解三角形：最值与范围问题专项训练
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c S 为
ABC
V
的面积，
4
a =
，且
2
2
2S
a
b
c
=
-
-
，则
ABC
V
的周长的取值范围是（ ）
A．8,4 5
4ù
+ û
B．12,2 5
2ù
+ û
C．8,2 5
2ù
+ û
D．12,4 5
4ù
+ û
【答案】D
【详解】
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
S
a
b
c
a
b
c
bc
bc
bc
A
=
=
-
-
-
-
+
=
-
Q
，
1
cos
sin
2
S
bc
bc
A
bc
A
\
=
-
=
，
∴
1
1
cos
sin
2
A
A
-
=
，即
2
2sin
sin
cos
2
2
2
A
A
A
=
，A 为锐角，
∴
1
1
4
4
3
tan
,tanA
,sin
,cos
1
2
2
3
5
5
1
4
A
A
A
=
=
=
=
=
-
，又
4
a =
，
由正弦定理可得
5
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
=
，
所以
5 sin
sin
5 sin
sin
b
c
B
C
B
A
B
é
ù
+
=
+
=
+
+
ë
û
3
4
5 sin
sin
cos
8sin
4cos
5
5
B
B
B
B
B
æ
ö
=
+
+
=
+
ç
÷
è
ø
4 5sin B
j
=
+
，其中
1
tan
2
j =
，
2
A
j =
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，
所以π
π
2
2
A
B
-
<
<
，则π
π
2
2
A
B
j
j
j
-
+
<
+
<
+
，
即：π
π
2
2
2
2
A
A
B
j
-
<
+
<
+
，
所以
cos
sin
1
2
B
A
j
<
+
£ ，又
2
cos 2
5
A =
，
∴
4 5sin
5
8
4
B
j
<
+
£
，即
5
b
c
ù
+
Î
û
8，4
，
故
ABC
V
的周长的取值范围是12,4 5
4ù
+ û .
故选：D.
2．（24-25 高三上·湖北·期中）已知在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
2
2
2
2
ABC
S
b
c
a
=
+
-
△
，则c
b 的取值可能为（ ）
考点一
利用三角函数的有界性求最值与范围问题
A．1
3
B．1
C．3
D．5
【答案】B
【详解】依题意，得
2
2
2
2
sin
ABC
S
bc
A
b
c
a
=
=
+
-
△
，故
2
2
2
sin
2
2cos
2
b
c
a
A
A
bc
+
-
=
×
=
，则tan
2
A =
，
因为A 为锐角，所以
2 5
sin
5
A =
.
依题意，
sin
sin
2 5
5
sin
sin
5tan
5
A
B
c
C
b
B
B
B
+
=
=
=
+
，
而
π
0
,
2
π
0
π
,
2
B
C
A
B
ì <
<
ïïí
ï <
=
-
-
<
ïî
故π
π
2
2
A
B
-
<
<
，故
π
1
tan
tan 2
2
B
A
æ
ö
>
-
=
ç
÷
è
ø
，
则
2 5
5
5 , 5
5tan
5
5
c
b
B
æ
ö
=
+
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
故选：B.
3．（24-25 高一下·重庆万州·期中）在锐角ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC
V
的面积，
且
2
2
3
(
)
S
a
b
c
=
-
-
，则b
c 的取值范围为（ ）
A．
7
25
,
25
7
é
ö
÷
êë
ø
B．
7 ,
25
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
C．
7
25
,
25
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．24 ,
25
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
【答案】C
【详解】在ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，且ABC
V
的面积
1
sin
2
S
bc
A
=
，
由
2
2
3
(
)
S
a
b
c
=
-
-
，得
2
2
2
3
sin
2
2
2
cos
2 bc
A
bc
a
b
c
bc
bc
A
=
+
-
-
=
-
，化简得3sin
4cos
4
A
A
+
=
，
又
π
0, 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2
2
sin
cos
1
A
A
+
= ，联立解得
24
sin
25
A =
，
7
cos
25
A =
，
所以
sin
sin
sin
cos
cos
sin
24
7
sin
sin
sin
25tan
25
A
C
b
B
A
C
A
C
c
C
C
C
C
+
+
=
=
=
=
+
，
ABC
V
为锐角三角形，有
π
0
2
C
<
<
，
π
π
2
B
A
C
=
-
-
<
，得π
π
2
2
A
C
-
<
<
，
则有
π
cos
7
tan
tan 2
sin
24
A
C
A
A
æ
ö
>
-
=
=
ç
÷
è
ø
，可得
1
24
0,
tan
7
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
7
25
,
25
7
b
c
æ
ö
Îç
÷
è
ø .
故选：C
4．（24-25 高一下·江苏无锡·期末）已知锐角
ABC
V
的面积为2 3 ，
π
3
A =
，则边AB 的取值范围是（ ）
A．(1,2)
B．( 2,2 2)
C．(2,4)
D．(2 2,4)
【答案】C
【详解】由锐角
ABC
V
中
π
3
A =
，则
2π
3
B
C
+
=
，
故
2π
π
0
π
π
3
2
π
6
2
0
2
B
C
C
C
ì <
=
-
<
ïï
Þ
<
<
í
ï <
<
ïî
，同理π
π
6
2
B
<
<
，
由三角形面积
1
sin
2 3
2
S
bc
A
=
=
，则
8
bc =
，
由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
=
，则
sin
sin
c
B
b
C
=
，故
2 sin
8
sin
c
B
C
=
，
所以
2
π
8sin(
)
8sin
4sin
4 3 cos
4 3
3
4
sin
sin
sin
tan
B
C
B
B
c
B
B
B
B
+
+
=
=
=
=
+
，而
1
tan
3
B >
，
所以
2
(4,16)
c Î
，则
(2,4)
AB
c
= Î
.
故选：C
5．（24-25 高一下·陕西渭南·期中·多选）
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，S 为
ABC
V
的面积，且
2
a =
，
2 3
AB AC
S
×
=
uuur uuur
，下列选项正确的是（ ）
A．
π
3
A =
B．若
3
b =
，则
ABC
V
有两解
C．若
ABC
V
为锐角三角形，则b 取值范围是
2 3,4
D．
ABC
V
周长的取值范围为
4,6
【答案】BC
【详解】对于A，因为
2 3
AB AC
S
×
=
uuur uuur
，所以
1
cos
2 3
sin
2
bc
A
bc
A
=
´
，
所以cos
3sin
A
A
=
，则
3
tan
3
A =
，
因为
0,π
AÎ
，所以
π
6
A =
，故A 错误；
对于B，由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
=
，则
2
3
1
sin
2
B
=
，即sin
1
4
3
B =
< ，
因为a
b
<
，所以A
B
<
，则
ABC
V
有两解，故B 正确；
对于C，由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
=
，则
2
1
sin
2
b
B
=
，即
4sin
b
B
=
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
0
2
5π
π
0
6
2
B
B
ì <
<
ïïí
ï <
-
<
ïî
，解得π
π
3
2
B
<
<
，
所以
3
sin
1
2
B
<
< ，则2 3
4sin
4
B
<
<
，
即b 取值范围是
2 3,4 ，故C 正确，
对于D，由余弦定理得，
2
2
2
2
2
2
cos
3
4
a
b
c
bc
A
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
=
，
则
2
2
3
4
b
c
bc
+
-
+
=
，又
2
2
b
c
bc
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，当且仅当b
c
=
时等号成立，
则
2
2
2
4
2
3
2
3
2
b
c
b
c
bc
b
c
+
æ
ö
=
+
-
+
³
+
-
+
×ç
÷
è
ø
，
解得0
2 6
2 2
b
c
<
+
£
+
，又
2
b
c
a
+
>
=
，则2
2 6
2 2
b
c
<
+
£
+
，
所以4
2 6
2 2
2
a
b
c
<
+
+
£
+
+
，故D 错误.
故选：BC.
6．（24-25 高一下·安徽·阶段练习·多选）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且.
2
3
3
bcosC
ccosB
a
+
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
3
a =
B．若
2
B
C
A
+
=
，则
ABC
V
的外接圆半径为
3
C．若
π
4，
A =
且
ABC
V
有一解，则b 的取值范围为
0,3
D．若
2
2
c
a
ab
=
+
，且
ABC
V
为锐角三角形，则c 的取值范围为
3 2,3 3
【答案】ABD
【详解】对于A，由正弦定理边角互化可得
3 sin
sin
3sin
sin
3
BcosC
CcosB
A
a
A
a
+
=
=
Þ
=
，故A 正确；
对于B，
3
3
π
π
A
B
C
A
A
+
+
=
=
Þ
=
，
则由正弦定理，外接圆半径r 满足：
3
2
3
3
2
si n
a
r
r
A
=
=
Þ
=
，故B 正确；
对于C，当B 为直角时，该三角形为等腰直角三角形，显然满足题意的三角形只有一个，
但此时
2
3 2
b
a
=
=
，不在
0,3 中，故C 错误；
对于D，由正弦定理边角互化可得
2
2
sin
sin
sin
sin
C
A
A
B
-
=
，
注意到
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
C
A
C
A
-
=
-
+
，
由和差化积公式可得
2
2
s n
n
i
si
C
A
-
4cos
sin
sin
cos
2
2
2
2
C
A
C
A
C
A
C
A
+
-
+
-
=
sin
sin
A
C
C
A
=
+
-
sin
sin
sin
sin
B
C
A
B
A
=
-
=
，
因为
0,π
BÎ
，所以sin
0
B ¹
，所以
sin
sin
C
A
A
-
=
，
所以
2
C
A
A
C
A
-
=
Þ
=
，则
π
3
B
A
=
-
.
因三角形为锐角三角形，则
π
0
2
π
π
π
0<π
3
2
6
4
π
0
2
2
A
A
A
A
ì <
<
ï
ïï
-
<
Þ
<
<
í
ï
ï <
<
ïî
.
又由正弦定理可得
sin
2 cos
sin
sin
sin
a
c
a
C
c
a
A
A
C
A
=
Þ
=
=
，又
2
3
cos
2
2
A
<
<
，
则
2 cos
3 2,3 3
c
a
A
=
Î
，故D 正确.
故选：ABD
7．（2025·湖北·模拟预测）锐角
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边为a，b，c，
2
A
B
=
，
3
a
b
+
=
，则边c 的取值范
围是
.
【答案】
3 2
3,3 3
3
-
-
【详解】因为
2
A
B
=
，则sin
sin 2
2sin
cos
2 cos
A
B
B
B
a
b
B
=
=
Þ
=
由
3
a
b
+
=
得，
3
2cos
1
b
B
=
+ ，
又sin
sin(π
)
sin(π
3 )
sin3
sin
cos2
cos
sin 2
C
A
B
B
B
B
B
B
B
=
-
-
=
-
=
=
+
2
2
sin
(1 2sin
)
2sin
(1 sin
)
B
B
B
B
=
-
+
-
3
3sin
4sin
B
B
=
-
，
所以
2
3
3 3sin
4sin
3 4cos
1
sin
sin
(2cos
1)sin
2cos
1
B
B
B
b
C
c
B
B
B
B
-
-
=
=
=
+
+
，化简得
6cos
3
c
B
=
- ，
锐角
ABC
V
中
π
0
2
π
0
2
2
π
0
π
3
2
B
A
B
C
B
ì <
<
ï
ïï <
=
<
í
ï
ï <
=
-
<
ïî
，可得π
6
π
4
B
<
<
，即
2
3
cos
2
2
B
<
<
，
因此边c 的取值范围是
3 2
3,3 3
3
-
-
.
故答案为：
3 2
3,3 3
3
-
-
8．（24-25 高一下·浙江宁波·期末）在锐角
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面积为S，且
2
2
2
3
4
a
c
b
S
+
-
=
，则c
a 的取值范围是
.
【答案】1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】因为
2
2
2
3
4
a
c
b
S
+
-
=
，则
1
3
2
cos
4
sin
2
ac
B
ac
B
´
=
´
，
整理可得tan
3
B =
，且
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，可知
π
3
B =
，
由
ABC
V
为锐角三角形可得：π
π
6
2
A
<
<
，所以
3
tan
3
>
A
π
sin
sin
1
3
3
sin
sin
2
2tan
A
c
C
a
A
A
A
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
=
=
+
所以
1 ,2
2
c
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø
.
故答案为：1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø .
9．（24-25 高三下·山东德州·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
b =
，且满足
tan cosB
sin
2 tan cos
a
A
b
A
c
A
B
+
=
(1)求角B 的大小
(2)
ABC
V
的内心为I ，求ACI
V
周长的取值范围.
【答案】(1)
π
3
B
Ð
=
(2)
4 3
4,2
3
æ
ù
+
ç
ú
çè
û
【详解】（1）由tan cos
sin
2 tan cos
a
A
B
b
A
c
A
B
+
=
，
根据正弦定理，得sin tan cos
sin sin
2sin cos tan
A
A
B
B
A
C
B
A
+
=
，
由sin
0
A >
，则sin cos
sin cos
2sin cos
A
B
B
A
C
B
+
=
，
即
sin
sin
2sin cos
B
A
C
C
B
+
=
=
,
而sin
0
C >
，故
1
cos
2
B =
，
又
B
0,π
Î
，
所以
π
3
B
Ð
=
（2）由（1）可得
π
3
B
Ð
=
，
即
2π
ACB
BAC
3
Ð
Ð
+
=
，
设
ABC
V
的内心为I ，即
π
3
ACI
CAI
Ð
Ð
+
=
，
故
2π
3
AIC
Ð
=
.
设
π
0
3
ACI
q
q
æ
ö
Ð
=
<
<
ç
÷
è
ø，则
π
3
CAI
Ð
q
=
-
，
在ACI
V
中，由正弦定理得，
2
4 3 ,
2π
π
sin
sin
3
sin
sin
3
3
CI
AI
AC
AIC
q
q
=
=
=
=
Ð
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
所以
4 3
π
4 3
sin
,
sin
3
3
3
CI
AI
q
q
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以ACI
V
的周长为4 3
π
4 3
4 3
π
sin
sin
2
sin
2
3
3
3
3
3
q
q
q
æ
ö
æ
ö
-
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
因为
π
0
3
q
<
<
，
所以π
π
2π
3
3
3
q
<
+
<
，
所以
π
3
sin
,1
3
2
q
æ
ù
æ
ö
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
，
所以4 3
π
4 3
sin
2
4,2
3
3
3
q
æ
ù
æ
ö
+
+ Î
+
ç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
，
故ACI
V
的周长取值范围为
4 3
4,2
3
æ
ù
+
ç
ú
çè
û
.
10．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2
2
sin
sin
sin
b
a
B
C
a
A
-
-
=
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2
c =
，求
ABC
V
周长的取值范围．
【答案】(1)
π
3
C =
(2)2 3
2,6ù
+
û
【详解】（1）在锐角三角形ABC 中，因为
2
2
2
sin
sin
sin
b
a
B
C
a
A
-
-
=
，
所以由正弦定理得
2
2
2
b a
b
c
a
a
-
-
=
，
故
2
2
2
a
b a
a b
c
-
=
-
，即
2
2
a b
a
b
c
-
=
-
，即
2
2
2
ab
a
b
c
-
=
-
，即
2
2
2
ab
a
b
c
=
+
-
，
所以
2
2
2
1
a
b
c
ab
+
-
= ，即
2
2
2
1
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，
由余弦定理得
1
cos
2
C =
，因为
π
0, 2
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
3
C =
．
（2）因为
2
c =
，由正弦定理
2
4 3
sin
sin
sin
3
3
2
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
，
所以
4 3 sin
3
a
A
=
，
4 3 sin
3
b
B
=
，
设
ABC
V
的周长为l ，
则
4 3
4 3
4 3
4 3
2π
2
2
sin
sin
2
sin
sin
3
3
3
3
3
l
a
b
A
B
A
A
æ
ö
=
+
+
=
+
+
=
+
+
-
ç
÷
è
ø
4 3
4 3
3
1
4 3
2 3
2
sin
cos
sin
2
sin
2cos
sin
3
3
2
2
3
3
A
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
+
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
2 2 3sin
2cos
2 4sin
6
A
A
A
æ
ö
= +
+
= +
+
ç
÷
è
ø
，
因为在锐角三角形ABC 中，所以
π
0, 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
所以2π
π
0,
3
2
A
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø ，解得
π 2π
,
6
3
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø
，
所以
π π
,
6 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
π
π 2π
,
6
3
3
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
故
π
3
sin
,1
6
2
A
æ
ù
æ
ö
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
，则
π
4sin
2
2 3
2,6
6
A
æ
ö
ù
+
+ Î
+
ç
÷
û
è
ø
，即
2 3
2,6
l
ù
Î
+
û ，
故
ABC
V
周长的取值范围为2 3
2,6ù
+
û ．
11．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
sin (
)
(sin
sin
)
sin
sin
A
C
A
C
A
C
+
=
+
-
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
4
b =
，求2a
c
+ 的取值范围．
【答案】(1)
2π
3
B =
；
(2)(4,8) .
【详解】（1）在
ABC
V
中，有sin(
)
sin(π
)
sin
A
C
B
B
+
=
-
=
，
所以
2
2
2
2
sin
(sin
sin
)
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
A
C
A
C
A
C
A
C
=
+
-
=
+
+
×
，
由正弦定理得
2
2
2
b
c
a
ac
=
+
+
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
c
a
ac
B
=
+
-
，所以
1
cos
2
B = -
，
因为0
π
B
<
<
，所以
2π
3
B =
．
（2）由正弦定理得
8 3
sin
sin
sin
3
a
c
b
A
C
B
=
=
=
，
所以
8 3
8 3
π
2
(2sin
sin
)
2sin
sin
3
3
3
a
c
A
C
C
C
é
ù
æ
ö
+
=
+
=
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
8 3
3 cos
sin
sin
8cos
3
C
C
C
C
=
-
+
=
，
因为
π
0
3
C
<
<
，所以1
cos
1
2
C
<
< ，故2a
c
+ 的取值范围为(4,8) ．
12．（24-25 高一下·贵州黔南·期末）在
ABC
V
中，
3
c =
，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下
面的问题．条件①：sin
3 cos
c
A
a
C
=
；条件②：
2
2
(
)
a
b
c
ab
-
=
-
．
(1)若
2
b =
，求
ABC
V
的面积；
(2)求a
b
+
的取值范围．
【答案】(1)
3
2
(2)( 3,2 3ùúû
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得sin
sin
3sin
cos
C
A
A
C
=
．
因为
(0,π)
AÎ
，所以sin
0
A ¹
，
所以sin
3 cos
C
C
=
，得tan
3
C =
．
因为
(0,π)
C Î
，所以
π
3
C =
．
在
ABC
V
中，当
π
3,
2,
3
c
b
C
=
=
=
时，
由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，
得
2
1
3
4
2
2
2
a
a
=
+
- ´ ´ ´
，即
2
2
1
0
a
a
-
+ =
，所以
1
a = ，
所以
1
1
π
3
sin
1 2 sin
2
2
3
2
ABC
S
ab
C
=
=
´ ´ ´
=
△
．
选条件②：因为
2
2
(
)
a
b
c
ab
-
=
-
，整理得
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
．
由余弦定理，得
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
+
-
=
=
=
．
因为
(0,π)
C Î
，所以
π
3
C =
．
在
ABC
V
中，当
π
3,
2,
3
c
b
C
=
=
=
时，
由余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，
得
2
1
3
4
2
2
2
a
a
=
+
- ´ ´ ´
，即
2
2
1
0
a
a
-
+ =
，所以
1
a = ，
所以
1
1
π
3
sin
1 2 sin
2
2
3
2
ABC
S
ab
C
=
=
´ ´ ´
=
△
．
（2）解法一：由题设及（1）可知
π ,
3
3
C
c
=
=
．
由余弦定理，得
2
2
2
2
2
π
( 3)
2
cos 3
a
b
ab
a
b
ab
=
+
-
=
+
-
，
化简得
2
(
)
3
3
a
b
ab
+
-
=
．又
2
2
a
b
ab
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
3
(
)
3
3
(
)
4
a
b
ab
a
b
+
-
=
£
+
，
解得
2 3
a
b
+
£
，
当且仅当
3
a
b
c
=
=
=
时等号成立，
由三角形的三边关系可知
3
a
b
c
+
>
=
，
所以
3
2 3
a
b
<
+
£
，即a
b
+
的取值范围为3,2 3ùû ．
解法二：由题设及（1）可知
π ,
3
3
C
c
=
=
．
由正弦定理，得
3
2
sin
sin
sin
3
2
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
，
所以
2sin
,
2sin
a
A b
B
=
=
，
得
π
2(sin
sin
)
2 sin
sin
3
a
b
A
B
A
A
é
ù
æ
ö
+
=
+
=
+
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
π
π
3
3
2 sin
sin
cos
cos
sin
2
sin
cos
3
3
2
2
A
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
3
1
π
2 3
sin
cos
2 3sin
2
2
6
A
A
A
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
π
3
C =
，则
π
π 5π
,
6
6
6
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
1
sin
,1
6
2
A
æ
ö
æ
ù
+
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，
故
π
3
2 3sin
2 3
6
A
æ
ö
<
+
£
ç
÷
è
ø
，
所以
3
2 3
a
b
<
+
£
，即a
b
+
的取值范围为3,2 3ùû ．
13．（24-25 高一下·海南·期末）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c，ABC
V
的面积为S，已知
2
a =
，且
________在①
cos
,cos
m
A
B
=
ur
，
2 ,
n
b
c a
=
-
r
，且m
n
^
ur
r
，②
cos
cos
2 3 cos
sin
a
A
a
B
C
b
A
C
+
-
=
，③
2
2
4 3
b
c
a
S
+
-
=
.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按
第一个解答计分）
(1)求A；
(2)求
2
b
c
-
的取值范围.
【答案】(1)
π
3
A =
(2)
4,2
-
【详解】（1）若选①，由m
n
^
ur
r
得，
2
cos
cos
0
m n
b
c
A
a
B
×
=
-
+
=
r r
，
由正弦定理，
sin
2sin
cos
sin
cos
0
B
C
A
A
B
-
+
=
，
则sin
cos
sin
cos
2sin
cos
0
B
A
A
B
C
A
+
-
=
，整理得，
sin
1 2cos
0
C
A
-
=
，
因sin
0
C >
，则有
1
cos
2
A =
，又0
π
A
<
<
，故
π
3
A =
；
若选②，
cos
cos
2 3 cos
sin
a
A
a
B
C
b
A
C
+
-
=
，
因
cos
cos π
cos
A
B
C
B
C
é
ù
=
-
+
= -
+
ë
û
，
代入得，
cos
cos
2 3 cos
sin
a
B
C
a
B
C
b
A
C
-
-
+
=
，
展开整理得，2 sin
sin
2 3 cos
sin
0
a
B
C
b
A
C
-
=
，即
sin
sin
3 cos
0
C a
B
b
A
-
=
，
因sin
0
C >
，则有sin
3 cos
0
a
B
b
A
-
=
，由正弦定理，sin
sin
3sin
cos
0
A
B
B
A
-
=
，
又因sin
0
B >
，故得tan
3
A =
，因为0
π
A
<
<
，所以
π
3
A =
；
若选③，因为
2
2
4 3
b
c
a
S
+
-
=
，所以
2
2
2
1
2
4 3
sin
2
b
c
a
bc
bc
A
+
-
+
=
×
，
即
2
2
2
1
3sin
2
b
c
a
A
bc
+
-
+ =
，
由余弦定理，得3sin
cos
1
A
A
-
= ，
π
2sin
1
6
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
在三角形中
0,π
AÎ
，则
π
π
6
6
A-
=
或5π
6 （舍），故
π
3
A =
.
（2）因为
4 3
sin
sin
sin
3
b
c
a
B
C
A
=
=
=
，则
4 3
2
sin
2sin
3
b
c
B
C
-
=
-
，
因为
2π
3
B
C
+
=
，
所以
2π
3
1
sin
sin
cos
sin
3
2
2
B
C
C
C
æ
ö
=
-
=
+
ç
÷
è
ø
，
所以
4 3
3
3
π
2
cos
sin
4sin
3
2
2
6
b
c
C
C
C
æ
ö
æ
ö
-
=
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
因为
2π
0, 3
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
π
π π
,
6
6 2
C
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø，所以
π
1
sin
,1
6
2
C
æ
ö
æ
ö
-
Î -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
所以
π
2
4sin
4,2
6
b
c
C
æ
ö
-
= -
-
Î -
ç
÷
è
ø
.
14．（24-25 高一下·辽宁鞍山·期末）已知
sin
,cos
a
x
x
w
w
=
r
，
cos
, 3 cos
b
x
x
w
w
=
r
，
0
w >
，函数
3
2
f x
a b
=
× -
r r
的最小正周期为π．
(1)求函数
f x 的单调递减区间；
(2)在锐角
ABC
V
中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且满足
3
2
2
A
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
2
a =
，求
ABC
V
周长的取值
范围．
【答案】(1)
π
7π
π
1
2
, π
2
1
k
k
é
ù
ê
ú
ë
+
û
+
，k ÎZ
(2)2
2 3,6ù
+
û
【详解】（1）因为
sin
,cos
a
x
x
w
w
=
r
，
cos
, 3 cos
b
x
x
w
w
=
r
，
0
w >
，
则
sin
,cos
cos
, 3 cos
a b
x
x
x
x
w
w
w
w
×
=
×
r r
2
3 1 cos2
1
1
3
3
sin
cos
3 cos
sin 2
sin 2
cos2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
w
w
w
w
w
w
w
+
=
+
=
+
=
+
+
π
3
sin 2
3
2
x
w
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
故
3
π
sin 2
2
3
f x
a b
x
w
æ
ö
=
× -
=
+
ç
÷
è
ø
r r
．
因为
f x 的最小正周期为π，所以
2π
π
2
T
w
=
=
，所以
1
w = ，故
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ．
由
π
π
3π
2 π
2
2 π
2
3
2
k
x
k
+
£
+
£
+
，k ÎZ ，解得
π
7π
π
π
12
12
k
x
k
+
£
£
+
，k ÎZ ，
所以
f x 的单调递减区间为
π
7π
π
1
2
, π
2
1
k
k
é
ù
ê
ú
ë
+
û
+
，k ÎZ ．
（2）由（1）知
π
3
sin
2
3
2
A
f
A
æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
又
π
0, 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则π
π
5π
3
3
6
A
<
+
<
，所以
π
2π
3
3
A+
=
，得
π
3
A =
．
又
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
0
2
π
0
π
2
B
A
B
ì <
<
ïïí
ï <
-
-
<
ïî
，即
π
0
2
2π
π
0
3
2
B
B
ì <
<
ïïí
ï <
-
<
ïî
，解得π
π
6
2
B
<
<
．
由正弦定理sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
可得
2
sin
sin
sin
b
c
B
C
A
+
=
+
2
2π
sin
sin
sin
3
B
B
A
é
ù
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
3
1
sin
cos
sin
2 3sin
2cos
2
2
3
2
B
B
B
B
B
æ
ö
=
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
4sin
6
B
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
又π
π
6
2
B
<
<
，所以π
π
2π
3
6
3
B
<
+
<
，所以
3
π
sin
1
2
6
B
æ
ö
<
+
£
ç
÷
è
ø
，
所以
2 3,4
b
c
ù
+ Î
û ，故2
2 3
6
a
b
c
+
<
+
+
£
，
所以
ABC
V
周长的取值范围为2
2 3,6ù
+
û ．
1．（24-25 高三上·广东湛江·期末）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，若
3
3cos
sin
a
b
C
C
=
+
，且
4
a
c
+
=
，则b 的最小值是（ ）
A．
3
B．2
C．2 2
D．2 3
【答案】B
【详解】因为
3
3cos
sin
a
b
C
C
=
+
，
由正弦定理，得3sin
3sin cos
sin sin
A
B
C
B
C
=
+
．
因为A
B
+
+ C
p
=
，
所以
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
所以3sin
3sin cos
3cos sin
3sin cos
sin sin
A
B
C
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
所以
3cos sin
sin sin
B
C
B
C
=
.
因为sin
0
C >
，所以tan
3
B =
，则
π
3
B =
．
由余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
3
3·
4
2
4
a
c
a
c
b
a
c
ac
B
a
c
ac
a
c
+
+
æ
ö
=
+
-
=
+
-
³
+
-
=
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2
a
c
=
=
时，等号成立，
所以
2
b ³
，即b 的最小值为2 .
故选：B.
2．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在
ABC
V
中，已知
2 sin
2
sin
2
sin
a
A
b
c
B
c
b
C
=
-
+
-
，
2
a =
，则
ABC
V
周长最大值为（ ）
A．4
B．6
C．4 3
3
D．4 3
2
3
+
【答案】B
【详解】在
ABC
V
中，由2 sin
(2
)sin
(2
)sin
a
A
b
c
B
c
b
C
=
-
+
-
及正弦定理，
得
2
2
(2
)
(2
)
a
b
c b
c
b c
=
-
+
-
，整理得
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
，而
2
a =
，
因此
2
2
2
2
1
4
(
)
3
(
)
3(
)
(
)
2
4
b
c
b
c
bc
b
c
b
c
+
=
+
-
³
+
-
=
+
，解得
4
b
c
+
£
，当且仅当b
c
=
时取等号，
所以当
2
b
c
=
=
时，
ABC
V
周长取得最大值6.
故选：B
考点二
利用基本不等式求最值与范围问题
3．（24-25 高三下·江西南昌·阶段练习）在
ABC
V
中，内角A、B、C 所对应的边依次为a，b，c，若
π
3
sin
cos
,
4
6
2
A
A
b
c
æ
ö
ç
÷
è
=
ø
+
+
+
=
，则
2
a 的取值范围是（ ）
A．
2,4
B．
3,6
C．
5,12
D．
4,16
【答案】D
【详解】∵
3
3
1
3
π
3
sin
cos
sin
cos
sin
sin
π
6
2
2
2
2
3
2
A
A
A
A
A
A
æ
ö
+
+
=
Þ
+
-
=
Þ
+
=
ç
÷
è
ø
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
∵
π
π 4π
π
2π
0,π ,
,
3
3
3
3
3
A
A
A
æ
ö
Î
+
Î
Þ
+
=
ç
÷
è
ø
解得
π
3
A =
，
再由
4
b
c
+
=
，结合余弦定理可得，
∵
2
2
2
2
2
cos
(
)
3
16
3
a
b
c
bc
A
b
c
bc
bc
=
+
-
=
+
-
=
-
，
又∵4
2
b
c
bc
+
³
=
，
得0
4
bc
<
£
，∴
2
4
16
a
£
<
.
故选：D
4．（24-25 高一下·江苏无锡·期中·多选）设
ABC
V
中角, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ，
2 3
a =
，
π
3
A =
则下列说法正确
的是（ ）
A．若
4
b =
，则
2
c =
B．若
5
c =
，则满足条件的三角形有且只有一个
C．
ABC
V
面积的最大值为3 3
D．
ABC
V
周长的最大值为6 3
【答案】ACD
【详解】对于A，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，又
2 3
a =
，
π
3
A =
，
4
b =
，
所以
2
12
16
4
c
c
=
+
-
，解得
2
c =
，A 正确；
对于B，由正弦定理可得sin
sin
a
c
A
C
=
，
因为
2 3
a =
，
π
3
A =
，
5
c =
，所以
2 3
5
sin
3
2
C
=
，
所以
5
sin
4
C =
，满足条件的角C 不存在，所以满足条件的三角形不存在，B 错误；
对于C，因为
2 3
a =
，
π
3
A =
，
由余弦定理可得
2
2
12
b
c
bc
=
+
-
，即
2
2
12
b
c
bc
+
=
+
，
由基本不等式可得
2
2
2
b
c
bc
+
³
，当且仅当b
c
=
时等号成立，
所以
12
bc £
，当且仅当
2 3
b
c
=
=
时等号成立，
所以
ABC
V
面积的最大值为1
3
12
3 3
2
2
´
´
=
，C 正确；
对于D，因为
2 3
a =
，
π
3
A =
，
由余弦定理可得
2
2
12
b
c
bc
=
+
-
，即
2
3
12
bc
b
c
=
+
-
，
由基本不等式可得
2
2
b
c
bc
+
æ
ö
£ ç
÷
è
ø
，当且仅当b
c
=
时等号成立，
所以
2
2
3
12
4
b
c
b
c
+
-
£
+
，故
2
48
b
c
+
£
，
所以
4 3
b
c
+
£
，当且仅当
2 3
b
c
=
=
时等号成立，
所以
ABC
V
周长的最大值为6 3 ，D 正确；
故选：ACD.
5．（24-25 高一下·新疆哈密·期末·多选）在
ABC
V
中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，
4
b =
，且
cos
cos
2 cos
a
C
c
A
b
B
+
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
π
3
B =
B．
ABC
V
外接圆的面积为16π
C．
ABC
V
的面积的最大值为4 3
D．a
c
+ 的最大值是8
【答案】ACD
【详解】对A：由cos
cos
2 cos
a
C
c
A
b
B
+
=
，利用正弦定理，可得：
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
A
C
C
A
B
B
×
+
×
=
×
Þ
sin
2sin
cos
A
C
B
B
+
=
×
Þ sin
2sin
cos
B
B
B
=
×
.
因为
0,π
BÎ
，所以sin
0
B ¹
，所以
1
cos
2
B =
Þ
π
3
B =
，故A 正确；
对B：设
ABC
V
外接圆半径为R ，则
4
8
2
π
sin
3
sin 3
b
R
B
=
=
=
Þ
4 3
3
R =
，
所以
ABC
V
外接圆面积为：
2
16
π
π
3
R =
，故B 错误；
对C：由余弦定理：
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
Þ
2
2
16
a
c
ac
+
-
=
Þ
2
2
16
2
ac
a
c
ac
+
=
+
³
，所以
16
ac £
，当
4
a
b
=
= 时
取等号.
所以
1
sin
2
ABC
S
ac
B
=
△
1
3
16
4 3
2
2
£
´
´
=
.故C 正确；
对D：因为
2
2
16
a
c
ac
+
-
=
，所以
2
3
16
a
c
ac
+
-
=
且
2
4
a
c
ac
+
£
，
所以
2
2
3
3
16
4
ac
a
c
a
c
=
+
-
£
+
Þ
2
64
a
c
+
£
Þ
8
a
c
+
£
.故D 正确.
故选：ACD
6．（23-24 高一下·重庆·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，(tan
tan
)cos
3
c
C
B
B
a
+
=
，
则
C
Ð
=
，若
(2
)
a BA
b
a
BD
×
=
+
×
uuur
uuur
，且
7
CD =
，则2b
a
+
的最小值为
．
【答案】
π
3
8
【详解】由(tan
tan
)cos
3
c
C
B
B
a
+
=
可得
sin
sin
sin
(
)cos
3sin
cos
cos
C
B
C
B
A
C
B
+
=
，cos
0
B ¹
，
即sin
(sin
cos
cos
sin
)cos
3sin
cos
cos
C
C
B
C
B
B
A
B
C
+
=
，
即sin
sin(
)cos
sin
sin
cos
3sin
cos
cos
C
C
B
B
C
A
B
A
B
C
+
=
=
，
由于
0,π ,sin
0
A
A
Î
¹
，则sin
3 cos
C
C
=
，
化简可得tan
3
C =
，由于
0,π
C Î
，故
π
3
C =
，
由于
(2
)
a BA
b
a
BD
×
=
+
×
uuur
uuur
，所以2
a
BA
BD
b
a ×
=
+
uuur
uuur
，
故
2
2
2
2
2
a
a
b
a
CD
CB
BD
CB
BA
CB
CA
CB
CB
CA
b
a
b
a
b
a
b
a
=
+
=
+
=
+
-
=
+
+
+
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
CD
CB
CA
CB CA
b
a
b
a
b
a
b
a
æ
ö
æ
ö
=
+
+
×
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
,
即
2
2
2
2
2
2
2
1
7
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
æ
ö
æ
ö
=
+
+
´
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø
，
化简得
2
1 2
2
2
2
b
a
ab
b
a
+
æ
ö
=
+
£
ç
÷
è
ø
，
故2
8
b
a
+
³
，当且仅当2
4
b
a
=
=
时取等号，
故答案为：π
3 ，8
7．（24-25 高二上·广东潮州·开学考试）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，向量m =
r
,cos
a
A ，
n =
r
cos ,
B b
c
-
，且m n
×
r r
cos
c
A
=
×
，△ABC 外接圆面积为3π.则∠A=
，△ABC 周长的最大值为
.
【答案】
π
3
9
【详解】已知向量m =
r
,cos
a
A ，n =
r
cos ,
B b
c
-
则m n
×
r r
cos
cos
a
B
b
c
A
=
+
-
，则
cos
cos
cos
a
B
b
c
A
c
A
+
-
=
，
所以cos
cos
2 cos
a
B
b
A
c
A
+
=
，
则sin cos
sin cos
2sin cos
A
B
B
A
C
A
+
=
，所以
sin
2sin cos
A
B
C
A
+
=
，
又
π
A
B
C
+
+
= ，故sin
2sin cos
C
C
A
=
且sin
0
C >
，
所以
1
cos
2
A =
，又
0,π
AÎ
，则
π
3
A =
；
由余弦定理有：
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
bc
+
-
=
=
，则
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
，
由正弦定理可得：
ABC
V
的外接圆半径为
2sin
a
R
A
=
，则
2
2
π
3π
4sin
a
A =
，即
3
a =
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
(
)
(
)
3
9
(
)
(
)
4
4
b
c
b
c
bc
b
c
bc
b
c
b
c
+
+
-
=
+
-
=
³
+
-
+
=
，
则
6
b
c
+
£
，当且仅当b
c
=
且
π
3
A =
，即
3
b
c
a
=
=
=
时等号成立，
故三角形ABC 周长a
b
c
+
+
的最大值为9.
故答案为：π
3 ；9
8．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为内角, ,
A B C 的对边，且满足
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
B
C
C
-
-
=
.
(1)求角A ；
(2)设点D 为边BC 中点，且
2
AD =
，求b
c
+ 最大值；
【答案】(1)
2π
3
A =
(2)8
【详解】（1）由正弦定理得：
2
2
2
a
b
bc
c
-
-
=
，即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
= -
，
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
= -
\
=
，又
0,π
AÎ
，
2π
3
A
\
=
.
（2）
D
Q
为边BC 中点，
1
2
AD
AB
AC
\
=
+
uuur
uuur
uuur
，
2
2
2
2
2
1
1
1
2
cos
3
4
4
4
4
AD
AB
AC
c
b
bc
A
b
c
bc
é
ù
\
=
+
=
+
+
=
+
-
=
ë
û
uuur
uuur
uuur
，
2
2
2
3
3
16
3
2
4
b
c
bc
b
c
b
c
+
æ
ö
\
=
+
-
£ ´
=
+
ç
÷
è
ø
，
8
b
c
\ +
£
（当且仅当b
c
=
时取等号），
b
c
\ + 最大值为8 .
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知a 、b 、c 分别为斜
ABC
V
中角A 、B 、C 的对边，
2
sin
sin
cos
sin
sin
sin
a
A
B
C
a
A
b
B
c
C
-
=
+
-
．
(1)求sin
sin
B
A ；
(2)已知
ABC
V
的面积为
2
15
cos
b
C ，求
4
c
a
+
的最小值．
【答案】(1)
1
2
(2) 4
【详解】（1）因为
2
sin
sin
cos
sin
sin
sin
a
A
B
C
a
A
b
B
c
C
-
=
+
-
，
由正弦定理得，
2
2
2
2
cos
a a
b
C
a
b
c
-
=
+
-
，
即
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a a
b
a
b
c
ab
+
-
-
´
=
+
-
，
因为
ABC
V
为斜三角形，所以
2
2
2
0
a
b
c
+
-
¹
，故
2
a
b
=
，
由正弦定理可得sin
1
sin
2
B
b
A
a
=
=
．
（2）由（1）知，
2
a
b
=
，所以
2
2
1
sin
sin
15
cos
2
ABC
S
ab
C
b
C
b
C
=
=
=
△
，
所以sin
15cos
C
C
=
，
即
2
2
2
2
2
sin
cos
15cos
cos
16cos
1
C
C
C
C
C
+
=
+
=
= ，
因为0
π
C
<
<
，则sin
0
C >
，故sin
15cos
0
C
C
=
>
，所以
1
cos
4
C =
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
2 2
4
4
c
a
b
ab
C
b
b
b b
b
=
+
-
=
+
- ´
´ ´
=
，则
2
c
b
=
，
所以
4
4
2
2
2
2
2 2
4
2
c
b
b
b
a
b
b
b
+
=
+
=
+
³
´
=
，
当且仅当2
2
b
b
=
，即
1
b = 时，
4
c
a
+
取最小值4 ．
10．（2025·山东德州·三模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知
2sin
sin
cos
tan
B
A
A
C
=
+
．
(1)求C ；
(2)若
2
2(
)
a
b
c
+
=
，求
ABC
V
的边c 的最大值．
【答案】(1)
π
3
C =
(2)4．
【详解】（1）由2sin
sin
cos
tan
B
A
A
C
=
+
，得sin
cos
sin
cos
cos
sin
2
B
C
A
C
A
C
=
+
，
即2sin
cos
sin(
)
B
C
A
C
=
+
，又
π
A
B
C
+
+
= ，则sin(
)
sin
0
A
C
B
+
=
¹
，
于是
1
cos
2
C =
，又0
π
C
<
<
，所以
π
3
C =
.
（2）由（1）知
π
3
C =
，由余弦定理，得
2
2
2
2
2
cos
(
)
3
c
a
b
ab
C
a
b
ab
=
+
-
=
+
-
，
而
2
2(
)
a
b
c
+
=
，则
2
2(
)
(
)
3
a
b
a
b
ab
+
=
+
-
，
因此
2
2
3
(
)
2(
)
3
(
)
4
a
b
a
b
ab
a
b
+
-
+
=
£
+
，解得
8
a
b
+
£
，
当且仅当a
b
=
时取等号，则
2(
)
4
c
a
b
=
+
£
，
所以
ABC
V
的边c 的最大值为4.
11．（24-25 高一下·重庆·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
3
a =
，
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
C
-
-
=
，
(1)求角A 的大小；
(2)求
ABC
V
周长的最大值；
(3)若BC 中点为D，求AD 的最小值.
【答案】(1) 2
3
p ;
(2)3
2 3
+
;
(3)
3
2
.
【详解】（1）因为
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
C
-
-
=
，
由正弦定理，得
2
2
2
a
b
c
bc
-
-
=
，即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
= -
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
+
-
-
=
=
= -
，
因为
0,π
AÎ
，所以
2π
3
A =
.
（2）由（1）得
2π
3
A =
，且
3
a =
由正弦定理得：
3
=
2 3
2
sin
sin
sin
sin 3
b
c
a
B
C
A
p
=
=
=
，
2 3sin
,
2 3sin
b
B c
C
\ =
=
π
1
3
2 3sin
2 3sin
2 3 sin
sin(
)
2 3
sin
cos
3
2
2
b
c
B
C
B
B
B
B
æ
ö
é
ù
+
=
+
=
+
-
=
+
ç
÷
ê
ú
ç
÷
ë
û
è
ø
π
2 3sin
3
B
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
.
π
π
π
2π
π
0
,
,
3
2 3sin
2 3
3
3
3
3
3
B
B
B
æ
ö
<
<
\
<
+
<
\ <
+
£
ç
÷
è
ø
Q
∴当
π
6
B =
时，b
c
+ 的最大值为2 3 ，
∴
ABC
V
周长的最大值是3
2 3
+
.
（3）因为
2
2
2
3,
a
b
c
a
bc
=
+
-
= -
，所以
2
2
9
2
b
c
bc
bc
+
=
-
³
所以
3
bc £ ，当且仅当
3
b
c
=
=
时，等号成立.
即
max
3
bc
£
因为D 为BC 的中点，所以
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
,
所以
2
2
2
1
2
4
AD
AB
AC
AB AC
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
即
2
2
2
2
2
1
2π
1
1
1
3
2
cos
9
2
9
2 3
4
3
4
4
4
4
AD
c
b
bc
c
b
bc
bc
æ
ö
=
+
+
=
+
-
=
-
³
- ´
=
ç
÷
è
ø
uuur
.
所以
3
2
AD ³
uuur
.
故AD 的最小值为
3
2
.
12．（24-25 高一下·安徽宿州·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
( 3sin
cos
)
a
B
B
b
c
+
=
+ ，D 为边BC 上一点，且
2
AD =
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
2
BD
DC
=
，且
3
1
c
b =
- ，求a 的值；
(3)若AD 为角平分线，求
3
AB
BD
+
的最小值．
【答案】(1)
π
3
A =
(2)
3 3 3
a=
-
(3)
3
2 2
+
．
【详解】（1）由已知( 3sin
cos
)
a
B
B
b
c
+
=
+ ，
由正弦定理，可得sin
( 3sin
cos
)
sin
sin
A
B
B
B
C
+
=
+
，
又因为sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，代入上式，
化简得：
3sin
sin
sin
sin
cos
A
B
B
B
A
=
+
，
因为
ABC
V
中，
(0,π)
BÎ
，所以sin
0
B ¹
，从而3sin
cos
1
A
A
-
= ，
故
π
2sin
1
6
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，因为
(0,π)
AÎ
，所以
π
3
A =
．
（2）因为
2
BD
CD
=
，
所以
2
2
1
2
(
)
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
=
+
=
+
=
+
-
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
由（1）知，
π
3
A =
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
4
|
||
| cos
3
3
9
9
4
9
AD
AB
AC
AB
AC
AB
AC
A
æ
ö
=
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
1
4
2 |
||
|
9
9
9
AB
AC
AB
AC
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
，
由已知
2
AD =
，所以
2
2
1
4
2
4
9
9
9
c
b
bc
=
+
+
，即
2
2
4
2
36
b
c
bc
+
+
=
，
又
3
1
c
b =
- ，联立两式解得，
6,
3 2
6
b
c
=
=
-
，
由余弦定理，可得
2
2
2
36 18 3
a
b
c
bc
=
+
-
=
-
，即
3 3 3
a=
- ．
（3）若AD 为角平分线，则
π
π
,sin
sin
6
6
BAD
BDA
B
æ
ö
Ð
=
Ð
=
+
ç
÷
è
ø ，
在
ABD
△
中，由正弦定理，得sin
sin
sin
AD
BD
AB
B
BAD
BDA
=
=
Ð
Ð
，
即
2
π
π
sin
sin
sin
6
6
BD
AB
B
B
=
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，
所以
π
2sin
6
sin
B
AB
B
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
=
，
1
sin
BD
B
=
，
所以
π
2sin
3
3sin
cos
3
6
3
sin
sin
B
B
B
AB
BD
B
B
æ
ö
+
+
ç
÷
+
+
è
ø
+
=
=
2
2
2
2
2
2
cos
sin
3 cos
sin
4cos
2sin
2
2
2
2
2
2
3
3
2sin
cos
2sin
cos
2
2
2
2
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
æ
ö
-
+
+
+
ç
÷
è
ø
=
+
=
+
即
2
3
3
tan 2
tan 2
B
AB
BD
B
+
=
+
+
，
又因为
2π
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
0,
2
3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，tan
(0, 3)
2
B Î
，
从而
2
3
3
2
tan
3
2 2
2
tan 2
B
AB
BD
B
+
³
+
×
=
+
，
当且仅当tan
2
(0, 3)
2
B =
Î
时，等号成立，
所以
3
AB
BD
+
的最小值为
3
2 2
+
．
13．（24-25 高一下·吉林长春·期末）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边为a，b，c，且sin
sin
sin
-
-
=
+
A
B
c
b
C
a
b
(1)求角A；
(2)若
ABC
V
的面积为4 3 .
①已知E 为BC 的中点，且
10
b
c
+
=
，求
ABC
V
中线AE 的长；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
【答案】(1)
π
3
A =
(2)①
21
AE =
，②2 3
【详解】（1）由正弦定理得a
b
c
b
c
a
b
-
-
=
+
，即
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
.
由余弦定理得
1
cos
2
A =
.
因为0
π
A
<
<
，所以
π
3
A =
.
（2）①
1
sin
4 3
2 bc
A =
Q
，
16
bc
\
=
.
且
10
b
c
+
=
，解得
8
b =
，
2
c =
或
2
b =
，
8
c =
.
由于
1
2
AE
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos60
21
4
4
AE
AB
AB AC
AC
c
bc
b
=
+
×
+
=
+
+
=
o
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
21
AE
\
=
；
②由
ADB
ADC
ABC
S
S
S
+
=
V
V
V
，
得1
1
1
sin30
sin30
sin60
2
2
2
ADc
ADb
bc
+
=
o
o
o .
解得
3
16 3
bc
AD
b
c
b
c
=
=
+
+
，
由于
2
8
b
c
bc
+
³
= ，当且仅当
4
b
c
=
=
时，取等号，
故
2 3
AD £
,当且仅当
4
b
c
=
=
时，取等号，即AD 的最大值为2 3 .
1．（24-25 高一下·广东广州·期中）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对边分别为a，b，c.
(1)已知
2
2
cos
cos
sin
sin
sin
B
C
A
A
B
-
=
-
，
3
c = ，
3 2
a
b
+
=
，若
ACB
Ð
的平分线交AB 于点D，求线段CD 的长；
(2)若
ABC
V
是锐角三角形，且
π
3
C =
，H 为
ABC
V
的垂心，且
3
CH =
，求
3CH
AH
BH
-
的取值范围；
(3)若
3
b
a
=
，令
sin
3cos
3 cos
B
t
A
B
=
+
，试求t 的最大值.
【答案】(1)
6
2
(2)
1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
(3)
1
2
【详解】（1）因为
2
2
2
2
cos
1 sin
,cos
1 sin
B
B
C
C
= -
= -
，
所以
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
-
=
-
A
A
B
C
B ，
由正弦定理，得
2
2
2
a
ab
c
b
-
=
-
，即
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
-
，
由余弦定理，得
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
，
因为
(0,π)
C Î
，所以
π
3
C =
；
又因为
3,
3 2
c
a
b
=
+
=
，所以
2
2
2
2
1
2
(
)
3
2
c
a
b
ab
a
b
ab
=
+
-
´
=
+
-
，
即
2
2
3
(3 2)
3ab
=
-
，解得
3
ab =
，设AB 边上的角平分线CD 长为x ，
则
1
1
1
1
sin
sin
sin
(
) sin
2
2
2
2
2
2
2
ABC
C
C
C
S
ab
C
ax
bx
a
b x
=
=
+
=
+
V
，
即
sin
(
) sin
3
6
ab
a
b x
p
p
=
+
，
即3 3
3 2
2
2
x
=
，解得
6
2
x =
，即AB 边上的角平分线CD 长为
6
2
；
（2）延长AH 交BC 于E ，延长BH 交AC 于F ，
设
π
,
0, 3
BCH
q q
æ
ö
Ð
=
Îç
÷
è
ø ，所以
π
3
ACH
q
Ð
=
-
，
在Rt
CEH
△
中，
sin
3sin
EH
CH
q
q
=
=
，
在CFB
V
中，
π
π
,
3
2
FCB
BFC
Ð
=
Ð
=
，所以
π
6
FBC
Ð
=
，
在Rt
BEH
△
中，
6sin
π
sin 6
EH
BH
q
=
=
，
考点三
利用二次函数求最值与范围问题
同理可得在Rt AFH
V
中，
π
2
6sin 3
AH
FH
q
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø ，
所以
π
π
π
3 3
6sin
3
2 sin
cos
cos
sin
3
3
3
3
6sin
2sin
CH
AH
BH
q
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
=
=
3
3 cos
sin
3(1 cos )
1
2sin
2sin
2
q
q
q
q
q
-
+
-
=
=
+
2
2 3sin
1
3
1
2
tan
2
2
2
2
4sin
cos
2
2
q
q
q
q
=
+
=
+
，
因为
π
0, 3
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
0,
2
6
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
3
tan
0,
2
3
q
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
3
1
1
tan
,1
2
2
2
2
q
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø
，即
3CH
AH
BH
-
的取值范围为
1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ．
（3）由余弦定理，
2
2
2
2
2
2
cos
2
2 3
b
c
a
a
c
A
bc
ac
+
-
+
=
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1 cos
1
12
a
c
A
A
a c
+
= -
= -
，
所以
2
sin
sin
sin
3cos
3 cos
3 cos
cos
3sin
cos
sin
cos
B
A
A
t
A
B
A
B
A
A
A
B
=
=
=
+
+
+
2
2
sin
sin
sin
sin
cos
sin
cos
sin
A
A
a
A
B
A
A
B
C
c
=
=
=
+
，
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
4
4
1
1
1
1 cos
1
12
4
3
4
a c
a
a c
c
a
a
a
t
A
c
c
a c
c
-
+
+
é
ù
æ
ö
=
-
=
×
=
-
-
£
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，
所以
1
2
t £
．当且仅当
3
3
b
c
a
=
=
，
即
π
2π
π
,
,
6
3
6
A
B
C
=
=
=
时，max
1
2
t
=
．
2．（24-25 高一下·江苏南京·期中）在
ABC
V
中，D ，E 为边BC 上两点，
1
BD = ，
3
EC
BD
=
uuur
uuur
，
(
0)
DE
mBD m
=
>
uuur
uuur
．
(1)若
B
a
Ð
=
，
C
g
Ð
=
，
AED
b
Ð
=
，用a ，b ，g 的三角函数值表示DE 的值；
(2)若
5
AE
DE
=
=
，
7
CA =
，求tan
tan
ABC
ADC
Ð
Ð
的值；
(3)若
5
DE =
，
BAD
CAE
Ð
= Ð
．
①求AB
AC 的值；
②求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
3sin sin
4
sin
sin
b
a
g
b
g
a
+
-
-
(2) 5
7
(3)①
1
2 ；②27.
【详解】（1）在
AEC
△
中，由正弦定理得：sin
sin
EC
EA
EAC
C
Ð
=
，
3sin
sin
EA
g
b
g
=
-
，
在ABE
V
中由正弦定理得：sin
sin
EB
EA
BEA
B
Ð
=
，
sin
3sin sin
sin
sin
sin
EA
EB
a
b
g
a
b
a
b
g
a
+
+
=
=
-
，
3sin sin
1
sin
sin
DE
g
a
b
b
g
a
+
=
-
-
．
法二：
3sin sin
4
4
sin
sin
DE
BC
b
a
g
b
g
a
+
=
-
=
-
-
．
（2）在
AEC
△
中，由余弦定理得
120
AEC
Ð
=
° ，
在
AED
△
中，
5
AE
DE
=
=
，
所以
AED
△
为正三角形，过A 作DE 的垂线，垂足为
5
,
2
H DH
HE
=
=
，
tan
AH
ABC
BH
Ð
=
，tan
AH
ADC
DH
Ð
=
，则tan
5
tan
7
ABC
DH
ADC
BH
Ð
Ð
=
=
．
（3）由
BAD
CAE
Ð
= Ð
，
1
BD = ，
5
DE =
，
3
EC = ，
所以
1
sin
1
2
1
3
sin
2
ABD
AEC
AB DA
BAD
S
AB DA
S
AC AE
AC AE
BAD
Ð
Ð
×
×
×
×
=
=
=
×
×
×
×
△
△
，
1
sin
6
3
2
1
8
4
sin
2
ABE
ACD
AB AE
BAD
DAE
S
AB AE
S
AC AD
AC AD
BAD
DAE
×
×
×
Ð
+ Ð
×
=
=
=
=
×
×
×
×
Ð
+ Ð
V
V
，
两式相乘得
2
2
1
3
1
3
4
4
AB DA
AB AE
AB
AC AE AC AD
AC
×
×
×
=
=
´
=
×
×
，所以
1
2
AB
AC =
设AB
x
=
，则
2
AC
x
=
，由
2
9
2
9
x
x
x
x
+
>
ì
í
-
<
î
，解得3
9
x
<
<
，
在
ABC
V
中，
2
2
2
2
2
2
4
81
27
cos
2
36
12
AC
BC
AB
x
x
x
ACB
AC BC
x
x
Ð
+
-
+
-
+
=
=
=
×
，
则
2
2
4
2
2
2
2
2
27
90
27
sin
1 cos
1
12
144
x
x
x
ACB
ACB
x
x
æ
ö
+
-
+
-
Ð
= -
Ð
= -
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
4
2
2
2
1
9
9
sin
90
27
45
729
2
16
16
ABC
S
AC BC
ACB
x
x
x
æ
ö
=
×
×
Ð
=
-
+
-
= -
-
+
ç
÷
è
ø
V
，
由3
9
x
<
<
，得
2
9
81
x
<
<
，
当
2
45
x =
时，
ABC
V
面积的最大值为27．
3．（24-25 高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在
ABC
V
中，过重心G 的直线与AB 边交于P，与AC 边交于Q，点P，Q
不与B，C 重合.设
APQ
△
面积为
1S ，
ABC
V
面积为
2S ，AP
xPB
=
uuur
uuur
，AQ
yQC
=
uuur
uuur
.
(1)求GA
GB
GC
+
+
uuur
uuur
uuur
；
(2)求证：1
1
1
x
y
+
= ；
(3)求
1
2
S
S 的取值范围.
【答案】(1)0
r
(2)证明见详解
(3) 4 1
,
9 2
é
ö
÷
êë
ø
【详解】（1）设
,
,
D E F 分别是
,
,
BC AC AB 的中点，
由于G 是
ABC
V
的重心，则G 为AD
BE
CF
、
、
的交点，
则
2
AG
GD
=
，
2
GA
GD
= -
uuur
uuur ，
2
GB
GC
GD
+
=
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
0
GA
GB
GC
GA
GD
+
+
=
+
=
uur
uuur
uuur
uur
uuur
r .
（2）AP
xPB
=
uuur
uuur
，AQ
yQC
=
uuur
uuur
，
1
1
,
PB
AP QC
AQ
x
y
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
，
则
1
1
1
,
1
AB
AP
PB
AP AC
AQ
QC
AQ
x
y
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
，
2
2
1
1
1
1
1
1
3
3
2
3
AG
AD
AB
AC
AP
AQ
x
y
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
+
=
+
+
+
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ë
û
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
1
1
1
1
1
3
3
AP
AQ
x
y
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
，
由于
,
,
P G Q 三点共线，所以1
1
1
1
1
1
1
3
3
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
整理得1
1
1
x
y
+
= .
（3）
1
2
1
sin
2
1
sin
2
AP
AQ
PAQ
AP
AQ
S
S
AB
AC
AB
AC
BAC
×
×
Ð
×
=
=
×
×
×
Ð
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
x
y
x
y
x y
x
y
=
×
=
=
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
+
×
+
+
ç
֍
÷
è
øè
ø
2
2
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
9
2
2
1
2
2
4
x y
x
x
x
x
x
=
=
=
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
×
+
×
-
-
+
+
-
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
因为
1
0
1
x
<
< ，所以
2
1
1
9
9
2,
2
4
4
x
æ
ö
æ
ù
-
-
+
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û
，
所以
1
2
2
1
4 1
,
9 2
1
1
9
2
4
S
S
x
é
ö
=
Î
÷
êë
ø
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø
.
4．（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，满足
2 cos
b
a
b
C
=
-
.
(1)求证：
2
C
B
=
；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，求3sin
cos
sin
C
B
B
+
-
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 37
12
【详解】（1）由题
2 cos
b
a
b
c
=
-
，
由正弦定理：
sin
sin
2sin
cos
B
A
B
C
=
-
sin(
)
2sin
cos
B
C
B
C
=
+
-
sin
cos
cos
sin
2sin
cos
B
C
B
C
B
C
=
+
-
sin
cos
cos
sin
C
B
C
B
=
-
sin C
B
=
-
B
C
B
\
=
-
或
π
B
C
B
+
-
=
（舍）
2
C
B
\
=
.
（2）
ABC
QV
为锐角三角形，
π
0
π
3
2
π
π
π
0
2
6
4
π
0
2
2
B
B
B
B
ì <
-
<
ï
ïï
\
<
<
Þ
<
<
í
ï
ï <
<
ïî
，
由（1），
2 ,
C
B
=
\原式
3sin 2
cos
sin
B
B
B
=
+
-
，
令
π
3
1
cos
sin
2 sin
0,
4
2
t
B
B
B
æ
ö
-
æ
ö
=
-
=
-
Îç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则原式
2
2
3 1
3
3
t
t
t
t
=
-
+ = -
+ +
2
0
6
12
1
37
3
1
3
,
,
2
t
t
æ
ö
-
æ
ö
= -
-
+
Îç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
\当
1
6
t =
时，所求式子的最大值为37
12 ．
5．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如
图，经过测量
2,
6,
4,
4
AB
BC
CD
DA
=
=
=
=
，中间AC 是一条道路，其面积忽略不计．
(1)求3cos
4cos
B
D
-
的值；
(2)
,
ABC
ACD
V
V
的面积分别记为
1
2
,
S S ，求
2
2
1
2
S
S
+
的最大值．
【答案】(1)3cos
4cos
1
B
D
-
=
(2)98
【详解】（1）在
,
ABC
ADC
V
V
中，
2,
6,
4
AB
BC
AD
CD
=
=
=
=
，
根据余弦定理，
2
2
2
2
cos
4
36
24cos
40
24cos
AC
AB
BC
AB BC
B
B
B
=
+
-
×
=
+
-
=
-
．
同理，在
ADC
△
中，
2
2
2
32
32
2
c
os
s
c
o
AD
CD
AD C
D
D
D
AC
+
-
×
=
-
=
．
所以40
24cos
32
32cos
B
D
-
=
-
，化简得3cos
4cos
1
B
D
-
= ．
（2）由（1）有
3cos
1
cos
4
B
D
-
=
．
由题意
2
2
2
2
2
1
1
1
sin
2 6sin
36sin
36 1 cos
2
2
S
AB BC
B
B
B
B
æ
ö
æ
ö
=
×
=
´ ´
=
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
同理可得，
ADC
△
的面积
2S ，
2
2
2
2
2
1
sin
(8sin
)
64
64cos
2
S
AD CD
D
D
D
æ
ö
=
×
=
=
-
ç
÷
è
ø
2
2
64
4(3cos
1)
60
36cos
24cos
B
B
B
=
-
-
=
-
+
．
令cos B
x
=
，则
2
2
2
2
2
1
2
36 1
60
24
36
24
3
4
S
S
x
x
x
x
x
+
=
-
+
+
-
=
-
+
+
，
所以，当
1
cos
6
x
B
=
=
时，
2
2
1
2
S
S
+
取得最大值，最大值为98．
6．（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知A 为钝角，
sin
cos
a
B
b
B
=
.
(1)若
π
6
C =
，求A ；
(2)求cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的取值范围.
【答案】(1) 2π
3
(2)
5
1, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】（1）由sin
cos
a
B
b
B
=
，根据正弦定理得：sin sin
sin cos
A
B
B
B
=
，
由于sin
0
B ¹
，可知sin
cos
A
B
=
，即sin
sin 2
π
A
B
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
因为A 为钝角，则B 为锐角，即
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
则π
π ,π
2
2
B
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，则
π
,
2
2
2
π
A
B C
B
=
+
=
-
.
由
π
π
π
,
,
2
6
A
B C
A
B
C
=
+
=
+
+
=
，得
2π
3
A =
.
（2）cos
cos
cos
A
B
C
+
+
cos
cos
co
2
π
s π
2
2
B
B
B
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
sin
cos
sin2
B
B
B
= -
+
+
cos
sin
2sin cos
B
B
B
B
=
-
+
.
因为
π
2
2
C
B
=
-
为锐角，所以0
2
π
2
π
2
B
<
-
<
，即
π
0
4
B
<
<
，则
π
2
π
,
4
π
4
B
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
设
cos
sin
2cos
0,1
π
4
t
B
B
B
æ
ö
=
-
=
+
Î
ç
÷
è
ø
，则
2
2sin cos
1
B
B
t
= -
，
2
2
1
5
cos
cos
cos
1
2
4
A
B
C
t
t
tæ
ö
+
+
= + -
= -
-
+
ç
÷
è
ø
.
因为
0,1
t Î
，则
2
1
1
0,
2
4
tæ
ö
é
ö
-
Î
ç
÷
÷
ê
è
ø
ë
ø
，从而
2
1
5
5
1,
2
4
4
tæ
ö
æ
ù
-
-
+
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û
.
由此可知，cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的取值范围是
5
1, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
.
7．（24-25 高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，D，E 在BC 上，
2
BD = ，
1
DE
EC
=
= ，
BAD
CAE
Ð
= Ð
．
(1)求sin
sin
ACB
ABC
Ð
Ð
的值；
(2)求
ABC
V
面积的取值范围．
【答案】(1) sin
3
sin
ACB
ABC
Ð
Ð
=
；
(2) (0,4 3] .
【详解】（1）因为
2
BD = ，
1
DE
EC
=
= ，
BAD
CAE
Ð
= Ð
，
所以
1
sin
2
2
1
1
sin
2
ABD
AEC
AB AD
BAD
S
AB AD
S
AC AE
AC AE
EAC
Ð
Ð
×
×
×
=
=
=
×
×
×
V
V
，
1
sin
3
2
1
2
sin
2
ABE
ADC
AB AE
BAE
S
AB AE
S
AC AD
AC AD
DAC
Ð
Ð
×
×
×
=
=
=
×
×
×
V
V
，
故
2
2
3
AB
AC =
，即
3
AB
AC =
，
则在
ABC
V
中，根据正弦定理可得，sin
3
sin
ACB
AB
ABC
AC
Ð
Ð
=
=
；
（2）设AC
x
=
，则
3
=
AB
x，由
3
4,
3
4,
x
x
x
x
ì +
>
ïí
-
<
ïî
解得2( 3
1)
2( 3
1)
x
-
<
<
+
，
在
ABC
V
中，
2
2
2
2
8
cos
2
4 3
AB
BC
AC
x
ABC
AB BC
x
Ð
+
-
+
=
=
×
，
则
4
2
2
2
2
32
64
sin
1 cos
48
x
x
ABC
ABC
x
Ð
Ð
-
+
-
= -
=
，
2
2
2
4
2
2
16
192
1
32
64
sin
2
4
4
ABC
x
x
x
S
AB BC
ABC
Ð
-
-
+
-
+
-
æ
ö
=
×
=
=
ç
÷
è
ø
V
，
由2( 3
1)
2( 3
1)
x
-
<
<
+
，得
2
16
8 3
16
8 3
x
-
<
<
+
，
则
2
0
48
ABC
S
<
£
V
，
故
ABC
V
面积的取值范围为(0,4 3] ．
8．（24-25 高三上·湖南湘潭·开学考试）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，A 为钝角，且tan
b
B
a
=
．
(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论；
(2)求cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的取值范围．
【答案】(1)
π
2
A
B
=
+
，证明见解析
(2)
5
1, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】（1）解：因为tan
b
B
a
=
，由正弦定理得sin
sin
sin
cos
B
B
A
B
=
，
所以sin
cos
A
B
=
，即cos
cos
2
A
B
p
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又因为2
A
p
p
<
<
，所以
0,
,
0,
2
2
2
A
B
p
p
p
æ
ö
æ
ö
-
Î
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
于是
2
A
B
p
-
=
，所以
2
A
B
p
=
+
.
（2）解：由（1）知，
2
A
B
p
=
+
，所以
2
0
2
C
B
p
=
-
>
，所以0
4
B
p
<
<
，
所以cos
cos
cos
sin
cos
sin 2
A
B
C
B
B
B
+
+
= -
+
+
，
令
cos
sin
t
B
B
=
-
，则
2 cos
(0,1)
4
t
B
p
æ
ö
=
+
Î
ç
÷
è
ø
且
2
sin 2
1
B
t
= -
，
所以
2
2
1
5
cos
cos
cos
1
2
4
A
B
C
t
t
tæ
ö
+
+
= -
+ + = -
-
+
ç
÷
è
ø
，
当
1
2
t =
时，取得最大值，最大值为5
4 ，
当
1
t = 或0 时，函数值为1，
所以cos
cos
cos
A
B
C
+
+
的取值范围是
5
1, 4
æ
ù
ç
ú
è
û
．
1．（2025·山西·三模）设
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos
cos
3
c
a
B
b
A
=
+
．
(1)证明：tan
2tan
A
B
=
；
(2)已知
π
4
B ³
，求tan tan tan
A
B
C 取得最小值时tanB的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6
2
【详解】（1）由cos
cos
3
c
a
B
b
A
=
+
，
由正弦定理可得
sin
sin cos
sin cos
3
C
A
B
B
A
-
=
，
所以
3sin cos
3sin cos
sin
A
B
B
A
A
B
-
=
+
，
所以3sin cos
3sin cos
sin cos
cos sin
A
B
B
A
A
B
A
B
-
=
+
，
所以2sin cos
4sin cos
A
B
B
A
=
，
因为A 、B 为三角形的内角，所以A 、B 不可能同时为直角，
若A 、B 中有一个直角，不妨令A 为直角，则cos
0
A =
，sin
1
A = ，显然cos
0
B ¹
，
则等式2sin cos
4sin cos
A
B
B
A
=
不成立，
所以A 、B 均不是直角，
所以tan
2tan
A
B
=
；
（2）依题意C 不是直角，
所以
2
tan
tan
3tan
tan
tan
1
tan tan
1
2tan
A
B
B
C
A
B
A
B
B
+
= -
+
= -
= -
-
-
，
故
3
2
6tan
tan tan tan
2tan
1
B
A
B
C
B
=
-
，
因为
π
4
B ³
且tan
2tan
A
B
=
，所以π
π
4
2
B
£
<
，
令
tan
1
B
x x
=
³
，
设
3
2
6
2
1
x
f x
x
=
-
，
1
x ³
，
有
2
2
3
2
2
2
2
2
2
18
2
1
6
4
6
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
-
-
´
-
=
-
-
¢
=
，
令
0
f
x
¢
>
，解得
6
2
x >
，令
0
f
x
¢
<
，解得
6
1
2
x
<
<
，
考点四
利用函数单调性求最值与范围问题
所以
f x 在
6 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，在
6
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
综上所述，
f x 取得最小值时，
6
2
x =
，
即tan tan tan
A
B
C 取得最小值时，tanB为
6
2
．
2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知
ABC
V
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点P 满足
PAB
PBC
PCA
a
Ð
= Ð
= Ð
=
．
(1)若a
b
c
=
=
，求a ；
(2)若
ABP
a
Ð
=
，
ABC
V
的周长为4，
①求证：
2
b
ac
=
；
②求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
π
6
a =
(2)①证明见解析 ；②4 3
9
【详解】（1）方法一：因为a
b
c
=
=
，所以
ABC
V
为等边三角形，
因为
PAB
PBC
PCA
a
Ð
= Ð
= Ð
=
，所以
π
3
PBA
PAC
PCB
a
Ð
= Ð
= Ð
=
-
，
所以
2π
3
APB
BPC
CPA
Ð
= Ð
= Ð
=
，
所以
APB
BPC
CPA
△
≌△
≌△
，所以PA
PB
PC
=
=
，所以
π
6
a =
．
方法二：在ABP
V
中，由正弦定理得，
2π
π
sin
sin
3
3
AP
AB
a
=
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
在
APC
△
中，由正弦定理得，
2π
sin
sin 3
AP
AC
a =
，
所以
π
sin
sin 3
a
a
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，又
π
0
3
a
<
<
，所以
π
3
a
a
=
-
，故
π
6
a =
．
（2）①证明：因为
,
PAB
PBC
PCA
ABP
a
a
Ð
= Ð
= Ð
=
Ð
=
，所以
2
B
a
Ð
=
．
在ABP
V
中，sin
sin(π
2 )
AP
AB
a
a
=
-
，在
APC
△
中，sin
sin(π
)
AP
AC
A
a =
-
，
所以sin(π
2 )
sin(π
)
AB
AC
A
a =
-
-
，即sin
sin
AB
AC
B
A
=
，
从而sin
sin
c
A
b
B
=
，故
2
b
ac
=
．
②因为
4
a
b
c
+
+
=
，所以
4
2
2
a
c
b
ac
b
，
解得
4
3
b £
，当且仅当a
c
=
时，取等号，
又b
c
a
b
，则
2
2
(
)
c
a
b
-
<
，即
2
2
(
)
4
c
a
ac
b
+
-
<
，即
2
2
2
(4
)
4
b
b
b
-
-
<
，
整理得
2
2
4
0
b
b
，解得
5 1
b
，故
4
5
1, 3
b
æ
ù
Î
-
ç
ú
è
û ．
在
ABC
V
中，由余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
8
4
cos
2
2
2
a
c
ac
b
b
b
b
a
c
b
b
b
B
ac
ac
b
b
+
-
-
+
-
-
+
-
-
-
=
=
=
=
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
8
4
sin
1 cos
1
2
2
2
ABC
b
b
S
ac
B
b
B
b
b
æ
ö
-
-
=
=
-
=
-ç
÷
è
ø
V
2
4
2
3
1
4
8
4
2
8
8,
5
1,
2
3
b
b
b
b
b
b
æ
ù
=
-
-
-
=
×
-
+
-
Î
-
ç
ú
è
û ，
令
3
( )
8
8
f b
b
b
= -
+
-
，则
2
( )
3
8
0
f b
b
¢
= -
+
>
，所以
( )
f b 单调递增，
所以
( )
f b 的最大值为
4
3
f æ
ö
ç
÷
è
ø．故
ABC
SV
最大值为4 3
9 ．
3．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）在
ABC
V
中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知
tan
3
tan
3tan
1
C
B
C
+
=
-
．
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，
ABC
V
所在平面内有一点D 满足
2 π
3
BDC
Ð
=
，且BC 平分
ABD
Ð
，设
ABC
x
Ð
=
．
（i）求ACD
V
面积表达式
x
j
；
（ii）确定ACD
V
面积的取值范围．
【答案】(1)
π
3
A =
(2)（i）
3
4sin
cos
x
x
x
j
=
；（ii）
3 3
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由
tan
3
tan
3tan
1
C
B
C
+
=
-
，
即
tan
tan
3 1
tan tan
B
C
B
C
+
= -
-
，即tan
tan
3
1
tan tan
B
C
B
C
+
= -
-
，
所以
tan
3
B
C
+
= -
，即
tan π
3
A
-
= -
，所以tan
3
A =
，
又
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
.
（2）（i）由题（1）知
π
3
BAC
Ð
=
，又
2 π
3
BDC
Ð
=
，
CBD
ABC
x
Ð
= Ð
=
，
在
BCD
△
中，
2 π
3
BDC
Ð
=
，故
π
0, 3
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
则
π
2π
2π
2
π
2
3
3
ACD
x
x
Ð
=
-
-
-
=
-
，
由正弦定理有sin
sin
BC
AC
BAC
x
=
Ð
，sin
sin
BC
DC
BDC
x
=
Ð
，则
2sin
AC
CD
x
=
=
，
故ACD
V
面积
2
3
1 2sin
sin π
2
4sin
cos
2
ACD
S
x
x
x
x
=
-
=
V
，所以
3
4sin
cos
x
x
x
j
=
；
（ii）因为
2
2
4
2
12sin
cos
4sin
4sin
3cos
sin
3cos
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
=
-
=
+
-
¢
，
又
π
0, 3
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
0
x
j¢
>
，知函数
3
4sin
cos
x
x
x
j
=
在区间
π
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，
又
0
0
j
=
，
π
3 3
3
4
j æ
ö =
ç
÷
è
ø
，故ACD
V
面积的取值范围为
3 3
0, 4
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
4．（2025·辽宁·二模）已知锐角
ABC
V
，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
3
a =
，
1
3 cos
2
B
b
c
+
=
．
(1)求A ；
(2)求
2
2
2b
c
bc
+
的取值范围．
【答案】(1)
π
3
A =
(2)
9
2 2, 2
é
ö
÷
êë
ø
【详解】（1）因为
3
a =
，
1
3 cos
2
B
b
c
+
=
，则
1
cos
2
a
B
b
c
+
=
，
由正弦定理得
1
sin
cos
sin
sin
sin
2
A
B
B
C
A
B
+
=
=
+
，
1
sin
cos
sin
sin
cos
cos
sin
2
A
B
B
A
B
A
B
+
=
+
，所以，
1
cos
sin
sin
2
A
B
B
=
，
因为A 、
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则sin
0
B >
，
所以，
1
cos
2
A =
，即
π
3
A =
．
（2）在锐角
ABC
V
中，由
π
0
2
2π
π
0
3
2
C
B
C
ì <
<
ïïí
ï <
=
-
<
ïî
，可得π
π
6
2
C
<
<
，
则
π
1
3
sin
sin
cos
sin
1
3
3
2
2
sin
sin
sin
2
2tan
C
C
C
b
B
c
C
C
C
C
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
=
=
=
=
+
，
又
1
tan
3
C >
，则
1
0
3
tanC
<
<
，
所以，b
c 的取值范围为1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
又
2
2
2
2
b
c
b
c
bc
c
b
+
=
+
，设
1 ,2
2
b
t
c
æ
ö
=
Îç
÷
è
ø ，设
1
2
f t
t
t
=
+
，其中
1 ,2
2
t
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
t
t
t
f
t
t
t
t
æ
öæ
ö
+
-
ç
֍
÷
-
è
øè
ø
=
-
=
=
¢
，
由
0
f
t
¢
<
可得1
2
2
2
t
< <
，由
0
f
t
¢
>
可得
2
2
2
t
< <
，
所以，
f t 在1
2
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上递减，在
2 ,2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上递增，
所以，
min
2
2 2
2
f t
f æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
又因为
1
3
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
9
2
2
f
=
，故
f t 的取值范围为
9
2 2, 2
é
ö
÷
êë
ø ，
即
2
2
2b
c
bc
+
的取值范围为
9
2 2, 2
é
ö
÷
êë
ø
.
5．（24-25 高三上·山东泰安·阶段练习）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
sin
sin
sin
,
3
a
c
B
C
b
c
B
C
b
-
×
+
=
-
×
+
=
.
(1)求B ；
(2)若
3
BA
BC
+
=
uuur
uuur
，求
ABC
V
的周长；
(3)如图，点D 是
ABC
V
外一点，设
BAC
DAC
q
Ð
= Ð
=
，且
2 π
3
ADC
Ð
=
，记
BCD
△
的面积S，求S 关于q 的关系
式，并求S 的取值范围.
【答案】(1)
π
3
B =
(2)3 3
(3)
sin2
sin2 cos2
S
q
q
q
=
-
，
3 3
0
4
S
<
<
【详解】（1）由
sin
sin
sin
a
c
B
C
b
c
B
C
-
×
+
=
-
×
+
可得
sin
sin
sin
B
C
b
c
B
C
a
c
+
-
=
+
-
；
由正弦定理可知sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
，
所以
sin
sin π
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
C
A
A
a
b
c
B
C
B
C
B
C
b
c
a
c
+
-
-
=
=
=
=
+
+
+
+
-
，
所以
2
2
2
a
ac
b
c
-
=
-
，即
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
.
由余弦定理
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
c
b
ac
B
ac
ac
+
-
=
=
=
，
因此
π
3
B =
.
（2）因为
3
+
=
uuur
uuur
BA
BC
，所以等号两边同时平方可得
2
2
2
9
BA
BC
BA BC
+
+
×
=
uuur
uuur
uuur uuur
；
即
2
2
9
a
c
ac
+
+
=
.
又
3
b =
，由（1）知
2
2
3
a
c
ac
+
-
=
，
所以
2
2
6
a
c
+
=
，可得
3
ac =
，所以
3
a
c
=
=
，
因此
ABC
V
的周长为
3 3
a
b
c
+
+
=
.
（3）由正弦定理可得
3
2
sin
sin
3
2
BC
AC
ABC
q
Ð
=
=
=
，即
2sin
BC
q
=
，
且
3
2
sin
sin
3
2
CD
AC
ADC
q
Ð
=
=
=
，即
2sin
CD
q
=
.
因为四边形ABCD 的内角和为2π，且
π
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
，
所以π
2
BCD
q
Ð
-
=
所以
2
1
1
sin
2sin
2sin
sin π
2
2sin
sin2
2
2
S
BC CD
BCD
Ð
q
q
q
q
q
=
×
=
´
´
´
-
=
´
.
2
2sin
sin2
1 cos2
sin2
sin2
sin2 cos2
S
q
q
q
q
q
q
q
=
´
=
-
=
-
，
记
2
x
q
=
，
令
sin
sin cos
f x
x
x
x
=
-
，
则
2
2
2
cos
cos
sin
2cos
cos
1
2cos
1
cos
1
f
x
x
x
x
x
x
x
x
=
-
¢
-
= -
+
+ =
+
-
+
.
因为在ACD
V
中
π
0
3
q
<
<
，所以
2π
0
3
x
<
<
，所以
1
cos
1
2
x
-
<
< ，
所以当
1
cos
1
2
x
-
<
< 时，
0,
f
x
f
x
¢
>
单调递增.
当
1
cos
2
x = -
，即
2π
3
x =
时，
2π
3 3
3
4
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
；
当cos
1
x = ，即
0
x =
时，
0
0
f
=
，
则
3 3
0
4
f x
<
<
，
所以
3 3
0
4
S
<
<
.
6．（24-25 高三上·辽宁·期中）在锐角
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，c ，a
b
+
成等比数
列.
(1)求证：
2
C
A
=
；
(2)求c
a
b
-
的取值范围；
(3)证明：
3
1
cos
cos
cos
2
A
B
C
+
+
+
>
.
（参考数据：13
3.60555
»
）
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
1,
2
1
2
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
(3)证明见解析
【详解】（1）因为a ，c ，a
b
+
成等比数列，故
2
2
2
2
cos
c
a a
b
a
b
ab
C
=
+
=
+
-
，
化简得
2 cos
a
b
a
C
=
-
，则
sin
sin
2sin
cos
sin
2sin
cos
A
B
A
C
A
C
A
C
=
-
=
+
-
，
则sin
sin
cos
cos
sin
2sin
cos
cos
sin
sin
cos
A
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
=
+
-
=
-
即
sin
sin
A
C
A
=
-
.
又
ABC
V
为锐角，故A
C
A
=
-
，即
2
C
A
=
.
（2）因为锐角
ABC
V
中
2
C
A
=
，故
π
0
2
π
0
2
2
π
0
π
3
2
A
A
A
ì <
<
ï
ïï <
<
í
ï
ï <
-
<
ïî
，解得π
π
6
4
A
<
<
.
sin
sin
sin 2
sin
2sin
cos
sin
2sin
cos
sin
sin
sin
sin
2
sin
cos2
cos
sin 2
c
a
C
A
A
A
A
A
A
A
A
A
b
B
A
C
A
A
A
A
A
A
-
-
-
-
-
=
=
=
=
+
+
+
2
2
2
2sin
cos
sin
2cos
1
2cos
1
2cos
1
sin
cos2
2sin
cos
cos2
2cos
4cos
1
2cos
1
2cos
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
-
-
-
-
=
=
=
=
+
+
-
+
-
1
2cos
1
A
=
+ ，
因为π
π
6
4
A
<
<
，故
2
1
2cos
1
3
1
A
+ <
+ <
+ ，
则
1
1
1
2cos
1
3
1
2
1
A
<
<
+
+
+ ，即
3
1,
2
1
2
c
a
b
æ
ö
-
-
Î
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
（3）由
2
C
A
=
，π
π
6
4
A
<
<
可得
2
3
cos
2
2
A
<
<
.
则cos
cos
cos
cos
cos3
cos2
A
B
C
A
A
A
+
+
=
-
+
2
2
2
2
cos
cos
2
2cos
1
cos
cos
2cos
1
2sin
cos
2cos
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
=
-
+
+
- =
-
-
+
+
-
3
2
2
2cos
2cos
2cos
2 1 cos
cos
1
A
A
A
A
A
= -
+
+
+
-
-
3
2
4cos
2cos
4cos
1
A
A
A
= -
+
+
-
设
cos
x
A
=
，
2
3
2
2
x
<
<
，
3
2
4
2
4
1
f x
x
x
x
= -
+
+
- ，
则
2
4 3
1
f
x
x
x
¢
= -
-
-
，令
0
f
x
¢
=
，解得
1
1
13
6
+
=
x
，
2
1
13
6
-
=
x
，
故
f x 在
2 1
13
,
2
6
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，在1
13
3
,
6
2
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减.
又
3
2
2
2
2
2
4
2
4
1
2
1
2 2
1
2
2
2
2
2
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
- = -
+ +
- =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
3
2
3
3
3
3
3 3
3
3
1
4
2
4
1
2 3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
= -
+
+
- = -
+
+
- =
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
.
故
3
3
1
cos
cos
cos
2
2
A
B
C
f æ
ö
+
+
+
>
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，即得证.
