +∞)
根据一次函数与二次函数的零点情况，分类讨论λ的取值，即可求解.
由于y = x −4在R上只有一个零点4，函数y = x2 −4x + 3在R上的两个零点为1和3，
若λ > 4,此时y = x −4在x ≥λ上没有零点，函数y = x2 −4x + 3在x < λ上的两个零点为1和3，满足题意，
当3 < λ ≤4时，此时y = x −4在x ≥λ上有零点4，函数y = x2 −4x + 3在x < λ上有零点为1和3，不满足题
意，舍去
当1 < λ ≤3时，此时y = x −4在x ≥λ上有零点4，函数y = x2 −4x + 3在x < λ上有零点为1，满足题意，
当λ ≤1时，此时y = x −4在x ≥λ上有零点4，函数y = x2 −4x + 3在x < λ上没有零点，不满足题意，舍去，
综上：λ > 4或1 < λ ≤3，
故答案为：(1, 3] ∪(4, +∞)
x −4, x ≥λ,
x2 −4x + 3, x < λ,
答案
解析
15
变式4-1
关于x的方程x2 + a |x| + a2 −9 = 0 (a ∈R)有唯一的实数根，则a = 
 ．
3
考虑绝对值的性质，方程的唯一实根只能是0，即|x| = 0，由此分析可得结论．方程x2 + a |x| + a2 −9 = 0为
|x|2 + a |x| + a2 −9 = 0，因此原方程有唯一实根，则|x| = 0，
a2 −9 = 0，a = ±3，a = −3时，方程为|x|2 −3 |x| = 0，|x| =0或3，不合题意，
a = 3时，方程为|x|2 + 3 |x| = 0，|x| = 0，|x| = −3舍去．
故答案为：3.
本题考查方程根的分布，根据绝对值的性质易得结论．
答案
解析
变式4-2
设f (x)是定义在R上周期为2的函数，且f (x) = {
，记g (x) = f (x) −a，若1
2 < a < 1，则函数
g (x)在区间[−2, 3]上零点的个数是(　　)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
D
根据函数f (x)的周期性和解析式，作出函数的图象，利用函数零点与方程之间的关系转化为两个图象交点个
数，利用数形结合进行求解即可．∵f (x)是定义在R上周期为2的函数，且f (x) =  { 
 ，
∴作出是f (x)在区间[−2, 3]上图象如图：由g (x) = f (x) −a，得f (x) = a，∵1
2 < a < 1，
∴作出y = a的图象，由图象知两个函数共有8个交点，
即g (x)的零点个数为8个，
故选D．
cos2 π x,0≤x≤1
1 −log2x, 1 < x < 2
答案
解析
cos2 π x,0≤x≤1
1 −log2x, 1 < x < 2
16
本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．
教法备注
【考点】函数的图像
【教法】通过画图找零点，引导学生通过画图解决零点问题
08 三角比
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握任意角的概念及角度值、弧度制的转换
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握利用三角比的定义求解相关问题的方法
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用三角恒等变换求解相关问题
知识清单
教法备注
1．三角比问题在考纲中考查三角比公式的记忆和灵活运用，在考纲中考查对公式的理解记忆以及实际应用的
变通使用，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆性理解水平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和
基本技能、逻辑推理能力、运算能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度中等偏上，还会有压轴难度的考查，分值约为28分，占比
12%；
3．对应教材：必修二，第六章三角；
4．本讲知识点涉及三角比相关公式，后续会和解三角形、三角函数有综合考查运用，公立学校会在高三上学
期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
2
【课堂引入】
已知角 α 的终边经过点 P(3, 4) ，将角 α 的终边绕原点 O 逆时针旋转 π
2 得到角 β 的终边，则 tan β 等于
____________。
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——任意角及其三角比
考点1：任意角与弧度制
知识笔记
任意角的概念
（1）定义：一条射线绕着顶点从它的始边旋转到终边所在位置而形成的图形叫做角。习惯上，按逆时针方向旋转
形成
正
角，按顺时针方向旋转形成
负
角，没有旋转形成零角。
（2）角的分类：将角置于平面直角坐标系，顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴，角的终边落在第几象限即为第几
象限角。
（3）终边相同的角：与角 α 终边相同的角的集合为
 {β ∣β = k ⋅360∘+ α, k ∈Z} 
。
弧度制
（1）弧度：把圆弧的长度与圆的半径的比值表示为该圆弧所对的圆心角的大小，记作 |α| =
 l
r 
 ，特别地， 1 
弧度表示弧长等于
半径
的弧所对圆心角的大小，而用弧度作为度量角的单位制叫做＂弧度制＂。
（2）角度制与弧度制换算关系： 180∘= π 弧度， 1∘=
π
180 弧度；
（3）扇形的弧长公式：l = 
|α|r  
 ；
（4）扇形的面积公式：S =
 1
2 |α|r2 
 =
  1
2 lr 
 。
经典例题
例1
根据下列条件，确定θ是第几象限角或哪个坐标轴上的角：
（1）sin θ < 0且cos θ > 0；       
（2）sin θ cos θ > 0；
（3）sin θ
tan θ > 0；             
3
（4）|sin θ| = sin θ.
（1）第四象限角；（2）第一、三象限角；（3）第一、四象限角；（4）第一、二象限角或终边落在 x轴上的
角或 y轴的正半轴上的角.
利用三角函数的象限符号即可求解.
（1）sin θ < 0且cos θ > 0，θ为第四象限角；
（2）由sin θ cos θ > 0，可得sin θ > 0且cos θ > 0，或sin θ < 0且cos θ < 0，
则θ为第一、三象限角；
（3）由sin θ
tan θ > 0，可得sin θ > 0且tan θ > 0，或sin θ < 0且tan θ < 0，
则θ为第一、四象限角；
（4）|sin θ| = sin θ，则θ为第一、二象限角或终边落在x轴上的角或y轴的正半轴上的角.
答案
解析
变式1-1
若sin α < 0, cos α < 0，则α是（       ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
C
根据三角函数在各个象限的正负性求解即可.
因为sin α < 0，所以α在第三象限或第四象限，或α终边为y轴非正半轴，
因为cos α < 0，所以α在第二象限或第三象限，或α终边为y轴非正半轴，
所以α是第三象限角.
故选：C
答案
解析
变式1-2
4
若α是第一象限的角，则α
2 是第几象限的角？2α是第几象限的角？
α
2 是第一象限或第三象限的角， 2α是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上.
由α的范围，求出α
2 , 2α的范围，分类讨论可得到角的象限．
因为α是第一象限角，
所以α ∈（2kπ，2kπ + π
2 ），k ∈Z，
所以α
2 ∈（kπ，kπ + π
4 ），k ∈Z，
当k = 2n, n ∈Z时，∴α
2 ∈（2nπ，2nπ + π
4 ），n ∈Z，α
2 在第一象限；
当k = 2n + 1, n ∈Z时，∴α
2 ∈（2nπ + π，2nπ + 5π
4 ），n ∈Z，α
2 在第三象限；
所以α
2 是第一象限或第三象限的角．
因为2α ∈（4kπ，4kπ + π），k ∈Z，
所以2α是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上.
答案
解析
例2
已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
5
当扇形的圆心角为 2 rad时，扇形的面积最大，最大值为 a2
16 .
设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S，可得S = 1
2 l ⋅r = 1
2 (a −2r) ⋅r，由r > 0，l = a −2r > 0
，可得r的范围，根据二次函数的性质求得面积的最大值，再由α = l
r 可得面积取得最大值时的圆心角.
设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.
由已知2r + l = a，可得l = a −2r，
所以扇形的面积S = 1
2 l ⋅r = 1
2 (a −2r) ⋅r = −r2 + a
2 r = −(r −a
4 )
2
+ a2
16 ，
因为r > 0，l = a −2r > 0，所以$0<\dfrac{a}{2}$，
所以当r = a
4 时，Smax = a2
16 ，此时l = a −2 × a
4 = a
2 ， 所以α = l
r =
a
2
a
4
= 2，
故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为a2
16 .
教法备注
【考点】扇形面积
【教法】根据面积公式写出面积函数，并利用基本不等式（或二次函数）方法求出最值
答案
解析
变式2-1
已知扇形的弧所对的圆心角为36°，半径r=10cm，则扇形的弧长为 
 cm
2π
设圆心角为α，将α化成弧度数，再利用扇形的弧长公式即可求得答案.
答案
解析
6
设圆心角为α，则α = 36
180 π = π
5 ，
由弧长公式，得扇形的弧长为αR = π
5 × 10 = 2π (cm)
故答案为：2π.
变式2-2
对于单位圆上任意截取两点连接圆心构成的扇形，其弧长与面积的比值为 
 ．
2
根据扇形的弧长和面积的公式运算求解.
设扇形的圆心角为α ∈(0, 2π)，半径为1，
则其弧长l = α，面积S = 1
2 lr = 1
2 α，
所以弧长与面积的比值为α
1
2 α
= 2.
故答案为：2.
答案
解析
考点2：三角比
知识笔记
三角比的定义
定义：点 P(x, y) 是任意角 α 终边上的任意一点，记 r = √x2 + y2 ；
规定： sin α = 
 y
r
，cos α =
  x
r 
 ，tan α = y
x , cot α = x
y  ；
特别地，在单位圆内， sin α 表示角的终边与单位圆交点的
纵坐标
，即 sin α = y ； cos α 表示角的终边与单位
圆交点的
横坐标
，即 cos α = x ； tan α 表示角的终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标之比，即 tan α = y
x ；
同角三角关系
平方关系：sin2 α + cos2 α = 1
商的关系：tan α = sin α
cos α  
7
倒数关系：tan α ⋅cot α = 1  
经典例题
例3
若α ∈(π, 3π
2 )，则√1 + cos α
1 −cos α −√1 −cos α
1 + cos α =（       ）
A. −
1
tan α
B. −
2
tan α
C.
1
tan α
D.
2
tan α
B
根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解.
易知−1 < sin α < 0, −1 < cos α < 0，
故
√1 + cos α
1 −cos α −√1 −cos α
1 + cos α = √(1 + cos α)2
1 −cos2 α
−√(1 −cos α)2
1 −cos2 α
= √(1 + cos α)2
sin2 α
−√(1 −cos α)2
sin2 α
= 1 + cos α
−sin α
−1 −cos α
−sin α
= −
2
tan α .
故选：B
教法备注
【考点】同角三角关系
【教法】利用平方差公式和同角的平方关系进行化简
答案
解析
变式3-1
已知 sin α + cos α = 1
5 ，则 sin α ⋅cos α =    .
−12
25
左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果．
∵sin α + cos α = 1
5 ，则 sin2 α + cos2 α + 2 sin α cos α = 1
25 ，即 2 sin α cos α = −24
25 ，故 sin α cos α = −12
25
．
答案
解析
8
故答案为：−12
25 ．
变式3-2
已知cos θ = 4
5 ，求θ的其他三角比.
答案不唯一，详见解析
由cos θ = 4
5 > 0，可得θ为第一、四象限角，再分情况讨论即可.
因为cos θ = 4
5 > 0，所以θ为第一、四象限角.
当θ的终边在第一象限时，sin θ = √1 −cos2θ = 3
5 ，所以tan θ = sin θ
cos θ = 3
4 ，
cot θ =
1
tan θ = 4
3 , sec θ =
1
cos θ = 5
4 , csc θ =
1
sin θ = 5
3 ；
当θ的终边在第四象限时，sin θ = −√1 −cos2θ = −3
5 ，所以tan θ = sin θ
cos θ = −3
4 ，
cot θ =
1
tan θ = −4
3 , sec θ =
1
cos θ = 5
4 , csc θ =
1
sin θ = −5
3 .
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
答案
解析
变式3-3
若sin α −cos α
sin α + cos α = 1
2 ，则sin α cos α + cos2 α = 
 ．
2
5 | 0.4
答案
9
根据sin α −cos α
sin α + cos α = 1
2 得到tan α = 3，变换sin α cos α + cos2 α = tan α + 1
1 + tan2 α ，计算得到答案.
sin α −cos α
sin α + cos α = tan α −1
tan α + 1 = 1
2 ，解得tan α = 3，
sin α cos α + cos2 α = sin α cos α + cos2 α
sin2 α + cos2 α
= tan α + 1
1 + tan2 α = 3 + 1
10
= 2
5 .
故答案为：2
5
教法备注
【考点】同角三角关系
【教法】利用同角商的关系进行弦化切，转化为tan x的表达式
解析
知识点2——常用三角公式
考点3：诱导公式
知识笔记
诱导公式
第一组： sin(α + 2π) =
 sin α 
，cos(α + 2π) =
 cos α 
，tan(α + 2π) = 
 tan α  
第二组： sin(α + π) =
 −sin α 
，cos(α + π) = 
−cos α 
，   tan(α + π) =
  tan α  
第三组： sin(−α) =
 −sin α  
，cos(−α) = 
 cos α
，   tan(−α) = 
 −tan α  
第四组： sin(π −α) =
 sin α
，cos(π −α) =
 −cos α  
 ，tan(π −α) =
 −tan α   
第五组： sin ( π
2 + α) = 
cos α
，cos ( π
2 + α) = 
 −sin α
，  tan ( π
2 + α) = 
 −cot α  
第六组： sin ( π
2 −α) =
 cos α 
，cos ( π
2 −α) =
 sin α
，   tan ( π
2 −α) = 
 cot α  
10
经典例题
例4
（1）已知tan θ = 2，求
sin ( 3π
2 + θ) + cos (π −θ)
sin ( π
2 −θ) −sin (π −θ)
的值.
（2）求
tan (π −α) cos (2π −α) sin (−α + 3π
2 )
cos (−α −π) sin (−π −α)
的值.
（1）2；（2） −1
（1）利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
（2）利用诱导公式化简即可.
解：（1）因为tan θ = 2，
所以
sin ( 3π
2 + θ) + cos (π −θ)
sin ( π
2 −θ) −sin (π −θ)
= −cos θ −cos θ
cos θ −sin θ
=
2
tan θ −1 =
2
2 −1 = 2；
（2）
tan (π −α) cos (2π −α) sin (−α + 3π
2 )
cos (−α −π) sin (−π −α)
= −tan α ⋅cos α ⋅(−cos α)
−cos α ⋅sin α
= −1.
答案
解析
变式4-1
在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，角的始边在Ox正半轴上，角α的终边在第二象限，设终边上有一点
P，且sin α = 2√5
5
．
(1)
若点P坐标为(−1, t)，求t的值；
11
(2)
化简cot(2π −α)
tan(−π + α) +
sin ( 3π
2 −α)
cos(π −α)
并求值．
(1) 2；
(2) −
1
tan2 α + 1， 3
4 .
(1) 依题意，t > 0，|OP| = √1 + t2，sin α =
t
√1 + t2 = 2√5
5
，所以t = 2.
(2) 由（1）知tan α = −t = −2，
所以cot(2π −α)
tan(−π + α) +
sin ( 3π
2 −α)
cos(π −α)
= −cot α
tan α
+ −cos α
−cos α = −
1
tan2 α + 1 = −1
4 + 1 = 3
4 .
教法备注
【考点】三角比的定义，诱导公式
【教法】（1）利用三角比的定义求解t 的值
（2）利用同角三角关系求解tan α，再根据诱导公式化简代数式
答案
解析
变式4-2
已知sin (x + π
6 ) = 1
3 ，则sin ( 5π
6 −x) = 
 .
答案
12
1
3
利用诱导公式计算可得.
因为sin (x + π
6 ) = 1
3 ，
所以sin ( 5π
6 −x) = sin [π −( π
6 + x)] = sin ( π
6 + x) = 1
3 .
故答案为：1
3
教法备注
【考点】诱导公式
【教法】利用诱导公式进行角的配凑
解析
考点4：两角的和差公式
知识笔记
sin(α ± β) = 
 sin α cos β ± cos α sin β  
cos(α ± β) = 
 cos α cos β ∓sin α sin β  
tan(α ± β) = 
  tan α ± tan β
1 ∓tan α tan β   
经典例题
例5
将点A (2, 3)绕着原点顺时针旋转45°得到A′，则A′的坐标是 
 .
( 5√2
2
,
√2
2 )
令sin α =
3
√13
, cos α =
2
√13
，则A (√13 cos α, √13 sin α)，结合已知及和角正余弦公式求A′的坐标.
令sin α =
3
√13
, cos α =
2
√13
，则A (√13 cos α, √13 sin α)，
所以A′ (√13 cos (α −45∘), √13 sin (α −45∘))，
答案
解析
13
由cos (α −45∘) = cos α cos 45∘+ sin α sin 45∘= √2
2
×
2
√13
+ √2
2
×
3
√13
= 5√26
26
，
sin (α −45∘) = sin α cos 45∘−cos α sin 45∘= √2
2
×
3
√13
−√2
2
×
2
√13
= √26
26 ，
所以A′ ( 5√2
2
, √2
2 ).
故答案为：( 5√2
2
, √2
2 ).
教法备注
【考点】三角比的定义，两角的和差公式
【教法】A(2, 3) 所对应的任意角如果是α，则A′所对应的角就是α −π
4
变式5-1
已知tan (α −β) = 2，tan α = 3，则tan β= 
 ．
1
7
利用差角的正切公式计算得解.
由tan (α −β) = 2，tan α = 3，
得tan β = tan [α −(α −β)] =
tan α −tan(α −β)
1 + tan α tan(α −β) =
3 −2
1 + 3 × 2 = 1
7 .
故答案为：1
7
答案
解析
变式5-2
若sin x + sin y = 1
4 ，cos x + cos y = 1
3 ，即tan x + y
2
=（       ）．
A. 2
B. 3
4
C. 2
3
D. 1
2
B
答案
14
根据三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
由sin x + sin y = 1
4 ，得sin ( x + y
2
+ x −y
2
) + sin ( x + y
2
−x −y
2
) = 1
4 ，
展开并整理得2 sin x + y
2
cos x −y
2
= 1
4    ①，
由cos x + cos y = 1
3 ，得cos ( x + y
2
+ x −y
2
) + cos ( x + y
2
−x −y
2
) = 1
3 ，
展开并整理得2 cos x + y
2
cos x −y
2
= 1
3    ②，
由①②得tan x + y
2
=
1
4
1
3
= 3
4 .
故选：B
解析
考点5：二倍角、半角与辅助角公式
知识笔记
二倍角公式
sin 2α =
 2 sin α cos α  
cos 2α = cos2 α −sin2 α = 
 1 −2 sin2 α 
 = 
 2 cos2 α −1  
tan 2α =
  
2 tan α
1 −tan2 α  
半角公式
sin2 α = 1 −cos 2α
2
, cos2 α = 
1 + cos 2α
2
  
sin α
2 = ±√1 −cos α
2
; cos α
2 = 
 ±√1 + cos α
2
  
15
tan α
2 = ±√1 −cos α
1 + cos α = 
 
sin α
1 + cos α 
 = 
 1 −cos α
sin α
  
万能置换公式
sin α = 
2 tan α
2
1 + tan2 α
2
 
 ，cos α = 
 1 −tan2 α
2
1 + tan2 α
2
  
，tan α =
 
2 tan α
2
1 −tan2 α
2
  
辅助角公式
a sin α + b cos α =
 √a2 + b2 sin(α + φ) 
 (a > 0)  ，其中, tan φ =
 b
a  
经典例题
例6
已知α为第三象限角，且√1 + sin α
1 −sin α +
1
cos α = −2，则tan α
2 的值为 
 ．
−1 −√5
2
由√1 + sin α
1 −sin α +
1
cos α = −2，及α为第三象限角，得tan α = 2的值，由α为第三象限角确定α
2 的范围，再根
据2倍角公式求tan α
2 的值.
∵α为第三象限角，
∴cos α < 0，sin α < 0，tan α > 0，
∴√1 + sin α
1 −sin α +
1
cos α
= √
(1 + sin α)2
(1 + sin α) (1 −sin α) +
1
cos α
= −sin α
cos α
= −2
∴sin α
cos α = 2，即tan α = 2，
tan α =
2 tan α
2
1 −tan2 α
2
= 2即tan2 α
2 + tan α
2 −1 = 0，
解得：tan α
2 = −1 ± √5
2
∵α为第三象限角，
答案
解析
= 1 + sin α
−cos α +
1
cos α
16
∴α
2 为第二或第四象限，
∴tan α
2 = −1 −√5
2
.
故答案为：. −1 −√5
2
教法备注
【考点】同角三角关系，二倍角公式
【教法】利用同角关系化简条件，得到正切值，再利用二倍角公式求解
变式6-1
（1）已知sin α = 3
5 ，α ∈( π
2 , π)，求cos α
2 的值；
（2）证明：tan α
2 =
sin α
1 + cos α .
（1） √10
10 ；（2）证明见解析.
（1）由已知及平方关系有cos α = −4
5 且α
2 ∈( π
4 , π
2 )，结合二倍角余弦公式列方程求cos α
2 ；
（2）应用二倍角正余弦公式化简
sin α
1 + cos α ，即可证.
答案
解析
17
（1）由sin α = 3
5 ，α ∈( π
2 , π)，则cos α = −4
5 且α
2 ∈( π
4 , π
2 )，
由2 cos2 α
2 −1 = −4
5 ⇒cos α
2 = √10
10 （负值舍）.
（2）
sin α
1 + cos α =
2 sin α
2 cos α
2
1 + 2 cos2 α
2 −1
= tan α
2 ，得证.
变式6-2
已知锐角α满足sin 2α = tan α，则cos α = 
 ．
√2
2
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，解得即可.
因为sin 2α = tan α，所以2 sin α cos α = sin α
cos α ，因为α为锐角，sin α > 0，cos α > 0，
所以cos2 α = 1
2 ，所以cos α = √2
2 或cos α = −√2
2 （舍去）．
故答案为：
√2
2
答案
解析
例7
已知θ ∈(π, 3π
2 )，化简√1 + sin θ + √2 + 2 cos θ的结果为（     ）.
A. √2 sin ( θ
2 + π
4 )
B. √2 sin ( θ
2 −π
4 )
C. √2 cos ( θ
2 + π
4 )
D. √2 cos ( θ
2 −π
4 )
B
利用二倍角角公式和辅助角公式即可求解.
由π < θ < 3π
2 ⇒π
2 < θ
2 < 3π
4 ，
√1 + sin θ + √2 + 2 cos θ = √(sin θ
2 + cos θ
2 )
2
+ √2 (1 + cos θ) =
sin θ
2 + cos θ
2
+ √2 × 2 cos2 θ
2
= sin θ
2 + cos θ
2 + 2
cos θ
2
= sin θ
2 −cos θ
2 = √2 sin ( θ
2 −π
4 )，
答案
解析
18
故选：B.
教法备注
【考点】同角三角关系，二倍角公式，辅助角公式
【教法】先利用同角关系和二倍角公式进行化简，再用辅助角公式得到结果
变式7-1
代数式sin α −√3 cos α可化为A sin (α −φ) (A > 0, φ ∈(0, π))的形式，此时φ = 
 .
π
3
利用辅助角公式来求得正确答案.
sin α −√3 cos α = 2 ( 1
2 sin α −√3
2 cos α)
= 2 (sin α cos π
3 −cos α sin π
3 ) = 2 sin (α −π
3 )，
所以φ = π
3 .
故答案为：π
3
答案
解析
变式7-2
已知2 cos2 α
2 + √3 sin α = 11
5 ，−2π
3 < α < π
6 ，则sin (2α + π
3 )的值为 
 ．
24
25
| 0.96
利用辅助角公式化简可得sin (α + π
6 ) = 3
5 ，结合角的范围确定cos (α + π
6 )的值，利用二倍角公式，即可求
得答案.
由2 cos2 α
2 + √3 sin α = 11
5 ，
得1 + cos α + √3 sin α = 11
5 ，则cos α + √3 sin α = 6
5 ，即sin (α + π
6 ) = 3
5 ，
答案
解析
19
由于−2π
3 < α < π
6 ，故−π
2 < α + π
6 < π
3 ，结合sin (α + π
6 ) = 3
5 ，
可知cos (α + π
6 ) = 4
5 ，
故sin (2α + π
3 ) = 2 sin (α + π
6 ) cos (α + π
6 ) = 24
25 ，
故答案为：24
25
教法备注
【考点】二倍角公式，辅助角公式
【教法】综合二倍角公式，以及辅助角公式得到结果
09 解三角形
1
学习目标
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握正弦定理、余弦定理
目标2
★★★★☆☆ 识别
辨识并运用三角形内恒等和不等关系式
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用解三角形知识求解相关应用
知识清单
教法备注
1．解三角形问题在考纲中考查对解三角形公式的记忆和掌握情况，在考纲中考查对公式的理解记忆以及实际
应用的变通使用，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆性理解水平、探究性理解水平，考查学生的数学素
养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、数学应用与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度中等难度，分值约为24分，占比16%；
3．对应教材：必修二，第六章三角；
4．本讲知识点涉及三角比的概念及相关公式，后续会和三角函数内容有综合考查运用，公立学校会在高三上
学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
【课堂引入】
2
已知角 A, B, C 是 △ABC 的三个内角，若 sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6 ，则该三角形的最大内角等于
____________。（用反三角函数值表示）
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——正余弦定理
考点1：正弦定理及其应用
知识笔记
面积公式
 S = 
1
2 bc sin A
 =
  1
2 ac sin B
 =
 1
2 ab sin C    
正弦定理
a
sin A =
 
b
sin B
  = 
 
c
sin C
  = 
 2R 
     
正弦定理的应用——判断三角形个数
（1）已知两角一边时，三角形被唯一确定
（2）已知两边和一角（非这两边所夹角）时，三角形个数需要讨论：
情况一：A 为锐角
情况二：A 为直角或钝角
边角关系
a = b sin A
a ≥b
b sin A < a < b
a < b sin A
图形
解的个数
一解
一解
两解
无解
边角关系
a > b
a ≤b
a > b
a ≤b
3
图形
解的个数
一解
无解
一解
无解
正弦定理的应用——边角互化
（1）依据：正弦定理
（2）互化：a ↔sin A, b ↔sin B, c ↔sin C
（3）应用场景：等号两边的式子不含独立的常数项，且每一项的次数需相等（边的次数或正弦角的次数）
经典例题
例1
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a = √3，且c −2b + 2√3 cos C = 0，则该三角形外接圆的半
径为（       ）
A. 1
B. √3
C. 2
D. 2√3
A
先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.
∵a = √3, ∴c −2b + 2a cos C = 0, ∴sin C −2 sin B + 2 sin A cos C = 0.
∴sin C −2 sin (A + C) + 2 sin A cos C = 0,
∴sin C −2 sin A cos C −2 sin C cos A + 2 sin A cos C = 0,
∴sin C −2 sin C cos A = 0, ∵sin C > 0, ∴cos A = 1
2 , A ∈(0, π),
∴A = π
3 ,设该三角形外接圆的半径为r
由正弦定理得
a
sin A = √3
√3
2
= 2 = 2r，∴r = 1
故选：A.
教法备注
答案
解析
4
【考点】正弦定理
【教法】利用边角互化求角A，再利用正弦定理求外接圆半径
变式1-1
在△ABC中，已知BC = 5, AC = 4, A = 2B，则cos B的值为 
 .
5
8
根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.
在△ABC中，由正弦定理得BC
sin A =
AC
sin B ，而BC = 5, AC = 4, A = 2B，
因此
5
sin 2B =
4
sin B ，即
5
2 sin B cos B =
4
sin B ，所以cos B = 5
8 .
故答案为：5
8
答案
解析
变式1-2
在△ABC中，b = 2√2，A = 60∘，C = 75∘，求边长a和△ABC的面积.
a = 2√3; S = 3 + √3
答案
5
先由B = 180∘−A −C求出B；再由正弦定理求出a = b sin A
sin B = 2√3，根据三角形面积公式，即可求出结果.
因为在△ABC中，b = 2√2，A = 60∘，C = 75∘，
所以B = 180∘−A −C = 45∘；
由正弦定理可得：
a
sin A =
b
sin B ，所以a = b sin A
sin B = 2√3，
所以S = 1
2 ab sin C = 1
2 ⋅2√3 ⋅2√2 ⋅√6 + √2
4
= 3 + √3.
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可，属于常考题型.
解析
例2
已知在△ABC中，a = x, b = 2, B = 45∘，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A. x > 2
B. x < 2
C. 2 < x < 2√2
D. 2 < x < 2√3
C
【分析】由题意判断出三角形有两解时，b 满足的不等关系求解即可．
【详解】因为 AC = b = 2 ，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，
半径为 2 的圆与 BA 有两个交点，
所以只需满足 x sin B < b < x ，即 
√2
2 x < 2 < x ，解得 2 < x < 2√2 ．
故选：C
教法备注
【考点】正弦定理
【教法】利用正弦定理判断两解条件，列不等式求解
答案
解析
练2-1
下列条件判断三角形解的情况，正确的是 
 （填序号）；
①a = 8，b = 16，A = 30∘，有两解；
②b = 18，c = 20，B = 60∘，有一解；
6
③a = 15，b = 2，A = 90∘，无解；
④a = 40，b = 30，A = 120∘，有一解．
④
对于①，由正弦定理求得sin B = 1，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得sin C = 5√3
9
，结合三
角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理sin B = 2
15 ，结合A = 90∘，可得解的
个数；对于④，由正弦定理得 sin B = 3√3
8
，结合A = 120∘可得三角形的解有一个，由此可得答案.
对①：由正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，所以sin B = b sin A
a
=
16 × 1
2
8
= 1，
又因为0∘< B < 180∘，所以B有一解，故①错误；
对②：正弦定理
b
sin B =
c
sin C ，所以sin C = c sin B
b
=
20 × √3
2
18
= 5√3
9
，
又因为b < c，所以C > B = 60∘，则三角形的解有两解，故②错误；
对③：由正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，所以sin B = b sin A
a
= 2
15 ，
又因为0∘< B < 180∘且A = 90∘，可得B有一解，所以三角形的解有一个，故③错误；
对于④，由正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，所以sin B = b sin A
a
=
30 × √3
2
40
= 3√3
8
，
又因为0∘< B < 180∘且A = 120∘，可得B有一解，所以三角形的解有一个，故④正确，
故答案为：④.
答案
解析
练2-2
在△ABC中，a = 80，b = 100，A = 30∘，则满足条件的B有（       ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 不确定
C
根据题意判断b sin A, a的大小关系，即可得出答案.
解：因为a = 80，b = 100，A = 30∘，，
所以b sin A = 50 < a = 80，
所以三角形有两个解，即满足条件的B有2个.
答案
解析
7
故选：C.
考点2：余弦定理及其应用
知识笔记
余弦定理
（1）求边
a2 = b2 + c2 −2bc cos A
； b2 = 
 a2 + c2 −2ac cos B
 
 ；c2 = 
 a2 + b2 −2ab cos C    
（2）求角
cos A = b2 + c2 −a2
2bc
；cos B =
 a2 + c2 −b2
2ac
；cos C =
 a2 + b2 −c2
2ab
三角形中的恒等与不等关系
sin C = sin(A + B)， cos C = 
 −cos(A + B)
，  tan C = 
 −tan(A + B)  
sin A + B
2
= cos C
2 ，  cos A + B
2
= 
 sin C
2 
 ，tan A + B
2
=
 cot C
2   
 tan A + tan B + tan C = 
 tan A ⋅tan B ⋅tan C   
  a > b ⇔A > B ⇔sin A
   > 
  sin B
经典例题
例3
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C所对的边，若a2 = (c −b)2 + 6，A = π
3 ，则△ABC的面积是 
 .
3√3
2
| 3
2 √3
根据题意求得c2 + b2 −a2 = 2bc −6，再由余弦定理列出方程求得bc = 6，结合三角形的面积公式，即可求解.
因为a2 = (c −b)2 + 6，可得a2 = c2 + b2 −2bc + 6，即c2 + b2 −a2 = 2bc −6，
又因为A = π
3 ，由余弦定理可得cos A = c2 + b2 −a2
2bc
= 2bc −6
2bc
= 1
2 ，解得bc = 6，
所以△ABC的面积为S = 1
2 bc sin A = 1
2 × 6 × sin π
3 = 3√3
2
.
答案
解析
8
故答案为：3√3
2
变式3-1
在△ABC中，AB = 2, D为AB的中点，若BC = DC = √2，则AC的长为 
 ．
2
根据给定条件，在△BCD, △ABC中利用余弦定理求解作答.
在
△BCD
中
，
BC = DC = √2
，
BD = 1
2 AB = 1
，
由
余
弦
定
理
得
：
cos B = BC2 + BD2 −CD2
2BC ⋅BD
=
2 + 1 −2
2 × √2 × 1
=
√2
4 ，
在△ABC中，由余弦定理得：AC2 = AB2 + BC2 −2AB ⋅BC cos B = 4 + 2 −2 × 2 × √2 × √2
4
= 4，解得
AC = 2，
所以AC的长为2.
故答案为：2
答案
解析
变式3-2
在△ABC中，若a = 8, b = 7, cos C = 13
14 ，则最大角的余弦是（       ）
A. −1
5
B. −1
6
C. −1
7
D. −1
8
C
运用余弦定理求出c，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可.
因为a = 8, b = 7, cos C = 13
14 ，
所以c = √a2 + b2 −2ab cos C = √64 + 49 −2 × 8 × 7 × 13
14 = 3，
因为a > b > c，所以A > B > C，
因此cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= 49 + 9 −64
2 × 7 × 3
= −1
7 ，
答案
解析
9
故选：C
变式3-3
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(b2 + c2 −a2) tan A = √3bc．
（1）求角A；       
（2）若a = 2，ΔABC的面积S=√3 ，求1
b + 1
c 的值．
（1） A= π
3    （2）1
（1）根据余弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理和面积公式分别求出bc = 4，b + c = 4即可得解.
解：（1）由(b2 + c2 −a2) tan A = √3bc，及余弦定理b2 + c2 −a2 = 2bc cos A得
2bc sin A = √3bc，又bc > 0，得sin A = √3
2 ．
因为△ABC为锐角三角形，所以$0<\dfrac{\pi }{2}$，故A= π
3 ．
（2）因为a = 2，A= π
3 ，根据余弦定理b2 + c2 −a2 = 2bc cos A得
b2 + c2 −4 = bc，
又S = 1
2 bc sin A = √3
4 bc = √3，解得bc = 4 ．……①
所以b2 + c2 −4 = 4，即b2 + c2 = (b + c)2 −2bc = (b + c)2 −8 = 8．
又b+c > 0，所以b + c = 4 ……②
根据①②得，1
b + 1
c = b + c
bc
= 4
4 = 1，所以，1
b + 1
c 的值为1．
此题考查解三角形，利用余弦定理及三角形面积关系求解，涉及整体代入求解.
答案
解析
10
教法备注
【考点】面积公式，余弦定理
【教法】（1）根据余弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理和面积公式分别求出 bc = 4,  b + c = 4 即可得解．
例4
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2ac sin B = a2 + c2 −1
2 ，且b = √2
2 .
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为S，求S的最大值.
（1） π
4 ；（2） 
√2 + 1
8
.
（1）由b =
√2
2 ，2ac sin B = a2 + c2 −1
2 等式右边可化为余弦定理形式，根据sin B = cos B求角即可（2）由
余弦定理结合均值不等式可求出ac的最大值，即可求出三角面积的最大值.（1）由2ac sin B = a2 + c2 −1
2
得：2ac sin B = a2 + c2 −b2 = 2ac cos B，
即：sin B = cos B.
∴tan B = 1，又B ∈(0, π)，∴B = π
4 .
（2）由b2 = a2 + c2 −2ac cos B ≥(2 −√2)ac，当且仅当a = c等号成立.
得：ac ≤2 + √2
4
.
(S△ABC)max = 1
2 (ac)max sin B = √2 + 1
8
.
本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.
教法备注
答案
解析
11
【考点】基本不等式，余弦定理
【教法】（1）等式右边可化为余弦定理形式，根据 sin B = cos B 求角即可
（2）由余弦定理结合均值不等式可求出 ac 的最大值，即可求出三角面积的最大值．
变式4-1
已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a = 2，且(a + b)(sin A −sin B) = (c −b) sin C，则△ABC
面积的最大值为 
 ．
√3
先求出角A的大小，由S = 1
2 bc sin A，考虑余弦定理建立b, c的方程，再由基本不等式求bc的最大值.
解析：因为(a + b)(sin A −sin B) = (c −b) sin C，
根据正弦定理可知(a + b)(a −b) = (c −b)c，即b2 + c2 −a2 = bc，
由余弦定理可知cos A = 1
2 ，又A ∈(0, π)，故A = π
3 ，
又因为a = 2，所以b2 + c2 −4 = bc，
4 = b2 + c2 −bc ≥2bc −bc = bc（当且仅当b = c时取等号），即bc ≤4
所以S = 1
2 bc sin A ≤1
2 × 4 × √3
2
= √3，即△ABC面积的最大值为√3，
故答案为：√3.
答案
解析
变式4-2
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2 cos A cos C =
tan B
tan A + tan C ．
(1)
求B；
(2)
若b = 2．求a + c的取值范围．
12
(1) π
3
(2) (2, 4]
(1) ∵2 cos A cos C =
tan B
tan A + tan C ，∴2 cos A cos C ( sin A
cos A + sin C
cos C ) = sin B
cos B ，
∴2 cos C sin A + 2 cos A sin C = sin B
cos B ，∴2 sin (A + C) = 2 sin B = sin B
cos B ，
∵B ∈(0, π)，∴sin B > 0，∴cos B = 1
2 ，
∴B = π
3 ；
(2) ∵b = 2，B = π
3 ，
∴由余弦定理得，b2 = a2 + c2 −2ac cos B，即4 = (a + c)2 −2ac −ac，
∴3ac = (a + c)2 −4 ≤3(a + c)2
4
，∴(a + c)2 ≤16，
∴0 < a + c ≤4，当且仅当a = c = 2时等号成立，
又a + c > b，∴2 < a + c ≤4，
∴a + c的取值范围是(2, 4].
教法备注
【考点】基本不等式，余弦定理，三角恒等变换
【教法】（1）根据三角恒等公式变换求角即可
（2）由余弦定理结合均值不等式可求出 a + c 的最值
答案
解析
13
知识点2——解三角形的应用
考点3：解三角形的实际应用
经典例题
例5
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂
直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知∠ABC = 2
3 π, ∠ACD = π
3
，路宽AD = 24米.设∠BAC = θ ( π
12 ≤θ ≤π
6 )
(1)
求灯柱AB的高h（用θ表示）；
(2)
此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果
精确到0.01米）
14
(1) h = 32 sin (θ + π
6 ) sin ( π
3 −θ) ( π
12 ≤θ ≤π
6 )
(2) θ = π
12 ，最小值 21.86米
(1) △ACD中，∠CDA = θ + π
6 ，由正弦定理：
AD
sin ∠ACD =
AC
sin ∠CDA ，得
AC = AD ⋅sin ∠CDA
sin ∠ACD
= 16√3 sin (θ + π
6 )，△ABC中，∠ACB = π
3 −θ，由正弦定理：
AB
sin ∠ACB =
AC
sin ∠ABC ，得h = AB = AC ⋅sin ∠ACB
sin ∠ABC
= 32 sin (θ + π
6 ) sin ( π
3 −θ) ( π
12 ≤θ ≤π
6 )
(2) △ABC中，由正弦定理：
BC
sin ∠BAC =
AC
sin ∠ABC ，得BC = AC ⋅sin ∠BAC
sin ∠ABC
= 32 sin (θ + π
6 ) sin θ，所
以
因为π
12 ≤θ ≤π
6 ，所以π
6 ≤2θ ≤π
3 ，根据三角函数性质，y = sin x在[ π
6 , π
3 ]上递增,即当θ = π
12 时，
AB + BC取得最小值8 + 8√3 ≈21.86，因而制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值
约为21.86米.
教法备注
【考点】正弦定理，三角恒等变换
【教法】（1）两次使用正弦定理就可以求得灯柱的高
（2）利用正弦定理表示BC，最后利用三角恒等变换化简求最值
答案
解析
AB + BC = 32 sin (θ + π
6 ) sin ( π
3 −θ) + 32 sin (θ + π
6 ) sin θ
= 32 ( √3
2 sin θ + 1
2 cos θ) ( √3
2 cos θ −1
2 sin θ) + 32 ( √3
2 sin θ + 1
2 cos θ) sin θ
= 32 sin θ cos θ + 8√3 = 16 sin 2θ + 8√3
变式5-1
如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时
测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是 
 米（精确到0.1米）
15
236.6
设CD = h，则BD = h −100，由题得√3 =
h
h −100 ,解方程即得解.
由题得∠CAD = 45∘, ∠CBD = 60∘, AB = 100，
设CD = h，则BD = h −100，
在△BDC中，tan ∠CBD = √3 =
h
h −100 , ∴h = 100√3
√3 −1
= 50(3 + √3)
所以h ≈236.6米.
所以此时电视塔的高度是236.6米..
故答案为：236.6
本题主要考查解三角形的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案
解析
变式5-2
小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡
面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米
（如图2），则树的高度为 
 .
(6 + √3)米
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长,然后根据物长和影长的比值计算即可.
延长AC交BF延长线于D点，
答案
解析
16
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°， CF =4m，
所以CE=2 (米)，EF =4cos30°=2√3 (米)，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE = 2米，CE：DE=1：2，
DE=4 (米)，
BD= BF+EF+ ED=12+2√3 (米)，
在Rt△ABD中，AB = 1
2 BD = 1
2 (12 + 2√3) = （√3 + 6） (米) .
故答案为： (√3+6)米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
教法备注
【考点】直角三角形的应用，相似
【教法】需要作出辅助线，利用标杆长与影子长的关系求得树高
10 三角函数的图像与性质
1
学习目标
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解并记忆三类基本三角函数的图像与性质
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握三角方程的解法
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用图像与性质解决A sin(wx + φ) + B模型问题
知识清单
教法备注
1．三角函数与三角方程问题在考纲中考查对基本三角函数图像与性质以及三角方程求解方法的记忆和掌握情
况，考查对于一般三角函数模型的化简与应用情况，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆性理解水平、探
究性理解水平，考查学生的数学素养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、数学应用
与探究能力；
2．本讲在高考中以填选题和解答题为主，难度中等难度，分值约为24分，占比16%；
3．对应教材：必修二，第七章三角函数；
4．本讲知识点涉及基本三角函数的图像与性质，以及一般三角函数的化简方法，后续会和立体几何、解析几
何等内容有综合考查运用，公立学校会在高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
2
【课堂引入】
函数 y = sin (2x + π
3 ) 的最小正周期 T =__________.
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——正弦、余弦、正切函数
考点1：三类基本三角函数的图像及其性质
知识笔记
正弦函数与余弦函数
y = sin x
y = cos x
 图像
定义域
R
R
值域
[−1, 1]
[−1, 1]
奇偶性
奇函数
偶函数
单
调
性
严格增区间
[−π
2 + 2kπ, π
2 + 2kπ],
k ∈Z
[−π + 2kπ, 2kπ],
k ∈Z
严格减区间
[ π
2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ],
k ∈Z
[2kπ, π + 2kπ],
k ∈Z
对
称
性
对称轴
x = π
2 + kπ,
k ∈Z
x = kπ,
k ∈Z
对称中心
(kπ, 0),
k ∈Z
( π
2 + kπ, 0),
k ∈Z
周期性
2π
2π
3
正切函数
y = tan x
 
 
图像
定义域
{x
x ≠π
2 + kπ,
k ∈Z}
值域
R
奇偶性
奇函数
单调性
严格增区间
(−π
2 + kπ, π
2 + kπ)
严格减区间
无
对称性
对称轴
无
对称中心
( kπ
2 , 0),
k ∈Z
周期性
π
经典例题
例1
函数f(x) = sin2 x + 4 cos x，则f(x)的最小值为 
 ．
答案
4
−4
把cos x作为一个整体，结合二次函数性质求最小值．
f(x) = sin2 x + 4 cos x = 1 −cos2 x + 4 cos x = −(cos x −2)2 + 5，
因为−1 ≤cos x ≤1，
所以cos x = −1时，f(x)min = −(−1 −2)2 + 5 = −4，
故答案为：−4．
解析
变式1-1
函数y = sin x，x ∈[ π
6 , 2π
3 ]的值域是（       ）
A. [−1, 1]
B. [ 1
2 , 1]
C. [ 1
2 , √3
2 ]
D. [ √3
2 , 1]
B
根据正弦函数的单调性即可求解.
由正弦函数性质可知函数y = sin x在[ π
6 , π
2 ]上单调递增，在( π
2 , 2π
3 ]上单调递减，
又x = π
2 时，y = sin π
2 = 1；
x = 2π
3 时，y = sin 2π
3 = √3
2 ；
x = π
6 时，y = sin π
6 = 1
2 < √3
2 ，
所以函数y = sin x，x ∈[ π
6 , 2π
3 ]的值域是[ 1
2 , 1].
故选：B.
答案
解析
变式1-2
函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[−1, 1
2 ]，则b－a的最大值是 
 ．
答案
5
4π
3
由于正弦函数的周期性，可以在一个周期区间内确定函数值为−1和1
2 的x值，结合周期性性可得结论．
因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和1
2 .
不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知sin π
6 = sin 5π
6 = 1
2 ，sin 3π
2 = −1，
由正弦函数的周期性可知(b－a)
＝3π
2 −5π
6 = 2π
3 ，(b－a)
＝13π
6
−5π
6 = 4π
3 .
故答案为：4π
3 ．
解析
min
max
变式1-3
已知x ∈(0, π
2 ),则函数f(x) = (1 + sin x)(1 + cos x)的最大值为 
 .
√2 + 3
2
利用三角恒等变换、辅助角公式表示出f(x)的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.
f(x) = (1 + sin x)(1 + cos x) = 1 + sin x + cos x + sin x cos x，
= 1 + sin x + cos x + (sin x + cos x)2 −1
2
,
令t = sin x + cos x = √2 sin (x + π
4 ),
因为x ∈(0, π
2 ),所以x + π
4 ∈( π
4 , 3π
4 ),
所以sin (x + π
4 ) ∈( √2
2 , 1],所以t = √2 sin (x + π
4 ) ∈(1, √2],
所以g (t) = 1
2 t2 + t + 1
2 , t ∈(1, √2],对称轴t0 = −1 < 1,
所以g (t) = 1
2 t2 + t + 1
2 在(1, √2]单调递增,
所以当t0 = √2时，g(t)max = g (√2) = √2 + 3
2 ,
即当sin (x + π
4 ) = 1,x = π
4 时，f(x) = (1 + sin x)(1 + cos x)有最大值√2 + 3
2 .
故答案为: √2 + 3
2 .
教法备注
【考点】三角函数最值
答案
解析
6
【教法】换元法，把sin x + cos x整体换元，转化为二次函数求最值
例2
已知关于x的函数y = sin(x + φ)（−π < φ < 0）的一条对称轴是x = π
8 ，则φ = 
 ．
−5π
8
根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为x + φ = π
2 + kπ，（k ∈Z）求解即可．
函数f (x) = sin (x + φ) (−π < φ < 0)，其对称轴方程为x + φ = π
2 + kπ，（k ∈Z）
∵函数图象的一条对称轴是直线x = π
8 ，
∴π
8 + φ = π
2 + kπ，即φ = kπ + 3π
8 ，（k ∈Z）
∵−π < φ < 0，
当k = −1时，可得φ = −5π
8 ．
故答案为：−5π
8 ．
答案
解析
变式2-1
（1）函数y = sin(2x + φ)的图像关于y轴对称，则φ=  
 
（2）函数y = 5 cos(2x −θ)为奇函数，则θ = 
 
kπ + π
2 ,   k ∈Z ; kπ + π
2 , k ∈Z
（1）由对称轴公式，直接代入x = 0，求φ；（2）由条件可知函数过原点，同样代入x = 0，求θ.
（1）因为函数y = sin(2x + φ)的图像关于y轴对称，
所以当x = 0时，φ = kπ + π
2 , k ∈Z；
（2）因为函数y = 5 cos(2x −θ)为奇函数，所以函数过原点，
即当x = 0时，−θ = −π
2 + kπ, k ∈Z，即θ = kπ + π
2 , k ∈Z.
故答案为：kπ + π
2 ,   k ∈Z；kπ + π
2 , k ∈Z
答案
解析
7
变式2-2
设函数f(x) = cos x −m(x ∈[0, 3π])的零点为x1､x2､x3，若x1､x2､x3成等比数列，则实数m的值为 
 .
−1
2
原问题等价于f(x) = cos x(x ∈[0, 3π])与y = m有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1､x2､x3，结合余
弦函数图象，由对称性知，x2 + x1 = 2π，x2 + x3 = 4π，又x2
2 = x1x3，联立即可求解出x1，进而可求出m的
值.
解：原问题等价于f(x) = cos x(x ∈[0, 3π])与y = m有三个不同的交点，且交点的横坐标
分别为x1､x2､x3，结合余弦函数图象，由对称性得，x2 + x1 = 2π，x2 + x3 = 4π，
又x2
2 = x1x3，
∴(2π −x1)2 = x1 (2π + x1)，
∴x1 = 2π
3 ，
∴m = cos 2π
3 = −1
2 ，
故答案为：−1
2 .
关键点点睛：将原问题等价转化为f(x) = cos x(x ∈[0, 3π])与y = m有三个不同的交点，且交点的横坐标分别
为x1､x2､x3，结合余弦函数图象，由对称性得，x2 + x1 = 2π，x2 + x3 = 4π是本题解题的关键.
教法备注
【考点】等差数列，三角函数对称性
【教法】将原问题等价转化为 f(x) = cos x(x ∈[0, 3π]) 与 y = m 有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为 
x1,  x2,  x3 ，结合余弦函数图象，由对称性得，x2 + x1 = 2π,  x2 + x3 = 4π 是本题解题的关键．
答案
解析
例3
函数y = 2 sin (2x + π
6 ), x ∈[−π, 0]单调减区间为 
 
[−5π
6 , −π
3 ]
答案
解析
8
先求出函数y = 2 sin (2x + π
6 )的单调递减区间A，再将区间A与定义域[−π, 0]取交集可得出答案．
正弦函数y = sin u的单调递减区间为[ π
2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ] (k ∈Z)，
由π
2 + 2kπ ≤2x + π
6 ≤3π
2 + 2kπ  (k ∈Z)，得π
6 + kπ ≤x ≤2π
3 + kπ  (k ∈Z)，
记A = [ π
6 + kπ, 2π
3 + kπ] (k ∈Z)，则A ⋂[−π, 0] = [−5π
6 , −π
3 ]，
故答案为：[−5π
6 , −π
3 ].
方法点睛：本题考查复合型正弦函数y = A sin (ωx + φ) + b的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题
首先应求出这个函数在R上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数
基本性质的应用，属于中等题．
变式3-1
下列函数中在(0, 1)上为严格减函数的是（       ）
A. y = cos x；
B. y = 2x；
C. y = sin x；
D. y = tan x．
A
利用指数函数、三角函数的单调性判断即得.
函数y = cos x在(0, 1)上单调递减，函数y = 2x，y = sin x，y = tan x在(0, 1)上都单调递增.
故选：A
答案
解析
变式3-2
已知函数其中ω > 0．若f (x) = √2 sin (ωx + π
4 )，f (x)在区间( π
2 , 3π
4 )上单调递增，则ω的取值范围是 
 .
(0, 1
3 ] ∪[ 5
2 , 3]
先由x ∈( π
2 , 3π
4 ) 得ωx + π
4 ∈( ωπ
2 + π
4 , 3ωπ
4
+ π
4 ), ω > 0 ，再由正弦函数性质得不等式
2kπ −π
2 ≤ωπ
2 + π
4 < 3ωπ
4
+ π
4 ≤2kπ + π
2 (k ∈Z, ω > 0)，解该不等式即可得解.
答案
解析
9
若x ∈( π
2 , 3π
4 )，则ωx + π
4 ∈( ωπ
2 + π
4 , 3ωπ
4
+ π
4 ), ω > 0，
因为f (x)在区间( π
2 , 3π
4 )上单调递增，
所以2kπ −π
2 ≤ωπ
2 + π
4 < 3ωπ
4
+ π
4 ≤2kπ + π
2 (k ∈Z, ω > 0)，解得4k −3
2 ≤ω ≤8k
3 + 1
3 (k ∈Z, ω > 0)
，
由
⇒−1
8 < k ≤11
8 ，又k ∈Z，故k = 0或k = 1，
所以当k = 0时，得0 < ω ≤1
3 ；当k = 1时，得5
2 ≤ω ≤3.
所以满足题意的ω的取值范围是(0, 1
3 ] ∪[ 5
2 , 3].
故答案为：(0, 1
3 ] ∪[ 5
2 , 3].
教法备注
【考点】三角函数的单调性
【教法】整体换元，t = ωx + π
4 ，根据正弦函数的图像确定单调增区间的范围
⎧
⎨
⎩
4k −3
2 ≤8k
3 + 1
3
8k
3 + 1
3 > 0
知识点2——一般三角函数与三角方程
考点2：正弦型三角函数
知识笔记
一般三角函数
常见的三角函数的一般形式有三种：
1. 正弦型函数 y = A sin(wx + φ) + B 
2. 余弦型函数 y = A cos(wx + φ) + B 
3. 正切型函数 y = A tan(wx + φ) + B 
以正弦型 y = A sin(wx + φ) + B 为例（这里规定 A > 0,  w > 0 ），其中，A 为振幅， ωx + φ 为相位，φ 为初
相，周期为 T = 2π
ω ，频率为 f = 1
T 。
定义域
R
10
值域
[−A + B, A + B]
奇偶性
视情况而定
单调性
严格增区间
由 ωx + φ ∈[−π
2 + 2kπ, π
2 + 2kπ], k ∈Z 求得
严格减区间
由
 ωx + φ ∈[ π
2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ], k ∈Z 
求得
对称性
对称轴
由
 ωx + φ = kπ + π
2 (k ∈Z) 
求得
对称中心
横坐标由
 ωx + φ = kπ, k ∈Z 
求得，纵坐标为 B
周期性
周期公式 T = 
 2π
ω  
三角函数图像的变换
（1）先平移再伸缩
步骤一：画出 y = sin x 的图象
步骤二：平移 |φ| 个单位，得到 y = sin(x + φ) 的图象
步骤三：横坐标变为原来的 1
ω 倍，得到
 y = sin(ωx + φ) 
的图象
步骤四：纵坐标变为原来的 A 倍，得到
 y = A sin(ωx + φ) 
的图象
（2）先伸缩再平移
步骤一：画出 y = sin x 的图象
步骤二：横坐标变为原来的 1
ω 倍，得到
 y = sin ωx 
的图象
步骤三：纵坐标变为原来的 A 倍，得到
 y = A sin ωx   
的图象
步骤四：平移
 |φ|
ω 
个单位，得到 y = A sin(ωx + φ) 的图象
经典例题
例4
将y = √2 sin (2x +
 π
 
3 )的图象向右平移φ (0 < φ <  π )个单位得到函数y = 2 sin x (sin x −cos x) −1的图象，则φ =
 ．
答案
11
13 
π 
24
|
13
24  
π 
根据二倍角公式化简y = 2sin2x −2 sin x cos x −1 = √2 sin (−2x −
 π
 
4 )，利用平移可得平移后的解析式，根据
正弦的性质即可列出方程求解.
y = 2sin2x −2 sin x cos x −1 = −cos 2x −sin 2x = −√2 sin (2x +
 π
 
4 ) = √2 sin (−2x −
 π
 
4 ) ，
y = √2 sin (2x +
 π
 
3 )向右平移φ个单位后得到y = √2 sin (2x −2φ +
 π
 
3 ) ，即
−2x −
 π 
4 + 2x −2φ +
 π 
3 =  π  + 2k π , k ∈Z ,即
φ = −
11 
π 
24 −k 
π 
 ，k ∈Z ， 当k = −1 时，
φ = 13
24  
π 
 ，
故答案为：
13
24  
π 
 .
教法备注
【考点】三角函数的图像的变换
【教法】利用三角恒等变换将右边的函数化简成正弦型函数，然后跟平移之后的左边的函数作对比，从而求
出参数
解析
变式4-1
某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是（       ）
A. y＝sin(−6
5 x + 3π
5 )
B. y＝sin( 6
5 x −2π
5 )
C. y＝sin( 6
5 x + 3π
5 )
D. y＝－cos( 6
5 x + 3π
5 )
C
由题可得A=1，T
4 = 5π
12 ，进而得ω = 6
5 ，再利用五点法可得φ = 3π
5 ，即求.
不妨令该函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
答案
解析
12
由题图知A=1，T
4 = 3π
4 −π
3 = 5π
12 ，
于是2π
ω = 5π
3 ，即ω = 6
5 ，
又π
3 是函数的图象递减时经过的零点，
于是6
5 × π
3 +φ=2kπ+π，k∈Z，
所以φ可以是3π
5 ，
∴y = sin ( 6
5 x + 3π
5 ).
故选：C.
变式4-2
若函数y = A sin (ax + b) (A > 0, a > 0, |b| < π
2 )的图像在同一周期内有一个最高点的坐标是( π
12 , 2)，最低点的坐
标是( 7π
12 , −2)，则这个函数的解析式是 
 ．
y = 2 sin (2x + π
3 )
根据已知条件依次求得 A, a, b 的值, 即可得解.
设f(x) = A sin(ax + b)，
依题意可知 A = 2.
T = ( 7π
12 −π
12 ) × 2 = π，a = 2π
T = 2，
所以f(x) = 2 sin(2x + b)，
f ( π
12 ) = 2 sin ( π
6 + b) = 2，
即sin ( π
6 + b) = 1
由于 |b| < π
2 , 所以 b = π
3 .
所以 y = f (x) = 2 sin (2x + π
3 ).
故答案为: y = 2 sin (2x + π
3 )
答案
解析
13
变式4-3
已知函数f(x) = 2√2 sin x
2 cos x
2 + 2√2cos2 x
2 −√2.
（1）求函数f(x)在区间[0, π]上的值域；
（2）若方程f(ωx)=√3(ω > 0)在区间[0, π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.
（1） [−√2, 2]；（2） [ 5
12 , +∞).
（1）f(x) = 2√2 sin x
2 cos x
2 + 2√2cos2 x
2 −√2 = √2 sin x + √2 cos x = 2 sin(x + π
4 )，
令U = x + π
4 ，∵x ∈[0, π]，∴U ∈[ π
4 , 5π
4 ]
由y = sin U的图像知，sin U ∈[−√2
2 , 1]，即sin (x + π
4 ) ∈[−√2
2 , 1]，∴2 sin (x + π
4 ) ∈[−√2, 2]，
$$
所以函数f(x)的值域为[−√2, 2].
（2）f(ωx) = 2 sin(ωx + π
4 )(ω > 0)
∵f(ωx)=√3，∴2 sin(ωx + π
4 ) = √3，即sin(ωx + π
4 )= √3
2 ，
∵x ∈[0, π]，∴ωx + π
4 ∈[ π
4 , ωπ + π
4 ]，且ωx + π
4 =2kπ + π
3 (k ∈Z)或ωx + π
4 =2kπ + 2π
3 (k ∈Z)
由于方程f(ωx)=√3(ω > 0)在区间[0, π]上至少有两个不同的解，
所以ωπ + π
4 ≥2π
3 ，解得ω ≥5
12 ，
所以ω的取值范围为[ 5
12 , +∞).
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为f(x) = A sin (ωx + φ)，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
答案
解析
14
教法备注
【考点】三角函数的零点、值域
【教法】（1）将函数化简整理为 f(x) = A sin(ωx + φ) ，再利用三角函数性质求值域；
（2）整体换元，根据已知条件及函数零点的定义，列不等式组结合整数限制条件即可求解．
考点3：三角方程
知识笔记
最简三角方程的解集
（1）sin x = a(|a| ≤1) : {x ∣x = kπ + (−1)k arcsin a, k ∈Z}
（2）cos x = a(|a| ≤1) : {x ∣x = 2kπ ± arccos a, k ∈Z}
（3）tan x = a(a ∈R) : {x ∣x = kπ + arctan a, k ∈Z}
三角方程的常见解法及类型
（1）a sin x + b = 0 ，转化为 sin x = −b
a ；
（2）a sin x + b cos x = c, 转化为 sin(x + φ) =
c
√a2 + b2 , tan φ = b
a
（3）a sin2 x + b sin x + c = 0 ，利用因式分解得 (sin x −m)(sin x −n) = 0 ，故 sin x = m或 sin x = n ；
（4）a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 ，两边同除 cos2 x 得 a tan2 x + b tan x + c = 0 ，故 tan x = m 或 
tan x = n 。
经典例题
例6
方程sin x = 1 −cos 2x在区间[0, 2π]上的解集为 
 .
{x|x = 0或 x = π
6 或 x = 5π
6 或 x = π或 x = 2π}
答案
解析
15
利用二倍角公式cos 2α = 1 −2 sin2 α，由sin x = 1 −cos 2x，得到2 sin2 x −sin x = 0，所以sin x = 0，
sin x = 1
2 ，又x ∈[0, 2π]，从而求出结果.
由sin x = 1 −cos 2x，得到sin x = 1 −(1 −2 sin2 x)，即2 sin2 x −sin x = 0，
解得sin x = 0或sin x = 1
2 ，又x ∈[0, 2π]，,
当sin x = 0时，x = 0或x = π或x = 2π，
当sin x = 1
2 时，x = π
6 或x = 5π
6 ，所以x = 0或x = π
6 或x = 5π
6 或x = π或x = 2π，
故答案为：{x|x = 0或x = π
6 或x = 5π
6 或x = π或x = 2π}.
变式6-1
关于x的方程tan (2x + π
3 ) = √3
3 在[0, π]上的解集为 
 .
{ 5π
12 , 11π
12 }
通过tan (2x + π
3 ) = √3
3 得到2x + π
3 = π
6 + kπ，再求出在[0, π]范围上的解即可.
由tan (2x + π
3 ) = √3
3 得2x + π
3 = π
6 + kπ, k ∈Z，
解得x = −π
12 + kπ
2 , k ∈Z，
令0 ≤−π
12 + kπ
2 ≤π，解得1
6 ≤k ≤13
6 ，
∴k = 1或k = 2，
∴x = 5π
12 或x = 11π
12 ，
即解集为{ 5π
12 , 11π
12 }.
故答案为：{ 5π
12 , 11π
12 }.
答案
解析
变式6-2
设α1、α2 ∈R，且
1
2 + sin α1
+
1
2 + sin(2α2) = 2，则|10π −α1 −α2|的最小值等于 
 
π
4
答案
16
1
2 + sin α1 ∈[ 1
3 , 1]，
1
2 + sin(2α2) ∈[ 1
3 , 1]，
∴
1
2 + sin α1
=
1
2 + sin(2α2) = 1，
即sin α1 = sin(2α2) = −1，
∴α1 = −π
2 + 2kπ，α2 = −π
4 + kπ，
|10π −α1 −α2|min = π
4 ．
解析
11 平面向量
1
学习目标
教法备注
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握幂函数的性质与图像问题
求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数函数的性质与图像问
题求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数的运算法则
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数函数的性质与图像问
题求解方法
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用基本初等函数图像与性质
求解相关问题
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解向量的概念
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握向量的运算法则
目标3
★★★★★☆ 迁移
运用向量中分解定理和三点共线定理解决问题
目标4
★★★★★☆ 迁移
运用向量性质及定理解决综合运用
知识清单
2
教法备注
1．向量问题在考纲中考查向量的基本运算以及综合运用，也会作为信息，在其他板块知识点考查中给出，例
如解析几何，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆性理解水平和探究性理解水平，考查学生的数学素养，
包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力；
2．本讲在高考中以填选题为主，难度中等偏上，还会有压轴难度的考查，分值约为10分，占比6%；
3．对应教材：必修二，第八章平面向量；
4．本讲知识点涉及向量的公式、性质及定理，后续会和解析几何、立体几何等有综合考查运用，公立学校会
在高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复习有关。
教法备注
【课堂引入】
已知 e1, e2 是夹角为 60∘ 的两个单位向量，若 e1 + ke2 和 ke1 + e2 垂直，则实数 k = __________.
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
→→
→
→
→
→
知识点1——向量的概念及线性运算
考点1：向量的概念及线性运算
知识笔记
向量的概念
3
既有
大小
又有
方向
的量叫向量
向量的表示方法
（1）始终点表示：向量 AB
（2）单一符号表示：小写字母加上箭头，如 →a
（3）坐标表示：在平面直角坐标系中，起点在坐标原点，终点坐标即为向量 →a 的坐标，记作 →a = (x, y)，而它的
模被记作|→a| =
 √x2 + y2  
−
→
特殊向量
 
表示方法
大小
方向
零向量
→0
0
任意
单位向量
→a
|→a|
1  
与→a同向
相等向量
→a = →b
相等
相同
负（相反）向量
→a = −→b
相等
相反
平行（共线）向量
→a//→b
无要求
相同或相反
向量的线性运算
（1）加减法
 平行四边形加法法则：两向量→a，→b 起点相同，和向量→a + →b 为以→a，→b 为邻边的平行四边形的对角线
三角形加法法则：
首尾
相连，和向量→a + →b  从
最首
指向
最尾
三角形减法法则：两向量起点
相同
，终点相连，差向量→a −→b  指向
被减
向量
（2）数乘：实数 λ 与非零向量 →a 的积是一个向量，记作 λ ⋅→a 
 |λ→a| = |λ| ⋅|→a|,  λ > 0 时，方向
相同
，λ < 0 时，方向
相反
，λ = 0 时，λ→a =→0 
（3）实数与向量乘积的运算律：
结合律：λ(μ ⋅→a) = (λμ)→a ；
分配律：
(λ + μ)→a = λ→a + μ→a,  λ(→a + →b ) = λ→a + λ→b ；
（4）向量的坐标运算：→a = (x1, y1),→b = (x2, y2) 
4
 →a ± →b =
 (x1 ± x2, y1 ± y2)  
λ→a = 
 (λx1, λy1) 
 （ λ 为实数 ) 
经典例题
例1
1
已知→a,→b 是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为
（1）2→a的方向与→a的方向相同，且2→a的模是→a的模的2倍；
（2）−2→a的方向与5→a的方向相反，且−2→a的模是5→a的模的2
5 ；
（3）−2→a与2→a是一对相反向量；
（4）→a −
→
b 与−(
→
b −→a)是一对相反向量.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C
试题分析：由于→a,
→
b 是两个非零向量，所以命题（1）2→a的方向与→a的方向相同，且2→a的模是→a的模的2倍是正
确的；（2）−2→a的方向与5→a的方向相反，且−2→a的模是5→a的模的2
5 也是正确的；（3）−2→a与2→a是一对相反
向量也是正确的；由于−(→b −→a)=→a −→b ，因此（4）→a −→b 与−(→b −→a)是一对相反向量是错误的；故答案选C.
考点：平面向量.
答案
解析
变式1-1
1
给出下列5个命题：
①若|→a|＝|
→b |，则→a＝
→b ；
②若AB = DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③平行四边形ABCD中，一定有AB = DC；
④若→
m =→n，→n =→k，则→
m =→k；
⑤若→a//
→
b ，
→
b //→c ，则→a//→c ．
其中不正确的个数为（       ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
−
→
−
→
−
→
−
→
5
B
根据向量相等和共线的概念一一判断即可.
根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而命题①中两向量方向不一定相同，
故不正确；
命题②中A，B，C，D可能落在同一条直线上，故不正确；
零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故命题⑤中若
→b ＝0，则→a与→c 就不一定平行了，因此也不正确，
显然平行四边形ABCD中，一定有AB = DC和若→
m =→n，→n =→k，则→
m =→k均正确，
只有③与④正确．
故选：B.
答案
解析
−
→
−
→
变式1-2
1
已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为(　　)．
A. (7,4)
B. (7,14)
C. (5,4)
D. (5,14)
D
设B(x，y)，由AB＝3a得{
解得{
所以选D
−
→
答案
解析
−
→
x＋1＝6，
y－5＝9，
x = 5
y = 14
变式1-3
1
下列向量中，与向量
→a = (3, 4)共线的一个单位向量是（       ）
A. (−6, −8)
B. (−3
5 , −4
5 )
6
C. (8, 6)
D. ( 4
5 , 3
5 )
B
根据条件，直接求出与
→a = (3, 4)共线的单位向量，即可求解.
设与向量
→a = (3, 4)共线的单位向量为
→
b = λ
→a = (3λ, 4λ) (λ ≠0)，
则√9λ2 + 16λ2 = 5 |λ| = 1，解得λ = ± 1
5 ，所以
→
b = ( 3
5 , 4
5 )或
→
b = (−3
5 , −4
5 )，
故选：B.
答案
解析
例2
1
已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB −PB = λPA，其中λ∈R，则点P一定在（　　）
A. AC边所在的直线上
B. BC边所在的直线上
C. AB边所在的直线上
D. △ABC的内部
A
根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.
∵CB −PB = λPA，PB = PC + CB
∴CB −(PC + CB) = λPA，则−PC =λPA，则CP = λPA
∴CP//PA
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
变式2-1
1
1
2 (
→a + 2
→
b −3
→c ) −3 (
→a −2
→
b −
→c ) = （       ）
7
A. −5
2
→a −4
→c
B. −5
2
→a + 4
→
b −2
→c
C. −5
2
→a + 7
→
b + 3
2
→c
D. −5
2
→a + 5
→
b −9
2
→c
C
根据向量的加减法即可得到答案.
1
2 (
→a + 2
→
b −3
→c ) −3 (
→a −2
→
b −
→c ) = −5
2
→a + 7
→
b + 3
2
→c .
故选：C.
答案
解析
变式2-2
1
在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（       ）
A. AB = DC
B. AD + AB = AC
C. AB −AD = BD
D. AD + CB =→0
C
如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可.
如图，在平行四边形ABCD中，AD//BC, DC//AB且AD = BC, DC = AB，
A：AB = DC，故A正确；
B：AD + AB = BC + AB = AC，故B正确；
C：由BD = BA + AD，得BD = AD −AB，故C错误；
D：AD + CB = AD + DA =→0，故D正确.
故选：C
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
知识点2——数量积及模长问题
8
考点2：数量积
知识笔记
夹角与投影
（1）向量夹角
 θ 的取值范围是
 [0, π] 
（2）数量投影与投影向量
数量投影： →a 在 →b 上的数量投影表示为
 |→a| cos θ = →a ⋅→b
|→b |
，它是一个有向线段
投影（向量）： →a 在 →b 上的投影（向量）表示为
 |→a| cos θ
→b
|→b |
= →a ⋅→b
|→b |2
→b
，它是一个向量
数量积及其相关运算
（1）数量积公式：→a ⋅→b =
 |→a||→b | cos θ  
，夹角也可由此推出： cos θ =
 →a ⋅→b
|→a||→b |
  
注意：两个向量的数量积一定是一个数量，而不是向量；
（2）两个向量 →a 与 →b 垂直的充要条件是
 →a ⋅→b = 0 
；
（3）设 →a = (x1, y1),→b = (x2, y2) 
→a ⋅→b = 
 x1x2 + y1y2  
；cos θ =
 
x1x2 + y1y2
√x2
1 + y2
1√x2
2 + y2
2
  
经典例题
例3
1
已知向量→a与
→
b 是非零向量，且满足→a −
→
b 在
→
b 上的投影为−4
→
b
，→a
= 4
→
b
，则→a与
→
b 的夹角余弦值为（       ）
A. −3
4
B. 3
4
C. −1
4
D. 1
4
A
答案
解析
9
设→a与→
b 的夹角为θ，由投影的定义可得
(→a −
→
b ) ⋅
→
b
→b
= −4
→
b
，再由数量积的定义结合→a
= 4
→
b
，即可
得出答案.
设→a与
→b 的夹角为θ，
因为→a −→b 在→b 上的投影为−4 →b
，→a
= 4 →b
，
所以
(→a −→b ) ⋅→b
→b
= −4 →b
，则
→a
⋅
→
b
cos θ −
→
b
2
→b
= −4 →b
，
即4 →b
⋅→b
cos θ −→b
2
= −4 →b
2
，所以cos θ = −3
4 .
故选：A.
教法备注
【考点】投影
【教法】结合投影定义和数量积公式可得出答案．
变式3-1
1
已知向量
→a = (1, 2),
→
b = (−3, 4)，则
→a在
→
b 上的投影向量为 
 .
(−3
5 , 4
5 )
代入投影向量公式，即可求解.
→a在
→
b 上的投影向量为
→a
cos ⟨
→a,
→
b ⟩⋅
→
b
→
b
=
→a ⋅
→
b
→
b
⋅
→
b
→
b
= −3 + 8
5
×
→
b
5 = (−3
5 , 4
5 ).
故答案为：(−3
5 , 4
5 )
答案
解析
10
变式3-2
1
已知
→a
= √2,
→
b
= 1，向量
→a与
→
b 的夹角为45∘，向量
→a在
→
b 方向上的数量投影为 
 .
1
由投影数量的公式求解即可.
向量
→a在
→
b 方向上的数量投影为→a
cos 45
∘= √2 × √2
2
= 1.
故答案为：1
答案
解析
变式3-3
1
已知△ABC的外接圆圆心为O，且AB + AC = 2AO,
OA |=|AB ，则向量BA在向量BC上的投影向量为(       )
A. 1
4 BC
B. √3
4 BC
C. −1
4 BC
D. −√3
4 BC
A
根据条件作图可得为△ABO等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
因为2AO = AB + AC，
所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，
又AB
=
AO ，所以△ABO为等边三角形，
则∠ABC = 60∘，故BA
=
BC
cos 60∘，
所以向量BA在向量BC上的投影向量为：
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
11
BA ⋅BC
BC
⋅
BC
BC
=
BA
⋅
BC
cos 60∘
BC
2
⋅BC =
BC
2
cos2 60∘
BC
2
⋅BC = 1
4 BC．
故选：A．
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
例4
1
在平面直角坐标系中，已知点A(−1，0)，B(2, 0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF| = 2，则AE ⋅BF的最小值为
 ．
−3
设E(0, t)，F(0, t ± 2)，所以AE ⋅BF = (1, t) ⋅(−2, t ± 2)=−2 + t(t ± 2)
= −2 + t(t ± 2) = t2 ± 2t −2 = (t ± 1)2 −3，当t = ±1时，AE ⋅BF取得最小值−3．
教法备注
【考点】数量积的坐标运算
【教法】利用数量积的坐标运算转化为二次函数，计算最小值
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
变式4-1
1
在△ABC中，AB = (2, 3)，AC = (1, k)，若B为直角，则实数k = 
 .
11
3
计算BC的坐标，根据垂直利用数量积为0可求k的值.
由题意得，BC = AC −AB = (−1, k −3)，
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
12
∵B为直角，∴AB ⋅BC = 0，即−2 + 3 (k −3) = 0，解得k = 11
3 .
故答案为：11
3 .
−
→
−
→
变式4-2
1
在△ABC中，若AB ⋅BC + AB
2
= 0，则△ABC的形状是 
 三角形.
直角
根据向量运算法则将AB ⋅BC + AB
2
变形为AB (AB + BC)即可求解由
AB ⋅BC + AB
2
= 0 ⇒AB (AB + BC)=0，即AB ⋅AC = 0，所以A = 90∘，三角形为直角三角形
故答案为：直角
本题考查利用向量的基本运算判断三角形形状，属于基础题
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
变式4-3
1
已知A(−1, 0)、B(1, 0)、P(1, √3)，点C是圆x2 + y2 = 1上的动点，则PC ⋅PB + PC ⋅PA的取值范围是 
 .
[4, 12] | 4 ≤PC ⋅PB + PC ⋅PA ≤12
将圆转化成参数方程，PC ⋅PB + PC ⋅PA等价于PC ⋅2PO，结合数量积公式和辅助角公式即可求解.
因为点C是圆x2 + y2 = 1上的动点，可设C为(cos θ, sin θ)，又因为A(−1, 0)、B(1, 0)、P(1, √3)，则
PC ⋅PB + PC ⋅PA = PC ⋅(PB + PA) = PC ⋅2PO = 2PC ⋅PO，
PC = (cos θ −1, sin θ −√3), PO = (−1, −√3)，
PC ⋅PO = 1 −cos θ + √3 (√3 −sin θ) = 4 −(√3 sin θ + cos θ) = 4 −2 sin (θ + π
6 )，
−
→
−
→
−
→
−
→
答案
−
→
−
→
−
→
−
→
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
13
因为sin (θ + π
6 ) ∈[−1, 1]，所以PC ⋅PO = 4 −2 sin (θ + π
6 ) ∈[2, 6]，
所以PC ⋅PB + PC ⋅PA = 2PC ⋅PO ∈[4, 12].
故答案为：[4, 12]
教法备注
【考点】数量积的坐标运算
【教法】利用分解法转化为PC ⋅2PO是本题关键，然后可以选择投影法或坐标法求解范围
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
考点3：模长问题
知识笔记
模长问题
（1）数量积有关的模长公式
因为 →a ⋅→a = →a 2 = |→a|2 ，此公式给出了模长的一种计算方式 |→a| = 
√→a 2 
 
（2）坐标运算下的模长公式
记 →a = (x, y)，|→a| =
 √x2 + y2  
（3）模长的几何意义
|→a| 表示向量 →a 
起点到终点间的距离
|→a −→b | 表示
向量 →a,  →b 终点间距离
（将向量 →a,  →b 平移至起点相同）
|→a + →b | 表示
向量 →a,   −→b 终点间距离
（将向量 →a,  →b 平移至起点相同）
经典例题
例5
1
已知向量 →a,→b 满足 |→a| = 3, |→b | = 2, (2→a + →b ) ⋅→b = 1 ，则 |2→a + →b | =
  
√34
答案
14
根据数量积的运算律求得 2→a ⋅→b = −3 ，再根据向量模的计算公式，即可求得答案.由
|→a| = 3, |→b | = 2, (2→a + →b ) ⋅→b = 1 ，得 2→a ⋅→b + |→b |2 = 1 ，有 2→a ⋅→b = 1 −4 = −3 ，则
|2→a + →b | = √4→a 2 + →b 2 + 4→a ⋅→b = √36 + 4 −6 = √34 ，故答案为: √34
解析
变式5-1
1
已知向量 →a,→b 的夹角为 5π
6 ， 且 |→a| = 2√3，→b = (−3, 4) ，则 |→a + 2→b | =    
2√13
【分析】求得 |→b |，→a ⋅→b , 进而利用 |→a + 2→b | = √→a 2 + 4→a ⋅→b + 4→b 2 可求值.
【详解】因为 →b = (−3, 4) ，所以 |→b | = √(−3)2 + 42 = 5 ，
所以 →a ⋅→b = |→a| ⋅|→b | cos⟨→a,→b ⟩= 2√3 × 5 × cos 5π
6 = −15 ，
所以
|→a + 2→b | = √(→a + 2→b )2 = √→a 2 + 4→a ⋅→b + 4→b 2 = √12 + 4 × (−15) + 4 × 52 = 2√13.
故答案为: 2√13.
答案
解析
变式5-2
1
已知向量→a，→b 满足→a −→b
= √3，→a + →b
=
2→a −→b
，则→b
=    .
√3
法一：因为→a + →b
=
2→a −→b
，即(→a + →b )
2
= (2→a −→b )
2
，
则→a 2 + 2→a ⋅→b +→b 2 = 4→a 2 −4→a ⋅→b +→b 2，整理得→a 2 −2→a ⋅→b = 0，
又因为→a −→b
= √3，即(→a −→b )
2
= 3，
则→a 2 −2→a ⋅
→
b +
→
b 2 =
→
b 2 = 3，所以→b
= √3.
答案
解析
15
法二：设→c = →a −→b ，则→c
= √3,→a +→b =→c + 2→b , 2→a −→b = 2→c +→b ，
由题意可得：(→c + 2→b )
2
= (2→c +→b )
2
，则→c 2 + 4→c ⋅→b + 4→b 2 = 4→c 2 + 4→c ⋅→b +→b 2，
整理得：→c 2 =→b 2，即→b
= →c
= √3.
故答案为：√3.
例6
1
已知向量
→a,
→
b ,
→c 满足：
→
b
=
→a
= 1, (
→c −2
→a) ⋅
→a = 0，则
→c −
→
b
的最小值是（     ）
A. 1
B. √2
C. 2
D. 3
A
求出
→c ⋅
→a，求出
→c 在
→a上的投影大小，求出当
→c 与
→a同向共线时|
→c |的最小值，求出
→c −b 的最小值.
因为(
→c −2
→a) ⋅
→a = 0，|
→a| = 1，所以
→c ⋅
→a = 2，
所以
→c 在
→a上的投影大小为2，
所以当
→c 与
→a同向共线时|
→c |有最小值2，
|
→c −
→
b | = √|
→c |2 −2
→c ⋅
→a + |
→a|2 = √|
→c |2 −3 ≥√22 −3 = 1.
故选：A.
教法备注
【考点】数量积，模长几何意义
【教法】利用数量积处理条件，求出 →c 在 →a 上的投影大小，当 →c 与 →a 同向共线时 |→c | 的最小值，求出 |→c −b| 
的最小值．
答案
解析
变式6-1
1
已知非零向量OA与OB的夹角为60∘，OA
= 1，OB
= 2，则对于任意的t ∈R，OA + tOB 的最小值为
 .
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
16
√3
2
由平面向量数量积的定义可得OA ⋅OB =
OA
⋅
OB
cos 60∘= 1，
所以，OA + tOB
2
= OA
2
+ 2tOA ⋅OB + t2OB
2
= 4t2 + 2t + 1 = (2t + 1
2 )
2
+ 3
4 ≥3
4 ，
所以，当t = −1
4 时，OA + tOB 取最小值√3
2 .
故答案为：√3
2 .
本题考查利用平面向量数量积计算向量模的最值，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等
题.
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
变式6-2
1
设平面向量→a,
→
b ,→c 满足：→a
= 2，
→
b
= →c
，→a −
→
b
= 1，
→
b ⊥→c ，则
→
b −→c
的取值范围是    .
[√2, 3√2].
【分析】根据题设条件，设出→a,→b ,→c 的坐标，利用坐标运算进行求解
【详解】依题意，设→a = (2 cos θ, 2 sin θ)，
→
b = (t, 0),→c = (0, t)，t ∈R.
根据→a −→b
= 1，即|(2 cos θ −t, 2 sin θ)| = 1，即(2 cos θ −t)2 + (2 sin θ)2 = 1，整理得t2 + 3 = 4t cos θ.
显然t ≠0，否则
→
b = (0, 0) =→0，→a −
→
b
= →a
= 1，与已知矛盾，故t2 + 3 = 4t cos θ可得cos θ = t2 + 3
4t
.
由|cos θ| = t2 + 3
4 |t|
≤1 ，即t2 −4 |t| + 3 ≤0 ，则有|t|2 −4 |t| + 3 ≤0 ，故(|t| −1) (|t| −3) ≤0 ，解得
1 ≤|t| ≤3.
故
→
b −→c
= |(t, −t)| = √2 |t| ∈[√2, 3√2].
故答案为：[√2, 3√2]
答案
解析
17
教法备注
【考点】模长几何意义
【教法】→b ，→c 与→b −→c 构成一个等腰直角三角形，本题直接转化为求|→b |即可，利用几何意义转化|→a −→b | = 1
为圆即可得到答案
知识点3——向量的定理及其相关运用
考点4：向量定理及其运用
知识笔记
平面向量基本定理
如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个
不共线
向量，那么对该平面内的任一向量 →a 有且只有一对实数 λ1, λ2 
，使 →a =
 λ1e1 + λ2e2   
→
→
→
→
共线定理及其推论
（1）共线定理：
→b 与非零向量 →a 平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得
 →b = λ→a
，设 →a = (x1, y1),
→b = (x2, y2)，坐标关系表示为
x1y2 = x2y1
（2）三点共线定理：
向量 PA,  PB,  PC 中 A,  B,  C 三点共线 ⇔ 存在实数 λ, μ 使得 PA =
 λPB + μPC 
 且
 λ + μ = 1
.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
定比分点公式
设 P(x, y), P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) ，且 P1P = λPP2 ，则 
,
−
→
−
→
⎧
⎨
⎩
x = x1 + λx2
1 + λ
y = y1 + λy2
1 + λ
18
特别地，若λ = 1，则为中点坐标公式： 
 
⎧
⎨
⎩
x = x1 + x2
2
y = y1 + y2
2
经典例题
例7
1
已知向量|
→a| = |
→
b | = |
→c | = 1，若
→a ⋅
→
b = 1
2 ，且
→c = x
→a + y
→
b ，则x + y的最大值为 
 .
2√3
3
解：∵|
→a| = |
→
b |，且
→a ⋅
→
b = 1
2 ，
∴
→a与
→
b 的夹角为60∘，
设
→a = (1, 0)，则
→
b = ( 1
2 , √3
2 )，
∵
→c = x
→a + y
→
b ，
∴
→c = (x + 1
2 y, √3
2 y)，
又|
→c | = 1，
∴(x + 1
2 y)
2
+ ( √3
2 y)
2
= 1，化简得x2 + xy + y2 = 1，
∴(x + y)2 −1 = xy ⩽(x + y)2
4
，当且仅当x = y = √3
3 时，等号成立，
∴x + y ⩽2√3
3
．
故答案为：2√3
3
．
教法备注
【考点】数量积、分解定理
【教法】坐标表示各项条件，其中→c = (cos θ, sin θ)，利用向量基本定理，用角表示x，y，利用三角函数求最
值；或者利用x，y表示→c ，最后利用模长为1的条件，结合基本不等式求最值
答案
解析
19
练7-1
1
下列向量组中，能作为基底的是（       ）
A. e1 = (0, 0), e2 = (1, −2)
B. e1 = (−1, 2), e2 = (5, 7)
C. e1 = (3, 5), e2 = (6, 10)
D. e1 = (2, −3), e2 = ( 1
2 , −3
4 )
B
能作基底的两个向量不共线，判断各选项中的两个向量是否共线即可得解.
对于A，因e1 =→0，则有e1//e2，e1与e2不能作为基底；
对于B，因e1 = (−1, 2), e2 = (5, 7)，−1 ⋅7 −2 ⋅5 ≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；
对于C，因e1 = (3, 5), e2 = (6, 10)，则有e2 = 2e1，e1与e2不能作为基底；
对于D，因e1 = (2, −3), e2 = ( 1
2 , −3
4 )，则有e1 = 4e2，e1与e2不能作为基底.
故选：B
→
→
→
→
→
→
→
→
答案
解析
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
练7-2
1
如图，在四面体O −ABC中，OA =→a，OB =→b ，OC =→c ，且OM = 2MA，BN = NC，则MN =（       ）
A. 2
3
→a + 2
3
→b + 1
2
→c
B. 2
3
→a + 2
3
→b −1
2
→c
C. −2
3
→a + 1
2
→b + 1
2
→c
D. 1
2
→a −2
3
→b + 1
2
→c
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
20
C
由平面向量的线性运算求解．
连接ON，因为BN = NC，所以ON = 1
2 (OB + OC)，
因为OM = 2MA，所以OM = 2
3 OA，
所以MN = ON −OM = 1
2 (OB + OC) −2
3 OA = −2
3
→a + 1
2
→
b + 1
2
→c ．
故选：C．
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
例8
1
已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M, N两点，且
⇀
AM = x
⇀
AB, 
⇀
AN = y
⇀
AC, x, y ∈R
，则1
x + 1
y =（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C
由G为ΔABC的重心，可得AG = 1
3 (AB + AC)，结合AM = xAB，AN = yAC，根据M，G，N三点共
线，得到x，y的关系式，整理后即可得到答案∵G为ΔABC的重心，
∴AG = 1
3 (AB + AC)，
MG = AG −AM = 1
3 (AB + AC) − xAB = ( 1
3 −x)AB + 1
3 AC
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
21
GN = AN −AG =  yAC −1
3 (AB + AC) = −1
3 AB + (y −1
3 )AC
∵MG与GN共线
∴存在实数λ使得MG = λGN
即( 1
3 −x)AB + 1
3 AC =  λ [−1
3 AB + (y −1
3 )AC]
由向量相等的定义可得
消去λ可得x + y −3xy = 0
两边同时除以xy整理可得1
x + 1
y = 3
故选C
本题主要考查的知识点是向量的线性性质以及几何意义，向量的共线定理以及三角形的重心，属于中档题．
教法备注
【考点】三点共线定理
【教法】根据 M, G, N 三点共线，得到 x, y的关系式，整理后即可得到答案
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
⎧
⎨
⎩
1
3 −x = −1
3 λ
1
3 = λ (y −1
3 )
练8-1
1
已知向量→a = (2, 3),→b = (−1, 2)，若m→a +→b 与→a −2→b 平行，则实数m等于 
 .
−1
2
由向量坐标的数乘及加减法运算求出m→a +
→
b 与→a −2
→
b ，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．解：由向量
→a = (2, 3)和→b = (−1, 2)，
所以m→a +→b = m (2, 3) + (−1, 2) = (2m −1, 3m + 2)，
→a −2
→
b = (2, 3) −2 (−1, 2) = (4, −1)，
由m→a +→b 与→a −2→b 平行，所以4(3m + 2) + (2m −1) = 0．
解得m = −1
2 ．
故答案为：−1
2 ．
答案
解析
22
本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
练8-2
1
在△ABC中，若AD = mDB, CD = 1
3 CA + λCB，则λ =（       ）
A. 2
3
B. 1
3
C. −1
3
D. −2
3
A
借助平面向量的线性运算与基本定理即可得.
由AD = mDB，则AB = AD + DB = ( 1
m + 1)AD，则AD = (
m
m + 1 )AB，
CD = CA + AD = CA + (
m
m + 1 )AB = CA + (
m
m + 1 ) (CB −CA)
=
1
m + 1 CA +
m
m + 1 CB = 1
3 CA + λCB，
故
1
m + 1 = 1
3 、
m
m + 1 = λ，故λ = 2
3 .
故选：A.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
练8-3
1
点P分有向线段P1P2成定比λ，若PP1 = 2P1P2，则λ = 
 
−2
3
∵PP1 = 2P1P2，∴−P1P = 2 (P1P + PP2)，
∴P1P = −2
3 PP2，∴λ = −2
3 .
故答案为：−2
3 .
−
→
−
→
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
23
本题考查向量的共线定理应用，属于基础题.
12 复数
1
学习目标
教法备注
目标1
★★★☆☆☆ 操作
掌握幂函数的性质与图像问题
求解方法
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握指数函数的性质与图像问
题求解方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数的运算法则
目标4
★★★☆☆☆ 操作
掌握对数函数的性质与图像问
题求解方法
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用基本初等函数图像与性质
求解相关问题
目标1
★★☆☆☆☆ 理解
理解复数的概念
目标2
★★★☆☆☆ 操作
掌握复数的运算方法
目标3
★★★☆☆☆ 操作
掌握复平面及其几何问题
目标4
★★★★★☆ 迁移
运用复数性质解决实系数一元二次方程问题
目标5
★★★★★☆ 迁移
运用复数三角性质解决相关问题
知识清单
2
教法备注
1．复数问题在考纲中考查对复数概念、对复数运算方法、复平面、实系数一元二次方程的虚根以及复数的三
角形式的掌握情况，考纲中明确对该知识点的考查涉及记忆水平、解释性理解水平及探究性理解水平，考查
学生的数学素养，包括数学基础知识和基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探
究能力；
2．本讲在高考中以填选题为主，难度较小，分值约为4分，占比2.67%；
3．对应教材：必修二，第九章复数；
4．本讲知识点涉及复数概念、复数运算方法、复平面、实系数一元二次方程的虚根以及复数的三角形式，后
续会和函数等内容有综合考查运用，公立学校会在高三上学期复习，与新东方秋季班、寒假班的后续内容复
习有关。
教法备注
【课堂引入】
若关于 x 的实系数一元二次方程 x2 −mx + 3m −8 = 0 有两个共轭虚数根，则 m 的取值范围是__________.
引入方向：通过对题目考查方式的理解，熟悉此类问题，引出正文内容，题目在正文例题中也有设计，此处
无需讲解。
知识点1——复数的概念与运算
考点1：复数的概念
知识笔记
3
虚数单位
虚数单位 i : i2 =
 −1  
复数的定义
形如 a + bi(a, b ∈R) 的数叫复数，a 叫复数的
实部
，b 叫复数的
虚部
复数的分类
z = a + bi
b = 0
b ≠0
a = 0
实数0
纯虚数bi
a ≠0
实数a
虚数a + bi
虚数相等
虚数
不可以
比大小（填“可以”或“不可以”），如果两个虚数的
实部和虚部
分别相等，那么我们
就说这两个虚数相等
经典例题
例1
1
设z ，z 为复数，下列命题一定成立的是（       ）
A. 如果|z1| = a，a是正实数，那么z1z1 = a2
B. 如果|z1| = |z2|，那z1 = ±z2
C. 如果|z1| ≤a，a是正实数，那么−a ≤z1 ≤a
D. 如果z2
1 + z2
1 = 0，那么z1 = z2 = 0
A
根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断.
设z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i，（x1, y1, x2, y2 ∈R），
对A：∵|z1| = √x2
1 + y2
1 = a，则x2
1 + y2
1 = a2，
∴z1z1 = (x1 + y1i) (x1 −y1i) = x2
1 + y2
1 = a2，A正确；
对B：∵|z1| = |z2|，即√x2
1 + y2
1 = √x2
2 + y2
2，则x2
1 + y2
1 = x2
2 + y2
2，
1
2
–
答案
解析
–
4
不能得到x1 = ±x2, y1 = ±y2，更不能得到z1 = ±z2，
例如z1 = 1, z2 = i，则|z1| = |z2| = 1，但z1 ≠±z2，B错误；
对C：∵|z1| = √x2
1 + y2
1 ≤a，则x2
1 + y2
1 ≤a2，
但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；
对D：∵z2
1 + z2
1 = 0，则
(x1 + y1i)2 + (x2 + y2i)2 = (x2
1 −y2
1 + 2x1y1i) + (x2
2 −y2
2 + 2x2y2i) = (x2
1 + x2
2 −y2
1 −y2
2) + 2 (x1y1 + x2y2)i
= 0
，
可得{
，不能得到x1 = y1 = x2 = y2 = 0，
例如z1 = 1, z2 = i，则z2
1 + z2
1 = 1 −1 = 0，但显然z1 ≠0, z2 ≠0，D错误.
故选：A.
x2
1 + x2
2 −y2
1 −y2
2 = 0
x1y1 + x2y2 = 0
变式1-1
1
设z1, z2 ∈C，则“z1, z2均为实数”是“z1 −z2是实数”的.
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
A
设
，
，
若
、
均为实数，则
，所以
是实数；
若
是实数，则
，
所以“
、
均为实数”是“
是实数”的充分非必要条件，选A.
答案
解析
变式1-2
1
设复数z = (m2 −4m −5) + (m2 + 5m + 4)i，m为实数．
当m为何值时，z是纯虚数;
5
5
若z是纯虚数，则{
，解得m = 5，
所以当m = 5时，z是纯虚数.
答案
解析
m2 −4m −5 = 0
m2 + 5m + 4 ≠0
考点2：复数的运算
知识笔记
四则运算
设 z1 = a + bi,  z2 = c + di(a,  b,  c,  d ∈R)
（1）加法：z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) =
 (a + c) + (b + d)i  
（2）减法：z1 −z2 = (a + bi) −(c + di) = 
(a −c) + (b −d)i  
（3）乘法：z1z2 = (a + bi)(c + di) =
 (ac −bd) + (bc + ad)i  
（4）除法：a + bi
c + d1
= (a + bi) (c −d1)
(c + d1) (c −d1) =
 (ac + bd) + (bc −ad)i
c2 + d2
 = 
 ac + bd
c2 + d2 + bc −ad
c2 + d2 i
  
模长运算与共轭复数
设 z = a + bi(a,  b ∈R)
（1）模长：|z| =
 √a2 + b2  
6
复数的乘除运算与取模交换运算顺序，结果不变：
|z1z2| =|z1| |z2|  ；当z2 ≠0,
z1
z2
= |z1|
|z2|
（2）共轭复数：–z =
 a −bi 
 ，有|z|2 = |–z |2 = z–z = 
 a2 + b2  
复数的四则运算与共轭交换运算顺序，结果不变：
z1 ± z2 =z1 ± z2；z1z2 =z1 ⋅z2  ；当z2 ≠0, ( z1
z2
) = z1
z2
–
–
–
–
–
–
经典例题
例2
1
已知z = 3 + 4i，若实数a, b满足z + a–z + b|z| = 0，则a + b = 
 
−1
5 | -0.2
由复数的运算法则与模长公式求解即可
因为z = 3 + 4i，
所以–z = 3 −4i，|z| = √32 + 42 = 5，
又z + a–z + b|z| = 0，
所以3 + 4i + a (3 −4i) + 5b = 0，
即(3 + 3a + 5b) + (4 −4a)i = 0，
所以{
，解得{
，
所以a + b = −1
5 ，
故答案为：−1
5
答案
解析
3 + 3a + 5b = 0
4 −4a = 0
b = −6
5
a = 1
变式2-1
1
复数2 + i
1 −2i 的虚部是
A. i
B. −i
C. 1
D. −1
7
C
由复数的除法运算化简，再由复数的概念得解.
因为2 + i
1 −2i = (2 + i) (1 + 2i)
(1 −2i) (1 + 2i) = i，所以该复数的虚部为1，
故选：C.
答案
解析
变式2-2
1
已知复数z = a + 3i (a ∈R)，满足下列表达式(Rez)2 −2Rez = −1，则|z| =（     ）
A. √10
B. 3
C. 10
D. 1
A
根据题中条件求出a的值，再利用复数的模长公式可求得|z|的值.
因为复数z = a + 3i (a ∈R)，则Rez = a，
所以，(Rez)2 −2Rez = a2 −2a = −1，即a2 −2a + 1 = 0，解得a = 1，
所以，z = 1 + 3i，故|z| = √12 + 32 = √10.
故选：A.
答案
解析
变式2-3
1
设f (n) = ( 1 + i
1 −i )
n
+ ( 1 −i
1 + i )
n
(n ∈N∗) ，则集合{f (n)}中元素的个数为 
 ．
3
根据复数的运算法则，化简得到f(n) = in + (−i)n，进而得到答案.
答案
解析
8
根据复数的运算法则，可得1 + i
1 −i =
(1 + i)2
(1 −i)(1 + i) = i, 1 −i
1 + i =
(1 −i)2
(1 + i)(1 −i) = −i，
所以f (n) = ( 1 + i
1 −i )
n
+ ( 1 −i
1 + i )
n
= in + (−i)n，
则f(1) = 0，f(2) = −2，f(3) = 0，f(4) = 2，f(5) = 0，…，
所以集合{f (n)}中元素的个数为3．
故答案为：3
教法备注
【考点】复数的运算
【教法】利用复数除法运算化简式子，然后根据虚数单位运算的周期性列举结果，即可得到答案
变式2-4
1
已知复数z1和复数z2满足z1 + z2 = 3 + 4i, z1 −z2 = −2 + i（i为虚数单位），则z2
1 −z2
2
= 
 .
5√5
设z1 = a + bi, z2 = c + di，a, b, c, d ∈R，由复数的减法与共轭复数的概念可得z1 −z2 = z1 −z2，结合复数的
乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解z2
1 −z2
2 的值.
设z1 = a + bi, z2 = c + di, a, b, c, d ∈R，
则z1 −z2 = (a −c) + (b −d)i, z1 −z2 = (a −bi) −(c −di) = (a −c) −(b −d)i，
所以z1 −z2 = z1 −z2，
因为z1 + z2 = 3 + 4i, z1 −z2 = −2 + i，
所以z2
1 −z2
2 = (z1 + z2) (z1 −z2) = (3 + 4i) (−2 −i) = −6 −3i −8i −4i2 = −2 −11i，
则z2
1 −z2
2
= |−2 −11i| = √(−2)2 + (−11)2 = 5√5.
故答案为：5√5.
教法备注
【考点】复数的运算
【教法】由复数的减法与共轭复数的概念可得 z1 −z2 = z1 −z2 ，结合复数的乘方运算性质和乘法法则，即
–
答案
解析
–
–
–
–
–
9
可得求解 z2
1 −z2
2 的值．
知识点2——复数的几何意义
考点3：复数的几何意义
知识笔记
复平面
复数 z = a + bi(a, b ∈R) 与有序实数对 (a, b) 是一一对应关系，点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 
z = a + bi(a, b ∈R) 可用点 Z(a, b) 表示。
这个用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点
都表示实数。
复数的几何意义
对于虚轴上的点，除原点外（原点对应的有序实数对为 (0, 0) ，它所确定的复数是 z = 0 + 0i = 0 表示是实
数），都表示纯虚数。
复数 z = a + bi
 一一对应 
⟷ 复平面内的点 Z(a, b) ，这就是复数的几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几
何表示方法，例如，|z1 −z2| 表示复平面上点 z1 和点 z2 点的距离。
经典例题
例3
1
已知复数z的虚部为1，且|z| = 2，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为 
 .
√3
由题意设z对应点为(x, 1)且|z|2 = x2 + 1，结合已知可得|x| = √3，即知z在复平面内所对应的点z到虚轴的距
离.
由题意，设z对应点为(x, 1)，则|z|2 = x2 + 1 = 4，
∴x2 = 3，则|x| = √3.
答案
解析
10
∴z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为√3.
故答案为：√3.
变式3-1
1
设复平面上表示2 −i和3 + 4i的点分别为点A和点B，则表示向量AB的复数在复平面上所对应的点位于（       ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A
由复数的几何意义求出A, B，即可得出向量AB的复数在复平面上所对应的点所在象限.
复平面上表示2 −i和3 + 4i的点分别为点A和点B，
则A (2, −1), B (3, 4)，所以AB = (1, 5)，
所以向量AB的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
故选：A.
−
→
答案
解析
−
→
−
→
−
→
变式3-2
1
已知复数z = (x −2) + yi(x、y ∈R)的模为√3，则y
x 的最大值为 
 .
√3
根据题意将其转化为C(2，0)为圆心，√3为半径的圆上的点(x，y)，根据几何意义将y
x 转化为圆上的点(x, y)
与原点连线的斜率，数形结合知道线与圆相切时取得最值.
解：因为|x −2 + yi| = √3，所以(x −2)2 + y2 = 3，
故(x，y)在以C(2，0)为圆心，√3为半径的圆上，
y
x 表示圆上的点(x, y)与原点所在直线l : y = kx的斜率，
如图，由平面几何知识，易知当直线l : y = kx与圆相切时取得最值，
答案
解析
11
在△OAC中，OC = 2, AC = √3，所以OA = 1,
此时k = tan α = AC
OA = √3.
故答案为：√3.
与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a + bi与复平面上的点(a, b)一一对应.
教法备注
【考点】复数的几何意义
【教法】转化为以 C(2, 0) 为圆心，√3 为半径的圆，根据几何意义将 y
x 转化为圆上的点 (x, y) 与原点连线的
斜率，数形结合知道线与圆相切时取得最值．
变式3-3
1
已知复数z1, z2满足z1 + √3 −i
+
z1 −√3 + i
= 2√5, z2 = 2 + 2√3i，（其中i是虚数单位），则|z1 −z2|的最小
值为     .
3
根据复数的几何意义，设出相关点Z1 (x, y), Z2 (2, 2√3), F1 (−√3, 1), F2 (√3, −1)，分析可知点Z1的轨迹是
焦点分别为F1 (−√3, 1), F2 (√3, −1)的椭圆，结合椭圆性质即可求解.
设复数z1, z2 = 2 + 2√3i, −√3 + i, √3 −i在复平面内对应的点分别为
Z1 (x, y), Z2 (2, 2√3), F1 (−√3, 1), F2 (√3, −1)，
由题意可知：|Z1F1| + |Z1F2|= 2√5 > 4 = |F1F2|，
可知点Z1的轨迹表示焦点分别为F1 (−√3, 1), F2 (√3, −1)的椭圆，
答案
解析
12
则长半轴长为a = √5，半焦距c = 2，短半轴长为b = √a2 −c2 = 1，
且该椭圆的长轴所在直线为y = −√3
3 x，短轴所在直线为y = √3x.
因为点Z2在y = √3x上，且|OZ2| = 4，
若使得|z1 −z2|最小，则需|Z1Z2|取得最小值，
即点Z1为第一象限内的短轴端点，此时|z1 −z2| = |OZ2| −1 = 3.
故答案为：3.
教法备注
【考点】复数的几何意义
【教法】分析可知点 Z1的轨迹是焦点分别为 F1(−√3, 1), F2(√3, −1) 的椭圆，结合椭圆性质即可求解
知识点3——实系数一元二次方程及复数的三角形式
考点4：实系数一元二次方程
知识笔记
实系数一元二次方程在复数域内的解
（1） Δ = b2 −4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根 x1, x2 ；
（2） Δ = b2 −4ac = 0 时，方程有两个相等实根 x1 = x2 ；
（3） Δ = b2 −4ac < 0 时，方程有两个共轭虚根x1,2 = −b ± √−Δi
2a
  ，x1 = x2 ；此时 |x1|2 = |x2|2 = x1x2 = c
a
–
两种题型的解法  
（1）|x1 −x2|
当 Δ = b2 −4ac ≥0 时，|x2 −x1| = √(x1 + x2)2 −4x1x2 =
 √b2 −4ac
|a|
 
 ；
13
当 Δ = b2 −4ac < 0 时，|x2 −x1| =
 √4x1x2 −(x1 + x2)2 
  = 
 √4ac −b2
|a|
   .
（2）|x1| + |x2|当 Δ = b2 −4ac ≥0 时，
若x1 ⋅x2 ≥0, 即 c
a ≥0，则|x2| + |x1| =
 |x1 + x2| 
 = 
 
b
a
 
   ,
若x1 ⋅x2 < 0, 即 c
a < 0，则|x2| + |x1| =
 |x1 −x2| 
 =
 
√b2 −4ac
|a|
  
 ;
当 Δ = b2 −4ac < 0 时，|x2| + |x1| =
 2 |x1| 
=
 2√x1 ⋅x2
 = 
 2√c
a 
.  
虚系数一元二次方程
虚系数一元二次方程有实根，不能用判别式法，一般用两个复数相等求解
经典例题
例4
1
若实系数一元二次方程x2 + ax + b = 0有一个虚数根的模为4，则a的取值范围是 
 .
(−8, 8)
因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为m + ni和m −ni，则m2 + n2 = 16，又
b = (m + ni) (m −ni) = m2 + n2 = 16，再由Δ < 0可求a的取值范围.
设实系数一元二次方程x2 + ax + b = 0的两个虚数根为m + ni和m −ni，
则m2 + n2 = 16.
所以b = (m + ni) (m −ni) = m2 + n2 = 16.
由Δ < 0⇒a2 −4 × 16 < 0⇒−8 < a < 8.
故答案为：(−8, 8)
教法备注
【考点】实系数一元二次方程
【教法】实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别 为 m + ni 和 m −ni ，据此可得实
部与虚部的关系，再由 Δ < 0 可求 a 的取值范围．
答案
解析
14
练4-1
1
若3 −i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的一个虚根，则a = 
  ．
−6
利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.
∵3 −i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的一个虚根，
∴3 + i（i为虚数单位）也是关于x的实系数一元二次方程x2 + ax + 10 = 0的的一个虚根，
∴3 −i + (3 + i) = −a，解得a = −6
故答案为：−6．
答案
解析
练4-2
1
复数3 + 4i的平方根是
A. 2 + i
B. 1 ± 2i
C. −2 −i
D. ±(2 + i)
D
设3 + 4i的平方根为x + yi(x, y ∈R)，
则(x + yi)2 = 3 + 4i.
∴{
⇒x2 −4
x2 = 3 ⇒x2 = 4或−1（舍）.
∴{
或{
∴3 + 4i的平方根是2 + i或−2 −i.
故答案选：D
本题主要考查复数的四则运算及复数相等，属于基础题.
答案
解析
x2 −y2 = 3,
2xy = 4
x = 2,
y = 1
x = −2,
y = −1.
练4-3
1
15
已知复数 z1 = a + 2 + (a2 −3)i，z2 = 2 −(3a + 1)i（a ∈R，i 是虚数单位）．
(1)
若 z1 −z2 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a 的取值范围；
(2)
若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2 −6x + m = 0 的根，求实数 m 的值．
(1) (4, +∞)
(2) m = 13
(1) ∵z2 = 2 −(3a + 1)i，∴z2 = 2 + (3a + 1)i，
z1 −z2 = a + 2 + (a2 −3)i −(2 + (3a + 1)i) = a + (a2 −3a −4)i，
又 ∵ 复数 z1 −z2 在复平面上对应点落在第一象限，
∴a > 0 且 a2 −3a −4 > 0，
解得 a > 4，即实数 a 的取值范围为 (4, +∞)．
(2) ∵ 虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2 −6x + m = 0 的根，∴ 虚数 z1 也是实系数一元二次方程
x2 −6x + m = 0 的根，则 
，解得 m = 13．
教法备注
【考点
–
答案
解析
–
–
–
–
⎧
⎨
⎩
Δ = 36 −4m < 0
z1 + z1 = 2 × a + 2 = 6
z1 ⋅z1 = (a + 2)2 + (a2 −3)
2 = m
–
考点5：复数的三角形式
知识笔记
16
复数的三角形式
复数 z = a + bi(a, b ∈R) 对应着复平面上的一个点 Z(a, b)， r = |z| = √a2 + b2 ，a = r cos θ，  b = r sin θ，于
是我们把： z =
 r(cos θ + i sin θ)  
，复数的这种表示形式叫做它的三角形式。
（1）辐角：原点 O 为顶点， x 轴正半轴为始边，射线 OZ 为终边的角 θ ，叫做复数 z 的辐角，记作 Argz ；
（2）规定：复数 0 的辐角的大小是任意的值；
（3）辐角主值：在复数 z 的所有辐角中，满足 0 ≤θ < 2π 的辐角 θ 称为 z的辐角主值，记作 arg z 。
三角形式下的复数运算
设两个复数 z1 = r(cos α + i sin α), z2 = s(cos β + i sin β) ，其中 r = |z1| ≥0, s = |z2| ≥0 ，则
（1）复数相乘，模相乘，辐角相加：z1z2 =
 rs[cos(α + β) + i sin(α + β)]  
（2）复数相除，模相除，辐角相减：z1
z2
=
 r
s [cos(α −β) + i sin(α −β)] (z2 ≠0)  
（3）zn =
 rn(cos nα + i sin nα)  
（4）z 的 n 次方根为：n√r (cos α + 2kπ
n
+ i sin α + 2kπ
n
), k = 0, 1, 2, ⋯, n −1
经典例题
例5
1
17
把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）.
(1)
3；
(2)
−2i；
(3)
1 + i；
(4)
−1 + √3i.
(1) 3 (cos 0 + isin0)
(2) 2 (cos 3π
2 + isin 3π
2 )
(3) √2 (cos π
4 + isin π
4 )
(4) 2 (cos 2π
3 + isin 2π
3 )
(1) 由复数的三角形式表示为z = a + bi = r (cos θ + isinθ)，且r = |z| = √a2 + b2，且a = r cos θ，b = r sin θ，
又z1 = 3，所以
，解得{
，
所以z = 3 (cos 0 + i sin 0)；
(2)
由z2 = −2i，所以
，解得
，
所以z2 = 2 (cos 3π
2 + i sin 3π
2 )；
(3)
由z3 = 1 + i，所以
，解得
，
所以z3 = √2 (cos π
4 + i sin π
4 )；
答案
解析
⎧
⎨
⎩
r = 3
3 = r cos θ
0 = r sin θ
r = 3
θ = 0
⎧
⎨
⎩
r = √(−2)2
0 = r cos θ
−2 = r sin θ
⎧
⎨
⎩
r = 2
θ = 3π
2
⎧
⎨
⎩
r = √12 + 12 = √2
1 = r cos θ
1 = r sin θ
⎧
⎨
⎩
r = √2
θ = π
4
18
(4)
由z4 = −1 + √3i，所以
，解得
，
所以z4 = 2 (cos 2π
3 + i sin 2π
3 ).
⎧
⎨
⎩
r = √(−1)2 + √3
2 = 2
−1 = r cos θ
√3 = r sin θ
⎧
⎨
⎩
r = 2
θ = 2π
3
练5-1
1
已知复数z ＝√2 (cos π
12 + isin π
12 )，z ＝√3 (cos π
6 + isin π
6 )，则z z 的代数形式是（       ）
A. √6 (cos π
4 + isin π
4 )
B. √6 (cos π
12 + isin π
12 )
C. √3－√3i
D. √3＋√3i
D
利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.
z1z2 = √2 (cos π
12 + isin π
12 ) × √3 (cos π
6 + isin π
6 )
= √6 [cos ( π
12 + π
6 ) + isin ( π
12 + π
6 )]
= √6 (cos π
4 + isin π
4 )
= √3 + √3i
故选:D.
本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.
1
2
1 2
答案
解析
练5-2
1
计算：
(1)
8 (cos π
6 + i sin π
6 ) ⋅2 (cos π
12 + i sin π
12 )；
(2)
8 (cos 240∘+ i sin 240∘) ÷ 2 (cos 150∘−i sin 150∘)．
答案
19
(1) 8√2 + 8√2i；
(2) 2√3 + 2i.
(1) 8 (cos π
6 + i sin π
6 ) ⋅2 (cos π
12 + i sin π
12 ) = 16 (cos π
4 + i sin π
4 ) = 16 ( √2
2
+ √2
2 i) = 8√2 + 8√2i.
(2) 8 (cos 240∘+ i sin 240∘) ÷ 2 (cos 150∘−i sin 150∘) =
4(cos 240∘+ i sin 240∘)
cos(−150∘) + i sin(−150∘)
= 4 (cos 390∘+ i sin 390∘) = 4 (cos 30∘+ i sin 30∘) = 2√3 + 2i.
解析
练5-3
1
−1的平方根是 
 ，−1的立方根是 
 ．
±i ; −1, 1
2 ± √3
2 i
根据平方根和立方根的概念在复数范围内求解即可.
因为i2 = −1，(−i)2 = −1，所以−1的平方根是±i，
因为(−1)3 = −1，
( 1
2 −√3
2 i)
3
= (−1
2 −√3
2 i) × ( 1
2 −√3
2 i) = −1，
( 1
2 + √3
2 i)
3
= (−1
2 + √3
2 i) × ( 1
2 + √3
2 i) = −1，
所以−1的立方根是−1, 1
2 −√3
2 i, 1
2 + √3
2 i.
故答案为：±i；−1, 1
2 ± √3
2 i.
教法备注
【考点】复数的三角形式
【教法】利用复数的三角形式进行开方运算，注意−1的平方根有两解，−1的立方根有三解
答案
解析