圆锥曲线：斜率问题、向量问题、三点共线问题专项训练
考点目录
圆锥曲线中的斜率问题
圆锥曲线中的向量问题
圆锥曲线中的三点共线问题
1．（25-26 高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，且C 过点
2,
2 .
(1)求C 的方程；
(2)直线l ：
1
0
y
k x
k
=
-
>
与C 交于A，B 两点，过C 上的点P （与A，B 不重合且不在坐标轴上）作x 轴的平
行线交线段AB 于点Q （与A，B 不重合），直线OP 的斜率为k¢（O 为坐标原点），
APQ
△
的面积为
1S ，
BPQ
V
的
面积为
2S ，若
2
1
AP S
BP S
×
=
×
，直线AP ，BP 的斜率都存在，分别记为
AP
k
，
BP
k
.
（i）求证：
0
AP
BP
k
k
+
=
；
（ii）判断k k¢
×
是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析（ii）
1
2
k k¢
×
=
，理由见解析
【详解】（1）由题意，得
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
c
e
a
a
b
a
b
c
ì =
=
ï
ï
ï
+
=
í
ï
-
=
ï
ïî
，解得
2
2
2
8,
4,
4
a
b
c
=
=
=
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= .
（2）（i）因为
2
1
×
=
×
AP S
BP S ，
则
1
2
1
sin
sin
2
1
sin
sin
2
×
×
Ð
Ð
=
=
=
Ð
×
×
Ð
AP
PQ
APQ
AP
AP
APQ
S
BP
S
BP
BPQ
BP
PQ
BPQ
，
因此sin
sin
APQ
BPQ
Ð
=
Ð
，
而
0,π
APQ
BPQ
APB
Ð
+ Ð
= Ð
Î
，有
APQ
BPQ
Ð
= Ð
，即PQ平分
APB
Ð
，
故直线
,
AP BP 的斜率
,
AP
BP
k
k
互为相反数，则
0
AP
BP
k
k
+
=
.
考点一
圆锥曲线中的斜率问题
（ii）设
0
0
,
P x
y
，
由
2
2
1
8
4
1
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
2
2
2
1
4
2
8
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
因
4
2
2
2
Δ
16
4 2
1
2
8
56
32
0
k
k
k
k
=
-
+
-
=
+
>
，设
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
则有
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
1
2
8
2
1
k
x
x
k
k
x
x
k
ì
+
=
ïï
+
í
-
ï
×
=
ï
+
î
，而
1
0
2
0
1
0
2
0
0
AP
BP
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
-
-
+
=
+
=
-
-
，
化简得
1
0
2
0
2
0
1
0
0
y
y
x
x
y
y
x
x
-
-
+
-
-
=
，
即
1
0
2
0
2
0
1
0
1
1
k x
y
x
x
k x
y
x
x
é
ù
é
ù
-
-
-
+
-
-
-
ë
û
ë
û
1
2
0
0
1
2
0
0
2
2
0
kx x
y
kx
k
x
x
x
y
k
=
-
+
+
+
+
+
=
，
于是
2
2
0
0
0
0
2
2
2
8
4
2
2
0
2
1
2
1
k
k
k
y
kx
k
x
y
k
k
k
-
×
-
+
+
×
+
+
=
+
+
，
故
2
2
2
0
0
0
0
2
2
8
4
2
2
1
0
k
k
k
y
kx
k
x
y
k
k
-
-
+
+
+
+
+
=
，
化简得
2
0
0
0
0
0
2
1
8
0
y
x
k
x
k
x y
-
+
-
+
=
，
又因
0
0
,
P x
y
在椭圆上，则
2
2
0
0
1
8
4
x
y
+
= ，即
2
2
0
0
2
8,
x
y
+
=
则
2
2
0
0
0
0
8
2
x
x
x
y
-
=
-
-
，
从而
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
0
y
x
k
x
x
y
k
x y
-
+
-
-
+
=
，
整理得
0
0
0
0
2
1
0
y k
x
x
k
y
é
ù
-
-
-
=
ë
û
，
又因
0
0
,
P x
y
不在直线
:
1
l y
k x
=
-
上，即
0
0
1
0
x
k
y
-
-
¹
，
则得
0
0
2
0
y k
x
-
=
，即
0
0
2
x
k
y
=
，因
0
0
y
k
x
¢ =
，
于是
0
0
0
0
1
2
2
x
y
k k
y
x
×
=
×
=
¢
，故k k
× ¢ 为定值1
2 ．
2．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的实轴长为2，右焦点F 到双曲线C 的
渐近线距离为
3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
2,0
E
作直线1l 交双曲线的右支于A，B 两点，连接AO 并延长交双曲线左支于点P（O 为坐标原点），求
PAB
V
的面积的最小值；
(3)设定点
,0
T t
，过点T 的直线2l 交双曲线C 于M，N 两点，M，N 不是双曲线的顶点，若在双曲线C 上存在一点
S，使得直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)12
(3)
1,0
0,1
-
Ç
【详解】（1）因为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的实轴长为2，故
1
a = ，
而双曲线的渐近线为
0
bx
ay
±
=
，
故右焦点
,0
F c
到渐近线的距离为
2
2
3
bc
b
a
b
=
=
+
，
故双曲线的方程为：
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）
显然直线l 与y 轴不垂直，设：
2
x
my
=
+
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
由双曲线的对称性知AP 的中点为O ，故
2
PAB
OAB
S
S
=
△
△
，
联立
2
2
2
1
3
x
my
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
Þ
-
+
+
=
故
2
Δ
36
1
0
m
=
+
>
，
1
2
2
1
2
2
12
3
1
9
3
1
m
y
y
m
y
y
m
-
ì
+
=
ïï
-
í
ï
×
=
ï
-
î
，
由于A，B 均在双曲线右支，故
1
2
2
9
0
3
1
y
y
m
×
=
<
-
，故
2
1
0
3
m
£
<
，
而
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
2
PAB
OAB
S
S
OE
y
y
y
y
y y
=
=
´
´
´
-
=
+
-
V
V
，
代入韦达定理得
2
2
2
12
1
1
0
1 3
3
PAB
m
S
m
m
+ æ
ö
=
£
<
ç
÷
-
è
ø
V
，
令
2
2 3
1
1
3
m
t
t
æ
ö
+ =
£ <
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
12
12
2 3
1
4
4
3
3
3
PAB
t
S
t
t
t
t
æ
ö
=
=
£ <
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
-
V
，
易知
4
3
y
t
t
=
-
在
2 3
1,
3
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
上为减函数，则当
1
t = 时，
min
12
PAB
S
=
V
，
综上：PAB
V
的面积的最小值为12.
（3）不妨设
0
0
,
S x
y
，
3
3
,
M x
y
，
4
4
,
N x
y
，
若直线2l 的斜率为0 ，则直线2l 与双曲线C 的交点为双曲线C 的顶点
1,0 , 1,0
-
，与条件矛盾，
所以可设直线2l 的方程为x
y
t
l
=
+ ，且
1
t ¹ ± ，
联立
2
2
1
3
x
y
t
y
x
l
=
+
ìïí
-
=
ïî
，消x 可得
2
2
2
3
1
6
3
3
0
y
ty
t
l
l
-
+
+
-
=
，
方程
2
2
2
3
1
6
3
3
0
y
ty
t
l
l
-
+
+
-
=
的判别式
2 2
2
2
2
2
Δ
36
4 3
1 3
3
36
12
12
0
t
t
t
l
l
l
=
-
-
-
=
+
-
>
，
所以
2
2
3
1
0
t
l +
- >
，
所以
3
4
2
6
3
1
t
y
y
l
l
+
= -
- ，
2
3
4
2
3
3
3
1
t
y y
l
-
=
-
，
所以
3
4
3
4
3
4
2
2
2
3
1
t
x
x
y
t
y
t
y
y
t
l
l
l
l
-
+
=
+ +
+ =
+
+
=
- ，
2
2
2
2
3
4
3
4
3
4
3
4
2
3
3
1
t
x x
y
t
y
t
y y
t y
y
t
l
l
l
l
l
l
-
-
=
+
+
=
+
+
+
=
-
，
3
4
4
3
3
4
4
3
3
4
3
4
2
6
2
3
1
x y
x y
y
t y
y
t y
y y
t y
y
l
l
l
l
l
-
+
=
+
+
+
=
+
+
=
- ，
3
0
4
0
4
0
3
0
3
0
4
0
3
0
4
0
3
0
4
0
SM
SN
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
+
-
-
-
-
+
=
+
=
-
-
-
-
4
3
3
4
3
4
0
3
4
0
0
0
2
3
4
3
4
0
0
2
SM
SN
x y
x y
x
x
y
y
y
x
x y
k
k
x x
x
x
x
x
+
-
+
-
+
+
+
=
-
+
+
，
所以
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
6
2
6
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
SM
SN
t
t
y
x
x y
k
k
t
t
x
x
l
l
l
l
l
l
l
l
-
+
+
+
-
-
-
+
=
-
-
+
+
-
-
所以
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
6
2
6
3
1 2
3
2
3
1
SM
SN
ty
tx
x y
k
k
t
tx
x
l
l
l
l
l
-
+
+
+
-
+
=
-
-
+
+
-
所以
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
6
6
1
2
2
3
3
2
SM
SN
x y
tx
ty
x y
k
k
x
tx
t
x
l
l
l
+
-
+
-
+
=
-
+
-
-
，
因为直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值，
所以
0
1
0
tx - =
，故
0
1
x
t
=
，
故
2
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
6
2
2
3
3
2
SM
SN
x y
ty
x y
k
k
x
tx
t
x
l
l
+
-
+
=
-
+
-
-
为定值，
所以
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
6
2
2
2
3
3
2
y
t
x
x y
ty
x y
y
x
tx
t
x
t
x
t
x
-
-
=
=
=
-
-
+
+
-
-
，
因为
0
1
x ³ 或
0
1
x £ - ，
0
1
x
t
=
，
1
t ¹ ± ，
所以0
1
t
< < 或1
0
t
- < <
，存在双曲线上的点
0
0
,
S x
y
满足
0
1
x
t
=
，
使得直线SM 的斜率与直线SN 的斜率之和为定值，定值为
0
0
2y
t
x
-
，
所以t 的范围为
1,0
0,1
-
Ç
.
3．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的虚轴长为2，一条渐近线方程为
2
0
x
y
+
=
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知,
,
P Q R 是C 上的三个不同点.
①若
,0
P a
，点
,
Q R 在双曲线C 的同一支上，且PQR
V
是等边三角形，求QR ；
②若D （异于原点O ）是PQR
V
外接圆的圆心，直线
,
,
,
PQ QR RP OD 的斜率均存在，并分别记为
1
2
3
4
,
,
,
k k k k ，求
1
2
3
4
k k k k 的值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
=
(2)①8 3 ；②
1
4
-
【详解】（1）由题意
1
b = ，且
1
2
b
a =
，所以
2
a =
，
故曲线C 的方程为
2
2
:
1
4
x
y
-
= .
（2）如图，
①若
2,0
P
，设
2
2
3
3
,
,
,
Q x
y
R x
y
，
因为PQ
PR
=
，所以
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
x
y
x
y
-
+
=
-
+
.
因为
,
Q R 在双曲线C 上，所以
2
2
2
2
3
2
2
3
1,
1
4
4
x
x
y
y
-
=
-
= .
以上三个方程联立，解得
2
3
x
x
=
或
2
3
16
5
x
x
+
=
.
当
2
3
x
x
=
时，则
2
3
y
y
= -
，由PQ
QR
=
，得
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
y
-
+
=
，
再由
2
2
2
2
1
4
x
y
-
= ，可解得
2
2
14,
4 3
x
y
=
=
.
此时
2
2
4
8 3
QR
y
=
=
.
当
2
3
16
5
x
x
+
=
时，因为
,
Q R 在同一支上，则
2
3
16
4
5
x
x
+
=
<
不满足条件，舍，
所以
8 3
QR =
.
②根据条件
1
2
3
4
,
,
,
k k k k 均存在知
1
2
3
4
,
,
,
k k k k 均不为零，
设点
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
P x y
Q x
y
R x
y
，三角形外心
0
0
,
D x
y
，
则有
2
2
2
2
2
2
3
1
2
1
2
3
1,
1,
1
4
4
4
x
x
x
y
y
y
-
=
-
=
-
= ，
两两相减可得：
2
3
2
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
2
3
2
3
1
3
1
3
,
,
4
4
4
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
k
k
k
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
-
+
-
+
-
+
=
=
=
=
=
=
-
+
-
+
-
+
，
则PQ的中垂线为
1
2
1
2
1
1
2
2
y
y
x
x
y
x
k
+
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，
将
1k 代入则：
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
2
y
y
y
y
x
x
y
x
x
x
+
+
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
+
è
ø ，整理得
1
2
1
2
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
，
又D 点在直线上，所以有
0
0
1
2
1
2
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
①
同理有QR 的中垂线为
2
3
2
3
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
，
又D 点在直线上，所以有
0
0
2
3
2
3
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
②
由①- ②得，
0
0
0
0
1
2
2
3
2
3
1
2
4
4
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
-
=
-
+
+
+
+
，
整理得：
0
2
3
3
1
1
2
0
1
2
2
3
3
1
4
y
y
y
x
x
y
y
x
x
x
x
x
y
y
+
-
+
= -
×
×
+
+
-
，即
4
1
2
3
1
1
1
4
4
4
k
k
k
k
= -
×
×
，
则有
1
2
3
4
1
4
k k k k = -
.
4．（25-26 高三上·重庆·开学考试）如图，在椭圆
2
2
2
1
0
8
x
y
a
a +
=
>
中，
1F ，
2F 分别为椭圆的左、右焦点，B、D
分别为椭圆的左、右顶点，A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线
1
AF 交椭圆于另一点C，交y 轴于点E，且点
1F 、
2F 三等分线段BD .
(1)求a 的值；
(2)设
1
AF O
AEO
S
S
l =
△
△
，
1
CF O
CEO
S
S
m =
△
△
，已知
4
l
m
+
=
，求直线AC 的斜率.
【答案】(1)3；
(2)2.
【详解】（1）设
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
-
，而
(
,0),
( ,0)
B
a
D a
-
，由点
1F 、
2F 三等分线段BD ，得
1
2
1
|
|
|
|
3
F F
BD
=
，
则
1
2
2
3
c
a
=
×
，即
3
a
c
=
，由椭圆
2
2
2
1
8
x
y
a +
= ，得
2
2
8
a
c
-
=
，解得
1,
3
c
a
=
=
，
所以
3
a =
.
（2）由（1）知，椭圆
2
2
1
9
8
x
y
+
= 左焦点
1( 1,0)
F -
，设直线AC 的方程为
(
1),
0
y
k x
k
=
+
>
，
由
2
2
(
1)
8
9
72
y
k x
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
消去y 得
2
2
2
2
(9
8)
18
9
72
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
设
1
1
2
2
1
2
,
,
,
,
0
A x y
C x
y
x
x
>
>
，则
2
2
1
2
1
2
2
2
18
9
72
,
9
8
9
8
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
，
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
,
1
AF O
A O
EF O
CF O
CEO
EF O
AEO
AEO
CEO
E
CEO
S
S
S
S
S
S
x
S
S
x
S
S
x
x
l
m
-
-
=
=
= +
-
=
=
=
= +
+
-
△
△
△
△
△
△
△
△
△
△
，
由
4
l
m
+
=
，得
1
2
1
2
2
x
x
x x
+
=
，则
2
2
18
2
9
72
k
k
-
=
-
，解得
2
4
k =
，而
0
k >
，所以
2
k =
.
5．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 为双曲线E：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的右顶
点，
2, 3
M
，
2, 3
N
-
在双曲线E 上.
(1)求双曲线E 的方程；
(2)过点
3,0
G -
且斜率为
1k 的直线l 与双曲线E 的左支交于A，B 两点，ABD
V
的外接圆的圆心为P，直线OP 的
斜率为
2k ，证明：
1 2
k k 为定值.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
2, 3
M
，
2, 3
N
-
在双曲线E 上，
所以
2
2
2
2
2
3
1
4
9
1
a
b
a
b
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，故
2
2
1
3
a
b
=
=
，
，所以E 的标准方程为
2
2
1
3
y
x -
= ．
（2）如图：
设直线l：
1
3
y
k
x
=
+
，由
1
2
2
3
1
3
y
k
x
y
x
ì
=
+
ïí
-
=
ïî
，
得
2
2
2
2
1
1
1
3
6
9
3
0
k
x
k x
k
-
-
-
-
=
，①
所以
0
D >
，因为直线l 与双曲线E 的左支交于A，B 两点，
所以
2
1
3
0
k
-
¹
，且
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
6
9
3
0
0
3
3
k
k
x
x
x x
k
k
+
+
=
<
= -
>
-
-
，
，故
2
1
3
k >
，
设圆P：
2
2
2
x
s
y
t
r
-
+
-
=
，
0
r >
，由
1
2
2
2
(
3)
y
k x
x
s
y
t
r
=
+
ìïí
-
+
-
=
ïî
，
得
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
6
2
2
3
0
k
x
k
k t
s x
s
k
t
r
+
+
-
-
+
+
-
-
=
，②
由双曲线的右顶点D 在圆上得
2
2
2
1
s
t
r
-
+
=
，
由①②得
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
3
1
6
2
2
3
6
9
3
s
k
t
r
k
k
k t
s
k
k
k
+
-
-
+
-
-
=
=
-
-
-
-
.
由
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
6
2
2
3
6
k
k
k t
s
k
k
+
-
-
=
-
-
，可得
2
2
2
1
1
1
1
12
3
3
0
k t
k s
k
k t
s
+
+
-
-
=
③
由
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
3
6
2
2
6
9
3
s
k
t
r
k
k t
s
k
k
+
-
-
-
-
=
-
-
-
，可得
2
2
2
1
1
1
1
3
5
4
0
k t
k s
k
k t
s
-
+
-
-
=
④
所以3´④- ③可得
1
2
k t
s
=
，即
1
2
1
2
t
k k
k
s
=
×
=
．
6．（2025·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的上顶点为
(0,2)
A
，
线段OA的中垂线交C 于,
B D两点，且|
| 6
BD =
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点E 为椭圆C 上位于直线BD 上方（不与点,
B D重合）的动点，过点B 作直线DE 的平行线交椭圆C 于点F，
点M 为直线EF 与BD 的交点，点N 为直线BE 与OM 的交点.证明：直线OM 与直线DE 的斜率之积为定值；
【答案】(1)
2
2
1
12
4
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，由椭圆C 的上顶点为
(0,2)
A
，得
2
b =
，
线段OA的中垂线方程为
1
y = ，由
6
BD =
，则
( 3,1),
(3,1)
B
D
-
，
2
9
1
1
4
a +
= ，解得
所以椭圆
2
2
:
1
12
4
x
y
C
+
= .
（2）
由
/ /
ED
FB ，且点E 位于直线BD 上方，得直线ED 与直线FB 的斜率k 相等，且
0
k <
，
设直线
:
(
3) 1
ED y
k x
=
-
+ ，代入椭圆
2
2
:
1
12
4
x
y
C
+
= ，
整理得
2
2
2
(1 3
)
6
1 3
27
18
9
0
k
x
k
k x
k
k
+
+
-
+
-
-
=
，
2
2
2
2
Δ
[6 (1 3 )]
4(1 3
)(27
18
9)
36(
1)
0
k
k
k
k
k
k
=
-
-
+
-
-
=
+
>
，
当
1
k = - 时，直线DE 与椭圆C 相切，则1
0
k
- <
<
，
设
(
,
)
E
E
E x
y
，
2
2
9
6
3
1 3
E
k
k
x
k
-
-
=
+
，
2
2
3
6
1
1 3
E
k
k
y
k
-
-
+
=
+
，
设
(
,
)
F
F
F x
y
，同理得
2
2
9
6
3
1 3
F
k
k
x
k
-
-
+
=
+
，
2
2
3
6
1
1 3
F
k
k
y
k
-
+
+
=
+
，
由M 为直线EF 与BD 的交点，则设
(
,1)
M
M x
，
当直线EF 的斜率不存在时，
2
2
2
2
9
6
3
9
6
3
1 3
1 3
M
k
k
k
k
x
k
k
-
-
-
-
+
=
=
+
+
，
整理可得
2
18
6
k =
，解得
3
3
k = -
，则
3
M
x
=
，
直线OM 的斜率
3
3
OM
k
=
，所以
1
3
OM
k
k
×
= -
；
当直线EF 的斜率存在时，
2
2
2
2
2
2
2
2
3
6
1
3
6
1
1
1
1 3
1 3
9
6
3
9
6
3
1 3
1 3
M
M
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
k
k
-
-
+
-
+
+
-
-
+
+
=
-
-
-
-
+
-
-
+
+
，解得
3
M
x
k
= -
，
直线OM 的斜率
1
OM
M
k
x
=
，则
1
3
OM
k
k
×
= -
；
所以直线OM 与直线DE 的斜率之积为定值，即为
1
3
-
.
7．（24-25 高二下·广西南宁·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2 ，点
3, 7
P
在双曲线C
上．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)直线
2
3
y
x
=
+
与双曲线C 交于点
,
M N ，其中点M 在第二象限．
①求MN ；
②已知双曲线C 的左、右顶点分别为
,
A B ，设直线
,
AM BN 的斜率分别为
1
2
,
k k ，求
1 2
k k 的值．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
-
=
(2)①2 15
3
；②
5
2 6
-
+
【详解】（1）因为点
3, 7
P
在双曲线C 上，所以
2
2
9
7
1
a
b
-
= ．
离心率为
2
2
2
2,
c
c
a
b
a =
=
+
，解得
2,
2
a
b
=
=
．
故双曲线C 的标准方程为
2
2
1
2
2
x
y
-
= ．
（2）①设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
．
联立
2
2
1,
2
2
2
3,
x
y
y
x
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
得
2
3
12
11
0
x
x
+
+
=
，则
1
2
1
2
11
4,
3
x
x
x x
+
= -
=
．
故
2
2
1
2
1
2
2 15
1
4
3
MN
k
x
x
x x
=
+
×
+
-
=
．
②
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
4
6
9
3
y y
x
x
x x
x
x
=
+
+
=
+
+
+
= -
．
由题意得点
,
M N 都在双曲线C 的左支上，且点M 在第二象限，所以
2
1
x
x
<
，
则
2
2
1
1
2
1
2
2 3
4
3
x
x
x
x
x x
-
= -
+
-
= -
．
故
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
3
5
2 6
2
2
2
2
11
2 3
2
2
3
3
y
y
y y
k k
x
x
x x
x
x
-
=
×
=
=
= -
+
æ
ö
+
-
+
-
-
+
´ -
-
ç
÷
è
ø
．
8．（24-25 高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
, 0 ,
, 0
F
c
F
c
-
，点P 为
椭圆E 上动点，
1
2
PF PF
×
uuur uuuur
的值域为
0,1 ．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设椭圆E 的上下顶点分别为,
A B ，直线
2
PF 交椭圆E 于另一点Q ，点P 和点Q 位于y 轴两侧，若
,
,
,
A B P Q 四点
构成的四边形面积为
3 ，求直线PQ的斜率．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
= ；
(2)
2
2
±
.
【详解】（1）设
0
0
,
P x
y
，则
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，故
2
2
2
2
2
2
0
0
0
2
,
0,
b
y
b
x
x
a
a
é
ù
=
-
Îë
û ，
又
2
2
2
1
2
0
0
0
0
0
0
,
,
PF PF
x
c
y
x
c
y
x
y
c
×
= -
-
-
× -
+
-
=
+
-
uuur uuuur
，
故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
0
0
2
2
,
b
c
PF PF
x
x
b
c
x
b
c
b
c b
a
a
é
ù
×
=
-
+
-
=
+
-
Î
-
ë
û
uuur uuuur
，
由题可得，
2
2
2
0
1
b
c
b
ì
-
=
í
=
î
，故
2
2
2
1
2
b
c
a
=
= Þ
=
，
故椭圆E 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ；
（2）若直线PQ的斜率为0，则
2 2
S =
，不满足条件，
斜率不为0 时，设直线PQ为
1
1
2
2
1,
,
,
,
,
0
x
my
P x y
Q x
y
m
=
+
¹
，直线PQ的斜率为1
m ，
联立
2
2
1
1
2
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去x 整理得
2
2
2
2
1
0
m
y
my
+
+
- =
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
1
Δ
8
1
0,
,
2
2
m
m
y
y
y y
m
m
=
+
>
+
= -
= -
+
+
，
根据点P 和点Q 所在位置，如图：
如图
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
1
1
0
x x
my
my
m y y
m y
y
<
Þ
+
+
=
+
+
+ <
，可得
2
1
m > ，
又四边形的面积为
2
1
2
1
2
2
8
1
1
1
2
2
2
2
ABP
ABQ
m
m
S
S
S
AB x
x
m y
y
m
+
=
+
=
×
-
=
´ ´
-
=
+
V
V
2
2
2
2
8
1
2
m
m
m
+
=
+
，
又
3
S =
，即
2
2
4
2
2
2
2
2
8
1
3
5
4
12
0
5
6
2
0
2
m
m
m
m
m
m
m
+
=
Û
-
-
=
Û
+
-
=
+
，
故
2
2
2
m
m
=
Û
= ±
，所以直线PQ的斜率为1
2
2
m = ±
.
1．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
4,0
A -
，离心率为
3
2
，过点
2,0
T
的
直线l 与椭圆C 交于不同的两点
,
M N ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若AMN
V
的面积为48
5 ，且TM
TN
l
=
uuur
uuur
，求实数l 的值．
【答案】(1)
2
2
1
16
4
x
y
+
= ；
(2)
3
5
l = -
或
5
3
-
【详解】（1）由题意得
2
2
2
4
3
2
a
c
e
a
a
b
c
=
ì
ïï =
=
í
ï
ï
+
=
î
，解得
4
2 3
2
a
c
b
=
ì
ï =
í
ï
=
î
，椭圆C：
2
2
1
16
4
x
y
+
= ；
（2）由题知直线MN 的斜率不为0，故设直线:
2
l x
ty
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
由
2
2
2
1
16
4
x
ty
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
可得
2
2
4
4
12
0
t
y
ty
+
+
-
=
，故
2
Δ
64
3
0
t
=
+
>
，
且
1
2
2
4
4
t
y
y
t
+
= -
+
，
1
2
2
12
4
y y
t
-
=
+
，
故
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
24
3
48
6
4
2
2
4
5
AMN
t
S
AT
y
y
y
y
y y
t
+
=
×
-
=
´
+
-
=
=
+
V
，
解得
2
1
t = ，所以
1
t = ± ，
若
1
t = ，则
1
2
4
5
y
y
+
= -
，
1
2
12
5
y y = -
，解得
1
2
2
6
5
y
y
= -
ìïí
=
ïî
或
1
2
6
5
2
y
y
ì
=
ïí
ï
= -
î
，
因为TM
TN
l
=
uuur
uuur
，所以
1
2
y
y
l
=
，
若
1
2
2
6
5
y
y
= -
ìïí
=
ïî
，则
1
2
5
3
y
y
l =
= -
，若
1
2
6
5
2
y
y
ì
=
ïí
ï
= -
î
，则
1
2
3
5
y
y
l =
= -
，
若
1
t = - ，同理可得
3
5
l = -
或
5
3
l = -
，
考点二
圆锥曲线中的向量问题
综上，
3
5
l = -
或
5
3
l = -
.
2．（24-25 高二下·重庆·期末）已知曲线C 到两个定点
1,0
-
和
1,0 的距离和为定值4.
(1)求C 的方程；
(2)过点
10
F
,
的直线l（斜率存在且不为0）与C 交于M，N 两点，N 关于x 轴的对称点为P.已知
4,0
Q
.
（ⅰ）证明：P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）求MQ NQ
×
u
uu ur uu r
u
的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）27 ,12
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因为4
2
>
，由椭圆定义可知，曲线C 为以
1,0
-
和
1,0 为两焦点的椭圆，
其中2
4,
1
a
c
=
= ，解得
2
4
a =
，
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，故C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）（ⅰ）依题意可设直线l 的方程为
1
0
x
my
m
=
+
¹
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x y
，
2
2
,
P x
y
-
.
联立
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
，
由韦达定理得
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
9
3
4
y y
m
= -
+
，
则直线PM 的方程为
1
2
1
1
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
=
-
-
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
y
y
x y
x y
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
+
+
=
-
+
=
-
+
×
=
-
ç
÷
ç
÷
-
-
+
-
+
è
ø
è
ø
，
其中
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
my
y
my
y
x y
x y
my y
y
y
y
y
y
y
y
y
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
2
2
2
18
6
3
4
3
4
4
6
3
4
m
m
m
m
m
m
-
-
+
+
+
=
=
-
+
，
则直线PM 的方程为
1
2
1
2
4
y
y
y
x
x
x
+
=
-
-
，
故直线PM 过定点
4,0 ，即P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）
1
1
2
2
4
,
,
4
,
MQ
x y
NQ
x
y
=
-
=
-
uuuur
uuur
，
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
3
3
MQ NQ
x
x
y y
my
my
y y
×
=
-
-
+
=
-
-
+
uuuur uuur
2
1
2
1
2
1
3
9
m
y y
m y
y
=
+
-
+
+
2
2
2
2
2
9
18
21
1
9
12
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
-
=
+
+
+
=
-
+
+
+
，
因为
2
0,
m
¥
Î
+
，所以
2
21
21
0,
3
4
4
m
æ
ö
Îç
÷
+
è
ø ，
2
21
27
12
,12
3
4
4
m
æ
ö
-
Îç
÷
+
è
ø，
所以MQ NQ
×
u
uu ur uu r
u
的取值范围为27 ,12
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设A ，B 分别是直线
2
y
x
=
和
2
y
x
= -
上的动点，且
4
AB =
，动点P 为线段AB 的
中点．
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)已知线段EF 是圆
2
2
:(
2)
1
C
x
y
+
+
= 的一条直径，求PE PF
×
uuur uuur 的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
16
y
x +
=
(2) 289
15 ．
【详解】（1）
A
Q
，B 分别是直线
2
y
x
=
和
2
y
x
= -
上的动点，
\设
1
1
,2
A x
x
，
2
2
, 2
B x
x
-
，
,
P x y ，
Q点P 为线段AB 的中点，则
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
y
+
ì =
ïïí
-
ï
=
ïî
，
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
y
+
=
ì
\í
-
=
î
，
又Q
2
2
1
2
1
2
2
2
4
AB
x
x
x
x
=
-
+
+
=
，
2
2
16
16
x
y
\
+
=
，即
2
2
1
16
y
x +
= ，
\动点P 的轨迹方程为
2
2
1
16
y
x +
= .
（2）Q线段EF 是圆
2
2
:(
2)
1
C
x
y
+
+
= 的一条直径，\圆心为
2,0
C -
，半径为1，
2
2
PE PF
PC
CE
PC
PC
CE
PC
CE
PC
C
C
E
F
×
=
+
×
=
+
\
×
-
+
=
-
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
\
2
2
2
2
2
289
(
2)
1
15
4
19
15
15
15
PE PF
x
y
x
x
x
æ
ö
×
=
+
+
- = -
+
+
= -
-
+
ç
÷
è
ø
uuur uuur
，
1
1
x
- £
£
Q
，\当
2
15
x =
时，PE PF
×
uuur uuur 取得最大值289
15 ．
4．（24-25 高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率是3 5
5
，焦距为6．
(1)求E 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与E 相交于
,
A B 两点，且
25
3
OA OB
×
= -
uuur uuur
（O 为坐标原点），求l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
5
4
x
y
-
= ．
(2)
5
1
5
y
x
=
+ 或
5
1
5
y
x
= -
+ ．
【详解】（1）因为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率是3 5
5
，焦距为6，
所以
3 5
5
c
a =
，2
6
c =
，其中
2
2
c
a
b
=
+
，解得
5
a =
，
3
c = ，所以
2
2
2
b
c
a
=
-
=
．
因此，E 的方程为
2
2
1
5
4
x
y
-
= ．
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立方程
2
2
1,
1,
5
4
y
kx
x
y
=
+
ìïí
-
=
ïî
消去y ，得
2
2
4
5
10
25
0
k
x
kx
-
-
-
=
，
因为直线:
1
l y
kx
=
+ 与E 相交于
,
A B 两点，
所以
2
2
4
5
0,
Δ
400 1
0,
k
k
ì
-
¹
ïí
=
-
>
ïî
即
2
1
k < 且
2
4
5
k ¹
，
由韦达定理，得
1
2
2
10
4
5
k
x
x
k
+
=
-
，
1
2
2
25
4
5
x x
k
-
=
-
，
又
1
1
1
1
,
,
1
OA
x y
x kx
=
=
+
uuur
，
2
2
2
2
,
,
1
OB
x
y
x kx
=
=
+
uuur
，
所以
1
1
2
2
25
,
1
,
1
3
OA OB
x kx
x kx
×
=
+
×
+
= -
uuur uuur
，
即
1
2
1
2
25
1
1
3
x x
kx
kx
+
+
+
= -
，所以
2
1
2
1
2
28
1
0
3
k
x x
k x
x
+
+
+
+
=
，
将韦达定理代入上式，得
2
2
2
25
10
28
1
0
4
5
4
5
3
k
k
k
k
k
-
+
×
+
×
+
=
-
-
，即
2
1
5
k =
，
解得
5
5
k = ±
，满足
2
1
k < 且
2
4
5
k ¹
，
因此，l 的方程为
5
1
5
y
x
=
+ 或
5
1
5
y
x
= -
+ ．
5．（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
A
A
-
，离
心率为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)O 为坐标原点，过点
( 2,0)
M -
且斜率不为0 的直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二
象限），直线OQ 交双曲线C 于点R ，求
1
2
A R A P
uuur uuuur
g
．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)0
【详解】（1）由双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点
分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
A
A
-
可知
1
a = ，
又由离心率为2，即
2
1
c
c
e
a
=
=
=
，可得
2
c =
，
又在双曲线中
2
2
2
c
a
b
=
+
，可得
2
3
b =
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）
因为直线l 过点
( 2,0)
M -
且斜率不为0，
且直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二象限），
所以设直线l 的方程为
3
2
3
x
my
m
æ
ö
=
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
（其中m 为直线l 斜率的倒数），
（由双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= 可知其渐近线方程为
3
y
x
= ±
，
所以直线l 的斜率
1
0
3
m
<
<
，解得
3
3
m >
）.
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，因为直线OQ 交双曲线C 于点R ，所以
2
2
,
R
x
y
-
-
，
所以
1
2
2
1,
A R
x
y
= -
+
-
uuur
，
2
1
1
1,
A P
x
y
=
-
uuuur
，
联立
2
2
2
1
3
x
my
y
x
=
-
ìïí
-
=
ïî
，可得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
-
+
=
，
所以由韦达定理可得
1
2
1
2
2
2
12
9
,
3
1
3
1
m
y
y
y y
m
m
+
=
=
-
- ，
所以
1
2
2
1
1
2
·
1
1
A R A P
x
x
y y
= -
+
-
-
uuur uuuur
2
1
1
2
2 1
2 1
my
my
y y
= -
+
+
-
-
-
2
1
2
1
2
1
3
9
m
y y
m y
y
= -
+
+
+
-
2
2
2
9
12
1
3
9
0
3
1
3
1
m
m
m
m
m
æ
ö
= -
+
+
-
=
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以
1
2
0
A R A P =
uuur uuuur
g
.
6．（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
Γ:
1
0
y
x
b
b
-
=
>
的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M
的直线l 交双曲线Γ 于,
P Q 两点.
(1)若离心率
2
e =
，求b 的值.
(2)若
1
2 6 ,
3
b
MA P
=
V
为等腰三角形时，且点P 在第二象限，求点P 的坐标；
(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ 于点R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围.
【答案】(1)
3
(2)
2,2 2
P -
(3)
3
3
6
0,
,
3
3
3
b
æ
ö
æ
ù
Î
È
ç
÷
ç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
【详解】（1）由题意得
2
1
c
c
e
a
=
=
=
，则
2
c =
；
因此
2
2
1
3
b =
- =
.
（2）当
2 6
3
b =
时，双曲线
2
2
Γ :
1
8
3
y
x -
= ，其中
1
2,0 ,
1,0
M
A -
，
如下图所示：
因为
1
MA P
V
为等腰三角形，则
当以
1
MA 为底时，显然点P 在直线
1
2
x =
上，这与点P 在第二象限矛盾，故舍去；
当以
1A P 为底时，
1
3
MP
MA
=
=
，
设
,
P x y ，则点P 的轨迹是以
2,0
M
为圆心，半径为3 的圆，
其方程为
2
2
2
9
x
y
-
+
=
；
联立
2
2
2
2
3
1
8
2
9
y
x
x
y
ì
-
=
ïí
ï
-
+
=
î
，解得
23
11
8 17
11
x
y
ì =
ïïí
ï
=
ïî
或
23
11
8 17
11
x
y
ì =
ïïí
ï
= -
ïî
或
1
0
x
y
= -
ì
í
=
î
；
因为点P 在第二象限，显然不合题意，舍去；
当以MP 为底时，
1
1
3
A P
MA
=
=
，
设
0
0
,
P x
y
，其中
0
0
0,
0
x
y
<
>
，则点P 的轨迹是以
1
1,0
A -
为圆心，半径为3 的圆，
其方程为
2
2
0
0
1
9
x
y
+
+
=
；
则有
2
2
0
0
2
2
0
0
3
1
8
1
9
y
x
x
y
ì
-
=
ïí
ï
+
+
=
î
解得
2,2 2
P -
.
综上所述：点P 的坐标为
2,2 2
P -
.
（3）由题知
1
2
1,0 ,
1,0
A
A
-
，
当直线l 的斜率为0 时，此时
1
2
0
A R A P
×
=
uuur uuuur
，不合题意，则
0
lk ¹
，
则设直线
2
x
my
=
+
，
设点
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，根据OQ 延长线交双曲线Γ 于点R ，
根据双曲线对称性知
2
2
,
R
x
y
-
-
，
联立有
2
2
2
2
1
x
my
y
x
b
=
+
ìïí
-
=
ïî
，可得
2
2
2
2
2
1
4
3
0
b m
y
b my
b
-
+
+
=
，
显然二次项系数
2
2
1
0
b m - ¹
，
其中
2
2
2
2
2
4
2
2
Δ
4
4
1 3
4
12
0
b m
b m
b
b m
b
=
-
-
=
+
>
，
2
1
2
2
2
4
1
b m
y
y
b m
-
+
=
- ①，
2
1
2
2
2
3
1
b
y y
b m
=
-
②，
可得
1
2
2
2
1
1
1,
,
1,
A R
x
y
A P
x
y
= -
+
-
=
-
uuur
uuuur
，
则
1
2
2
1
1
2
1
1
1
A R A P
x
x
y y
×
= -
+
-
-
=
uuur uuuur
，因为
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
在直线l 上，
则
1
1
2
2
2,
2
x
my
x
my
=
+
=
+
，
即
2
1
2
1
2
1
2
0
m
y y
m y
y
+
+
+
+
=
，
将①②代入有
2
2
2
2
2
2
2
3
4
1
2
0
1
1
b
b m
m
m
b m
b m
-
+
×
+
×
+
=
-
-
，
即
2
2
2
3
2
0
b m
b
+
-
=
，
所以
2
2
2
3
m
b
=
- ，代入到
2
2
1
0
b m - ¹
，得
2
1
3
b ¹
.
且
2
2
2
3
0
m
b
=
-
³
，解得
2
2
3
b £
，则
2
1
1 2
0,
,
3
3 3
b
æ
ö
æ
ù
Î
È
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，
因此
3
3
6
0,
,
3
3
3
b
æ
ö
æ
ù
Î
È
ç
÷
ç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
.
所以b 的取值范围为
3
3
6
0,
,
3
3
3
æ
ö
æ
ù
È
ç
÷
ç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
.
7．（24-25 高二上·湖北武汉·期末）已知直线:
1
l y
x
= - + 与双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
m
m -
=
>
的右支交于不同的两点
M ，N .
(1)求实数m 的取值范围；
(2)直线l 与y 轴交于点P ，是否存在实数m 使得
1
3
PM
PN
=
uuuur
uuur
成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)1
2
m
<
<
(2)
2 10
5
m =
【详解】（1）由
2
2
2
1
1
x
y
m
y
x
ì
-
=
ïí
ï
= - +
î
，得
2
2
2
2
1
2
2
0
m
x
m x
m
-
+
-
=
，
由
2
4
2
2
1
0
Δ
4
8
(1
)
0
m
m
m
m
ì -
¹
í
=
+
-
>
î
，得
2
2
1,
2
m
m
¹
<
成立.
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
2
2
1
2
1
2
2
2
,
2
2
1
1
m
m
x
x
x x
m
m
=
-
=
-
+
-
-
，
因为直线l 与双曲线C 的右支相交于
,
M N 不同的两点，
所以
1
2
1
2
0
0
x
x
x x
+
>
ì
í
>
î
，即
2
2
2
2
2
0
1
2
0
1
m
m
m
m
ì -
>
ïï -
í -
ï
>
ï -
î
，
所以
2
1
m > ，综上得
2
1
2
m
<
<
，
解得1
2
m
<
<
.
（2）令
0
x =
得
1
y = ，依题意
0,1
P
，
因为
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，且
2
2
1
2
1
2
2
2
,
2
2
1
1
m
m
x
x
x x
m
m
=
-
=
-
+
-
-
，
因为
1
3
PM
PN
=
uuuur
uuur
，所以
1
1
2
2
1
,
1
,
1
3
x y
x
y
-
=
-
，
所以
1
2
3x
x
=
，所以
2
2
2
1
1
2
2
2
2
4
,3
1
1
m
m
x
x
m
m
-
-
=
=
-
-
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
16
,3
1
1
m
m
x
x
m
m
æ
ö
-
-
=
=
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以
2
2
16
2
3
1
m
m
-
= -
，计算得
2
8
5
m =
，又因为
0
m >
，
所以
2 10
5
m =
.
8．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
椭圆的离心率
1
2
e =
．左顶点为A，下顶
点为B ，C 是线段OB 的中点，其中
3 3
2
ABC
S
=
△
．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)设M 为椭圆E 上一动点，求|
|
MC 的最大值．
(3)过点
3
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的动直线与椭圆E 有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得
0
TP TQ
×
£
uur uuur
恒成立．若存在求出
这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
12
9
x
y
+
=
(2) 9
2
(3)存在，
3
3
2
t
- £ £
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
1
2
e =
，故
2
a
c
=
，
3
b
c
=
，其中c 为半焦距，
所以
( 2 ,0)
A
c
-
，
(0,
3 )
B
c
-
，
3
0,
2
c
C æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
故
1
3
3 3
2
2
2
2
ABC
S
c
c
=
´
´
=
△
，
故
3
c =
，所以
2 3
a =
，
3
b =
，故椭圆方程为：
2
2
1
12
9
x
y
+
= ．
（2）设M 点坐标为
0
0
,
x
y
，满足
2
0
2
0
1
12
9
x
y
+
= ，又C 点坐标为
3
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
所以：
2
2
2
2
0
0
0
0
3
57
|
|
3
2
3
4
y
MC
x
y
y
æ
ö
=
+
+
= -
+
+
ç
÷
è
ø
，其中
0
[ 3,3]
y Î -
所以当
0
3
y =
时，
2
|
|
MC
有最大值81
4 ，所以|
|
MC 的最大值为9
2 ．
（3）若过点
3
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
3
2
y
kx
=
-
，
设
1
1
2
2
,
,
,
,
0,
P x y
Q x
y
T
t ，
由
2
2
3
4
36
3
2
x
y
y
kx
ì
+
=
ïí
=
-
ïî
，可得
2
2
3
4
12
27
0
k
x
kx
+
-
-
=
，
故
2
2
2
Δ
144
108 3
4
324
576
0
k
k
k
=
+
+
=
+
>
且
1
2
1
2
2
2
12
27
,
,
3
4
3
4
k
x
x
x x
k
k
+
=
= -
+
+
而
1
1
2
2
,
,
,
TP
x y
t
TQ
x
y
t
=
-
=
-
uur
uuur
，
故
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
2
2
TP TQ
x x
y
t
y
t
x x
kx
t
kx
t
æ
öæ
ö
×
=
+
-
-
=
+
-
-
-
-
ç
֍
÷
è
øè
ø
uur uuur
2
2
1
2
1
2
3
3
1
2
2
k
x x
k
t
x
x
t
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
2
27
3
12
3
1
3
4
2
3
4
2
k
k
k
t
t
k
k
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
´ -
-
+
´
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
3
27
27 18
12
3
3
2
2
3
4
k
k
k t
t
t
k
k
æ
ö
-
-
-
-
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
=
+
2
2
2
2
3
3
2
12
45
3
27
2
3
4
t
t
k
t
k
æ
ö
é
ù
+
-
-
+
+
-
ç
÷
ë
û
è
ø
=
+
，
因为
0
TP TQ
×
£
uur uuur
恒成立，故
2
2
3
2
12
45
0
3
3
27
0
2
t
t
t
ì
+
-
-
£
ï
í æ
ö
+
-
£
ï ç
÷
è
ø
î
，解得
3
3
2
t
- £ £
.
若过点
3
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的动直线的斜率不存在，则
0,3 ,
0, 3
P
Q
-
或
0, 3 ,
0,3
P
Q
-
，
此时需3
3
t
- £ £
，两者结合可得
3
3
2
t
- £ £
.
综上，存在
3
0,
3, 2
T
t
tæ
ö
é
ù
Î -
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
，使得
0
TP TQ
×
£
uur uuur
恒成立.
1．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知动点P 到点
0,1 的距离比它到直线
2
0
y +
=
的距离小1，记动点P 的轨迹为
E ．
(1)求轨迹E 的方程．
(2)直线1l 与2l 分别与轨迹E 交于点
,
A B 和点
,
C D （AB
uuur 与DC
uuur
同向），且1
2
l
l
// ，线段AC 与BD 交于点H ，线段AB 与
CD 的中点分别为
,
M N ．
（ⅰ）求证：
,
,
M H N 三点共线；
（ⅱ）若
1
HM = ，
2
HN =
，求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)
2
4
x
y
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18
【详解】（1）Q动点P 到点
0,1 的距离比它到直线
2
0
y +
=
的距离小1，
\点P 到
0,1 的距离与到直线
1
y = - 的距离相等，
则动点P 的轨迹是以
0,1 为焦点，
1
y = - 为准线的抛物线，
所以轨迹E 的方程为
2
4
x
y
=
．
（2）（ⅰ）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
，
则直线AB 的斜率为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
4
-
-
+
=
=
=
-
-
AB
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
，
2
1
2
M
x
x
x
+
=
，
\直线AB 的方程为
2
1
1
1
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
2
1
1
2
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
直线CD 的斜率为
4
2
3
3
4
4
2
4
3
3
4
3
4
4
4
CD
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
-
，
4
3
2
N
x
x
x
+
=
，
\直线CD 的方程为
4
3
3
3
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
4
3
4
3
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
1
2
//
l
l
Q
，
AB
CD
k
k
\
=
，
4
3
2
1
4
4
x
x
x
x
+
+
\
=
，即
2
1
4
3
x
x
x
x
+
=
+
，故
M
N
x
x
=
．
又直线AC 的斜率为
2
2
3
1
1
3
1
3
1
3
1
3
4
4
4
AC
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
-
，
\直线AC 的方程为
1
3
3
3
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
1
3
1
3
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
考点三
圆锥曲线中的三点共线问题
令
2
1
2
x
x
x
+
=
，得
2
1
2
1
2
3
3 1
4
1
2
3
8
8
x
x x
x x
x x
x x
x x
y
+
+
-
+
=
=
，
直线BD 的斜率为
2
2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
4
4
4
BD
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
-
，
\直线BD 的方程为
2
4
2
2
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
2
4
2
4
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
令
4
3
2
x
x
x
+
=
，得
2
4
4
3
2
3
2
4
4
1
2
3
8
8
x
x x
x x
x x
x x
x x
y
+
+
-
+
=
=
，
所以直线AC 与MN 的交点和直线BD 与MN 的交点重合，即为点H ．
所以
,
,
M H N 三点共线；
（ⅱ）
1
2
1
2
2
2
2
8
M
y
y
x
x
y
+
+
=
=
Q
，
3
2
2
4
4
3
2
8
N
y
y
x
x
y
+
+
=
=
，
/ /
AB
CD
Q
，\
1
CD
HN
AB
HM
=
> ，得
N
H
M
y
y
y
>
>
，
2
2
4
1
2
3
2
1
1
8
H
M
x x
x x
x
x
HM
y
y
+
-
-
\
=
-
=
= ，
2
2
4
3
4
1
2
3
2
8
N
H
x
x
x x
x x
HN
y
y
+
-
-
=
-
=
=
，
上面两式相减得
2
4
2
3
2
1
8
x
x
x
x
-
+
-
=
，
由（ⅰ）知
2
1
4
3
x
x
x
x
+
=
+
，即
1
4
3
2
x
x
x
x
-
-
=
，
2
3
2
x
x
\
-
=
，
过点B 作
/ /
BE
MN 交CD 于点E ，
1
HM =
Q
，
2
HN =
，AM
BM
=
，
/ /
BE
MN ，
3
BE
MN
\
=
=
，
则
3
2
1
3
2
BCE
S
BE
x
x
=
´
´
-
=
△
，，
又
AB
MH
CD
NH
=
，不妨设
4
CD
m
=
，则
2
AB
m
=
，
Q四边形BMNE 是平行四边形，
NE
MB
\
=
，
,
M N
Q
分别是
,
AB CD 的中点，
2
NC
m
\
=
，MB
m
=
，
NE
m
\
=
，
EC
m
\
=
，
设ABH
V
的边AB 上的高为
1h ，BCE
V
的边EC 上的高为
2h ，则
1
2
1
3
h
h =
，
1
1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
ABH
BCE
AB h
S
mh
S
mh
EC h
×
\
=
=
=
×
V
V
，
2
2
3
ABH
BCE
S
S
\
=
=
△
△
，
1
2
AB
MH
AH
BH
CD
NH
CH
DH
=
=
=
=
Q
，
4
CDH
ABH
S
S
\
=
△
△
，
2
BCH
ABH
S
S
=
△
△
，
2
ADH
ABH
S
S
=
△
△
，
9
9 2
18
ABCD
ABH
AHD
CHD
BHC
ABH
S
S
S
S
S
S
\
=
+
+
+
=
= ´
=
△
△
△
△
△
．
2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点F 与椭圆
2
2
1
4
x
y
+
= 的上顶点重合，点O 为坐标
原点.
(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；
(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于,
P Q 两点，且
8
PQ =
，求直线l 的方程；
(3)设点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线
,
MA MB 分别与抛物线C 相切于点
,
A B ，证明：, ,
A B F 三点共线.
【答案】(1)
2
4
x
y
=
，准线方程为
1
y = - ；
(2)
1
0
x
y
-
+ =
或
1
0
x
y
+
- =
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）椭圆
2
2
1
4
x
y
+
= 的上顶点为( 0, 1) ，则抛物线
2
:
2
C x
py
=
的焦点
(0,1)
F
，
所以抛物线C 的标准方程为
2
4
x
y
=
，其准线方程为
1
y = - .
（2）设直线l 方程为：
1
y
kx
=
+ ，
1
1
2
2)
( ,
),
(
,
P x y
Q x
y
，
由
2
1
4
y
kx
x
y
=
+
ì
í
=
î
消去y ，得
2
4
4
0
x
kx
-
-
=
，
1
2
1
2
4 ,
4
x
x
k x x
+
=
= - ，
则
2
2
2
2
2
1
2
1
2
|
|
1
(
)
4
1
16
16
4(1
)
8
PQ
k
x
x
x x
k
k
k
=
+
×
+
-
=
+
×
+
=
+
=
，解得
1
k = ± ，
所以直线l 的方程为
1
0
x
y
-
+ =
或
1
0
x
y
+
- =
.
（3）依题意，设
( , 1)
M t -
，
3
3
4
4
(
,
), (
,
)
A x
y
B x
y
，
由
2
1
4
y
x
=
，求导得¢ = 1
2
y
x ，因此抛物线C 在点A 处切线方程为
3
3
3
1
(
)
2
y
y
x x
x
-
=
-
，
即
3
3
3
2
2
4
y
y
x x
y
-
=
-
，整理得
3
3
2(
)
x x
y
y
=
+
，同理抛物线C 在点B 处切线方程为
4
4
2(
)
x x
y
y
=
+
，
而点
( , 1)
M t -
是二切线的交点，则
3
3
2( 1
)
tx
y
=
- +
，
4
4
2( 1
)
tx
y
=
- +
，
于是直线AB 的方程为
2(
1)
tx
y
=
-
，显然直线AB 过点( 0, 1) ，
所以, ,
A B F 三点共线.
3．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例
如下: 二次函数
2
1
y
x
=
+ 的图象可以由
2
y
x
=
的图象沿向量
0,1
n =
r
平移得到; 抛物线
2
y
x
=
，即
2x
y
=
的焦点坐标
为
1
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
1
4
y = -
; 故二次函数
2
1
y
x
=
+ 的焦点坐标为
5
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
3
4
y =
.
(1)求二次函数
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标和准线方程；
(3)设过
4,1
A
的直线与抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的另一个交点为B ，直线AB 与直线
4
y
x
=
-
交于点P ，过点P 作x 轴
的垂线交抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 于点N . 是否存在定点G ，使得
,
,
B N G 三点共线? 若存在，请求出定点G 的坐标;
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)焦点坐标为
(2,1)
F
，准线方程为
1
y = - ．
(2)焦点坐标为
2
4
1
,
2
4
b
ac
b
a
a
æ
ö
-
+
-
ç
÷
è
ø
，准线方程为
2
4
1
4
ac
b
y
a
-
-
=
．
(3)存在，
(4,2)
G
【详解】（1）二次函数
2
2
2
1
1
1
1
(
4
4)
(
2)
4
4
4
y
x
x
x
x
x
=
-
+ =
-
+
=
-
，
它的图象可以由抛物线
2
1
4
y
x
=
沿向量
2,0
m =
r
平移得到；
抛物线
2
1
4
y
x
=
即
2
4
x
y
=
的焦点坐标为( 0, 1) ，准线方程为
1
y = - ；
所以二次函数
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的焦点坐标为
(2,1)
F
，准线方程为
1
y = - ．
（2）二次函数
2
2
2
4
2
4
b
ac
b
y
ax
bx
c
a x
a
a
-
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
它的图象可以由抛物线
2
y
ax
=
沿向量
2
4
,
2
4
b
ac
b
p
a
a
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
r
平移得到；
抛物线
2
y
ax
=
即
2
1
x
y
a
=
的焦点坐标为
1
0, 4a
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
1
4
y
a
= -
；
所以二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标为
2
1
4
,
2
4
4
b
ac
b
a
a
a
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø
，
准线方程为
2
2
1
4
4
1
4
4
4
ac
b
ac
b
a
a
a
y
-
-
-
+
=
= -
；
即二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标为
2
4
1
,
2
4
b
ac
b
a
a
æ
ö
-
+
-
ç
÷
è
ø
，准线方程为
2
4
1
4
ac
b
y
a
-
-
=
．
（3）由（1）知抛物线
2
2
2
1
1
1
1
(
4
4)
(
2)
4
4
4
y
x
x
x
x
x
=
-
+ =
-
+
=
-
可以由抛物线
2
1
4
y
x
=
沿向量
(2,0)
m =
ur
平移得到；
先考虑如下问题：过
(2,1)
A¢
的直线与抛物线
2
1
4
y
x
=
的另一个交点为B¢，直线A B
¢ ¢与直线
2
y
x
=
-
交于点P¢ ，过点
P¢ 作x 轴的垂线交抛物线
2
1
4
y
x
=
于点N¢，讨论是否存在定点G¢，使得
,
,
B N G
¢
¢
¢三点共线；
设
2
1
1, 4
x
B
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
¢
，又
(2,1)
A¢
，则直线A B
¢ ¢的方程为：
2
1
1
1
4
1
2
2
x
y
x
x
-
- =
-
-
，化简得：
1
2
1
(
2)
4
x
y
x
+
- =
-
，
与直线
2
y
x
=
-
联立得：
1
1
2
8
2
P
x
x
x
¢
-
=
-
，代入
2
1
4
y
x
=
得：
2
1
1
4
2
N
x
y
x
¢
æ
ö
-
= ç
÷
-
è
ø
，即
2
1
1
1
1
2(
4)
4
,
2
2
x
x
N
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
è
ø
è
¢
÷
-
-
ø
，
则直线B N
¢ ¢的方程：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
öæ
ö
-
-
-
-
-
+
ç
÷
ç
֍
÷
-
-
-
è
ø
è
øè
ø
-
=
-
=
-
-
æ
ö
-
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
化简得
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
+
(
)
(
2)
2
4
2
2
4
2
2
x x
x
x
y
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
-
=
-
+
-
+
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
；
当
2
x =
时，
2
y =
恒成立，所以直线B N
¢ ¢恒过定点
(2,2)
G¢
，即存在定点
(2,2)
G¢
，使得
,
,
B N G
¢
¢
¢三点共线；
故存在定点
(4,2)
G
，使得
,
,
B N G 三点共线．
4．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，离心率为2，圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点.
(1)求C 的方程；
(2)设A 为C 的左顶点，过F 且斜率存在的直线交C 的右支于
,
M N 两点，直线
,
AM AN 分别交圆O 的另一点于,
P Q .
（i）证明：
,
,
P O Q 三点共线；
（ii）设直线MN 与直线PQ交于D ，证明：点D 在定直线上.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【详解】（1）因为圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点，
由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点，
所以
1
a = ，
又
2
c
e
a
=
=
，所以
2
c =
，故
2
2
2
4
1
3
b
c
a
=
-
=
- = ，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）（i）由（1）知，
2,0 ,
1,0
F
A -
,
设过F 的直线方程为
2
x
my
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，如图，
由
2
2
2
1
3
x
my
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，可得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
+
+
=
，
1
2
1
2
2
2
12
9
3
1
,
1
3
m
y
y
y y
m
m
-
\
+
=
=
-
- ，其中
3
3
3
3
m
-
<
<
，
1
2
1
2
4
3
my y
y
y
\-
=
+
，
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
3
3
9
AP
AQ
y
y
y y
y y
k
k
x
x
my
my
m y y
m y
y
\
´
=
´
=
=
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
9
9
3
1
1
1
9
12
9
36
27
9
3
9
3
3
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
=
=
= -
-
-
+
-
+
-
×
-
×
+
-
，
90
PAQ
\Ð
=
°，
PQ
\
为圆O 的一条直径，
,
,
P O Q
\
三点共线.
（ii）不妨设直线
1
2
:
1,
:
1
AM x
m y
AN x
m y
=
-
=
- ，其中
1
2
1
2
1
2
,
1
1
x
x
m
m
y
y
+
+
=
=
，
由（i）可知
1
2
1
m m = - ，
由
1
2
2
1
1
x
m y
x
y
=
-
ì
í
+
=
î
，可得
2
2
1
1
1
2
0
m
y
m y
+
-
=
，解得
1
2
1
2
1
P
m
y
m
=
+ ,
故可得
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
P
m
x
m
m
m
-
+
=
=
+
-
，即
2
1
1
2
2
1
1
1
2
,
1
1
m
m
P m
m
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2 1
2 1
1
OP
m
k
x
x
my
my
m
m
m
m
m
y
y
y
y
\
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
12
1
1
2
3
2
3
2
3
9
y
y
m
m
m
m
m
y y
y
y
=
=
=
= -
+
-
æ
ö
+ ×
+ ×
+
+
ç
÷
è
ø
，
\直线
:
OP x
my
= -
，
由
2
x
my
x
my
= -
ì
í =
+
î
，可解得
1
D
x = ，
\点D 在定直线
1
x = 上.
5．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为2 6 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形的面积为6．
(1)求椭圆E 的方程及离心率；
(2)过点
2,0 且斜率为
0
k k ¹
的直线与椭圆E 交于
,
A B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称．在x 轴上是否存在定点
,0
D m
，使
,
,
A C D 三点共线？若存在，求实数m 的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
6
3
x
y
+
= ，
2
2
(2)存在；
3
m =
【详解】（1）由题意得
2
2
2
2
2 6
2
6
a
bc
a
b
c
ì
=
ï
=
í
ï
=
+
î
，解得
6,
3,
3
a
b
c
=
=
=
．
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
6
3
x
y
+
= ，离心率
2
2
c
e
a
=
=
．
（2）
设直线AB 的方程为
2
y
k x
=
-
，点
1
1
,
A x y
，点
2
2
,
B x
y
．
由
2
2
2
2
6
y
k x
x
y
ì
=
-
í
+
=
î
，得
2
2
2
2
1
2
8
8
6
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
．
依据题意，Δ
0
>
，
2
2
1
2
1
2
2
2
8
8
6
,
.
1
2
1
2
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
因为点C 与点B 关于x 轴对称，所以点
2
2
,
C x
y
-
．
若在x 轴上存在定点
,0
D m
，使
,
,
A D C 三点共线，则
0
AD
CD
k
k
-
=
．
1
2
1
2
AD
CD
y
y
k
k
x
m
x
m
-
-
=
-
-
-
1
2
2
1
2
1
2
1
2
y
x
m
y
x
m
x x
m x
x
m
-
+
-
=
-
+
+
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
k x
x
m
k x
x
m
x x
m x
x
m
-
-
+
-
-
=
-
+
+
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
4
k
x x
m
x
x
m
x x
m x
x
m
é
ù
-
+
+
+
ë
û
=
-
+
+
由
0
AD
CD
k
k
-
=
，得
1
2
1
2
2
2
4
0
k
x x
m
x
x
m
é
ù
-
+
+
+
=
ë
û
．
由
0
k ¹
，得
1
2
1
2
2
2
4
0
x x
m
x
x
m
-
+
+
+
=
．
因为
1
2
1
2
2
2
4
x x
m
x
x
m
-
+
+
+
2
2
2
2
8
6
8
2
2
4
1
2
1
2
k
k
m
m
k
k
-
=
´
-
+
+
+
+
2
2
2
2
2
16
12
8
16
4
8
1
2
k
mk
k
m
mk
k
-
-
-
+
+
=
+
2
12
4
0
1
2
m
k
-
+
=
=
+
，解得
3
m =
．
故在x 轴上存在定点
3,0
D
，使
,
,
A C D 三点共线．
6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
10
F
,
，A 为C 上一点，AF 的最小
值为1.
(1)求C 的方程；
(2)设点
4,0
M
，斜率不为0 的直线AM 与C 交于另一点B.
（i）若弦AB 中点的纵坐标为
36
31
-
，求直线AB 的斜率；
（ii）若D 为C 上一点，且点D 与点A 关于x 轴对称，证明：
,
,
B D F 三点共线.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）1
3 ；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意得
2
2
2
1
1
c
a
c
a
b
c
=
ì
ï
-
=
í
ï
-
=
î
解得
2,
3,
1
a
b
c
=
=
= ，
所以C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）由题可知直线AB 的斜率存在且不为0，
设直线
:
4,
0,
AB
l
x
my
m
=
+
¹
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
1
,
D x
y
-
，
联立
2
2
4
3
4
12
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，消去x ，可得
2
2
3
4
24
36
0
m
y
my
+
+
+
=
，
则
2
2
Δ
(24 )
4 36 3
4
0
m
m
=
- ´
+
>
，解得
2
4
m >
，
所以
1
2
1
2
2
2
24
36
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
-
+
=
=
+
+
.
（i）因为弦AB 中点的纵坐标为
36
31
-
，
所以
1
2
2
12
36
2
3
4
31
y
y
m
m
+
-
=
= -
+
，
解得
3
m =
或4
9 （舍），
所以直线AB 的斜率为1
3 .
（ii）由题得
2
2
1
1
1,
,
1,
FB
x
y
FD
x
y
=
-
=
-
-
uuur
uuur
，
因为
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
4 1
4 1
x
y
y
x
my
y
y
my
-
-
-
-
=
+
-
× -
-
+
-
1
2
1
2
2
2
72
72
2
3
0
3
4
3
4
m
m
my y
y
y
m
m
-
-
= -
-
+
=
-
=
+
+
，
所以
/ /
FB
FD
uuur
uuur
，
又FB 与FD 有公共点F ，所以
,
,
B D F 三点共线.
7．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知圆M：
2
2
1
16
x
y
+
+
=
，动圆D 过定点
1,0
N
且与圆M 内切，圆心D 的
轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)曲线C 上三个不同的动点P，E，F 满足PE 与PF 的倾斜角互补，且P 不与曲线C 的顶点重合，记P 关于x 轴
的对称点为P¢ ，线段EF 的中点为H，O 为坐标原点，证明：P¢ ，H，O 三点共线.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）如图，
已知圆M 的圆心为
( 1,0)
M -
，半径为4；设动圆D 的圆心为
( , )
D x y ，半径为R ，
则
,
4
,
4
DN
R DM
R DM
DN
MN
=
=
-
+
=
>
,
所以点D 的轨迹是以
,
M N 为分别为左右焦点，且长轴为4 的椭圆，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，则有
2
2
2
2,
1,
3
a
c
b
a
c
=
=
=
-
=
，
则曲线C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）
设
0
0
1
1
2
2
3
3
0
0
(
,
),
( ,
),
(
,
),
(
,
),
(
,
)
P x
y
E x y
F x
y
H x
y
P x
y
¢
-
，
由题意
1
2
1
2
,
x
x
y
y
¹
¹
，可知
3
1
2
3
1
2
2
,2
,
x
x
x
y
y
y
=
+
=
+
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减得，
3
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
3(
)
4(
)
4
EF
x
y
y
x
x
k
x
x
y
y
y
-
+
=
= -
= -
-
+
，
而
3
3
OH
y
k
x
=
，所以
4
3
OH
EF
k
k
= -
，
设直线PE 的方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
=
-
，PF 的方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
= -
-
将PE 的方程代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= 得，
2
2
0
0
(
)
1
4
3
k x
x
y
x
-
+
+
= ，
整理得
2
2
2
0
0
0
0
(3
4
)
8 (
)
4(
)
12
0
k
x
k y
kx x
y
kx
+
+
-
+
-
-
=
，①
因为
0
x
x
=
是方程①的一个根，所以
2
0
0
0
1
2
4(
)
12
3
4
y
kx
x x
k
-
-
=
+
，②
将PF 的方程代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= 得，
2
2
0
0
(
)
1
4
3
k x
x
y
x
-
-
+
+
= ，
整理得
2
2
2
0
0
0
0
(3
4
)
8 (
)
4(
)
12
0
k
x
k y
kx x
y
kx
+
+
+
+
+
-
=
，③
因为
0
x
x
=
是方程③的一个根，所以
2
0
0
0
2
2
4(
)
12
3
4
y
kx
x x
k
+
-
=
+
，④
②－④可得，
0
0
0
1
2
2
16
(
)
3
4
kx y
x x
x
k
-
-
=
+
，⑤
②＋④可得，
2
2
2
0
0
0
1
2
2
8(
)
24
(
)
3
4
y
k x
x x
x
k
+
-
+
=
+
，⑥
2
1
0
0
2
0
0
1
2
0
0
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
(
)
(
)
(
)
2
(
)
2
EF
k x
x
y
k x
x
y
k x
x
kx
kx x
x
kx
y
y
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
- -
-
+
+
-
+
-
-
=
=
=
=
-
-
-
-
，⑦
将⑤⑥代入⑦式可得，
2
2
2
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
2
8(
)
24
2
8
24
6
3
4
16
16
3
4
EF
y
k x
k
kx
y
x
k
k
kx y
x y
k
+
-
×
-
-
-
+
=
=
-
-
+
，⑧
显然
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，得
2
2
0
0
8
24
6
y
x
=
-
，⑨
将⑨代入⑧得，
2
0
0
0
0
0
12
3
16
4
EF
x
x
k
x y
y
-
=
=
-
，
而
0
0
OP
y
k
x
¢ = -
，所以
4
3
OP
EF
k
k
¢ = -
,
又因为
4
3
OH
EF
k
k
= -
，所以
OH
OP
k
k
¢
=
，
即P¢ ，H，O 三点共线.
8．（24-25 高二上·江苏淮安·阶段练习）已知曲线C 上任意一点
,
T x y 满足
2
2
2
2
1
1
4
x
y
x
y
-
+
+
+
+
=
.
(1)求曲线C 的方程；
(2)曲线C 上三个不同的动点P ，E ，F 满足PE 与PF 的倾斜角互补，且P 不与曲线C 的顶点重合，过点P 且垂直
于x 轴的直线与曲线C 的另一个交点为Q ，记线段EF 的中点为H ，O 为坐标原点，求证：Q ，H ，O 三点共线.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）设
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，
2
2
2
2
1
2
1
1
4
4
x
y
x
y
TF
TF
-
+
+
+
+
=
Û
+
=
，
又因为
1
2
4
2
F F
>
=
，所以T 的轨迹是以
1
2
,
F F 为焦点，长轴长为4 的椭圆，
所以2
4,2
2
a
c
=
=
，所以
2
2
2
2
4,
3
=
=
-
=
a
b
a
c
，
所以曲线C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）设
0
0
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
,
,
P x
y
E x y
F x
y
H x
y
，
由题意可知，
1
2
1
2
,
x
x
y
y
¹
¹
，且
3
1
2
3
1
2
2
,2
x
x
x
y
y
y
=
+
=
+
，
因为
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，所以两式相减可得
2
2
2
2
1
2
1
2
4
3
x
x
y
y
= -
-
-
，所以
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
x
x
y
y
x
x
y
y
+
-
= -
-
+
，
所以
1
2
3
3
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3 2
3
4
4 2
4
EF
x
x
x
x
y
y
k
x
x
y
y
y
y
+
´
-
=
= -
= -
= -
-
+
´
，
而
3
3
OH
y
k
x
=
，所以
3
4
OH
EF
k
k
= -
，
设直线PE 的方程为
0
0
y
y
k x
x
-
=
-
，则直线PF 的方程为
0
0
y
y
k x
x
-
= -
-
，
将PE 的方程代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= 可得
2
2
0
0
1
4
3
k x
x
y
x
é
ù
-
+
ë
û
+
= ，
整理得
2
2
2
0
0
0
0
3
4
8
4
12
0
k
x
k y
kx
x
y
kx
+
+
-
+
-
-
=
①，
因为
0
x
x
=
是方程①的一个实根，所以
2
0
0
0
1
2
4
12
3
4
y
kx
x x
k
-
-
=
+
②，
将PF 的方程代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= 可得
2
2
0
0
1
4
3
k x
x
y
x
é
ù
-
-
+
ë
û
+
= ，
整理得
2
2
2
0
0
0
0
3
4
8
4
12
0
k
x
k y
kx
x
y
kx
+
-
+
+
+
-
=
③，
因为
0
x
x
=
是方程③的一个实根，所以
2
0
0
0
2
2
4
12
3
4
y
kx
x x
k
+
-
=
+
④，
②- ④可得
0
0
0
1
2
2
16
3
4
kx y
x
x
x
k
-
-
=
+
⑤，
②+ ④可得
2
2
2
0
0
0
1
2
2
8
24
3
4
y
k x
x
x
x
k
+
-
+
=
+
⑥，
所以
2
1
0
0
2
0
0
1
2
0
0
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
2
2
EF
k x
x
y
k x
x
y
k x
x
kx
kx
x
x
kx
y
y
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
+
- -
-
+
+
-
+
-
-
ë
û
=
=
=
=
-
-
-
-
⑦，
将⑤⑥代入⑦式可得
2
2
2
0
0
2
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
2
8
24
2
8
24
6
3
4
16
16
3
4
EF
y
k x
k
kx
y
x
k
k
kx y
x y
k
+
-
×
-
-
-
+
=
=
-
-
+
⑧，
因为
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
= ，所以
2
2
0
0
8
24
6
y
x
=
-
⑨，
将⑨代入⑧式中可得
2
0
0
0
0
0
12
3
16
4
EF
x
x
k
x y
y
-
=
=
-
，
又因为
0
0
,
Q x
y
-
，所以
0
0
3
4
OQ
EF
y
k
x
k
= -
= -
，
所以
OH
OQ
k
k
=
，
即
,
,
Q H O 三点共线.
