文档文本内容
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专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................15
题型一：直线的方程
15
题型二：圆的方程
19
题型三：直线、圆的位置关系
23
题型四：圆的动点与距离问题
27
题型五：阿氏圆
30
题型六：米勒定理与角度问题
35
题型七：圆的数形结合
39
重难点突破：与距离问题有关的最值
43
1
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直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、
点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线
平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
直线与方程
掌握直线方程，
运用数形结合解
题
2024 年北京卷第3 题，4 分
2023 年I 卷第6 题，5 分
2025 年高考数学可能
会涉及直线与圆的方程，
包括直线方程的一般形
式、圆方程的标准形式
等。同时，可能会考察直
线与圆的位置关系，如相
交、相切、相离等，以及
相关的计算和应用。
直线与圆的位置关系
理解位置关系，
渗透数学思想方
法
2024 年甲卷（理）第12 题，5 分
2023 年甲卷（理）第8 题，5 分
2023 年II 卷第15 题，5 分
2022 年II 卷第15 题，5 分
圆与圆的圆的位置关
系
掌握判定方法及
应用
2022 年II 卷第14 题，5 分
2
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3
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1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心
到直线
的距离，则
：
直线与圆相交，交于两点
，
；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由
，
消元得到一元二次方程
，
判别式为
，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆
的半径分别是
，（不妨设
），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302
4
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两圆相离
两圆内切；
两圆内含（
时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为
，
，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆
上一点
的圆的切线方程为
．
（2）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（3）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（4）求过圆
外一点
的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为
，利用
圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
5
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1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】因为直线
，即
，令
，
则
，所以直线过定点
，设
，
将圆
化为标准式为
，
所以圆心
，半径
，
当
时，
的最小，
此时
.
故选：C
2．（2024 年北京高考数学真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，即
，
则其圆心坐标为
，则圆心到直线
的距离为
.
故选：D.
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
6
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A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【解析】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，
最小，
，此时
.
故选：C
4．（2024 年天津高考数学真题）已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲
线在第一象限的交点为
，则原点到直线
的距离为 ．
【答案】
/
【解析】圆
的圆心为
，故
即
，
由
可得
，故
或
（舍），
故
，故直线
即
，
故原点到直线
的距离为
，
7
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故答案为：
5．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线
与
交于A，B 两点，
写出满足“
面积为
”的m 的一个值 ．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【解析】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
6．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数
满足
，则
的最大值
是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
【答案】C
【解析】法一：令
，则
，
代入原式化简得
，
因为存在实数
，则
，即
，
化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
8
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则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，
设
，则圆心到直线
的距离
，
解得
故选：C.
7．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域
内随机取一点，记该点为A，则直线OA 的倾斜角不大于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为区域
表示以
圆心，外圆半径
，内圆半径
的圆环，
则直线
的倾斜角不大于
的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角
，
结合对称性可得所求概率
.
故选：C.
9
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8．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
10
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可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
11
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9．（2022 年新高考天津数学高考真题）若直线
被圆
截得的弦长为
，则
的值为 ．
【答案】
【解析】圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心到直线
的距离为
，
由勾股定理可得
，因为
，解得
.
故答案为：
.
10．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
12
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故答案为：
11．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，
则
的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M 在直线
上，
∴设点M 为
，又因为点
和
均在
上，
∴点M 到两点的距离相等且为半径R，
∴
，
，解得
，
∴
，
，
的方程为
.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线
的交点(1,-1).
,
的方程为
.
故答案为：
12．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为
．
【答案】
或
或
或
．
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【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
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[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
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题型一：直线的方程
【典例1-1】已知
，
，若
的平分线方程为
，则
所在直线的一般方程为
.
【答案】
【解析】直线
的斜率
，其方程为
，即
，
由
，解得
，令
，
依题意，
的平分线为直线
，
由正弦定理得
，
由于
，由此整理得
，
则
，设
，则
，
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整理得
，解得
，则
，
，
直线
的方程为
，即
.
故答案为：
【典例1-2】光从介质1 射入介质2 发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2 相对介质1 的折射
率.如图，一个折射率为
的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以
的入射角从空气中射
入点
，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】如图，入射角
，设折射角为
，
，
，
则
，
，
所以
，则
，
，
所以
，且
.
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该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为
，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为
，整理得
.
故答案为：
1 、已知直线
，直线
，则
，且
(或
)，
.
2、点
到直线
(A，B 不同时为零)的距离
.
3、两条平行直线
，
(A，B 不同时为零)间的距离
.
【变式1-1】已知过原点的直线与圆
相交于
两点，若
，则直线的方程为
．
【答案】
【解析】圆
的圆心
，半径
直线截圆
所得弦长
，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时，的方程为
，圆心
到直线
的距离为1，不符合题意要求；
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当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为
，
由
，可得
，此时的方程为
综上，直线的方程为
.
故答案为：
.
【变式1-2】一条光线经过点
射到直线
上，被反射后经过点
，则入射光线所在直
线的方程为 ．
【答案】
【解析】设点
关于直线
的对称点为
，则
解得
所以
．又点
，
所以
，直线
的方程为
，
由图可知，直线
即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为
．
故答案为：
.
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1.过定点A 的直线
与圆
交于B，C 两点，点B 恰好为AC 的中点，写出满
足条件的一条直线的方程 ．
【答案】
或
【解析】由直线
，整理可得
，当
时
，故直线过定点
，
设
，则
，
由
在圆
，则
，整理可得
，
联立可得
，消去
可得：
，解得
或
，
当点
的坐标为
，由两点式方程，可得
，整理可得
，
当点
的坐标为
，由两点式方程，可得
，整理可得
，
故答案为：
或
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为
米，
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门在地面处的宽度为
米.现将其截面图放置在直角坐标系
中，以地面所在的直线为
轴，过圆心的竖
直直线为
轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设该圆的半径为，如图，
由题意知：
，
，
，
由勾股定理得：
，即
，解得：
，
，即圆的圆心为
，则圆的方程为
.
故选：A.
【典例2-2】过点
引圆
：
的两条切线，切点分别为
，
．若
，则
过
，
，
三点的圆的方程为（ ）
A．
B．
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C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】由
，得
，可得圆心
，半径
．
由
，得
，所以
，
故
，即
，
解得
或
，则
或
，
根据
，
，故
四点共圆，且
为直径，
所以线段
的中点为
或
，且
，
所以过
，
，
三点的圆的方程为
或
．
故选：C．
1、
的方程
圆
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标
，半径为
，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为
，圆心坐标：
，半径：
【变式2-1】已知直线l 与抛物线
交于A，B 两点（B 在第一象限），C 是抛物线
的准线与直线
l 的交点，F 是抛物线G 的焦点，若
，则以AB 为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】由题意得抛物线
的焦点为
，焦准距
，
设准线与x 轴交与点D，设
，
设
的中点为
，
过点
作准线的垂线，垂足为
，
设
，由
可得
，
由抛物线定义得
，
由于
，故
，则
,
则直线AB 的倾斜角为
，
故
，即
，故
，
设
，则
，
则
，故
，
则
，即
，
又由
可知直线l 过抛物线焦点，
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故l 方程为
，将
代入得
，
即
的中点
，
，
故以AB 为直径的圆的方程为
，
故选：D
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切
线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：
的离心率为
，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为椭圆
：
的离心率为
，则
，解得
，即椭圆
的方程为
，
于是椭圆的上顶点
，右顶点
，经过
两点的椭圆切线方程分别为
，
，
则两条切线的交点坐标为
，显然这两条切线互相垂直，因此点
在椭圆
的蒙日圆上，
圆心为椭圆
的中心O，椭圆
的蒙日圆半径
，
所以椭圆
的蒙日圆方程为
.
故选：B
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1.已知圆
，P 为直线
上的动点，过点P 作圆C 的切线
，切点为
A，当
的面积最小时，
的外接圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题可知，
，半径
，圆心
，所以
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，要使
的面积最小，即
最小，
的最小值
为点
到直线
的距离
，即当
点运动到
时，
最小，直线的
斜率为
，此时直线
的方程为
，由
，解得
，所以
，因为
是直角三角形，所以斜边
的中点坐标为
，而
，所以
的
外接圆圆心为
，半径为
，所以
的外接圆的方程为
.
故选：C.
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线
与曲线
恰有两个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
知直线过定点
，
由曲线
，两边平方得
，
则曲线是以
为圆心，1 为半径的上半圆（包含轴上的两点），
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当直线过点
时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时
，解得
，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心
到直线
的距离
，解得
，
要使直线
与曲线
恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此
，
即实数
的取值范围为
.
故选：B.
【典例3-2】在平面直角坐标系
中，满足不等式组
的点
表示的区域面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
所以不等式组表示的区域是圆
与圆
公共的内部区域，
画出图象如下图所示，
，两圆半径都是
，
设两个圆相交于
两点，则
，
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由于
，
，
所以
是圆
的切线，
是圆
的切线，
同理
是圆
的切线，
是圆
的切线，
，所以四边形
是正方形，
所以区域面积为
.
故选：D
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆
和不过第三象限的直线
，若圆
上恰有三点到直
线的距离均为2，则实数
（ ）
A．
B．1
C．21
D．31
【答案】D
【解析】
的圆心为
，半径为
若圆
上恰有三点到直线的距离均为2，则圆心到直线的距离为
解得
或
，
由于直线
不经过第三象限，则直线与
轴的交点
，
故
，
28
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故选：D
【变式3-2】已知圆
与圆
交于
、
两点，则
（
为圆
的圆心）面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得：
，所以圆心
，半径
，
由两圆相交于
、
两点可知：
，
所以
的面积
，
因为
是半径为的圆，所以
，
当
时，
，
又
，
此时由
，解得
，
，故
可以取最大值
，
所以当
时，
最大，且
是锐角，
根据函数
的单调性可知：当
时，
最大，
在
中由余弦定理可得：
，
29
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所以
，所以
，
故选：C.
1.设有一组圆
，若圆
上恰有两点到原点的距离为1，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】圆
，其圆心为
，半径为
．
因为圆
上恰有两点到原点的距离为1，所以圆
与圆
有两个交点．
因为圆心距为
，所以
，解得
．
故选：B
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数
、
满足条件
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，可得
，
则直线
与圆
有公共点，
30
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所以，
，解得
，
即
的取值范围是
.
故选：B.
【典例4-2】已知点
，
，若圆
上存在点P 满足
，则实数a 的
取值的范围是 ．
【答案】
【解析】设点
，则
，而
，
则
，整理得
，即点
的轨迹是原点为圆心，2 为半径的圆，
因为点
在圆
，即圆
与圆
有公共点，
而圆
的圆心为
，半径为1，
因此
，即
，解得
或
，
所以实数a 的取值的范围是
.
故答案为：
31
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解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆
的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点
是圆
上一点，则
的范围是 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
所以圆心
，半径为1，
表示圆上的点到直线
的距离的2 倍，
因为圆心
到直线
的距离为
，
所以圆上的点到直线
的距离的最小值为1，最大值为3，
所以
的最小值为2，最大值为6，
所以
的范围为
，
故答案为：
.
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆
上运动，则
的最大值为 ，
最小值为 ，
的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C 的圆心为
，半径为3，且P 在圆
上，
则
表示在圆
上点到
距离的平方，
而圆心到
的距离为
，
所以在圆
上点到
距离的最大值为8，最小值为2，
32
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故
的最大值为64，最小值为4；
又
表示在圆
上点到原点的距离，而圆心到原点距离为
，
所以
的范围为
.
故答案为：64，4，
1.已知实数x，y 满足
，则
的最小值为 ．
【答案】1
【解析】联想数量积公式
，
得
，
记
，
，则z 为向量
，
的夹角余弦值的
倍，
且由题意点B 在以
为圆心，1 为半径的圆上，
如图所示，
若
与
的夹角余弦值要取得最小值，
则
与
的夹角需取得最大值，
33
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由图像可知，当
时，
与
的夹角最大，
代入上式可得，此时
．
故答案为：1.
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比
为常数
且
的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知点
是圆
上任一点，点
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，不妨取
，使得
，
则
，
整理得
，
此方程与
相同，
所以有
，解得
，
所以
，
所以
，当且仅当
在线段
上时，取等号.
34
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因为
，所以
在圆内；
，所以
在圆外；
所以线段
与圆
必有交点（记为
），
当
重合时，
，为其最小值，
故选：C.
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已
知在平面直角坐标系
中，
，
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一点，点
为
抛物线
上的动点，
在直线
上的射影为
，则
的最小值为
.
【答案】
【解析】设
，
则
，
化简整理得
，
所以点
的轨迹为以
为圆心
为半径的圆，
抛物线
的焦点
，准线方程为
，
35
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则
，
当且仅当
（
两点在
两点中间）四点共线时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯
圆”．特殊地，当
时，点P 的轨迹是线段AB 的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A，B 的距离之比为常数
（
，
），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知
，M 是平面内一动点，且
，则点M 的轨迹方程为 .若点Р 在圆
上，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】设
，则
，
36
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整理得
（或
）.
设
，则
，
故
.
令
，则
=
.
故答案为：
；
.
【变式5-2】已知实数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
则
，
相当于圆
上的任一点
到点
与
的距离之和，如图，
37
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因为
，当
在线段
与圆的交点
处时，
即为所求，
所以所求最小值为
.
故答案为：
.
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平
面内到两个定点A，B 的距离之比为定值
的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆.已知在平面直角坐标系
中，
，
，点P 是满足
的阿氏圆上的任意一点，
则该阿氏圆的方程为 ；若Q 为抛物线
上的动点，Q 在y 轴上的射影为M，则
的最小值为 .
【答案】
或（
）
【解析】设
，由
得
，
化简得
，
抛物线
的焦点为
，
，
，
，
易知当
四点共线时，
取得最小值为
，
所以
的最小值是
．
38
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故答案为：
；
．
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点
在圆
：
上，点
，
，则下列说法中正
确的是（ ）
A．点
到直线
的距离小于6
B．点
到直线
的距离大于2
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】BCD
【解析】
，
，所以线段
的中点为
，
，所以线段
的垂直平分线
为
，即
，因为圆
：
，圆心
，半径
，
又点
恰在直线
上，所以点
到直线
的距离最小值为
39
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，最大值为
，故A 错
误，B 正确；
由正弦定理可知，当
的外接圆与圆
相内切时，
最小，此时
最大，此时
恰在
与
的一个交点上，由
解得
或
，所以
，所以
，
，所以
且
，当
的外接圆与圆
相外切时，
最大，此时
，故C、D 正确；
故选：BCD
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点
是
的
边上的两个定点，C 是
边上的一个动点，当且仅当
的外接圆与边
相切于点C 时，
40
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最大．在平面直角坐标系中，已知点
，
，点F 是y 轴负半轴的一个动点，当
最大时，
的外接圆的方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当
最大时，
的外接圆与
轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点
，
，
所以圆心在直线
上，
又圆与
轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为
，
，
则
，解得
，
又
，
所以
所以
的外接圆的方程是
，
故选：A．
米勒定理：已知点
，
是
的边
上的两个定点，点
是边
上的一动点，则当且仅当三
角形
的外接圆与边
相切于点
时，
最大．
41
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【变式6-1】已知
为坐标原点，点
，圆
，点
为圆
上的一动点，则
的最小值为 .
【答案】
/
【解析】圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
（如图）.
由图可知，当
与圆
相切，且
位于第一象限时
最小，
此时
，即
，所以
，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式6-2】已知圆C：
，点P 是圆C 上的动点，点
，当
最大时，
所在
直线的方程是 .
【答案】
【解析】设
，则
，在
中，由余弦定理，得
，当且仅当
时，等号成立，此时
最大，且
，
故
，又
，所以
，故
所在直线的方程为
，即
.
42
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故答案为：
.
1.已知
，
，
是圆
上的一个动点，则
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】设
，则
，其中
.
因为
，
，所以
.
由余弦定理得：
，因为
，所以
.
所以
.
记
.
则
所以令
，解得：
，函数递增；令
，解得：
，函数递减；
所以
.
43
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故答案为：
．
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线
上一点
作圆
的两条切线
，当直线
关于直线
对
称时，点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由圆
的圆心为
，
由图知，当直线
关于直线
对称时，
与直线
垂直.
(理由：设直线
切圆
于点
，易得
平分
，
又直线
关于直线
对称，故直线平分
的邻补角，故可得
)
故直线
的方程为
，即
，
由
解得：
，即点
的坐标为
.
故选：B.
【典例7-2】已知
是圆
上一动点，若直线
上存在两点
，使得
44
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能成立，则线段
的长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆
的圆心
，半径
，
由直线
上存在两点
，使得
成立，
得以
为直径的圆与圆
有公共点，当
长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，
圆心
到直线
的距离
，
所以
.
故选：A
利用几何意义转化
【变式7-1】已知
是圆
上一个动点，且直线
与直线
相交于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
45
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【答案】B
【解析】直线的方程可化为
，由
可得
，
所以，直线过定点
，
直线
的方程可化为
，由
可得
，
所以，直线
过定点
，
对于直线、
，因为
，则
，即
，
设线段
的中点为
，设点
，
由直角三角形的几何性质可得
，
即
，化简可得
，
所以，点
的轨迹为圆
，
因为
，所以，圆
与圆
外离，
所以，
，
，
因此，
的取值范围是
.
故选：B.
46
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【变式7-2】过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将圆
化为标准方程为
，
所以圆心为
，半径为1，
根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为
，即
，
则有
，整理可得
，
则
，
设两切线的斜率分别为
、
，
则
、
为关于
的方程
的两根，
由韦达定理可得
，
，
所以
，
所以
，
由题意可知
，所以
，
47
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由
，解得
．
故选：D．
1.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线
与直线
交于点P，则对任意实数a，
的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】由题意知直线
与直线
，满足
，
故两直线垂直，
直线
过定点
，直线
过定点
，
故两直线的交点P 在以AB 为直径的圆上（不含点
），
该圆方程为
，设其圆心为
，半径为3，
则
，当且仅当
共线时，即
位于B 点时，等号成立，
故
的最小值为
，
故选：C
48
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重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
为直线
上的动点，
由
，
则其几何意义为
与
的距离和
与
的距离之和，
设点
，
则点
关于直线
的对称点为点
，
故
，且
，
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【典例8-2】
，
，函数
的最小值为 .
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【答案】
【解析】设点
，
和直线
，
，
到的距离分别为
，
，易知
，
如图，
显然
.
故答案为：
利用几何意义转化
【变式8-1】已知
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由
，得
，
即
，解得
.
50
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，
表示点
与点
的距离之和.
如图，点
关于x 轴的对称点为
，连接
，
则
，
当且仅当
三点共线时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
51
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相当于动点
到
的距离之和，
因为四边形
为矩形，所以
，
所以当
为矩形对角线交点时，
，
此时
最小，最小为
，
故答案为：
.
52
