第二十五章锐角的三角比(单元测试·培优卷)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(沪教)

                                                                           
                                                                       
第二十五章  锐角的三角比·培优卷


Ⅰ
 !"#$ 10 '()* 30 *(,' 3 *-
1 #3 *-#24-25 ./01·2334·5678-Rt △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐶= 90°(∠𝐴:∠𝐵= 1:2(:tan𝐴;<
#    -
A 
1
2
B 
3
2
C 
3
3
D 3
C
*=>?@AB(?@CD@EFG(HI∠𝐴;JBK x(:∠𝐵;JBK2𝑥(LMNOP
𝑥+ 2𝑥= 90°(QP∠𝐴= 30°(∠𝐵= 60°(RSTQP 
U
I∠𝐴;JBK x(:∠𝐵;JBK2𝑥(
VW𝑥+ 2𝑥= 90°(
O𝑥= 30°(
VW∠𝐴= 30°(∠𝐵= 60°(
VWtan𝐴= tan30° =
3
3 
X!
C 
2 #3 *-#24-25 ./01·YZ[\·5678-]Rt △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐶= 90°(𝐴𝐶= 5(𝐴𝐵= 13(:sin𝐴
;<K#    -
A 
5
72
B 
5
13
C 
12
13
D 
13
72
C
*=>^_@?@AB;F`abcFG(de_@?@ABfg;F`hij;k l
bcFGO𝐵𝐶= 12(RSmn?@ABF`oTO 
U
pq(
                                                                           
                                                                       
LMbcFGO(𝐵𝐶=
𝐴𝐵2−𝐴𝐶2 =
132−52 = 12 
∴sin𝐴=
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
12
13 
X!
C 
3 #3 *-#2025·rsYtuv·wxyz-]Rt △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐶= 90°(_@ A ;{|}|;~€∠𝐴
;‚(ƒ„cot𝐴(pq( cot𝐴=
𝐴𝐶
𝐵𝐶(:cot30°;<K#……-
A 
1
2
B 
3
2
C 
3
3
D 3
D
*=†‡>^?@CAB;ˆ‰(d7Š‹Œ@;?@AB<(h;k I∠𝐴= 30°(
∠𝐶= 90°(LMŽ@?@C;OP𝐴𝐵= 2𝐵𝐶(LMbcFGQP𝐴𝐶=
𝐴𝐵2−𝐵𝐶2 =
3𝐵𝐶(LM‘F
`(OPoT 
U
I∠𝐴= 30°(∠𝐶= 90°(
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐶(
∴𝐴𝐶=
𝐴𝐵2−𝐵𝐶2 =
3𝐵𝐶(
∴cot𝐴=
𝐴𝐶
𝐵𝐶=
3𝐵𝐶
𝐴𝐶=
3(
ocot30° =
3 
X!
D 
4 #3 *-#2025·23’“·?w-pq(]Rt △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴𝐶𝐵= 90°(” D K𝐴𝐵;9”(•–𝐶𝐷(—
𝐶𝐷= 3(cos𝐵=
2
3(:𝐴𝐶;˜K#    -
                                                                           
                                                                       
A 2
B 4
C 5
D 2 5
D
*=>^Ž@?@C(Ž@?@C™|9š;bcFG LMŽ@?@C™|9š;
QO𝐴𝐵= 2𝐶𝐷= 6(lgABQO
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
2
3(›P𝐵𝐶= 4(œLMbcFGQoT 
U
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°(” D K𝐴𝐵|9”(
∴𝐴𝐵= 2𝐶𝐷= 6(
∵cos𝐵=
2
3(
∴
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
2
3(
∴𝐵𝐶= 4(
∴𝐴𝐶=
𝐴𝐵2−𝐵𝐶2 =
62−42 = 2 5(
X!
D 
5 #3 *-#24-25 /0ž·ŸY \·¡9-pqh¢£¤¥¦§¨©Nq(ª«𝐶𝐷¬¨𝐴𝐵­®(¯
¦𝐴𝐷;°~K1:1(¥¦𝐵𝐶;°~K1:2(—¯¦𝐴𝐷˜K4±(:¥¦𝐶𝐵;˜K(……)±
A 4 2
B 2 10
C 4 5
D 4 10
B
*=>;hŽ@?@C;²n−°J°@j(Š‹°J;³´
°¨;µŽ¶JℎE·­¸
J𝑙;~h;k LMNHQO𝐶𝐹= 2 2(𝐵𝐹= 2𝐶𝐹= 4 2(RSbcFG(oTQ 
U
pq(
¹N𝐷𝐸⊥𝐴𝐸,𝐶𝐹⊥𝐹𝐵
∵¯¦𝐴𝐷;°~K1:1(¥¦𝐵𝐶;°~K1:2(ª«𝐶𝐷¬¨𝐴𝐵­®(
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐸,𝐵𝐹= 2𝐶𝐹,𝐷𝐸= 𝐶𝐹
∵𝐴𝐷˜K4±(
                                                                           
                                                                       
∴𝐶𝐹= 𝐷𝐸=
2
2 𝐴𝐷=
2
2 × 4 = 2 2
∴𝐵𝐹= 2𝐶𝐹= 4 2
]Rt △𝐵𝐶𝐹9(𝐵𝐶=
𝐶𝐹2 + 𝐹𝐵2 =
(2 2)
2 + (4 2)
2
= 2 10(
X!
B 
6 #3 *-#2025·ŸYº··»w-pq(]¼C𝐴𝐵𝐶𝐷9(𝐴𝐶𝐵𝐷½¾¿”𝑂(𝐵𝑀⊥𝐶𝐷(ÀÁK” M(
𝐵𝑀¾𝐴𝐶¿”𝑁(—𝑂𝐶= 4(𝑂𝐷= 2(:𝑂𝑁;˜K#    -
A 
1
2
B 1
C 2
D 3
B
*=>^¼C;(Ž@?@C(l¼C;TO𝑂𝐵= 𝑂𝐷= 2(𝐴𝐶⊥𝐵𝐷(:tan∠𝑂𝐶𝐷=
𝑂𝐷
𝑂𝐶=
1
2(œÂÃ∠𝑂𝐵𝑁= ∠𝑀𝐶𝑁(:tan∠𝑂𝐵𝑁= tan∠𝑂𝐶𝐷=
𝑂𝑁
𝑂𝐷=
1
2(MÄTO 
U
∵]¼C𝐴𝐵𝐶𝐷9(𝐴𝐶𝐵𝐷½¾¿”𝑂(
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐷= 2(𝐴𝐶⊥𝐵𝐷(
]Rt △𝐶𝑂𝐷9(tan∠𝑂𝐶𝐷=
𝑂𝐷
𝑂𝐶=
1
2(
∵𝐵𝑀⊥𝐶𝐷(
∴∠𝐶𝑀𝑁= ∠𝐵𝑂𝑁= 90°(
Å∵∠𝑂𝑁𝐵= ∠𝑀𝑁𝐶(
∴∠𝑂𝐵𝑁= ∠𝑀𝐶𝑁(
∴tan∠𝑂𝐵𝑁= tan∠𝑂𝐶𝐷=
𝑂𝑁
𝑂𝐷=
1
2(
∴𝑂𝑁= 1(
 X!
B  
7 #3 *-#22-23 ./01·YZ“Æ·¡Ç-pq(] △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴= 30°(𝐴𝐶= 2 3(tan𝐵=
3
2 (:𝐴𝐵
;˜K#    -
                                                                           
                                                                       
  
A 2 + 2 3
B 3 +
3
C 4
D 5
D
*„𝐶𝐷⊥𝐴𝐵¿𝐷(LM∠𝐴= 30°(𝐴𝐶= 2 3(‰P𝐶𝐷E𝐴𝐷(œLMtan𝐵=
𝐶𝐷
𝐵𝐷=
3
2 (‰P𝐵𝐷(È
ÉLM𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷ˆ‰oT 
Upžq(„𝐶𝐷⊥𝐴𝐵¿𝐷(
  
]Rt △𝐴𝐶𝐷9(∠𝐴= 30°(𝐴𝐶= 2 3(
∴𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐶=
3(𝐴𝐷=
3𝐶𝐷= 3(
]Rt △𝐵𝐶𝐷9(tan𝐵=
𝐶𝐷
𝐵𝐷=
3
2 (
∴
3
𝐵𝐷=
3
2 (
∴𝐵𝐷= 2(
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 3 + 2 = 5(
X!
D 
”Ê=>^n_@?@ABˎ@?@C(„ÀŽÌ͎@?@Ch;k 
8 #3 *-] △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴Î∠𝐵Ïh_@(Ðsin𝐴=
3
2 (cos𝐵=
1
2(: △𝐴𝐵𝐶h#     -.
A ÑÒ?@C
B Ñ|?@C
C Ž@?@C
D Ó@?@C
B
*LMŒ@;?@AB<QP∠𝐴= 60°(∠𝐵= 60°(ÔÉmn?@CD@EFGQP∠𝐶;JB(
oT 
                                                                           
                                                                       
U
∵sin𝐴=
3
2 (cos𝐵=
1
2(
∴∠𝐴= 60°(∠𝐵= 60°(
∴∠𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 60°(
∴△𝐴𝐵𝐶hÑ|?@C(
X!
B 
”Ê=>^Œ@;?@AB<(d7Š‹Œ@;?@AB<h;k 
9 #3 *-pq(]ÕC ABCD 9(𝐴𝐷= 2 3(𝐴𝐵= 5(M h CD 1;”(Ö △𝐴𝐷𝑀׎š AM }Ø
OÙ △𝐴𝑁𝑀(— AN ­*∠𝑀𝐴𝐵(: CN ;˜K#    -
A 
3 5
2
B 5
C 7
D 3
C
*ª” N „ CD ;Àš¾𝐶𝐷¿” E(LM}ØE­*šTWOÙ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝑁𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝑁= 30(œ
mn?@ABTWQP𝐷𝑀= 𝑀𝑁= 2(𝑀𝐸= 1,𝐸𝑁=
3(ÈÉmnbcFGTWQP CN ;˜ 
U
pq(ª” N „ CD ;Àš¾𝐶𝐷¿” E
lØÚTe
𝐷𝑀= 𝑀𝑁(𝐷𝐴= 𝐴𝑁= 2 3(∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝑁𝐴𝑀 
∵AN ­*∠𝑀𝐴𝐵
∴∠𝑁𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝑁
∴∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝑁𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝑁 
∵∠𝐷𝐴𝐵= 90° 
∴∠𝐷𝐴𝑀= 30°(∠𝐷𝐴𝑁= 60°
∴𝐷𝑀= 𝐴𝐷·tan30° = 2 3 ×
3
3 = 2
∴𝑀𝑁= 𝐷𝑀= 2 
∵∠𝐷𝐴𝑁+ ∠𝐷𝑀𝑁= 180°(∠𝐶𝑀𝑁+ ∠𝐷𝑀𝑁= 180°
                                                                           
                                                                       
∴∠𝐶𝑀𝑁= ∠𝐷𝐴𝑁= 60°
∴𝑁𝐸= 𝑀𝑁·sin60° = 2 ×
3
2 =
3(𝑀𝐸= 1 
∴𝐶𝐸= 5−2−1 = 2
∴]𝑅𝑡△𝐸𝐶𝑁9(lbcFGTO
𝐶𝑁=
( 3)
2 + 22 =
3 + 4 =
7 
X!
C
”Ê=>^ØÚ;ÎŽ@?@CWabcFG(fۄPÜݚhk 
10 #3 *-pq(Žš y=
3
4x+3 ¾ x Þ¿ A ”(ÖßÑҎ@?@Càá;Ž@â”ã¿ä” O(åæ
ç┠MÎN èé]Žš y=
3
4x+3 1(— N ”]»êëD(: tan∠AON ;<K#……-
  
A 
1
7
B 
1
6
C 
1
5
D 
1
8
A
*ª O „ OC⊥AB ¿ C(ª N „ ND⊥OA ¿ D(I N ;ìíh#x(
3
4x+3-(OP DN=
3
4x+3(OD=-x(Q
P OA=4(OB=3(lbcFGQP AB=5(l?@C;¨îïOP AO×OB=AB×OC(ðñQP OC(LM sin45°=
𝑂𝐶
𝑂𝑁(QP ON(] Rt△NDO 9(lbcFGOP#
3
4x+3-2+#-x-2=(
12 2
5 )2(QP N ;ìí(OP NDÎOD(
ðñ tan∠AON=
𝑁𝐷
𝑂𝐷QPoT 
Uª O „ OC⊥AB ¿ C(ª N „ ND⊥OA ¿ D(
                                                                           
                                                                       
  
∵N ]Žš y=
3
4x+3 1(
∴I N ;ìíh#x(
3
4x+3-(
: DN=
3
4x+3(OD=-x(
y=
3
4x+3(
ò x=0 ó(y=3(
ò y=0 ó(x=-4(
∴A#-4(0-(B#0(3-(
o OA=4(OB=3(
]△AOB 9(lbcFGO
AB=5(
∵]△AOB 9(l?@C;¨îïO
AO×OB=AB×OC(
∴3×4=5OC(
OC=
12
5 (
∵] Rt△NOM 9(OM=ON(∠MON=90°(
∴∠MNO=45°(
∴sin45°=
𝑂𝐶
𝑂𝑁=
12
5
𝑂𝑁(
∴ON=
12 2
5 (
] Rt△NDO 9(lbcFGO
ND2+DO2=ON2(
o#
3
4x+3-2+#-x-2=(
12 2
5 )2(
O
x1=-
84
25(x2=
12
25(
∵N ]»êë(
∴x ôõh-
84
25(
                                                                           
                                                                       
3
4x+3=
12
25(
o ND=
12
25(OD=
84
25(
tan∠AON=
𝑁𝐷
𝑂𝐷=
1
7 
X! A 
”Ê=>^öABqê1”;ìíŒ÷(bcFG(?@C;¨î(Ž@?@CÑeø”;
ùn(†‡>úùnûüR®ˆ‰;õý(þ~ÿĀā(Ăă~ÿĄ 
» ąĆ#$ 6 '()* 18 *(,' 3 *-
11 #3 *-#24-25 ./01·YZ“Æ·5678-pq(] △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐶= 90°(𝐴𝐶= 3(𝐴𝐵= 6(:
∠𝐴=      
 
60°/60J
*=†‡>^?@ABF`(HQP∠𝐵;fg<(OP∠𝐵= 30°(ÔÉLMŽ@?@Cæ_@
ĉQPĊċoT 
U
∵∠𝐶= 90°(𝐴𝐶= 3(𝐴𝐵= 6(
∴sin𝐵=
𝐴𝐶
𝐴𝐵=
3
6 =
1
2(
∴∠𝐵= 30°(
∴∠𝐴= 90°−30° = 60° 
XK
60° 
12 #3 *-#2025·YZ“Æ·w-]Rt △𝐴𝐵𝐶9(𝐴𝐶= 3(𝐶𝐷K™|𝐴𝐵1;9š(—𝐶𝐷= 2(:cos𝐴
;<K      
 

3
4/0.75
*=>Žš?@C™|19šÑ¿™|;ČWag;F` LM™|1;9šÑ¿™|;
ČWag;F`
{|~™|(R®ˆ‰oT 
U
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的中线，
∴𝐴𝐵= 2𝐶𝐷= 2 × 2 = 4，
                                                                           
                                                                       
∴cos𝐴=
𝐴𝐶
𝐴𝐵=
3
4č
XK
3
4 
13 #3 *-#24-25 ./01·YZĎď·5678-pq(]Ž@ △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐶= 90°(” D ]š6𝐴𝐶1(
Ð∠𝐴= 30°(∠𝐵𝐷𝐶= 60°(𝐴𝐷= 2(:𝐵𝐶=        
 
 3
*=>^Ž@?@C(Hmn?@CĐ@ˆ‰P∠𝐴𝐵𝐷= 30°(:∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷(VW
𝐵𝐷= 𝐴𝐷= 2(ÔÉ]Rt △𝐵𝐷𝐶9mn∠𝐵𝐷𝐶;fgTˆ‰P𝐵𝐶;˜ 
U
∵∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷(∠𝐴= 30°(∠𝐵𝐷𝐶= 60°(
∴∠𝐴𝐵𝐷= 30°(
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷(
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐷= 2(
]Rt △𝐵𝐷𝐶9(
∵sin∠𝐵𝐷𝐶=
𝐵𝐶
𝐵𝐷(
∴𝐵𝐶= 2sin60° = 2 ×
3
2 =
3 
XK
 3 
14 #3 *-#2025·rsYtuv·wxyz-] △𝐴𝐵𝐶9(𝐷K?@CDđ”(𝐴𝐶= 𝐵𝐷(𝐴𝐷⊥𝐶𝐷(
∠𝐵𝐷𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°(tan∠𝐶𝐴𝐷= 0.5(:tan∠𝐵𝐴𝐷=           
 

3
3
*=>^Q@;f‚<(Ēa^ēÑ?@C;ĔF(ĕ˜𝐵𝐷(¾𝐴𝐶¿𝐸(ª𝐷„𝐷𝐹⊥𝐴𝐵
¿𝐹(Â △𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐹𝐷(O𝐹𝐷= 𝐷𝐶čLMtan∠𝐷𝐴𝐶=
𝐶𝐷
𝐴𝐷=
1
2TO
𝐹𝐷
𝐴𝐷=
1
2(∠𝐵𝐴𝐷= 30°(oTQč
                                                                           
                                                                       
U
ĕ˜𝐵𝐷(¾𝐴𝐶¿𝐸(ª𝐷„𝐷𝐹⊥𝐴𝐵¿𝐹(
∵∠𝐵𝐷𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°(∠𝐵𝐷𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐴= 180°(
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐴č
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐵𝐴č
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐷(∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐷𝐹𝐵= 90°(
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐵𝐹𝐷(
∴𝐹𝐷= 𝐷𝐶č
∵tan∠𝐷𝐴𝐶=
𝐶𝐷
𝐴𝐷=
1
2(
∴
𝐹𝐷
𝐴𝐷=
1
2(
∴∠𝐵𝐴𝐷= 30°
∴tan∠𝐵𝐴𝐷=
3
3 (
XK
3
3
15 #3 *-pq(Ė9ėç'Ę A(ęĚěl3ĜĝĞ®(]” B ğzO'Ę A Ġ¿ġ;ĝĢģĜ(Ä
óĚě'Ę½Ĥ 20 Ėĥ(ĦħĞ®Ĩ” D ğ(zO'Ę A ]ġ;Ģĩ3 60°ģĜ(ÄóĚě'Ę;Ĥ
Ī𝐴𝐷K        
Ėĥ 
20 2
*ª” A „ AC⊥BD(LMģĠ@a?@ABoTQ 
Upq(ª” A „ AC⊥BD(
                                                                           
                                                                       
¹NTO∠ABC=45°
∴△ABC hÑҎ@?@C(AB=20(Ėĥ)
∴AC=BC=ABsin45°=10 2(Ėĥ)
] Rt△ACD 9(∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 2 (Ėĥ)
XK
20 2 
”ÊƇ>Ž@?@C(;khdeŒ@;?@AB< 
16 #3 *-△ABC 9(ABī4(ACī5(△ABC ;¨îK 5 3(Ĭĭ∠A ;JBh         
 
60°Į 120°/120°Į 60°
*įHLMİeıIJTWijP½²;qC(LM AC=5(TWQP AC |1;¶(œLM∠A ;?@A
B<TO∠A ;JB(NĴ‡*ĵĶķĸ 
U
ò∠A h_@ó(
pq(ª” B „ BD⊥AC ¿ D(
∵ACī5(△ABC ;¨îK 5 3(
∴BDī5 3×2÷5ī2 3(
]𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷9(sinAī
𝐵𝐷
𝐴𝐵ī
2 3
4 ī
3
2 (
∴∠Aī60° 
ò∠A hÓ@ó(
pq(ª” B „ BD⊥AC(¾ CA ;ĕ˜š¿ D(
                                                                           
                                                                       
∵ACī5(△ABC ;¨îK 5 3(
∴BDī5 3×2÷5ī2 3(
] Rt△ABD 9(sin∠BADīsinAī
𝐵𝐷
𝐴𝐵ī
2 3
4 ī
3
2 (
∴∠BADī60° 
∴∠BACī180°﹣60°ī120° 
XK 60°Į 120° 
”Ê=>Ž@?@C(;khijPăĹ;qC(„P½²;Üݚ 
Ⅱ
? #$ 8 '()* 72 *-
17 #6 *-#24-25 ./01·ļĝĽľ·5678-ˆ‰
(1)2sin60° + 3tan30°
(2)cos245° + tan60°cos30°
(1)2 3
(2)2
*=>Œ@;?@AB<;Ŀăù‰(֌@;?@AB<ðñ(R®ˆ‰oT dƒŒ
@;?@AB<(h;k 
U#1-
äï = 2 ×
3
2 +3 ×
3
3 = 2 3č
#2-äï =
2
2
2
+
3 ×
3
2 =
1
2 +
3
2 = 2 
18 #6 *-#23-24 ./01·ŀ\Łł·5678-pq(]­¨Ž@ìíŃ9(P h∠𝛼;|𝑂𝑄1;”(
İe” P ;ńìíK 6(Ðsin𝛼=
4
5 
                                                                           
                                                                       
(1)Q” P ;Ņìíč
(2)cos𝛼;<K______ 
(1)” P ;ŅìíK 8
(2)
3
5
*
=>^İefg<Q|˜(Q@;g<(Š‹?@AB<ņŇK|;~h;k 
#1-lsin𝛼=
𝑃𝑀
𝑂𝑃=
4
5(TI𝑃𝑀= 4𝑥(𝑂𝑃= 5𝑥(mnbcFGňģʼn(QP x ;<oT 
#2-lg;F`oTQč
U#1-pq(ª” P „𝑃𝑀⊥𝑥Þ¿” M( :∠𝑃𝑀𝑂= 90°( 
∵” P ;ńìíK 6(  
∴𝑂𝑀= 6(
∵sin𝛼=
4
5(
∴
𝑃𝑀
𝑂𝑃=
4
5(
I𝑃𝑀= 4𝑥(:𝑂𝑃= 5𝑥(
]Rt △𝑃𝑀𝑂9(𝑂𝑀2 +𝑃𝑀2 = 𝑂𝑃2(
∴62 + (4𝑥)2 = (5𝑥)2(
O𝑥= 2#ŊBŋŌ-(
∴𝑃𝑀= 4𝑥= 8(
                                                                           
                                                                       
∴” P ;ŅìíK 8 
#2-l#1-e(𝑂𝑃= 5𝑥= 10(
∴cos𝛼=
𝑂𝑀
𝑂𝑃=
6
10 =
3
5(
XK
3
5 
19 #8 *-#2025·ŸYō\·?w-pq(] △𝐴𝐵𝐶9(”𝐷h𝐵𝐶|1”(Ð
𝐴𝐵= 𝐴𝐷,𝐴𝐸⊥𝐵𝐶,𝐴𝐵= 13,𝐴𝐸= 12,𝐶𝐷= 11 
(1)Q𝐵𝐸;˜ 
(2)Qtan∠𝐴𝐶𝐸;< 
(1)𝐵𝐸= 5
(2)tan∠𝐴𝐶𝐸=
3
4
*=>^bcFG(Qç@;f‚<(ÑÒ?@C;?šă(fۊ‹½DŎh
;k 
#1-ùnbcFGň(oT„ 
#2-HĊăÑÒ?@C;?šă(O𝐸𝐷= 5(:𝐸𝐶= 11 + 5 = 16(œŏB<ðñtan∠𝐴𝐶𝐸=
𝐴𝐸
𝐸𝐶R®Ň
Ő(oT„ 
U#1-
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶,𝐴𝐵= 13,𝐴𝐸= 12,
∴]Rt △𝐴𝐵𝐸9(𝐵𝐸=
𝐴𝐵2−𝐴𝐸2 = 5 
#2-
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷,𝐴𝐸⊥𝐵𝐶,
∴𝐸𝐷= 𝐵𝐸(
l#1-O𝐵𝐸= 5(
∴𝐸𝐷= 5(
∵𝐶𝐷= 11(
∴𝐸𝐶= 11 + 5 = 16(
:tan∠𝐴𝐶𝐸=
𝐴𝐸
𝐸𝐶=
12
16 =
3
4 
                                                                           
                                                                       
20 #8 *-#24-25 ./01·ļĝőŒ·5678-œ9ŔŕŖŗŘřŚśŜŝŞ¿şşŠšŢ('ţ
Ť]śŜŗ(ť𝐶ğzOśŜâ𝐴;Ŧ@K53°('ĄŤ]ŔŕŖŧŗ;Ũ51(ť𝐷ğzOśŜâ𝐴;Ŧ@
K45°(Äó(æũ;·­ĤĪ𝐸𝐶K0.45 m(İeŔŕŖŧŗŨ5™°𝐶𝐷;°~K𝑖= 1:3 #BM
sin53° ≈
4
5(cos53° ≈
3
5(tan53° ≈
4
3-
(1)ˆ‰Ũ5𝐷𝐸;¶Jč
(2)QřŚśŜ𝐴𝐵;¶J 
(1)0.15m
(2)2.4m
*=>;hŽ@?@C;²n﹣°J°@(Ž@?@C;²n﹣Ŧ@Ū@j(Š‹Ŧ@
Ū@;³´Îdƒ_@?@AB;F`h;k 
#1-LMŔŕŖŧŗŨ5™°𝐶𝐷;°~K𝑖= 1:3ˆ‰oTč
#2-I𝐴𝐵;}|K𝑀𝑁(„𝐷𝐹⊥𝑀𝑁¿ F(LMÕC;OÙ𝐹𝑁= 𝐷𝐸= 0.15m(𝐷𝐹= 𝑁𝐸(LMÑÒ
Ž@?@C;Îf‚;F`ˆ‰(OÙ 
U#1-
∵ŔŕŖŧŗŨ5™°𝐶𝐷;°~K𝑖= 1:3(𝐸𝐶K0.45m(
∴
𝐷𝐸
𝐸𝐶=
1
3(
∴𝐷𝐸=
𝐸𝐶
3 = 0.15m(
oŨ5𝐷𝐸;¶JK0.15mč
#2-
pqV©(I𝐴𝐵;}|K𝑀𝑁(„𝐷𝐹⊥𝑀𝑁¿ F(
                                                                           
                                                                       
∴lNO(ū|C𝑁𝐹𝐷𝐸hÕC(
∴𝐹𝑁= 𝐷𝐸= 0.15m(𝐷𝐹= 𝑁𝐸(
I𝑀𝑁= 𝑥m(:𝑀𝐹= (𝑥−0.15)m(
]Rt △𝑀𝐹𝐷9(∠𝑀𝐷𝐹= 45°(
∴𝐹𝐷= 𝑀𝐹= (𝑥−0.15)m(
∴𝑁𝐶= 𝑁𝐸−𝐸𝐶= (𝑥−0.15)−0.45 = (𝑥−0.6)m(
∴tan53° =
𝑀𝑁
𝑁𝐶≈
4
3(o
𝑥
𝑥−0.6 =
4
3(
O𝑥= 2.4(
ŬŭŮ(𝑥= 2.4häģʼn;(

řŚśŜ𝐴𝐵;¶Jů2.4m 
21 #10 *-#2025·ŰűŲä·wxyz-q①Îq②Îq③ųh8 × 8;fģCŴŵ(,ç'fģC;
|˜ųK1(,ç'fģC;â”ŶKŵ”( △𝐴𝐵𝐶;â”ų]ŵ”1(ônĎŷJ;ŽŸ(*Ź]źF;
Ŵŵ9Ż‡Qijq 
(1)]q①9;𝐵𝐶|1ż”𝐸(Žtan∠𝐶𝐴𝐸=
1
2č
(2)]q②9ij △𝐴𝐵𝐶;@­*š𝐴𝐷č
(3)]q③9;𝐴𝐵|1ij”𝑀(Ž𝐴𝑀:𝐵𝑀= 4:3 
(1)ž
                                                                           
                                                                       
(2)ž
(3)ž
*=†‡>?@AB;eøÎÑÒ?@C?šă;eøνſ?@C;eø 
#1-šLM?@AB|;ŃOP
𝐸𝐶
𝐴𝐶=
1
2(œðñ𝐴𝐶= 4oTOP 
#2-LMÑÒ?@C;?šă;eø(HÌÍÑÒ?@C(œżÙƀ|9”•šoT 
#3-LM½ſ?@C}²|Ɓ~ƂÌÍ4:3;ÑÒ?@CoT 
U#1-
pqV©
∵tan∠𝐶𝐴𝐸=
1
2(
∴
𝐸𝐶
𝐴𝐶=
1
2(
∵𝐴𝐶= 4(
∴
𝐸𝐶
4 =
1
2(
∴𝐸𝐶= 2 
#2-pqV©
∵𝐴𝐶= 4(𝐶𝐵= 3(
∴𝐴𝐵=
42 + 32 = 5(
W”𝐴Kâ”(ÌÍÑÒ?@C(
LM?šă;eøTeÑÒ?@C;9šhâ”;@­*š 
#3-pqV©
                                                                           
                                                                       
22 #10 *-#2025·ļ3ƃƄ·»w-ƅƆh?Ƈƈ¬;ƉƊƆ(WƋƌĥ;ƍƎƏƐƑƒƓ/ƔÃ(n
ƕƖ·ƗƘ‘óð;úƙƚƛ ]ĂăƜƝƞ1(ƜƝ'ƟŽnĎũƠzơƅƆ#q 1-œ6;¸J pq
2(Ƣƣ]ƆƤƥ;ƦƧŨ#ÕC𝐴𝐵𝐶𝐷-1ƨƩ¢ĎũƠ(òĎũƠƪÙƆ¨1ģ”𝑃ğ(zOƦƧŨ
f}Ƥ𝑄ğ;Ū@K63.6°(zOƦƧŨâƫ𝐴ğ;Ū@K47.3°(zOƦƧŨâƫ𝐷ğ;Ū@K36.7°(İeƦ
ƧŨ¶𝐴𝐵K 10 ±(Ũ¨¸𝐴𝐷K 16 ±#q9Vė”ų]Ƭ­¨D(𝑄,𝐵,𝐶?”$š-(QÄƆ6;¸
𝑄𝐶 #ĊċƭƮĠ'B(BM
tan47.3° ≈1.08(tan36.7° ≈0.75(tan63.6° ≈2.01-
ƯƆ6;¸𝑄𝐶ůK76.9± 
*=†‡>ŦŪ@Ž@?@C(ÕC;ĔF ª”𝑃„𝑃𝐹⊥𝐵𝑄¿”𝐸(ª”𝐴„𝐴𝐹⊥𝑃𝐸
¿”𝐹 I𝑃𝐹= ℎ±(𝐴𝐹= 𝐵𝐸= 𝑎±(mnŽ@?@COÙℎ= 𝑎⋅tan47.3°(Waℎ= (𝑎+ 16) ⋅tan
36.7°(ưŞÑïQP𝑎,ℎ(RSQP𝑄𝐸(œLM𝑄𝐶= 𝑄𝐸+ 𝐵𝐸+ 𝐵𝐶Q(oT 
U
pq(ª”𝑃„𝑃𝐹⊥𝐵𝑄¿”𝐸(ª”𝐴„𝐴𝐹⊥𝑃𝐸¿”𝐹 
:ū|C𝐴𝐵𝐸𝐹KÕC(
                                                                           
                                                                       
LMNO∠𝑃𝑄𝐸= ∠𝑀𝑃𝑄= 63.6°(∠𝑃𝐴𝐹= ∠𝑁𝑃𝐴= 47.3°(∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑁𝑃𝐷= 36.7°(𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 16±(
𝐸𝐹= 𝐴𝐵= 10± 
I𝑃𝐹= ℎ±(𝐴𝐹= 𝐵𝐸= 𝑎±(
]Rt △𝐴𝑃𝐹9(𝑃𝐹= 𝐴𝐹⋅tan∠𝑃𝐴𝐹(
oℎ= 𝑎⋅tan47.3° 
]Rt △𝑃𝐷𝐹9(𝑃𝐹= 𝐷𝐹⋅tan∠𝑃𝐷𝐹(
oℎ= (𝑎+ 16) ⋅tan36.7°(
∴𝑎⋅tan47.3° = (𝑎+ 16) ⋅tan36.7°(
O𝑎≈36.36(ℎ≈39.27(
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹+ 𝐸𝐹= 39.27 + 10 = 49.27 
]Rt △𝑃𝐸𝑄9(𝑄𝐸=
𝑃𝐸
tan∠𝑃𝑄𝐸=
49.27
tan63.6° ≈24.51(
∴𝑄𝐶= 𝑄𝐸+ 𝐵𝐸+ 𝐵𝐶= 24.51 + 36.36 + 16 ≈76.9#±-(
∴ƯƆ6;¸𝑄𝐶ůK76.9± 
23 #12 *-#2022·Ʊ“·9Ʋ-ƳƴžňƵƶ
] △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴Î∠𝐵Î∠𝐶V};|*ŹK𝑎Î𝑏Î𝑐(QÂ
𝑎
sin𝐴=
𝑏
sin𝐵 
ÂÃ
pq 1(ª”𝐶„𝐶𝐷⊥𝐴𝐵¿”𝐷(:
]RtΔBCD9( CD=asinB
]RtΔACD9(𝐶𝐷= 𝑏sin𝐴
∴𝑎sin𝐵= 𝑏sin𝐴
∴ 
𝑎
sin𝐴=
𝑏
sin𝐵
LM1¨;Ƶƶižňj
(1)pq 2(]Δ𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴Î∠𝐵Î∠𝐶V};|*ŹK𝑎Î𝑏Î𝑐(QÂ
𝑏
sin𝐵=
𝑐
sin𝐶č
(2)K^ƷƸƱ“ƹįƺƻƼƽƾƈƿ(ǀǁǂǃîDŽDžŇƻƼdžLJ pq 3(Ljlj9;NJ?@CNjnjĴǍ
                                                                           
                                                                       
Ň(İe∠𝐴= 67°(∠𝐵= 53°(𝐴𝐶= 80±(QûNJNjnj;¨î #ĊċƭƮL	 BM
sin
53° ≈0.8(sin67° ≈0.9)
(1)ž
(2)1800 3
*#1-„ BC |1;¶(mn?@ABǎ© AD É(oTưŞǏǐQč
#2-„ BC |1;¶(mn?@AB*ŹQP AE E BC(oTQ 
U#1-证明：如图2，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，
在𝑅𝑡Δ𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷= 𝑐sin𝐵，
在𝑅𝑡Δ𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝑏sin𝐶，
∴ 𝑐sin𝐵= 𝑏sin𝐶，
∴ 
𝑏
sin𝐵=
𝑐
sin𝐶；
#2-解：如图3，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 67°，∠𝐵= 53°，
∴∠𝐶= 60°，
在𝑅𝑡Δ𝐴𝐶𝐸中，𝐴𝐸= 𝐴𝐶⋅sin60° = 80 ×
3
2 = 40 3(𝑚)
又∵ 
𝐴𝐶
sin𝐵=
𝐵𝐶
sin∠𝐵𝐴𝐶，
即
80
0.8 =
𝐵𝐶
0.9，
∴ 𝐵𝐶= 90(𝑚)，
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 90 × 40 3 = 1800 3(𝑚2)．
                                                                           
                                                                       
”Ê本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问
题的前提．
24 #12 *-#2025·Ɔ“Ǒ\·w-#1-eøœǒǓƣe«(Ž@?@C9ė6çǔǕ−−?ç@(?
ı|(lİeǔǕQPVėǖeǔǕ;ªʼnŽ@?@C(žň?çıIJ9(ǗõŽ@?@C;h
________ 
①İeæı|č②İeı|Eç_@č③İeæç@ 
#2-ǏŃǘƾǙƾǚŌ(ǛN?@C9ė6çǔǕ−−?ç@(?ı|(lİeǔǕQPVėǖeǔǕ
;ªʼn?@C ?@ABh?@C|@Ń;ǜǝ(ǞTW„K?@C;[nǟǠ pq 1(İe
△𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴= 30°(∠𝐵= 45°(𝐴𝐵= 5 + 5 3(ûç?@Cč
#3-ĕǡ²npq 2( △𝐴𝐵𝐶9(𝐴𝐶= 2 3(cos𝐴=
3
2 (𝐵𝐶= 𝑚(]ûç?@Có(—ǖeǔǕ
Ïėæ;𝑚;Ǣ<ǣǤh________ 
#1-③č#2-∠𝐴𝐶𝐵= 105°(𝐴𝐶= 10(𝐵𝐶= 5 2č#3- 3 < 𝑚< 2 3
*=>^Ž@?@C(ÑҎ@?@C;(ǥ30°@;Ž@?@C;(;kh
Š‹½eø 
#1-LMŽ@?@C;F`TOĊĸč
#2-ª”𝐶„𝐶𝐷⊥𝐴𝐵¿”𝐷(l △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴= 30°(∠𝐵= 45°(TO∠𝐴𝐶𝐵= 105°(𝐶𝐷= 𝐴𝐷(
𝐴𝐶= 2𝐶𝐷(I𝐶𝐷= 𝐵𝐷= 𝑥(:𝐴𝐶= 2𝑥(𝐴𝐷= 5 + 5 3−𝑥(LMtan∠𝐴=
𝐶𝐷
𝐴𝐷=
3
3 ňģʼnQP𝑥(oTQ
č
                                                                           
                                                                       
#3-ª”𝐶„𝐶𝐸⊥𝐴𝐵(¾𝐴𝐵;ĕ˜š¿”𝐸(l𝐴𝐶= 2 3(cos𝐴=
3
2 (TO𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐶=
3(ò𝐵𝐶= 𝐶𝐸= 𝑚
Į𝐵𝐶≥𝐴𝐶ó(𝐵𝐶ėǦ(ò𝐶𝐸< 𝐵𝐶< 𝐴𝐶(o 3 < 𝑚< 2 3ó(𝐵𝐶ėæç(TOĊĸ 
U
#1-ǗõŽ@?@C;hİeæç@(
XK
③č
#2-pq 1(ª”𝐶„𝐶𝐷⊥𝐴𝐵¿”𝐷(
∵ △𝐴𝐵𝐶9(∠𝐴= 30°(∠𝐵= 45°(
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 180°−30°−45° = 105°(𝐶𝐷= 𝐵𝐷(𝐴𝐶= 2𝐶𝐷(
I𝐶𝐷= 𝐵𝐷= 𝑥(:𝐴𝐶= 2𝑥(𝐴𝐷= 𝐴𝐵−𝐵𝐷= 5 + 5 3−𝑥(
]Rt △𝐴𝐶𝐷9(tan∠𝐴=
𝐶𝐷
𝐴𝐷=
3
3 (o
𝑥
5+5 3−𝑥=
3
3 (
O
𝑥= 5(
∴ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷= 5(𝐴𝐶= 2𝑥= 10(
∴ 𝐵𝐶=
2𝐶𝐷= 5 2(
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= 105°(𝐴𝐶= 10(𝐵𝐶= 5 2č
#3-ª”𝐶„𝐶𝐸⊥𝐴𝐵(¾𝐴𝐵;ĕ˜š¿”𝐸(
∵ 𝐴𝐶= 2 3(cos𝐴=
3
2 (
∴ ∠𝐴= 30°(
∴ 𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐶=
3(
ò𝐵𝐶= 𝐶𝐸= 𝑚Į𝐵𝐶≥𝐴𝐶ó(𝐵𝐶ėǦ(
ò𝐶𝐸< 𝐵𝐶< 𝐴𝐶(o 3 < 𝑚< 2 3ó(𝐵𝐶ėæç(
XK
 3 < 𝑚< 2 3