圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练
考点目录
圆锥曲线中的斜率问题
圆锥曲线中的向量问题
圆锥曲线中的三点共线问题
1．（25-26 高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，且C 过点
2,
2 .
(1)求C 的方程；
(2)直线l ：
1
0
y
k x
k
=
-
>
与C 交于A，B 两点，过C 上的点P （与A，B 不重合且不在坐标轴上）作x 轴的平
行线交线段AB 于点Q （与A，B 不重合），直线OP 的斜率为k¢（O 为坐标原点），
APQ
△
的面积为
1S ，
BPQ
V
的
面积为
2S ，若
2
1
AP S
BP S
×
=
×
，直线AP ，BP 的斜率都存在，分别记为
AP
k
，
BP
k
.
（i）求证：
0
AP
BP
k
k
+
=
；
（ii）判断k k¢
×
是否为定值？并说明理由.
2．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的实轴长为2，右焦点F 到双曲线C 的
渐近线距离为
3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
2,0
E
作直线1l 交双曲线的右支于A，B 两点，连接AO 并延长交双曲线左支于点P（O 为坐标原点），求
PAB
V
的面积的最小值；
(3)设定点
,0
T t
，过点T 的直线2l 交双曲线C 于M，N 两点，M，N 不是双曲线的顶点，若在双曲线C 上存在一点
S，使得直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值，求实数t 的取值范围.
考点一
圆锥曲线中的斜率问题
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3．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的虚轴长为2，一条渐近线方程为
2
0
x
y
+
=
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知,
,
P Q R 是C 上的三个不同点.
①若
,0
P a
，点
,
Q R 在双曲线C 的同一支上，且PQR
V
是等边三角形，求QR ；
②若D （异于原点O ）是PQR
V
外接圆的圆心，直线
,
,
,
PQ QR RP OD 的斜率均存在，并分别记为
1
2
3
4
,
,
,
k k k k ，求
1
2
3
4
k k k k 的值.
4．（25-26 高三上·重庆·开学考试）如图，在椭圆
2
2
2
1
0
8
x
y
a
a +
=
>
中，
1F ，
2F 分别为椭圆的左、右焦点，B、D
分别为椭圆的左、右顶点，A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线
1
AF 交椭圆于另一点C，交y 轴于点E，且点
1F 、
2F 三等分线段BD .
(1)求a 的值；
(2)设
1
AF O
AEO
S
S
l =
△
△
，
1
CF O
CEO
S
S
m =
△
△
，已知
4
l
m
+
=
，求直线AC 的斜率.
5．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 为双曲线E：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶
点，
2, 3
M
，
2, 3
N
-
在双曲线E 上.
(1)求双曲线E 的方程；
(2)过点
3,0
G -
且斜率为
1k 的直线l 与双曲线E 的左支交于A，B 两点，ABD
V
的外接圆的圆心为P，直线OP 的
斜率为
2k ，证明：
1 2
k k 为定值.
6．（2025·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的上顶点为
(0,2)
A
，
线段OA的中垂线交C 于,
B D两点，且|
| 6
BD =
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点E 为椭圆C 上位于直线BD 上方（不与点,
B D重合）的动点，过点B 作直线DE 的平行线交椭圆C 于点F，
点M 为直线EF 与BD 的交点，点N 为直线BE 与OM 的交点.证明：直线OM 与直线DE 的斜率之积为定值；
7．（24-25 高二下·广西南宁·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2 ，点
3, 7
P
在双曲线C
上．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)直线
2
3
y
x
=
+
与双曲线C 交于点
,
M N ，其中点M 在第二象限．
①求MN ；
②已知双曲线C 的左、右顶点分别为
,
A B ，设直线
,
AM BN 的斜率分别为
1
2
,
k k ，求
1 2
k k 的值．
8．（24-25 高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
, 0 ,
, 0
F
c
F
c
-
，点P 为
椭圆E 上动点，
1
2
PF PF
×
uuur uuuur
的值域为
0,1 ．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设椭圆E 的上下顶点分别为,
A B ，直线
2
PF 交椭圆E 于另一点Q ，点P 和点Q 位于y 轴两侧，若
,
,
,
A B P Q 四点
构成的四边形面积为
3 ，求直线PQ的斜率．
1．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
4,0
A -
，离心率为
3
2
，过点
2,0
T
的
直线l 与椭圆C 交于不同的两点
,
M N ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若AMN
V
的面积为48
5 ，且TM
TN
l
=
uuur
uuur
，求实数l 的值．
2．（24-25 高二下·重庆·期末）已知曲线C 到两个定点
1,0
-
和
1,0 的距离和为定值4.
(1)求C 的方程；
(2)过点
10
F
,
的直线l（斜率存在且不为0）与C 交于M，N 两点，N 关于x 轴的对称点为P.已知
4,0
Q
.
（ⅰ）证明：P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）求MQ NQ
×
u
uu ur uu r
u
的取值范围.
考点二
圆锥曲线中的向量问题
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3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设A ，B 分别是直线
2
y
x
=
和
2
y
x
= -
上的动点，且
4
AB =
，动点P 为线段AB 的
中点．
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)已知线段EF 是圆
2
2
:(
2)
1
C
x
y
+
+
= 的一条直径，求PE PF
×
uuur uuur 的最大值．
4．（24-25 高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率是3 5
5
，焦距为6．
(1)求E 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与E 相交于
,
A B 两点，且
25
3
OA OB
×
= -
uuur uuur
（O 为坐标原点），求l 的方程．
5．（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
A
A
-
，离
心率为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)O 为坐标原点，过点
( 2,0)
M -
且斜率不为0 的直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二
象限），直线OQ 交双曲线C 于点R ，求
1
2
A R A P
uuur uuuur
g
．
6．（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
Γ:
1
0
y
x
b
b
-
=
>
的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M
的直线l 交双曲线Γ 于,
P Q 两点.
(1)若离心率
2
e =
，求b 的值.
(2)若
1
2 6 ,
3
b
MA P
=
V
为等腰三角形时，且点P 在第二象限，求点P 的坐标；
(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ 于点R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围.
7．（24-25 高二上·湖北武汉·期末）已知直线:
1
l y
x
= - + 与双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
m
m -
=
>
的右支交于不同的两点
M ，N .
(1)求实数m 的取值范围；
(2)直线l 与y 轴交于点P ，是否存在实数m 使得
1
3
PM
PN
=
uuuur
uuur
成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明
理由.
8．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
椭圆的离心率
1
2
e =
．左顶点为A，下顶
点为B ，C 是线段OB 的中点，其中
3 3
2
ABC
S
=
△
．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)设M 为椭圆E 上一动点，求|
|
MC 的最大值．
(3)过点
3
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的动直线与椭圆E 有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得
0
TP TQ
×
£
uur uuur
恒成立．若存在求出
这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
1．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知动点P 到点
0,1 的距离比它到直线
2
0
y +
=
的距离小1，记动点P 的轨迹为
E ．
(1)求轨迹E 的方程．
(2)直线1l 与2l 分别与轨迹E 交于点
,
A B 和点
,
C D （AB
uuur 与DC
uuur
同向），且1
2
l
l
// ，线段AC 与BD 交于点H ，线段AB 与
CD 的中点分别为
,
M N ．
（ⅰ）求证：
,
,
M H N 三点共线；
（ⅱ）若
1
HM = ，
2
HN =
，求四边形ABCD 的面积．
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点F 与椭圆
2
2
1
4
x
y
+
= 的上顶点重合，点O 为坐标
原点.
(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；
(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于,
P Q 两点，且
8
PQ =
，求直线l 的方程；
(3)设点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线
,
MA MB 分别与抛物线C 相切于点
,
A B ，证明：, ,
A B F 三点共线.
考点三
圆锥曲线中的三点共线问题
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3．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例
如下: 二次函数
2
1
y
x
=
+ 的图象可以由
2
y
x
=
的图象沿向量
0,1
n =
r
平移得到; 抛物线
2
y
x
=
，即
2x
y
=
的焦点坐标
为
1
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
1
4
y = -
; 故二次函数
2
1
y
x
=
+ 的焦点坐标为
5
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
3
4
y =
.
(1)求二次函数
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标和准线方程；
(3)设过
4,1
A
的直线与抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的另一个交点为B ，直线AB 与直线
4
y
x
=
-
交于点P ，过点P 作x 轴
的垂线交抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 于点N . 是否存在定点G ，使得
,
,
B N G 三点共线? 若存在，请求出定点G 的坐标;
若不存在，请说明理由.
4．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，离心率为2，圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点.
(1)求C 的方程；
(2)设A 为C 的左顶点，过F 且斜率存在的直线交C 的右支于
,
M N 两点，直线
,
AM AN 分别交圆O 的另一点于,
P Q .
（i）证明：
,
,
P O Q 三点共线；
（ii）设直线MN 与直线PQ交于D ，证明：点D 在定直线上.
5．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为2 6 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形的面积为6．
(1)求椭圆E 的方程及离心率；
(2)过点
2,0 且斜率为
0
k k ¹
的直线与椭圆E 交于
,
A B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称．在x 轴上是否存在定点
,0
D m
，使
,
,
A C D 三点共线？若存在，求实数m 的值，若不存在，说明理由．
6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
10
F
,
，A 为C 上一点，AF 的最小
值为1.
(1)求C 的方程；
(2)设点
4,0
M
，斜率不为0 的直线AM 与C 交于另一点B.
（i）若弦AB 中点的纵坐标为
36
31
-
，求直线AB 的斜率；
（ii）若D 为C 上一点，且点D 与点A 关于x 轴对称，证明：
,
,
B D F 三点共线.
7．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知圆M：
2
2
1
16
x
y
+
+
=
，动圆D 过定点
1,0
N
且与圆M 内切，圆心D 的
轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)曲线C 上三个不同的动点P，E，F 满足PE 与PF 的倾斜角互补，且P 不与曲线C 的顶点重合，记P 关于x 轴
的对称点为P¢ ，线段EF 的中点为H，O 为坐标原点，证明：P¢ ，H，O 三点共线.
8．（24-25 高二上·江苏淮安·阶段练习）已知曲线C 上任意一点
,
T x y 满足
2
2
2
2
1
1
4
x
y
x
y
-
+
+
+
+
=
.
(1)求曲线C 的方程；
(2)曲线C 上三个不同的动点P ，E ，F 满足PE 与PF 的倾斜角互补，且P 不与曲线C 的顶点重合，过点P 且垂直
于x 轴的直线与曲线C 的另一个交点为Q ，记线段EF 的中点为H ，O 为坐标原点，求证：Q ，H ，O 三点共线.
