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基本不等式专项训练03（一般）（解析版）
1．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令 ，用 分别乘 两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为 ，且 为正实数
所以
，当且仅当 即 时等号成立.
所以 .
故选：B.
3．已知 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．4．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若
的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ，
两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．若两个正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【分析】先由 结合基本不等式求出 的最小值，进而得
，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，
，
当且仅当 ，即 时取等，又不等式 恒成立，则不等式
，
即 ，解得 .
故选：C.
6．已知 ，则 的最小值为（ ）A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】 ， ，
，
，
，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故选：A
7．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知 ，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+ =2(x+1) ，当且仅当 时取等号，
故2x+y的最小值为4.故选:A
8．已知m，n，s，t为正数， ， ，其中m，n是常数，且 的最小值是 ，点
是曲线 的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得 ，化简后利用基本不等式可求出其最小值，再结合其最小值为 和
可求出 ，从而可得点 的坐标，再利用点差法可求出直线AB的斜率，从而可求出直线方程.
【详解】因为m，n，s，t为正数， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，
又 为正数，所以解得 ，即 ，
设弦两端点分别为 ，则 ，
两式相减得 ，
因为 ，
所以直线的斜率为 ，所以直线方程为 ，即 .
经检验直线 与椭圆 有两个交点，
所以直线方程为 ，
故选：D
9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，
b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，即 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以函数 的最小值为25.
故选：B
10．在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 ，则 面积
的最大值为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据 利用三角恒等变换和正余弦定理得到 ，再根据余弦定理和基本不等式可得cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据 可求
△ABC面积的最大值．
【详解】 ，
，
即 ，
即 ，
则 ，
整理得 ，
∴ ，
√ 8
当且仅当a2=3c2⇔c=❑ ,a=❑√8❑√3时取等号，
❑√3
，
则 ．
故选：C．
