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专题 02 平面向量与复数
4大考点概览
考点01复数
考点02平面向量的线性运算
考点03平面向量的基本定理及其坐标表示
考点04平面向量的数量积
考点1 复数
运算
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）已知复数z满足 ，则z＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助复数运算法则计算即可得.
【详解】 ．
2．（2026·湖南衡阳·二模）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．8 D．12
【答案】A
【详解】由 ，得 ．
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数 在复平面内对应的点位于第一象限
C．复数 的共轭复数为
D．将复数 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 ，所得向量对应的复数为
【答案】B
【分析】由复数的除法法则可得 ，计算复数的模判断A；写出对应的点判断B；求出其共轭复数判
断C；求出旋转所得向量对应的复数，判断D.【详解】由复数 满足 ，得 ，所以 ，A错误；
复数 对应的点为 ，位于第一象限，B正确；
复数 的共轭复数是 ，C错误；
复数 对应的点为 ，绕原点按逆时针方向旋转 ，得到的点为 ，所以所得向量对应的复数
应为 ，D错误.
4．（2026·湖南永州·二模）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．1 B． C．i D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算法则和复数虚部的概念即可得到答案.
【详解】 ，
则 的虚部为 .
故选：B.
二、填空题
5．（2026·湖南湘潭·二模） __________.
【答案】
【详解】 .
考点2 平面向量的线性运算
一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD中，点 在线段AC上，且 .若
，其中 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，
又 ，则 ，故 .
2．（2026·湖南永州·二模）已知菱形 的边长为2， 是 的中点，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】以 为基底表示出 ，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】 ，
.
故选：C.
二、填空题
3．（2026·湖南怀化·二模）已知圆 的圆心为 ，半径为 ， ， ， 是圆 上的动点，且 ，
则 的取值范围为________．
【答案】
【分析】由弦长与半径的关系可知两条半径垂直，利用向量加法的几何意义，将目标表达式转化为从某固
定圆上的动点到已知圆上动点的距离，通过分析两圆的位置关系，得到距离的取值范围.【详解】延长 至点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ， ,
．
是 的中点， ，所以 ，所以 ， ，
，
在 中， ， ，所以 ，所以点 的轨迹是以 为圆心，
为半径的圆，
的最小值为 ，最大值为 ，所以 的取值范围为 ．
考点3 平面向量的基本定理及其坐标表示
一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD中，点 在线段AC上，且 .若
，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，
又 ，则 ，故 .二、填空题
2．（2026·湖南·二模）如图，等边 边长为2，点 、 分别为 、 的中点，连接 并延长至
点 ，使得 ，则 _________．
【答案】
【详解】因为点 ， 分别是边 ， 的中点，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ．
考点4 平面向量的数量积
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量 与 的夹角为120°， ，则 （ ）
A．3 B．7 C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的数量积求解向量的模即可.【详解】
2．（2026·湖南衡阳·二模）已知向量 ， ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则
实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知 ， ，结合投影向量的公式得 ，求解即得.
【详解】由题意知： ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，即 ，
所以 ，解得 ．
3．（2026·湖南常德·二模）如图，在边长为2的正方形 中， 分别为 的中点，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】以 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则 ，则 ，
则 .
4．（2026·湖南邵阳·二模）已知 是 内的一点，且 ， .若 ，
和 的面积分别为1， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B．9 C．15 D．20
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得 的面积，依题意求出 的值，利用基本
不等式“1”的妙用求解.
【详解】因 ，则 ，
则 ，于是 ，
， 和 的面积分别为1， ， ，
， ， ，
，当且仅当 时，即 ，等号成立，
的最小值是 .
5．（2026·湖南永州·二模）已知菱形 的边长为2， 是 的中点，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】以 为基底表示出 ，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】 ，
.
故选：C.
6．（2026·湖南湘潭·二模）在平行四边形 中， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用平面向量加减运算法则和数量积即可求解.
【详解】在平行四边形 中，因为 ，
所以 ，
所以
故选：
二、多选题7．（2026·湖南邵阳·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C． 的最大值为
D．若点 是 的外心，且 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得 ，进而可得 ；B利用正弦定理可得 ，再利
用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得 ，进而分析最值；D
根据数量积的几何意义结合外心性质可得 ，解方程即可.
【详解】A：因为 ，则 ，可得
，
因为 ，则 ， ，可得 ，所以 ，故A正确；
B：由正弦定理 ，得 ， ，
则 ，解得 ，因为 是边AC的中点，则 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，故B错误；
C：因为
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故C正确；
D：因为 ， ，则 ，即 ， ， ，
因为 ，则 ，
即 ，解得 ，故D正确.
