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第 23 讲 数列不等式的最值与范围问题
【典型例题】
例1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若数列 的
前 项和为 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得数列 是首项为3，公差为2的等差数列，则 ，
于是 ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ，因此 ，
由不等式 恒成立，得 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
例2．（2024·高二·福建宁德·期中）已知数列 的前n项和为 且 ，若 对任意
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由数列 的前n项和为 且 ，得 ，
于是 ，两式相减得： ，
因此 ， ，显然数列 是递增数列，
当 为奇数时， ，由 恒成立，得 ，则 ，
当 为偶数时， ，由 恒成立，得 ，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：C
例3．（2024·河南·模拟预测）对于数列 ，定义 为数列 的“加权和”．设
数列 的“加权和” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，则 ，
即 ，故 ，
当 时， ，符合上式，故 ，
则 ，故 ，
因为 对任意的 恒成立，
当 时，有 ，即 ，不符合要求，
当 时，则有 ，
解得 .
故选：B.
例 4．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ，记数列
的前n项和为 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数k的取值范围为（
）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意 ，当 时， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 ，
所以 ，
所以 ，
因不等式 恒成立，故 的取值范围是 .
故选：C.
例5．（2024·高三·江苏·专题练习）设数列 首项 ，前n项和为 ，且满足 ，
则满足 的所有n的和为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
两式相减得 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列，
则 ， ，故 ，
由 ，可得 ，
解得 ，所以 或 ，
即所有 的和为 .
故选：A
例6．（多选题）（2024·高三·安徽·阶段练习）已知正项数列 满足： ， ，则以下结
论正确的是（ ）A．若 时，数列 单调递减
B．若 时，数列 单调递增
C．若 时，
D．若 ，数列 的前 项和 ，则
【答案】CD
【解析】由已知 ，所以 ，
故 与 同号，即 与 同号，
若 时,则 ，则 ，即 ，
且 ，故 ，数列为递增数列；A错误；
若 时，可知 ，可得 ，数列为递减数列，B错误；
故 ，C正确；
若 ，则 ， ，故 ，
则 时 ，故 ，
，D正确.
故选：CD
例7．（2024·高三·江苏·专题练习）数列 满足 ，数列 满足 ，
数列 的前n项和为 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
故 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，得 ，
，
所以 ，， ，故 ．
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
例8．（2024·高三·江苏·专题练习）记数列 的前n项和为 ，且 ，设m为整数，
且对任意 ， ，则m的最小值为 ．
【答案】7
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，
且 不满足上式，
故数列 的通项公式为
设 ，则 ，
当 时， ，
故 ，
于是 ．
整理可得 ，所以 ，
又 ，所以符合题设条件的m的最小值为7．
故答案为：7
例9．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知正项数列 满足： .
(1)设 ，试证明 为等比数列；
(2)设 ，试证明 ；
(3)设 ，是否存在 使得 为整数？如果存在，则求出
应满足的条件；若不存在，请给出理由.【解析】（1）由题可知， ，
则 ，即 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2） ，
，（当且仅当 时取等），
当 时， ；
当 时， .
（3）
，
当 时， 不是整数；
当 时， 不是整数
当 时， 必定为整数，
故只需要考虑 是否为整数即可.
又因为故只需要 为整数即可，则 .
综上所述， .
例10．（2024·高二·湖北·期末）已知 是等差数列 的前 项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的最小值.
【解析】（1）设数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，解得
.
所以 ．
（2）由（1）可知： ，所以 .
令 ，得 ，解得： 舍去），
因为 ，所以 的最小值是12.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列 的前n项和 ，且满足 ，
．设 （ 非零整数， ），若对任意 ，有 恒成立，则 的
值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ，又 ，所以 ，
，又 ，所以 ，
由 得 （ ），
相减得， ， ，
所以 ，所以 ，
再相减得 ，
则 ，而 ，
所以数列 是等差数列，首项和公差均为1，所以 ，，
对任意 ，有 恒成立，则 恒成立，
，
即 ，
是奇数时， ， ，∴ ，
为偶数时， ， ，∴ ，
综上， ．又 是非零整数，所以 ．
故选：D．
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知 数列 满足 ，若对
任意正实数 ，总存在 和相邻两项 ，使得 成立，则实数t的最小值为（ ）
A．9 B．9.5 C．10.5 D．17
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
，即 ，于是有 ，所以
，即 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为总存在 ，使得 成立，即 ，
所以 ，即 .
又 ，所以实数 的最小值为 .
故选：B.
3．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ，若不等式
对一切 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，
而 ，所以 是以 为首项，公比为 的等比数列.
于是， ，即 ，
所以 ，
，
两式相减得， ，
即 .
由 ，得 ，
即
①当 为奇数时，有 ，因 是单调增函数，故 ，从而 ；
②当 为偶数时，有 ，因 ，从而 .
综上， 的取值范围为 ．
故选：B.
4．（2024·全国·一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数
列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐波那契数列，又称
为“兔子数列”，其通项公式为 ，设 是不等式
的正整数解，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
，
即 ，故 ，
故 ，所以 ，易知 且 单调递增，
由斐波那契数列可知 ， ，则 ，
所以 的最小值为8．
故选：B．
二、多选题
5．（2024·高三·河北承德·期中）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 单调递减 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对A选项：由 ， ，则 ，
依次类推可得当 时，有 ，
故 ，故数列 单调递减，即A正确；
对B选项：由 ，
则 ，
由 ，当 时， ，
故 ，
即 ，故B正确；
对C选项： ，则 ， ，
即 ，故C错误；
对D选项：由 ，故 ，即 ，
故有 ， ， ， ，
累加有 ，即 ，故 ， ，
故 ，即有 ，
又 ，
故当 时， ，
， ， ，
又 ，
累加有 ， ，
即 ，
即 ，故 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
6．（2024·高三·吉林白城·期中）已知数列 满足 ， ，且 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． ，
B． 是递增数列
C．
D． ， ，
【答案】ACD
【解析】由已知，数列 满足 ， ，且 ，所以 ，
所以 ，
由 ，有 ， ，故 与 同号，
因为 ，则 ， ，…，
以此类推可知，对任意的 ， ，故A正确；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，则 是递减数列，故B错误；
因为 ，所以 ， ，…， ，
累加得 ，故C正确；
因为 ，又 ， ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以当 ， 时， ，
所以当 ， 时， ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD
7．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知数列 的前 项和 ， ，数列 的前 项和
满足 对任意 恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当 为奇数时，
C． D． 的取值范围为
【答案】AC
【解析】当 时， ，当 时， ，适合上式，所以
，故A正确；
所以 ，
当 为奇数时，，故B错误；
当 为偶数时，
，
所以 ，故C正确；
当 为奇数时， ，
若 ，则 ，即 ，
所以 ，而 ，即 ；
当 为偶数时，则 得 ，
即 ，而 ，即 ，
综上所述， ，故D错误.
故选：AC.
8．（2024·高三·山东·开学考试）已知数列 满足 ， 是前n项和，若
，（ 且 ），若不等式 对于任意
的 恒成立，则实数 的值可能为（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．5
【答案】AD
【解析】由 ，
则
得 ，
所以 ，
则 ， ，…， ，
上述式子累加可得 ，所以 ．所以 对于任意的 恒成立，
整理得 对于任意的 恒成立．
方法一：
对选项A，当 时，不等式为 ，其解集 包含 ，故选项A正确；
对选项B，当 时，不等式为 ，其解集 不包含 ，故选项B错误；
对选项C，当 时，不等式为 ，其解集 不包含 ，故选项C错误；
对选项D，当 时，不等式为 ，其解集 包含 ，故选项D正确．
方法二：令 ，
若 对于任意的 恒成立，
只需 ，即 ，解得 或 ．
故选：AD．
三、填空题
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 的首项 ，数列 满足 ，
为数列 的前n项和，且满足： ，则数列 的通项公式为 ，若对 且 ，不
等式 恒成立，则t的取值范围为
【答案】
【解析】因为 ，故 ，
当 时， ， 也适合，
故 ；
对 且 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
结合 ，即 对 且 恒成立，
又 ，
故 为公比为 ，首项为 的等比数列，
故 ， ，
当n为奇数时， ， ，则 ，
即 对 且 恒成立，
而 在 上单调递减，
此时 最大值为 ，故 ，所以 ；
当n为偶数时， ， ，
则 ，
即 对 且 恒成立，
此时 最大值为 ，故 ，所以 ；
结合 ，可得 的取值范围为 ，
故答案为： ； .
10．（2024·高三·全国·专题练习）已知 是各项均为正实数的数列 的前n项和，
，若 ，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
又因为 是各项均为正实数的数列，
所以 ，即数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
而 ，所以 ，
即 恒成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
故答案为： .
11．（2024·高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数 ，设数列 满足
，若存在 使不等式 成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以 的图象关于点 中心对称．
因为 ，
所以 ，
两式相加得 ，所以 ．
由 ，得 ，
所以 ．
令 ，则当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
又 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
故答案为：
12．（2024·高三·全国·专题练习）数列 满足 ，数列 满足 ，数列
的前n项和为 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，故 ．
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
13．（2024·青海·一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，若对任意的正整
数n，不等式 恒成立，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以由累加法可得
，
当 时， 符合上式，所以 ，
所以 ， ，
因为不等式 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，
又 ，所以
当 时， ，则 ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 时，不等式右边取得最大值 ，
所以 ，解得 ，
故答案为： .
14．（2024·河北·一模）已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且 ， ，
，则 ；若数列 和 的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列 ，
数列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，则等差数列 的公差为 ，
则 ， ， ，
解得 ， ， ，
所以， ， ，
由 ，整理可得 ，
数列 的各项分别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
其中 前若干项中，数列 有 项，数列 有 项，
所以， 是数列 的第 项，
所以，
，
所以， ，
令 ，整理可得 ，令 ，则有 ，解得 ，
因为 ，所以， ，可得 ，
所以，满足不等式 的正整数 的最小值为 ，
同理可知，满足不等式 的正整数 的最大值为 ，
所以满足不等式 的正整数 的最小值 ，即 ，
设 ，其中 且 ，
则
，
，
由 ，整理可得 ，解得 ，
所以自然数 的最小值为 ，所以 .
故答案为： ； .
四、解答题
15．（2024·高三·山西·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 都成
立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 时， ，即 ，所以 .
时， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 是首项为1公比为2的等比数列，
所以 .
（2）由(1)得 ，所以 .
显然 是递增数列，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
实数 的取值范围是 .
16．（2024·天津红桥·一模）已知 为数列 的前n项和，且满足 ，其中 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是以 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，
故 ，
，
而 随 的增大而减小，
所以 ，随 的增大而增大，
所以 ，
因为对任意的 ，都有 ，
所以 .
17．（2024·云南·一模）已知 为等比数列，记 分别为数列 的前 项和， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)是否存在整数 ，使 对任意正整数 都成立？若存在，求 的最小值；若不存在，请
说明理由.
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据已知得 ，且
解方程组得
的通项公式为 .
，
，解得 ，
且 .
，
即 .
且 ，
则 ，
整理得 ，故 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故 .
的通项公式为 .
（2）设 ，则 .
，
.
恒成立，且 ,
存在整数 ，使 对任意正整数 都成立，且 的最小值为3.
18．（2024·高三·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列 的前 项积为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)保持数列 中的各项顺序不变，在每两项 与 之间插入一项 （其中 ），组
成新的数列 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，两式相除可得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）依题意，
，
易知 随着 增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
而综上， 的最小值为 .
19．（2024·四川南充·二模）在数列 中， 是其前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，所以 ，所以 ；
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
又 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
所以当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
所以当 时 取得最大值为 ，当 时 取得最小值为 ，
因为 ， 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
20．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，数列
为正项等比数列， 且 依次成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，问是否存在正整数 使得 成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为 ， ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，
即 ．
，可得 ，
所以 的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ， ，
综上可得 ；
设等比数列 的公比为 ，
因为 依次成等差数列，所以 ，
，所以 ，解得 或 ．
因为 为正项等比数列，故 ，由 ，则 ，
所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
则 ，
当 时， ；
当 时，．
所以存在 ，使得 ．
21．（2024·高三·江苏·专题练习）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ 数列”.
(1)已知等比数列 满足： ，求证:数列 为“ 数列”；
(2)已知数列 满足: ，其中 为数列 的前 项和．
①求数列 的通项公式；
②设 为正整数，若存在“ 数列” ，对任意正整数 ，当 时，都有 成
立，求 的最大值．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ．
由于等比数列的首项为1，公比为正数，因此所有的项均为正数，
因此数列 为“ 数列”.
（2）①因为 ，所以
由 得 ，则 ，
由 ，得
当 时，由 ，得
故
整理得 ．
所以数列 是等差数列，且首项为 公差均为 ，
因此，数列 的通项公式为 .
②由①知， ， .因为数列 为“ 数列”，设公比为 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，其中 .
当 时，有 ；
当 时，有 ．
设 ，则 ．
令 ，得 .列表如下：
x
+ 0 –
极大
单调递增 单调递减
值
因为 ，所以 ．
所以 ，故 ，故 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，
在 , 上单调递减，
即 时， ，则 ，
下面求解不等式 ，
化简得 ，
令 ，则 ，
由 得 ， ， 在 , 上单调递减，
又由于 ， ，
存在 使得 ，所以 ，
的最大值为5.22．（2024·云南昆明·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】（1）因为 （ ）， 所以 （ ），
两式相减得 （ ）， 又因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 ．
（2）由（1） ，所以 ，令 ，
则 ，所以，当 时， ，
故 （ ， ）为减函数，而 ，又因为 恒成立，
所以 ，所以实数 的取值范围为 ．
23．（2024·高三·河南·专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数 的最小值．
【解析】（1）∵ ①，
∴当 时， ，∴ ，
当 时， ②，
① ②得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴数列 是以6为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ，
∴ ．
（2）由（1）得 ，所以 ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ ．
故实数 的最小值为 ．
24．（2024·高三·全国·专题练习）已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 和
的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ,设数列 的前n项和为 ，且对任意 ，都有 恒成立，
求实数m的取值范围．
【解析】（1）设等比数列 的公比为q，
因为 是 和 的等差中项，
所以 ，又 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
又因为数列 是递增的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）知 ,
①，
②，
得 ,
．由 得 ,
对任意 恒成立．当n为偶数时， ，则 ,
当n为奇数时， ,即 ,则 ，
∴实数m的取值范围是 ．
