解析几何：外接圆问题、内切圆问题、角平分线问题专项训练
1．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，右焦点
(1,0)
F
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线:
(
0)
l y
kx k
=
¹
与椭圆E 交于P，A 两点，过点
0
0
,
P x
y
作PC
x
轴，垂足为点C，直线AC 交椭圆E 于
另一点B．
（i）证明：AP
BP
．
（ⅱ）求ABP
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）8
9 .
【详解】（1）由题意椭圆右焦点
1,0
F
可得
1
c = ，
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
可得
2
2
1
1
1
2
a
b
+
= ，
由
2
2
2
1
a
b
c
-
=
= 整理得
2
2
2
1
1
0
b
b
+
-
=
，得
1
b = ，
所以
2
a =
，椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ．
（2）(i)证明：Q直线
:
0
l y
kx k
=
¹
与椭圆E 交于P ，A 两点，设P 为第一象限点，
0
0
,
P x
y
，PC
x
轴，如
图，\点A 的坐标为
0
0
,
x
y
-
-
，点C 的坐标为
0,0
x
，
设
,
B x y ，则有
2
2
0
0
1
2
x
y
+
= ，
2
2
1
2
x
y
+
= ，
两式相减得：
0
0
0
0
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
= -
-
+
，
又
0
0
AB
y
y
k
x
x
+
=
+
，
0
0
BP
y
y
k
x
x
-
=
-
，
0
0
0
0
1
2
AB
BP
y
y y
y
k
k
x
x
x
x
-
+
\
×
=
×
= -
-
+
，
考点一
外接圆问题
又
0
0
1
2
2
2
AB
AC
PA
y
k
k
k
k
x
=
=
=
×
=
，
1 2
1
2
BP
k
k
k
\
= -
×
= -
，
又
AP
k
k
=
，
1
1
AP
BP
k
k
k
k
æ
ö
\
×
=
× -
= -
ç
÷
è
ø
，因此，AP
BP
．
(ii)解：由对称性不妨设
0
k >
，
0
0
,
P x kx
在第一象限，
由
:
AP y
kx
=
与椭圆联立得
2
2
2
1
2
k
x
+
=
，
所以
2
0
2
2
1
k
x =
+
，则
2
2
2
2
2
1
2
1
AP
OP
k
k
=
=
+ ×
+
．
设直线AP 与AB 倾斜角分别为
1
2
,
q q ，则
1
2
tan
,tan
2
k
k
q
q
=
=
，
所以
1
2
2
2
tan
tan
2
1
2
k
k
k
PAB
k
k
k
q
q
-
Ð
=
-
=
=
+
+
×
，
由(i)，
2
2
2
2
4
1
1
1
tan
2
2
2
2
1
ABP
k k
S
AP
BP
AP
PAB
k
k
+
=
×
=
×
Ð
=
+
+
V
，
令
2
2
2
4
1
2
2
1
k k
f k
k
k
+
=
+
+
，则
2
4
2
6
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
2
3
2
8
4
4
8
2
2
1
2
2
1
k
k
k
k
k
k
f
k
k
k
k
k
-
-
+
+
¢
-
-
+
+
=
=
+
+
+
+
，
当
0,1
k Î
时
0
f
k
¢
>
，当
1,
k
¥
Î
+
时
0
f
k
¢
<
，
即
f k 在
0,1 上单调递增，在
1, ¥
+
上单调递减，因此
max
8
1
9
f k
f
=
=
，
即
ABP
S△
的最大值为8
9 ．
2．（2025·陕西西安·二模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三
条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点为F，直线:
2
l y =
过点F，
过x 轴下方的一点P 作C 的两条切线1l 和2l ，且1l ，2l 分别交x 轴于点A，B，交l 于点M，N．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若△PMN 为阿基米德三角形，求∠MPN；
(3)证明：切线三角形PAB 的外接圆过定点．
【答案】(1)
2
8
x
y
=
(2)
90
MPN
Ð
=
o
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得
2
2
p =
，则
4
p =
，
所以抛物线C 的方程为
2
8
x
y
=
，
（2）因为PMN
V
为阿基米德三角形，
所以1
2
,
l l 分别与抛物线C 切于点
,
M N ，
不妨设点M 在y 轴左侧，则
4,2 ,
4,2
M
N
-
.
由
2
8
x
y
=
，得
2
1
8
y
x
=
，
则
1
4
y
x
¢ =
，
所以1l 的斜率为
2
1,l
-
的斜案为1，
所以1
2
l
l
，
所以
90
MPN
Ð
=
o .
（3）由（1）可知抛物线
2
:
8
C x
y
=
，
设1
2
,
l l 分别与抛物线C 切于点
2
1
1, 8
x
Q x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
1
2
,
,
,
0
8
x
R x
x x
æ
ö
¹
ç
÷
è
ø
由（1）可知直线PQ的斜率为
1
1
4 x ，直线PR 的斜率为
2
1
4 x ，
所以直线PQ的方程为
2
1
1
1
8
4
x
x
y
x
x
-
=
-
.即
2
1
1
4
8
x
x
y
x
=
-
直线PR 的方程为
2
2
2
2
8
4
x
x
y
x
x
-
=
-
，即
2
2
2
4
8
x
x
y
x
=
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
,
,
,0 ,
,0
2
8
2
2
x
x
x x
x
x
P
A
B
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
设PAB
V
外接圆的圆心为
,
G m n ，
则圆心G 在线段AB 的垂直平分线上，
所以
1
2
4
x
x
m
+
=
，
则圆G 的半径为
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
2
4
x
x
x
x
x
GA
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以圆G 的方程为
2
2
2
2
1
2
2
1
(
)
4
4
x
x
x
x
x
y
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又点P 在圆G 上，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
4
8
4
x
x
x x
x
x
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
即
2
2
1
2
1
2
1
2
0
4
64
4
x x
x x
nx x
+
-
=
，所以
1
2
16
16
x x
n
+
=
，
所以
2
2
1
2
1
2
16
4
16
x
x
x x
x
y
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
1
1
2
16
4
16
x
x
x x
-
+
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
整理得
2
2
1
2
1
2
1
2
16
0
2
8
4
x
x
x x
x x
x
x
y
y
+
+
-
+
-
+
=
，
即
2
2
1
2
1
2
2
1
0
2
4
2
x
x
x x
y
x
y
y
x
+
æ
ö
+
-
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
令
2
2
2
0
0
1
0
2
x
y
y
x
y
ì
ï
+
-
=
ï =
í
ï
ï -
=
î
，得
0
2
x
y
=
ì
í
=
î
，
所以PAB
V
的外接圆过定点
0,2 .
3．（24-25 高二上·江苏南通·阶段练习）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点( 3,1)，且渐近线方程为y
x
= ± ．
(1)求a，b 的值；
(2)点A，B，D 是双曲线C 上不同的三点，且B，D 两点关于y 轴对称，
ABD
△
的外接圆经过原点O，若设直线的
AB 方程为
(
0)
y
kx
m k
=
+
¹
．
①求
ABD
△
外接圆的方程（用k，m 表示）；
②求证：原点O 到直线AB 的距离为定值．
【答案】(1)
2
a
b
=
=
；
(2)①
2
2
2
2
2
2
2
(
)
1
1
m
m
x
y
k
k
æ
ö
+
-
= ç
÷
-
-
è
ø
；②证明见解析.
【详解】（1）因为双曲线C 渐近线方程为y
x
= ± ，所以
1
b
a = ．
又双曲线C 经过点( 3,1)，所以
2
2
3
1
1
a
b
-
= ．解得
2
a
b
=
=
．
（2）AB 方程为
(
0)
y
kx
m k
=
+
¹
，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，AB 中点
3
3
(
,
)
E x
y
，
则
2
2
(
,
)
D
x
y
-
．
由
2
2
1
2
2
y
kx
m
x
y
=
+
ìïí
-
=
ïî
，消去x，得
2
2
2
(1
)
2
2
0
k
x
kmx
m
-
-
-
-
=
，
所以
1
2
2
2
1
km
x
x
k
+
= -
，
2
2
1
2
2
1
x x
m
k
= -
+
-
，则
1
2
3
2
2
1
x
x
km
x
k
+
=
= -
，
2
3
3
1
y
m
m
k
k
x
=
+
= -
，
则AB 的中垂线方程为
2
2
1
1
1
m
km
y
x
k
k
k
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
-
-
è
ø，当
0
x =
时，
2
2
1
m
y
k
= -
，
因为B、D 两点关于y 轴对称，则
ABD
△
的外接圆圆心在y 轴上，
记圆心为点F，则
2
2
(0,
)
1
m
F
k
-
，又
ABD
△
的外接圆经过原点O，
所以
ABD
△
外接圆的方程为
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
1
1
m
m
x
y
k
k
+
-
=
-
-
或
2
2
2
4
0
1
m
x
y
y
k
+
-
=
-
．
②因为
ABD
△
的外接圆经过原点，则|
| |
|
OF
FA
=
，即
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
m
m
x
y
k
k
æ
ö
=
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
．
又
2
2
1
1
2
2
x
y
-
＝1，所以
2
1
1
2
2
1
0
1
m
y
y
k
-
×
+ =
-
，
同理，由|
| |
|
OF
FB
=
得
2
2
2
2
2
1
0
1
m
y
y
k
-
×
+ =
-
，
所以
1
2
,
y y 是方程
2
2
2
1
0
1
m
y
y
k
-
×
+ =
-
的两个根，所以
1
2
1
y y = ，
则
1
2
(
)(
)
1
kx
m kx
m
+
+
= ，即
2
2
1
2
1
2
(
)
1
k x x
km x
x
m
+
+
+
= ，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
1
)
(
(
)
1
k
km
m
km
k
k
m
+
-
-
× -
+
×
+
= ，化简得
2
2
1
k
m
+ =
，
所以原点O 到直线AB 距离
2
|
|
1
1
m
d
k
=
=
+
.
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线C ：
2
4
x
y
=
，过点（0，4）的直线与C 相交于M，N
两点.
(1)求
MON
Ð
；
(2)过M，N 分别作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的交点为P.
（i）求PMN
V
面积的最小值；
（ii）设A，B 分别为1l ，2l 与x 轴的交点，证明：PAB
V
的外接圆过定点.
【答案】(1) π
2
(2)（i）32 （ii）证明见详解
【详解】（1）根据题意直线斜率存在，设直线:
4
l y
kx
=
+
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立抛物线C ：
2
4
x
y
=
得
2
4
16
0
x
kx
-
-
=
，
方程
2
4
16
0
x
kx
-
-
=
的判别式
2
16
64
0
k
D =
+
>
，
1
2
4
x
x
k
+
=
，
1
2
16
x x = -
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
16
16 16
16
16
0
OM ON
x x
kx
kx
x x
k x x
k x
x
k
k
×
=
+
+
+
=
+
+
+
+
= -
-
+
+
=
uuuur uuur
，
所以
π
2
MON
Ð
=
.
（2）（i）抛物线
2
4
x
y =
，
2
x
y¢ =
，所以1l ，2l 的斜率分别为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
k
k
=
=
，
则
2
1
1
1 :
2
4
x
x
l
y
x
=
-
，
2
2
2
2 :
2
4
x
l
x
y
x
=
-
，交点
1
2
1
2
,
2
4
x
x
x x
P
+
æ
ö
ç
÷
è
ø即
2 , 4
P
k -
，
点P 到直线l 的距离
2
2
2
8
1
k
d
k
+
=
+
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
4 1
4
MN
k
x
x
x x
k
k
=
+
+
-
=
+
+
，
3
2
2
2
2
1
4
4
4
4
4
32
2
MNP
S
MN d
k
k
k
=
=
+
+
=
+
³
V
，当
0
k =
时取等，
所以PMN
V
面积的最小值为32.
（ii）证明：1l ，2l 与x 轴的交点坐标
1 ,0
2
x
Aæ
ö
ç
÷
è
ø ，
2 ,0
2
x
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
1
2 , 4
2
x
x
P
+
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
2
8
PA
k
x
= -
，PA 的中点为
1
2
2
, 2
4
x
x
+
æ
ö
-
ç
÷
è
ø，
所以PA 垂直平分线方程为
2
1
2
2
2
8
4
x
x
x
y
x
+
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
又AB 垂直平分线方程为
1
2
4
x
x
x
+
=
，所以PAB
V
的外接圆圆心为
1
2
1
2
,
2
4
32
x
x
x x
E
+
-
æ
ö
-
ç
÷
è
ø即
3
, 2
E k -
æ
ö
ç
÷
è
ø，半径
2
1
2
9
4
4
x
x
r
EA
-
æ
ö
=
=
+
ç
÷
è
ø
，
所以PAB
V
外接圆方程为
2
2
2
2
1
2
3
9
2
4
4
x
x
x
k
y
r
-
æ
ö
æ
ö
-
+
+
=
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即
2
2
2
3
25
2
4
x
k
y
k
æ
ö
-
+
+
=
+
ç
÷
è
ø
，故
2
2
2
3
4
x
kx
y
y
-
+
+
=
，
所以恒过定点
0,1 和
0, 4
-
，
故PAB
V
的外接圆过定点.
5．（23-24 高二上·江苏南京·期末）设抛物线
2
4
x
y
=
的焦点为 F ，点 P 在抛物线的准线上. 过点 P 作抛物线的
两条切线，切点分别为 A
B
，
. 已知抛物线上有一动点 C ，位于点 A
B
，
之间. 若抛物线在点 C 处的切线与切线
PA
PB
，
相交于点 M
N
，
. 求证：
(1)直线 AB 经过点 F ;
(2) PMN
V
的外接圆过定点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知
2
4
x
y
=
，抛物线的焦点为
(0,1)
F
，准线方程为
1
y = - ，
设
2
1
4
f x
x
=
，点
1
1
2
2
( , 1),
,
,
,
P t
A x y
B x
y
-
，则
1
1
1
(
)
2
PA
k
f
x
x
¢
=
=
，
得直线PA 的方程为
1
1
1
1
2
y
y
x
x
x
-
=
-
，且
2
1
1
4
x
y
=
，化简得
1
1
2
2
x x
y
y
=
+
①.
同理可得，切线PB 的方程为
2
2
2
2
x x
y
y
=
+
②.
又因为切线PA 过点P ，所以有
1
1
2
2
x t
y
=
-
；同理可得
2
2
2
2
x t
y
=
-
.
所以直线AB 的方程为
2
2
tx
y
=
-
，故直线AB 经过点
0,1
F
.
（2）设点
0
0
(
,
)
C x
y
，由（1）可知曲线在点C 处的切线方程为
0
0
2
2
x x
y
y
=
+
.
联立方程组，得
1
1
0
0
2
2
2
2
x x
y
y
x x
y
y
=
+
ì
í
=
+
î
且
2
1
1
4
x
y
=
，
2
0
0
4
x
y
=
，解得
1
0
1
2
4
x
x
x
x
y
+
ì =
ïïí
ï
=
ïî
，
即M
1
0
1
,
2
4
x
x
x
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ，同理解得N
2
0
2
0
,
2
4
x
x
x x
+
æ
ö
ç
÷
è
ø，
由（1），设过点P 的切线方程为
0(
) 1
y
k
x
t
=
-
- ，
0
2
(
) 1
4
y
k
x
t
x
y
=
-
-
ì
í
=
î
，消去y，得
2
0
0
4
4(
1)
0
x
k x
k t
-
+
+
=
，
2
0
0
16
16(
1)
0
k
k t
D =
-
+
= ，得
2
0
0
1
0
k
tk
-
- = ，
记关于
0k 的一元二次方程
2
0
0
1
0
k
tk
-
- = 的两根为
1
2
,
k k ，其中
1
2
,
k k 分别为切线PA、PB 的斜率，
则
1
2
1
k k = - ，所以PA
PB
，故线段MN 即为PMN
V
的外接圆的直径.
设直线AB 方程为
1
y
kx
=
+ ，由
2
4
1
x
y
y
kx
ì
=
í
=
+
î
，消去y 可得
2
4
1
x
kx
=
+
，
则
1
2
1
2
4
4
x
x
k
x x
+
=
= -
，
，
因为
1
0
2
0
2
0
1
(
,
1),
(
,
1)
2
4
2
4
x
x
x
x
x x
x
FM
FN
+
+
=
-
=
-
uuuur
uuur
，
所以
2
2
1
0
2
0
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
0
1
2
1
(
)
(
)
(
,
1) (
,
1)
1
2
4
2
4
4
16
4
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
FM FN
+
+
+
+
+
+
×
=
-
×
-
=
+
-
+
uuuur uuur
将
1
2
1
2
4
4
x
x
k
x x
+
=
= -
，
代入上式，可得
2
2
0
0
0
0
4
4
4
4
1
0
4
16
4
kx
x
x
kx
FM FN
- +
+
-
×
=
+
-
+ =
uuuur uuur
，
所以PMN
V
的外接圆过定点F .
6．（2025·河北保定·一模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三
条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点为F ，直线:
2
l y =
过点F ，
过x 轴下方的一点P 作C 的两条切线1
2
,
l l ，且1
2
,
l l 分别交x 轴于点
,
A B ，交l 于点
,
M N .
(1)若PMN
V
为阿基米德三角形，求
MPN
Ð
；
(2)证明：切线三角形PAB 的外接圆过定点；
(3)求PMN
V
面积的最小值.
【答案】(1)
90
MPN
Ð
=
o
(2)证明见解析
(3) 64 3
9
【详解】（1）由题意得
2
2
p =
，则
4
p =
，
所以抛物线C 的方程为
2
8
x
y
=
，
因为PMN
V
为阿基米德三角形，
所以1
2
,
l l 分别与抛物线C 切于点
,
M N ，
不妨设点M 在y 轴左侧，则
4,2 ,
4,2
M
N
-
.
由
2
8
x
y
=
，得
2
1
8
y
x
=
，
则
1
4
y
x
¢ =
，
所以1l 的斜率为
2
1,l
-
的斜案为1，
所以1
2
l
l
，
所以
90
MPN
Ð
=
o .
（2）由（1）可知抛物线
2
:
8
C x
y
=
，
设1
2
,
l l 分别与抛物线C 切于点
2
1
1, 8
x
Q x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
1
2
,
,
,
0
8
x
R x
x x
æ
ö
¹
ç
÷
è
ø
由（1）可知直线PQ的斜率为
1
1
4 x ，直线PR 的斜率为
2
1
4 x ，
所以直线PQ的方程为
2
1
1
1
8
4
x
x
y
x
x
-
=
-
.即
2
1
1
4
8
x
x
y
x
=
-
直线PR 的方程为
2
2
2
2
8
4
x
x
y
x
x
-
=
-
，即
2
2
2
4
8
x
x
y
x
=
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
,
,
,0 ,
,0
2
8
2
2
x
x
x x
x
x
P
A
B
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
设PAB
V
外接圆的圆心为
,
G m n ，
则圆心G 在线段AB 的垂直平分线上，
所以
2
2
4
x
x
m
+
=
，
则圆G 的半径为
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
2
4
x
x
x
x
x
GA
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以圆G 的方程为
2
2
2
2
1
2
2
1
(
)
4
4
x
x
x
x
x
y
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又点P 在圆G 上，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
4
8
4
x
x
x x
x
x
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
即
2
2
1
2
1
2
1
2
0
4
64
4
x x
x x
nx x
+
-
=
，所以
1
2
16
16
x x
n
+
=
，
所以
2
2
1
2
2
2
16
4
16
x
x
x x
x
y
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
1
1
2
16
4
16
x
x
x x
-
+
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
整理得
2
2
1
2
1
2
1
2
16
0
2
8
4
x
x
x x
x x
x
x
y
y
+
+
-
+
-
+
=
，
即
2
2
1
2
2
2
2
1
0
2
4
2
x
x
x x
y
x
y
y
x
+
æ
ö
+
-
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
令
2
2
2
0
0
1
0
2
x
y
y
x
y
ì
ï
+
-
=
ï =
í
ï
ï -
=
î
，得
0
2
x
y
=
ì
í
=
î
，
所以PAB
V
的外接圆过定点
0,2 .
（3）由（2）可得2l 的方程为
2
1
1
2
,
4
8
x
x
y
x
l
=
-
的方程为
2
2
2
4
8
x
x
y
x
=
-
，
又直线
:
2
MN y =
，
所以
1
2
1
2
8
8
,2 ,
,2
2
2
x
x
M
N
x
x
æ
ö
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
1
2
1
2
1
8
8
2
MN
x
x
x
x
=
-
+
-
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
16
1
16
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x x
x x
-
-
=
-
+
=
× -
，
由（2）可得
1
2
1
2
,
2
8
x
x
x x
P
+
æ
ö
ç
÷
è
ø，
所以点P 到直线MN 的距离为
1
2
2
8
x x
d =
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
16
1
2
2
2
8
PMN
x
x
x x
S
x x
-
æ
öæ
ö
=
×
×
-
-
ç
֍
÷
è
ø
è
ø
V
令
2
1
2
1
2
,
0,
x x
t
t
x
x
r
= -
>
-
=
，
由
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
4
0
x
x
x
x
x x
r
t
+
=
-
+
=
-
³
，
得
2
r
t
³
，当
1
2
0
x
x
+
=
时等号成立，
所以
2
2
1
16
16
1
2 2
8
PMN
r
t
S
t
+
æ
ö
=
×
×
+
×
ç
÷
è
ø
V
2
2
2
2
2
16
16
32
16
r t
t
t
t
+
+
=
³
令
2
2
16
,
0
16
t
f t
t
t
+
=
>
，
则
2
2
2
3
2
16
2
16
1
16
t
t t
t
f
t
t
+
×
× -
+
¢
=
×
2
2
2
16
3
16
16
t
t
t
+
-
=
令
0
f
t
¢
>
，得
4 3
3
t >
；
令
0
f
t
¢
<
，得
4 3
0
3
t
< <
，
所以
f t 在
4 3
0,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，在4 3 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，
所以
min
4 3
64 3
( )
3
9
f t
f æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
此时
1
2
4 3
4 3
,
3
3
x
x
=
= -
或
1
2
4 3
4 3
,
3
3
x
x
= -
=
，
所以PMN
V
面积的最小值为64 3
9
.
7．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，右顶点和
上顶点分别为P，Q 且
1
3.
PF =
直线l 经过
1F 交C 于A，(
B A在x 轴上方) 两点，当l 垂直于x 轴时，直线OA 的斜
率是直线PQ 斜率的
3 倍.
(1)求C 的方程；
(2)求PAB
V
面积的最大值；
(3)若直线PA，PB 与y 轴分别交于M，N 两点，问
1
2
MF F
△
的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由?
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2) 9
2
(3)经过点N ，理由见解析
【详解】（1）依题意有，
0
P a，，
0
Q
b
，
，
2
b
A
c a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
，
因为
3
OA
PQ
k
k
=
，
则
2
0
0
3
0
0
b
b
a
c
a
-
-
=
×
- -
-
，解得
3
b
c
=
，
故有
2
2
2
3
3
a
c
b
c
b
c
a
+
=
ì
ï =
í
ï
+
=
î
，解得
2
a =
，
3
b =
，
则椭圆方程为
2
2
1.
4
3
x
y
+
=
（2）设
1
1
A x
y
，
，
2
2
B x
y
，
，l 的方程为
1
x
my
=
- ，
联立
2
2
1
4
3
1
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，
2
2
2
Δ
36
36 3
4
144
1
0
m
m
m
=
+
+
=
+
>
，
由韦达定理有
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
=
+
，
1
2
2
9
3
4
y y
m
-
=
+
，
则
1
2
1
2
1
2
4
y
y
y
y
y y
-
=
+
-
2
2
2
2
2
6
36
12
1
(
)
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
+
=
+
=
+
+
+
，
于是
2
1
1
2
2
1
1
12
1
3
2
2
3
4
PAB
m
S
PF y
y
m
+
=
-
=
´ ´
+
V
2
2
2
2
18
1
18
.
1
3
4
3
1
1
m
m
m
m
+
=
=
+
+ +
+
令
2
1
1
t
m
=
+ ³ ，
1
3
4
y
t
t
=
+
³
，
1
t = ，
0
m =
时取等号，
则
9
2
PAB
S
£
V
，故PAB
V
面积的最大值为9 .
2
（3）
1
2
MF F
△
的外接圆经过点N ，理由如下：
直线AP 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
令
0
x =
，则
1
1
2
2
y
y
x
=
-
，故
1
1
2
0 2
y
M
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
，
同理可得
2
2
2
0 2
y
N
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
，
则
1
1
1
2
1 2
y
F M
x
æ
ö
= ç
÷
-
è
ø
uuuur
，
，
2
1
2
2
1 2
y
F N
x
æ
ö
= ç
÷
-
è
ø
uuuur
，
，
故有
1
2
1
1
1
2
2
2
1
3
3
y
y
F M F N
my
my
×
= +
×
-
-
uuuur uuuur
1
2
2
1
2
1
2
4
1
3
9
y y
m y y
m y
y
= +
-
+
+
.
2
2
2
2
2
36
3
4
1
0
9
18
9
3
4
3
4
m
m
m
m
m
-
+
= +
=
-
-
+
+
+
，
故
1
1
F M
F N
，同理可证
2
2
F M
F N
，
于是
1
2
MF F
△
的外接圆经过点N .
8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
C
b
b
x
a
a
y +
>
>
=
的离心率为4
5 ，点
(0,5)
P
在椭圆C 上，过点
(0, )(
5)
T
t t ¹ ±
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，直线PA，PB 与直线y
t
= 分别交于点M，N
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若T 为椭圆C 的上焦点，求PAB
V
面积取得最大值时直线l 的方程；
(3)若PMN
V
的外接圆经过原点O ，求t 的值．
【答案】(1)
2
2
1
25
9
y
x
+
=
(2)
7
4
3
y
x
= ±
+
(3) 45
16
【详解】（1）由题意可知：
4 ,
5
5
c
e
a
a
=
=
=
，则
2
2
2
4,
9
c
b
a
c
=
=
-
=
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
25
9
y
x
+
= .
（2）由题意可知：直线l 的斜率存在，设
1
1
2
2
:
,
,
,
,
l y
kx
t A x y
B x
y
=
+
，
由（1）可知：
0,4
T
，则
1
PT = ，且直线:
4
l y
kx
=
+
与椭圆C 必相交，
联立方程
2
2
4
1
25
9
y
kx
y
x
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去y 得
2
2
9
25
72
81
0
k
x
kx
+
+
-
=
，
则
1
2
1
2
2
2
72
81
,
9
25
9
25
k
x
x
x x
k
k
+
=-
=-
+
+
，
可得
2
2
1
2
2
2
2
1
1
72
4 81
45
1
2
2
9
25
9
25
9
25
PAB
k
k
S
PT x
x
k
k
k
´
+
æ
ö
=
-
=
-
+
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
V
2
2
45
15
16
8
9
1
1
k
k
=
£
+ +
+
，
当且仅当
2
2
16
9
1
1
k
k
+ =
+
，即
7
3
k = ±
时，等号成立，
所以PAB
V
面积取得最大值时直线l 的方程为
7
4
3
y
x
= ±
+ .
（3）设直线
1
:
5
PA y
k x
=
+ ，直线
2
:
5
PB y
k x
=
+
，则
1
2
5
5
,
,
,
t
t
M
t
N
t
k
k
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
联立方程
2
2
1
25
9
y
kx
t
y
x
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去y 得
2
2
2
9
25
18
9
25
0
k
x
ktx
t
+
+
+
-
=
，
则
2
2
2
2
2
Δ
18
36 9
25
25
900 9
25
0
kt
k
t
k
t
=
-
+
-
=
+
-
>
，
可得
2
1
2
1
2
2
2
9
25
18
,
9
25
9
25
t
kt
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
5
5
5
y
y
kx
t
kx
t
k k
x
x
x
x
-
-
+ -
+ -
=
×
=
×
2
2
1
2
1
2
1
2
5
5
k x x
k t
x
x
t
x x
+
-
+
+
-
=
2
2
2
2
2
2
2
2
9
25
18
5
5
25
5
9
25
9
25
9
5
9
25
9
25
k
t
k t t
t
t
k
k
t
t
k
-
-
-
+
-
-
+
+
=
=
+
-
+
，
又因为
1
2
5
5
0,
,
0,5
,
,0 ,
,0
t
t
TO
t
TP
t
TM
TN
k
k
æ
ö
æ
ö
-
-
=
-
=
-
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uur
uuur
uuur
若PMN
V
的外接圆经过原点O ，则TO TP
TM TN
uur uur
uuur uur
×
=
×
，
可得
2
1
2
5
9
5
5
5
25
t
t t
t
t
k k
-
-
=
=
+
-
，
且
5
t ¹
，则
5
0
t -
¹
，可得
9
5
25
t
t
=
+
，解得
45
16
t =
，
检验可知
45
16
t =
满足
0
D >
，
所以t 的值为45
16 .
1．（24-25 高二下·安徽·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且
1
2
4
F F =
.
(1)求C 的实轴长与虚轴长之积的最大值.
(2)若过点
2F 的直线与C 的右支交于P，Q 两点，直线
1
PF 与y 轴交于点
2
,
A PAF
V
的内切圆与边
2
AF 相切于点B ，且
|
| 1
AB = .
（i）求C 的方程；
（ii）记
1
2
PFF
V
的内切圆面积为
1
1
2
,
S
QF F
V
的内切圆面积为
2S ，求
1
2
S
S
+
的取值范围.
【答案】(1)8
(2)（i）
2
2
1
3
y
x -
= （ii）
10π
2π, 3
é
ö
÷
êë
ø
【详解】（1）设C 的半焦距为(
0)
c c >
.
因为
1
2
4
F F =
，所以
2
c =
，
由题可知
2
2
2
4,
a
b
c
C
+
=
=
的实轴长为2a，虚轴长为2b，
因为
2
2
2
2
4
2
8
a
b
ab
a
b
×
=
£
+
=
，当且仅当
2
a
b
=
=
时等号成立，
所以C 的实轴长与虚轴长之积的最大值为8.
（2）（i）设
2
PAF
△
的内切圆分别与
2
,
PA PF 相切于点M，N，如图.
由切线长定理可知
2
2
,
,
PM
PN
F B
F N
AM
AB
=
=
=
，
因为
1
2
AF
AF
=
，
所以
1
2
1
2
PF
PF
PM
AM
AF
PN
F N
-
=
+
+
-
+
1
2
2
2
2
2
AM
AF
F N
AB
AF
F B
AB
=
+
-
=
+
-
=
=
，
即2
2,
1
a
a
=
=
所以
4 1
3
b =
- =
，
考点二
内切圆问题
则C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= ；
（ii）如图，设两内切圆圆心分别为
1
2
,
O O ，半径分别为1
2
1
2
1
2
, ,
,
,
r r PF PF F F 与圆
1
O 分别相切于点
, ,
R S T .
由切线长定理可得
1
2
1
2
PF
PF
PR
RF
PS
SF
-
=
+
-
+
1
2
1
PR
TF
PR
TF
TF
=
+
-
+
=
-
2
TF = 2
2
a =
，
因为
1
2
2
4
TF
TF
c
+
=
=
，所以
1
2
3,
1
TF
TF
=
= ，
所以T 是C 的右顶点(1,0) .
因为
1
OT
x
轴，所以点
1
O 的横坐标为1，
同理可求得点
2
O 的横坐标也为1，
设直线PQ 的倾斜角为q ，则
2
1
π 2π
,
,
π
3
3
PF F
q
q
æ
ö
Î
Ð
=
-
ç
÷
è
ø
.
在Rt
1
2
OTF
△
，Rt
2
2
O TF
V
中，有1
2
π
sin
cos
π
1
2
2
2
tan
,
tan
π
2
2
2
sin
tan
cos
2
2
2
2
r
r
q
q
q
q
q
q
q
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
-
=
=
=
=
ç
÷
æ
ö
è
ø
-
ç
÷
è
ø
.
易知
π π
,
2
6 3
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，
设
2
tan 2
t
q
=
，则
1 ,3
3
t
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
2
2
2
1
2
2
1
1
tan 2
tan 2
r
r
t
t
q
q
+
=
+
= +
，
令
1
( )
f t
t
t
= + ，则
( )
f t 在区间1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，在区间(1,3)上单调递增.
因为
1
1
1
10
(1)
1
2,
(3)
3
1
3
3
3
f
f
f
æ
ö
= +
=
=
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
( )
f t 在区间1 ,3
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上的值域是
10
2, 3
é
ö÷
êë
ø .
故
2
2
1
2
1
2
π
S
S
r
r
+
=
+
的取值范围是
10π
2π, 3
é
ö
÷
êë
ø
.
2．（24-25 高二上·广东广州·期末）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的焦距为4 2 ，点
2 2,2
P
在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)点A ，B ，D 为椭圆E 上不同三点，且B ，D 关于原点对称，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，已知平
行四边形ABCD 存在内切圆.
（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；
（ii）求平行四边形ABCD 的面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
16
8
x
y
+
=
(2)（i）该内切圆是定圆，其方程为：
2
2
3
16
x
y
+
=
.
（ii）64 ,16 2
3
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）易知
2 2
c =
，即
2
2
8
a
b
=
+ ，又点
2 2,2
P
在椭圆上，
所以
2
2
2
2
8
8
4
1
a
b
a
b
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
Þ
2
2
16
8
a
b
ì
=
í
=
î
.
所以椭圆E 标准方程为：
2
2
1
16
8
x
y
+
= .
（2）（i）如图：
因为点A ，B ，D 为椭圆E 上不同三点，且B ，D 关于原点对称，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，所以
C 点也在椭圆E 上.
又
ABCD
Y
存在内切圆，所以圆心必为
0,0
O
，设圆的半径为r .
所以点O 到直线AB ，BC ，CD ，DA 的距离相等，均为r ，
又
AOB
V
，BOC
V
，
COD
△
，
DOA
△
的面积相等，
所以AB
BC
CD
DA
=
=
=
，故
ABCD
Y
为菱形.
所以AC
BD
.
当直线AC 存在斜率，且斜率不为0 时，设直线AC ：y
kx
=
，
由
2
2
1
16
8
y
kx
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
Þ
2
2
16
1
2
x
k
= +
，不妨取
2
2
4
4
,
1
2
1
2
k
A
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
.
用
1
k
-
代替k ，可得
2
2
4
4
,
2
2
1
1
k
B
k
k
æ
ö
ç
÷
ç
÷
-
ç
÷
+
+
ç
÷
è
ø
.
由
2
2
2
OA
OB
AB
×
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
16 1
16 1
2
1
2
1
4
4
4
4
2
2
1
2
1
2
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
×
+
+
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
+
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
16
1
1
2
2
16
1
1
3
1
2
2
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
，
即
2
16
3
r =
.
当直线AC 斜率为0 时，可取
4,0
A
,
0,2 2
B
，则
2
2
4 2 2
4
3
4
2 2
r
´
=
=
+
，所以
2
16
3
r =
.
当直线AC 不存在斜率时，类似可得：
2
16
3
r =
.
所以该内切圆为定圆，其方程为：
2
2
3
16
x
y
+
=
.
（ii）当直线AC 斜率为0 或不存在时，
1
4
4 2 2
16 2
2
ABCD
S
=
´
´ ´
=
Y
.
当直线AC 斜率存在且不为0 时，
4
ABCD
AOB
S
S
=
Y
△
2 OA OB
=
×
2
2
2
2
16
1
16
1
2
1
2
2
k
k
k
k
+
+
=
×
+
+
2
2
2
2
1
1
32 1
2
2
k
k
k
k
+
+
=
×
+
+
令
2
1
t
k
=
+ （
1
t > ），则
ABCD
S
=
Y
2
32
2
1
1
t
t
t
-
+
2
1
32
1
1
2
t
t
=
-
+
+
，
因为
1
t > ，所以
1
0
1
t
<
< ，所以
2
1
1
9
2
2, 4
t
t
æ
ù
-
+
+ Îç
ú
è
û
所以
ABCD
S
Î
Y
64 ,16 2
3
é
ö
÷
êë
ø
.
综上可知：
ABCD
S
Î
Y
64 ,16 2
3
é
ù
ê
ú
ë
û
3．（2025·河北·模拟预测）抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为F ，其上有两点A 、B ，
5
OA OB
×
=
uuur uuur
，AB 与x 轴正半轴交于点
E .
(1)求以FE为直径的
M
e
的方程；
(2)证明：取抛物线上的一点Q （Q 的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点S 、T ，使
M
e
为QST
V
的内切
圆.
【答案】(1)
2
2
3
4
x
y
-
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）如图：
设
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，AB 方程：x
my
t
=
+ ，则
5
OA OB
×
=
uuur uuur
，
故
1
2
1
2
5
x x
y y
+
=
，
2
1
1
4
y
x =
Q
，
2
2
2
4
y
x =
，
故
2
1
2
1
2
5
16
y y
y y
+
=
，
1
2
20
y y = -
或4
将x
my
t
=
+ 代入
2
4
y
x
=
，得
2
4
y
my
t
=
+
，故
2
4
4
0
y
my
t
-
-
=
，
1
2
4
y y
t
=-
，
则4
20
t
-
= -
，
5
t =
或4
4
t
-
=
，
1
t = - （不符合题意）
故
5,0
E
，而
1,0
F
，故以FE为直径的圆M 的方程为
2
2
3
4
x
y
-
+
=
.
（2）设
3
3
,
S x
y
、
4
4
,
T x
y
、
0
0
,
Q x
y
，
2
0
4
y ¹
.QS 、QT 分别与
M
e
相切，如图：
则
3
0
3
0
2
2
3
0
3
0
3
0
4
4
4
QS
y
y
y
y
K
y
y
x
x
y
y
-
-
=
=
=
-
+
-
，QS 方程：
0
0
3
0
4
y
y
x
x
y
y
-
=
-
+
，
将
2
0
0
4
y
x =
代入化为：
0
3
0
3
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
3,0
M
到QS 距离为2，可得
0
3
2
0
3
12
2
16
y y
y
y
+
=
+
+
，
整理得：
2
2
2
0
3
0
3
0
4
16
80
4
0
y
y
y y
y
-
+
+
-
=
同理：由QT 与
M
e
相切得
2
2
2
0
4
0
4
0
4
16
80
4
0
y
y
y y
y
-
+
+
-
=
，
故
3y 、
4y 是方程
2
2
2
0
0
0
4
16
80
4
0
y
y
y y
y
-
+
+
-
=
的两根
0
3
4
2
0
16
4
y
y
y
y
-
\
+
=
-
，
2
0
3
4
2
0
80
4
4
y
y y
y
-
=
-
以下证ST 与
M
e
相切：
同理得：
3
4
4
ST
k
y
y
=
+
，ST 方程：
3
4
3
4
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
，
3,0
M
到ST 距离为：
2
0
2
2
0
3
4
0
2
2
4
2
0
0
3
4
0
2
0
80
4
12
8
4
12
4
2
16
8
16
16
16
16
4
y
y
y y
y
y
y
y
y
y
y
-
+
+
+
-
=
=
=
+
+
+
+
æ
ö
-
+ ç
÷
-
è
ø
故ST 与
M
e
相切，原命题得证.
4．（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，上､下顶点
1
2
,
B B 和左､右焦点
1
2
,
F F 形成的四边形的面积为2 3 .
(1)求C 的方程；
(2)设P 是C 上任意一点，线段
1
2
F F 上一点
0,0
M x
满足
1
2
1
2
PF
PF
MF
MF
=
，求
0x 的取值范围；
(3)经过
2F 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，
1
2
AF F
△
与
1
2
BF F
△
的内切圆半径分别为1r ，
2r ，当1
2
2
r
r
=
时，求l 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)
1 1
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
(3)
5
2
5
0
x
y
±
-
=
【详解】（1）由条件可知，
2
2
2
1
2
2
2
2 3
2
c
e
a
b
c
a
b
c
ì =
=
ï
ï
×
ï
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得
2
3
a
b
=
ìïí =
ïî
，所以C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）设
,
P m n ，则
2
2
1
4
3
m
n
+
= 且
2,2
Î -
m
，因为
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，
所以
2
2
2
2
2
1
3
1
1
1
1
1
3
2
4
4
2
4
4
2
2
PF
m
n
m
m
m
m
m
m
=
+
+
=
+
+ -
=
+
+
=
+
=
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
1
3
2
4
4
2
4
4
2
2
PF
m
n
m
m
m
m
m
m
=
-
+
=
-
+ -
=
-
+
=
-
=
-
，
因为
1
2
1
2
PF
PF
MF
MF
=
，所以
1
2
2
1
PF MF
PF MF
=
，
所以
0
0
1
1
2
1
2
1
2
2
m
x
m
x
æ
ö
æ
ö
+
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，化简可得
0
4
m
x =
，
因为
2,2
Î -
m
，所以
0
1 1
,
2 2
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û
.
（3）当直线l 的斜率为0 时，显然不符合要求；
当直线l 的斜率不为0 时，设:
1
l x
ty
=
+ ，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立
2
2
1
3
4
12
x
ty
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，可得
2
2
3
4
6
9
0
t
y
ty
+
+
-
=
，所以
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
t
y
y
y y
t
t
+
= -
= -
+
+
，
因为
1 2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
AF F
S
F F
y
AF
AF
F F
r
=
=
+
+
V
，所以
1
1
2
2
2
c y
a
c r
=
+
，所以
1
1
3
y
r =
，
同理可知：
2
2
3
y
r =
，
因为1
2
2
r
r
=
，所以
1
2
2
3
3
y
y
=
且
1
2
0
y y <
，所以
1
2
2
y
y
= -
，
所以
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
6
9
2
,
2
3
4
3
4
t
y
y
y
y
y
y y
y
t
t
+
= -
+
= -
= -
= -
= -
+
+
，
所以
2
2
2
6
9
2 3
4
3
4
t
t
t
æ
ö
-
= -
ç
÷
+
+
è
ø
，解得
2 5
5
t = ±
，
所以l 的方程为
2 5
1
5
x
y
= ±
+ ，即:
5
2
5
0
l
x
y
±
-
=
.
5．（24-25 高二上·重庆·期中）如图，矩形ABCD 中，
2
AB
a
=
，
2
BC
b
=
，
0
a
b
>
>
，E 、F 、G 、H 分别是
矩形四条边的中点，R 、S 、T 是线段OF 的四等分点，R¢、S¢ 、T¢ 是线段CF 的四等分点.
(1)证明直线ER 与GR 、ES 与GS 、ET 与GT 的交点L 、M 、N 都在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 上.
(2)若
2
a =
，
1
b = .
1F 、
2F 为其左右焦点，过
2F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若
1
ABF
V
内切圆半径为
1
2 ，求其面积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
【详解】（1）由题得
1
(0,
),
(
,0)
4
E
b R
a
-
，所以
4
1
4
ER
b
b
k
a
a
-
=
=
-
，
所以直线ER 的方程为
4b
y
x
b
a
=
-
，（1）
由题得
3
(0, ),R ( ,
)
4
G
b
a
b
¢
，所以
3
4
0
4
GR
b
b
b
k
a
a
¢
-
=
= -
-
，
所以直线GR¢的方程为
4
b
y
x
b
a
= -
+
，（2）
联立方程（1）（2）解之得
8
15
,
17
17
a
b
x
y
=
=
,
所以直线ER ，GR¢的交点为8
15
(
,
)
17
17
a
b ，代入椭圆方程得
2
2
2
2
1
8
15
(
)
(
)
17
17
b
a
b
a
+
= ，
所以直线ER 与GR¢的交点在椭圆上.
同理ES 与GS¢ 、ET 与GT¢ 的交点L 、M 、N 都在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 上.
（2）若
2
a =
，
1
b = ，椭圆的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ，
所以
1
ABF
V
的周长为4
8
a =
，又因为
1
ABF
V
内切圆半径为
1
2 ，
所以
1
ABF
V
的面积为1
1
8
2
2
2
´ ´
=
.
6．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知圆E 的方程为
2
2
(
3)
100
x
y
+
+
=
，
3,0
F
，M 为圆E 上任意一点，FM 的
中垂线与EM 相交于点P ．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，若EAB
V
的内切圆半径为r 、且
3
10
r
AB
=
，求直线AB 的方
程．
【答案】(1)
2
2
1
25
16
x
y
+
= ；
(2)
2
3
0
x
y
±
-
= .
【详解】（1）圆E ：
2
2
(
3)
100
x
y
+
+
=
的圆心
( 3,0)
E -
，半径
10
R =
，连接PF ，则|
| |
|
PM
PF
=
，
|
|
|
| |
|
|
| |
|
10 |
|
PE
PF
PE
PM
EM
R
EF
+
=
+
=
=
=
>
，
因此点P 的轨迹是以
,
E F 为左右焦点，长轴长2
10
a
R
=
=
的椭圆，而焦距2
6
c =
，短半轴长
4
b =
，
所以点P 的轨迹方程为
2
2
1
25
16
x
y
+
= .
（2）由（1）知F 是点P 的轨迹的右焦点，则过F 的直线AB 与该轨迹必交于两点，
且直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为
3
x
ty
=
+
，
1
1
2
2
1
2
( ,
), (
,
)(
)
A x y
B x
y
y
y
¹
，
则
2
1
2
|
|
1
|
|
AB
t
y
y
=
+
-
，由r 为EAB
V
的内切圆半径，且EAB
V
的周长为4a ，
得
2
1
2
1
3
4
2
|
|
3
1
|
|
2
10
EAB
S
a r
a
AB
t
y
y
=
×
× =
×
=
×
+
×
-
V
，
又
1
2
1
2
1 |
| |
| 3|
|
2
EAB
S
EF
y
y
y
y
=
×
-
=
-
V
，因此
2
3
1
3
t
×
+
= ，解得
2
t = ±
，
所以直线AB 的方程为
2
3
0
x
y
±
-
= .
7．（2025·河南·模拟预测）过点
3,0
M
且斜率存在的直线l 交抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
于不同的两点
(
,
), (
,
)
A
A
B
B
A x
y
B x
y
，且
12
A
B
y y = -
.
(1)求p ；
(2)已知
M
e
的半径为2，证明：对于抛物线C 上的动点
0
0
0
,
,
2
P x
y
y ¹
，且
0
2 5
y ¹
，总存在抛物线C 上的另外
两点
,
Q R ，使
M
e
为PQR
V
的内切圆.
【答案】(1)
2
p =
(2)证明见解析
【详解】（1）设直线
:
3
0
AB x
my
m
=
+
¹
，
代入
2
2
y
px
=
，得
2
2
3
y
p my
=
+
，
整理可得
2
2
6
0,Δ
0
y
pmy
p
-
-
=
>
，
6
12
A
B
y y
p
\
= -
= -
，解得
2
p =
.
（2）
由（1）知，
2
:
4
C y
x
=
，设点
1
1
,
Q x y
，
2
2
,
R x
y
，
则
0
1
0
1
2
2
0
1
0
1
0
1
4
4
4
PQ
y
y
y
y
k
y
y
x
x
y
y
-
-
=
=
=
-
+
-
，
直线PQ的方程：
0
0
0
1
4
y
y
x
x
y
y
-
=
-
+
，
将
2
0
0
4
y
x =
代入上式，化简得
0
1
0
1
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
，
故点
3,0
M
到直线PQ的距离为
0
1
2
0
1
12
2
16
y y
y
y
+
=
+
+
，
化简得
2
2
2
0
1
0
1
0
4
16
4
80
0
y
y
y y
y
-
-
+
-
=
，
同理
2
2
2
0
2
0
2
0
4
16
4
80
0
y
y
y y
y
-
-
+
-
=
，
故
1
2
,
y y 是方程
2
2
2
0
0
0
4
16
4
80
y
y
y y
y
-
-
+
-
= 0 的两个根，
易知
2
0
0
1
2
1
2
2
2
0
0
16
4
80
,
4
4
y
y
y
y
y y
y
y
-
+
=
=
-
-
，
而同理可得QR 的方程为
1
2
1
2
4
0
x
y
y
y
y y
-
+
+
=
，
3,0
M
\
到直线QR 的距离为
2
0
2
2
2
0
0
1
2
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
0
0
0
2
0
4
80
12
8
4
8
32
12
4
2
16
16 4
256
16
4
16
16
4
y
y
y
y y
y
y
y
y
y
y
y
y
-
+
+
-
-
+
-
=
=
=
=
+
+
æ
ö
-
+
+
+ ç
÷
-
è
ø
.
故对于C 上的点P ，总存在另外两点，使
M
e
为PQR
V
的内切圆.
8．（2025·江苏·二模）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为3
5 ，且经过点
16
(3,
)
5
.
1F ，
2F 是E 的左、右焦
点.
(1)求E 的标准方程；
(2)过
2F 的直线与E 交于P ，Q 两点.若
1F PQ
V
的内切圆半径为r ，
3
10
r
PQ
=
，求
2
2
F P
F Q
×
的值.
【答案】(1)
2
2
1
25
16
x
y
+
= ；
(2) 256
19 .
【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由离心率为3
5 ，得
3
5
c
a =
，令
5 ,
0
a
t t
=
>
，
3 ,
4
c
t b
t
=
=
，
椭圆E ：
2
2
2
2
1
25
16
x
y
t
t
+
= 过点
16
(3,
)
5
，则
2
2
9
16
1
25
25
t
t
+
= ，解得
2
1
t = ，
所以椭圆E 的标准方程为
2
2
1
25
16
x
y
+
= .
（2）由（1）知
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
-
，设直线PQ的方程为
3
x
my
=
+ ，
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，
由
2
2
3
16
25
400
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
消去x 得
2
2
0
(16
25
96
2
)
56
m
y
my
+
+
-
=
，
2
2
2
Δ
(96 )
4 256 16
25)
100 256
1)
0
(
(
m
m
m
=
+ ´
+
=
´
+
>
，
1
2
2
256
16
25
y y
m
-
=
+
，
1
1
1
2
1
2
2 |
|
1 |
|
|
|
2
3
F PQ
S
F F
y
y
y
y
-
-
=
=
V
，
1
1
2
1
2
2
6 |
3
|
|
4
20
10
|
F PQ
S
y
y
r
y
y
a
-
=
=
=
-
V
，
而
2
1
2
1
PQ
m
y
y
=
+
×
-
，
3 |
|
10
r
PQ
=
，则
2
1
2
1
2 |
3 |
3
1
10
10
|
|
y
y
m
y
y
-
=
+
×
-
，解得
2
2
m =
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
2
256(1
)
3 256
256
|
| |
|
1
|
|
1
|
|
16
25
57
19
m
F P
F Q
m
y
m
y
m
+
´
×
=
+
×
+
×
=
=
=
+
.
1．（24-25 高二下·浙江·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的两条渐近线为
3
y
x
= ±
，且经过点
2, 3 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)
1
2
,
F F 分别是双曲线C 的左右焦点，过双曲线C 上一点
0
0
,
P x
y
作双曲线的切线l （l 的方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
-
= ）交
y 轴于点Q ；
（ⅰ）证明：
1
2
,
, ,
F F P Q四点共圆；
（ⅱ）当
0
0
x >
时，过点P 作l 的垂线与
1
2
PF F
Ð
的角平分线交于点M ，求点M 的轨迹方程．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
2
2
3
1(
0)
4
4
x
y
x
-
=
>
【详解】（1）解：由双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= 的两条渐近线为
3
y
x
= ±
，可得
3
b
a =
，即
3
b
a
=
，
又由双曲线C 经过点
2, 3 ，可得
2
2
2
2
2
2
3
2
3
1
1
3
a
b
a
a
a
=
-
=
-
=
，解得
1,
3
a
b
=
=
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= ．
（2）解：（ⅰ）由题意得，过点P 的切线l 方程为
0
0
1
3
y y
x x -
= ，即
0
3
0,
Q
y
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
又由
1
2
2,0
2,0
F
F
-
、
，则过
1
2
,
,
F F Q 三点的圆的圆心为
1
0,
A
y
，
因为
1F A
QA
=
，即
2
2
2
0
1
1
1
0
0
2
3
3
( 2)
,
3
2
y
y
y
y
y
y
æ
ö
-
+
= -
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
2
0
0
2
0
0
2
4
3
9
4
2
3
2
9
4
y
y
r
y
y
æ
ö
=
+
-
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
又
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
0
2
4
3
9
|
|
2
3
2
9
4
y
y
PA
x
y
y
y
æ
ö
=
+
-
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
即
2
2
|
|
PA
r
=
，所以
1
2
,
, ,
F F P Q四点共圆．
（ⅱ）方法一：切线l 的垂线方程为
0
0
0
0
3
4
x y
y x
x y
+
=
，
考点三
角平分线问题
令切线l 交x 轴于点
1
2
0
1 ,0 ,
G
PF F
x
æ
ö Ð
ç
÷
è
ø
的角平分线交切线l 于点N ，
由角平分线定理得：
1
0
0
1
0
2
1
1
2
PN
PF
x
x
NG
FG
x
+
=
=
=
+
，
所以
0
PN
x NG
=
uuur
uuur
，代入坐标得
0
0
1,1
y
N
x
æ
ö
ç
÷
+
è
ø
，
故
1
2
PF F
Ð
的角平分线方程为
0
0
2
3 1
y
y
x
x
=
+
+
，
设点
(
,
)
M
M
M x
y
，联立方程组
0
0
0
0
0
0
2
3(1
)
3
4
M
M
M
M
y
y
x
x
x y
y
x y
ì
=
+
ï
+
í
ï
+
=
î
，可得
0
0
0
2
3
2
M
M
M
x
x
x
y
y
ì
=
>
ïïí
ï
=
ïî
，
所以点M 的轨迹方程为
2
2
3
1(
0)
4
4
x
y
x
-
=
>
．
方法二：由双曲线的光学性质得：切线l 的垂线即为
1
2
F PF
Ð
的外角平分线，所以点M 为
1
2
F PF
V
的旁心，
设圆M 与
1F P 延长线、
2
1
2
PF
F F
、
延长线的切点分别为
,
,
E F K ，点
(
,
)
M
M
M x
y
，
则
1
2
0
0
0
1
2
2
1
4
PF
PF
x
x
x
+
= +
+
- =
1
2
1
2
EF
EP
PF
FF
F K
F K
=
-
+
+
=
+
2
4
2
4
2
2
2
M
M
F K
x
x
=
+
=
+
-
=
，即
0
2
M
x
x
=
，
又由切线l 的垂线方程为
0
0
0
0
3
4
x y
y x
x y
+
=
，
代入得
0
2
3
M
y
y
=
，所以
0
0
0
2
3
2
M
M
M
x
x
x
y
y
ì
=
>
ïïí
ï
=
ïî
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
3
1(
0)
4
4
x
y
x
-
=
>
．
2．（2025·浙江·一模）已知抛物线C：
2
2
y
px
=
的焦点为F，抛物线C 上点
0
2,
M
y
满足
3
MF =
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点
1,0
D -
，过D 作直线l 交抛物线C 于A，B 两点，证明：
1
x = 是
AFB
Ð
的角平分线.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由
3
2
M
M
x
F
p
=
+
=
，可得
2
p =
，
所以抛物线C 的方程为
2
4
y
x
=
.
（2）根据题意，直线AB 斜率不为0，设其方程为：
1
x
my
=
- ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
由
2
1
4
x
my
y
x
=
-
ì
í
=
î
得
2
4
4
0
y
my
-
+
=
，由
2
16
16
0
m
D =
-
>
，可得：
1
m > 或
1
m < - ，
由韦达定理得：
1
2
4
y
y
m
+
=
，
1
2
4
y y =
.
则
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
(
1)
(
1)
(
2)
(
2)
1
1
1
1
2
2
FA
FB
y
y
y x
y
x
y my
y my
k
k
x
x
x
x
my
my
-
+
-
-
+
-
+
=
+
=
=
-
-
-
-
-
-
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
8
8
0
2
2
2
2
my y
y
y
m
m
my
my
my
my
-
+
-
=
=
=
-
-
-
-
，即直线FA 与直线FB 的倾斜角互补，
所以
1
x = 是
AFB
Ð
的角平分线.
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，,
P Q 为双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
a
a -
=
>
上两不重合的动点，
点
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø，且当
, ,
,
O P Q A四点共线时，
10 7
7
PQ =
.
(1)求C 的标准方程；
(2)若直线l 与C 的渐近线垂直，且经过点A ，求直线l 与两坐标轴交点的坐标；
(3)若,
P Q 均在C 的右支上，且线段OA是
OPQ
△
的角平分线，求直线PQ的方程.
【答案】(1)
2
2
1
x
y
-
= .
(2)
7 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 和
7
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø或1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 和
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
(3)
22
25
21
42
y
x
=
-
【详解】（1）∵
, ,
,
O P Q A四点共线时，
10 7
7
PQ =
，根据双曲线对称性，
∴,
P Q 关于原点对称，不妨设P 在Q 在右侧，即,
P Q 在圆
2
2
25
7
x
y
+
=
，
又
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø，∴
3
:
4
OA
l
y
x
=
，与圆联立得
4 7 3 7
,
7
7
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
4 7
3 7
,
7
7
Qæ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
代入
2
2
2
1
x
y
a -
= ，
2
2
16
9
1
1
7
7
a
a -
= Þ
= ，
∴双曲线C 的标准方程为
2
2
1
x
y
-
= .
y
x
= - ，
当渐近线为y
x
=
时，直线
7
:
0
2
l x
y
+
-
=
，
与x 轴交点为
7 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，y 轴交点为
7
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
当渐近线为y
x
= - 时，直线
1
:
0
2
l x
y
-
-
=
，
与x 轴交点为1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，y 轴交点为
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
综上，直线l 与两坐标轴交点的坐标为
7 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 和
7
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 或1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 和
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
（3）如图，
根据题意直线PQ斜率存在，设
:
PQ
l
y
kx
m
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
联立
2
2
2
2
2
1
2
1
0
1
y
kx
m
k
x
kmx
m
x
y
=
+
ì
Þ
-
-
-
- =
í
-
=
î
，
∴
1
2
2
2
0
1
km
x
x
k
+
=
>
-
，
2
1
2
2
1
0
1
m
x x
k
-
-
=
>
-
，
解得
1
k < - 或
1
k > ，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
m
k
y y
kx
m
kx
m
k x x
km x
x
m
k
-
=
+
+
=
+
+
+
=
-
，
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
k
x y
x y
kx x
m x
x
k
-
+
=
+
+
= -
，
设直线
,
,
OP OA OQ 的倾斜角分别为
, ,
a q b ，
∵OA是
OPQ
△
的角平分线，
∴
2
2tan
24
tan
tan 2
1
tan
7
q
a
b
q
q
+
=
=
=
-
，
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
24
1
tan
2
1
2
1
7
1
1
y
y
k
x
x
x y
x y
k
k
y y
m
k
x x
y y
m
k
x x
k
a
b
-
+
+
-
-
+
=
=
=
=
=
-
- +
-
-
- +
-
-
，
2
2
12
7
24
12
k
k
m
+
=
+
，
又点
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø在PQ 上，所以
3
2
2
k
m
+
=
，
故
2
2
3
12
7
24
2
12
2
k
k
k
æ
ö
+
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
整理得
2
84
151
66
0
k
k
-
+
=
，解得
3
4
k =
或
22
21
k =
，
又
1
k < - 或
1
k > ，所以
22
21
k =
，
故直线PQ的方程为
22
25
21
42
y
x
=
-
.
4．（2025·江西·二模）已知点
0
0
,
P x
y
是双曲线
2
2
:
1
4
5
x
y
C
-
= 的图象上第一象限的任意一点，
1F 、
2F 分别为C 的
左右焦点.直线
0
0
:
1
4
5
x x
y y
l
-
= ，直线l 交x 轴于点G .
(1)已知
2
PF
x
轴，求直线l 方程；
(2)求证：直线l 为
1
2
F PF
Ð
的角平分线；
(3)若直线
2
PF 交C 于另一点Q ，且
1
2
16
11
PGF
QGF
S
S
D
D
=
，求直线l 和直线
1
QF 斜率之积.
【答案】(1)3
2
4
0
x
y
-
-
=
(2)证明见解析
(3) 1
-
【详解】（1）由题知
1
2
3,0 ,
3,0
F
F
-
，
因为
2
PF
x
轴，P 在第一象限，所以
0
3
x = ，将
0
3
x = 代入双曲线方程可得
0
5
2
y =
，
所以直线l 方程为
5
3
2
1
4
5
y
x -
= ，整理可得3
2
4
0
x
y
-
-
=
，
（2）因为
1
2
3,0 ,
3,0
F
F
-
，
2
2
2
2
0
1
0
0
0
0
3
3
3
5
1
2
4
2
x
PF
x
y
x
x
æ
ö
=
+
+
=
+
+
-
=
+
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
2
0
2
0
0
0
0
3
3
3
5
1
2
4
2
x
PF
x
y
x
x
æ
ö
=
-
+
=
-
+
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
又直线
0
0
:
1
4
5
x x
y y
l
-
= ，所以
0
4 ,0
G x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，则
1
0
4
3
GF
x
=
+
，
2
0
4
3
GF
x
=
-
，
所以
0
1
0
2
0
0
3
2
3
4
2
3
3
4
2
2
x
PF
x
PF
x
x
+
+
=
=
-
-
，
1
0
0
2
0
0
4
3
3
4
4
3
4
3
GF
x
x
GF
x
x
+
+
=
=
-
-
，所以
1
1
2
2
PF
GF
PF
GF
=
，
在
1
PGF
V
中，
1
1
1
1
sin
sin
PF
GF
PGF
GPF
=
Ð
Ð
①，
在
2
PGF
△
中，
2
2
2
2
sin
sin
PF
GF
PGF
GPF
=
Ð
Ð
②，
又
1
2
π
PGF
PGF
Ð
+ Ð
=
，联立①②可得
1
2
sin
sin
GPF
GPF
Ð
=
Ð
，
因为
1
2
1
2
0,π
GPF
GPF
F PF
Ð
+ Ð
= Ð
Î
，
所以
1
2
GPF
GPF
Ð
= Ð
，所以直线l 为
1
2
F PF
Ð
的角平分线.
（3）
设点
1
1
,
Q x y
，则
1
1
2,
0
x
y
>
<
，设直线PQ方程为
3
x
ty
=
+
，
联立直线与双曲线方程可得
2
2
5
4
20
3
x
y
x
ty
ì
-
=
í =
+
î
，消去x 可得
2
2
5
4
30
25
0
t
y
ty
-
+
+
=
，
由韦达定理可得
0
1
0
1
2
2
30
25
,
5
4
5
4
t
y
y
y y
t
t
-
+
=
=
-
-
，
则
0
1
1
0
0
1
1
1
30
6
25
5
y
y
t
t
y
y
y y
+
-
+
=
=
= -
，则
0
0
1
6
1
5
y
ty
y
-
+ =
，
所以
0
0
0
0
1
6
3
6
6
13
1
1
5
5
5
x
y
ty
x
y
-
-
-
+
= -
- =
- =
，
由已知
1
2
1
0
0
0
0
1
2
1
1
3
4
16
2
1
3
4
11
2
PGF
QGF
GF y
S
x
y
S
x
y
GF
y
×
+
×
=
=
=
-
× -
× -
V
，
即
0
0
0
3
4
6
13
16
3
4
5
11
x
x
x
+
×
-
=
-
×
，解得
0
1
2
x = -
（舍）或
0
28
11
x =
，
代入双曲线，则
0
5 15
11
y =
，
由
0
0
1
6
13
5
y
x
y
-
+
=
可得
1
1
15,
4
y
x
= -
=
，
所以
1
0
1
0
1
5
5
28
15
1
4
3
4
7
5 15
l
QF
x
y
k
k
y
x
-
×
=
×
=
´
´
= -
+
.
5．（24-25 高二上·安徽·期中）已知椭圆
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
+
=
<
<
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，点P 在椭圆上，且直线
2
PF 与x 轴垂直.
(1)证明：
2
1
2
4
PF
PF
b
-
=
-
；
(2)若
1
2
F PF
Ð
的角平分线恰好过点
1 ,0
4
Dæ
ö
ç
÷
è
ø ，求
1
2
PFF
V
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
2
【详解】（1）由椭圆的定义得
1
2
2
4
PF
PF
a
+
=
=
，
因为直线
2
PF 与x 轴垂直，所以
2
2
2
2
1
2
4
4 4
PF
PF
c
b
-
=
=
-
，
即
2
2
1
2
1
2
4
4 4
PF
PF
PF
PF
c
b
+
-
=
=
-
，
故
2
1
2
4
PF
PF
b
-
=
-
.
（2）因为PD 平分
1
2
F PF
Ð
，所以
1
1
2
2
PF
F D
PF
DF
=
，即
1
2
1
4
1
4
c
PF
PF
c
+
=
-
，如下图所示：
由
1
2
4
PF
PF
+
=
和
2
1
2
PF
PF
c
-
=
，解得
2
1
1
2
2
PF
c
=
+
，
2
2
1
2
2
PF
c
=
-
，
代入
1
2
1
4
1
4
c
PF
PF
c
+
=
-
得
2
2
1
1
2
2
4
1
1
2
2
4
c
c
c
c
+
+
=
-
-
，解得
1
c = ；
故
1
2
PFF
V
的面积为
2
2
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
c
PF
c
c
æ
ö
´
´
= ´
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
.
6．（24-25 高三上·浙江·开学考试）阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.
其内容为：若将直线1l 绕1l 与2l 的交点逆时针方向旋转到与直线2l 第一次重合时所转的角为q ，则称q 为1l 到2l 的
角，当直线1l 与2l 不垂直且斜率都存在时，
2
1
1
2
tan
1
k
k
k k
q
-
= +
（其中
1
2
,
k k 分别为直线1l 和2l 的斜率）.结合阅读材料，
回答下述问题：
已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
,
2,1
F F A -
为椭圆上一点，
0, 1
B
-
，四边形
1
2
AF BF 的面
积为2 3,O 为坐标原点.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求
1
2
F AF
Ð
的角平分线所在的直线l 的方程；
(3)过点A 的且斜率存在的直线1
2
,
l l 分别与椭圆交于点,
P Q （均异于点A ），若点B 到直线1
2
,
l l 的距离相等，证明：
直线PQ过定点.
【答案】(1)
2
2
1
6
3
x
y
+
=
(2)
1
0
x
y
+
+ =
(3)直线PQ过定点
6, 3
-
-
，证明见解析
【详解】（1）因为四边形
1
2
AF BF 的面积为
1
2
1 1
2 3
2
c
´
´
+
=
，解得
3
c =
，
可得
2
2
2
3
c
a
b
=
-
= ，即
2
2
3
=
+
a
b ，又
2,1
A -
为椭圆上一点，
所以
2
2
4
1
1
a
b
+
= ，得
2
2
4
1
1
3
+
=
+ b
b
，解得
2
2
3,
6
b
a
=
=
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
6
3
x
y
+
= ；
（2）由（1）
1
2
3,0 ,
3,0
F
F
-
，
1
2
,
3
1
1
3
2
2
=
=
-
- -
A
F
A
F
k
k
，
设
1
2
F AF
Ð
的角平分线所在的直线l 的斜率为k ，则
3
1
1
3
2
2
<
<
-
- -
k
，
根据到角公式可得
1
2
1
2
1
1
-
-
=
+
×
+
×
AF
F
A
A
A
F
F
k
k
k
k
k k
k
k ，化简得
2
1
k = ，所以
1
k = - (正值舍去)，
此时直线l 的方程为
1
2
y
x
- = -
+
，即
1
0
x
y
+
+ =
；
（3）设直线1
2
,
l l 的斜率分别为
1
2
1
2
,
k k
k
k
¹
，可得
直线
1
1
2
2
:
1
2 ,
:
1
2
l
y
k
x
l
y
k
x
- =
+
- =
+
，
若点B 到直线1
2
,
l l 的距离相等，则
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
k
k
k
k
+
+
=
+
+
，
化简得
2 1
1
=
k k
，
由椭圆方程与1l 方程联立
1
2
2
1
2
1
6
3
y
k
x
x
y
ì - =
+
ïí
+
=
ïî
可得
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
8
4
8
8
4
0
k
x
k
k
x
k
k
+
+
+
+
+
-
=
，
所以
2
1
1
2
1
8
8
4
2
1
2
+
-
- ´
=
+
P
k
k
x
k
，可得
2
1
1
2
1
4
4
2
1
2
+
-
= -
+
P
k
k
x
k
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
2
1
1
2
1
2
P
k
k
k
k
y
k
k
k
æ
ö
+
-
-
+
+
=
-
+
+ =
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
4
4
2
2
4
1
,
1
2
1
2
k
k
k
k
P
k
k
æ
ö
+
-
-
+
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
同理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
1
,
1
2
1
2
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
+
-
-
+
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
，因为
2 1
1
=
k k
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
4
4
4
2
,
2
1
k
k
k
k
Q
k
k
æ
ö
-
-
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2
1
1
1
1
2
2
4
3
1
1
1
1
1
2
2
4
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
4
1
4
2
1
2
1
1
4
4
2
2
4
4
2
2
1
2
2
-
+
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
=
=
+
-
-
-
-
+
-
+
-
-
+
+
PQ
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
3
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+ +
=
=
-
+
-
-
+
，
可得直线PQ的方程为
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
4
1
1
4
4
2
1
2
2
2
1
2
k
k
k
k
k
k
y
x
k
k
k
k
æ
ö
-
+
+
+ +
+
-
-
=
+
ç
÷
+
-
+
+
è
ø
，
化简得
2
2
1
1
1
1
1
2
2
9
1
k
k
y
k
k
k
x
-
+
-
=
+ +
，
所以
2
1
1
2
1
9
0
y
x
k
k
y
x
-
+
+
- -
-
=
，
由
2
0
9
0
y
x
y
x
-
=
ì
í- -
-
=
î
，解得
6
3
x
y
= -
ì
í
= -
î
，
可得直线PQ过定点
6, 3
-
-
.
7．（2025·重庆·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦距为4，上顶点为A ，右焦点为F ，坐标原点为
O ，且
2 5
cos
, ,
5
AFO
P Q
Ð
=
为椭圆上两个不同的动点（均不与A 重合）.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若F 为
APQ
△
的垂心，求直线PQ的方程；
(3)若AF 是
PAQ
Ð
的角平分线，问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；
【答案】(1)
2
2
1
5
x
y
+
=
(2)
25
2
6
y
x
=
-
(3)过定点，15
3
,
8
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由题：2
4
c =
，故
2
c =
又cos
c
AFO
a
Ð
=
，故
5
cos
c
a
AFO
=
=
Ð
，从而
2
2
1
b
a
c
=
-
=
因此椭圆方程为：
2
2
1
5
x
y
+
=
（2）由（1）知：
1 0
1
0,1 ,
2,0 ,
0
2
2
AF
A
F
k
-
=
= -
-
由题：F 为
APQ
△
的垂心，所以
1
PQ
AF
k
k
×
= - 且
1
AP
FQ
k
k
×
= - ，
则必有
2
PQ
k
=
，设直线PQ方程为：
1
1
2
2
2
,
,
,
,
y
x
m P x y
Q x
y
=
+
联立直线PQ与椭圆：
2
2
2
5
5
y
x
m
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
得：
2
2
21
20
5
5
0
x
mx
m
+
+
-
=
令Δ
0
>
，解得：
21
21
m
-
<
<
，由韦达定理：
2
1
2
1
2
20
5
5
,
21
21
m
m
x
x
x x
-
+
= -
=
则
1
2
1
2
1
1
1
2
AP
FQ
y
y
k
k
x
x
-
×
= - Û
×
= -
-
，故
1
2
1
1
2
2
2
0
x x
x
y y
y
-
+
-
=
，
即：
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
0
x x
x
x
m
x
m
x
m
-
+
+
+
-
-
=
整理得：
2
1
2
1
2
2
2
5
0
m
x
x
x x
m
m
-
+
+
+
-
=
，
将
2
1
2
1
2
20
5
5
,
21
21
m
m
x
x
x x
-
+
= -
=
代入化简得：
2
6
19
25
0
m
m
+
-
=
，解得
1
m = 或
25
6
-
当
1
m = 时，直线PQ过点A ，不符合题意，舍去
当
25
6
m = -
时，满足
21
21
m
-
<
<
，符合题意.
故直线PQ方程为：
25
2
6
y
x
=
-
（3）设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
则
2
2
2
2
1
1
2
2
5 1
,
5 1
x
y
x
y
=
-
=
-
因为直线AP 的斜率必存在，所以直线
1
1
1
:
1
y
AP y
x
x
-
=
+ ，即：
1
1
1
1
0
y
x
x y
x
-
-
+
=
设F 到直线AP 与AQ 的距离均是(
0)
d d >
，从而
1
1
2
2
1
1
2
1
1
y
x
d
y
x
-
+
=
-
+
平方得：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
1
4
1
5 1
4
1
4
1
1
1
5 1
y
y
x
y
y
y
x
x
d
y
x
y
y
-
+
-
+
-
-
+
-
+
=
=
-
+
-
+
-
，
又由于
1
1
y ¹ ，故
1
1
1
2
1
1
1
1
1
4
1
4
5 1
4
9
1
5 1
4
6
y
x
y
y
x
d
y
y
y
-
+
-
+
-
+
=
=
-
-
+
+
，
整理得：
2
2
1
1
4
4
1
6
9
0
x
d
y
d
+
-
+
-
=
即点P 在直线
2
2
4
4
1
6
9
0
x
d
y
d
+
-
+
-
=
同理：点Q 也在直线
2
2
4
4
1
6
9
0
x
d
y
d
+
-
+
-
=
上
故直线PQ的方程为
2
2
4
4
1
6
9
0
x
d
y
d
+
-
+
-
=
将其按照参数d 进行整理：
2
4
6
4
9
0
y
d
x
y
+
+
-
-
=
令
4
6
0
4
9
0
y
x
y
+
=
ì
í
-
-
=
î
，解得
15
8
3
2
x
y
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，从而定点坐标为15
3
,
8
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø .
8．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）平面直角坐标系xOy 中，P 为动点，PA 与直线
3
x
y
=
垂直，垂足A 位于第一
象限，PB 与直线
3
x
y
= -
垂直，垂足B 位于第四象限，
90
APB
Ð
>
°且
3
4
AP BP =
，记动点P 的轨迹为C .
(1)求C 的方程；
(2)已知点
2,0
M -
，
2,0
N
，设点T 与点P 关于原点O 对称，
MTN
Ð
的角平分线为直线l ，过点P 作l 的垂线，
垂足为H ，交C 于另一点Q ，求
PH
QH 的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
0
3
x
y
x
-
=
>
(2) 1
4
【详解】（1）解：由题意设
0
0
,
P x
y
，由点到直线距离公式得
0
0
3
2
x
y
AP
-
=
，
0
0
3
2
x
y
BP
+
=
，
∴
0
0
0
0
3
3
3
2
2
4
x
y
x
y
AP BP
-
+
=
×
=
，
∴
2
2
0
0
3
3
x
y
-
=
，又∵垂足A 位于第一象限，
垂足B 位于第四象限，
90
APB
Ð
>
°，
∴C 的轨迹方程为
2
2
1
0
3
x
y
x
-
=
>
.
（2）解：由对称性，不妨设P 在第一象限，设
0
0
,
P x
y
，则
0
0
,
T
x
y
-
-
，
设直线l 的斜率为k ，记
1,k
a =
ur
，由l 为
MTN
Ð
的角平分线，
则有
TM
TN
TM
TN
a
a
×
×
=
uuur ur
uuur ur
uuur
uuur
，
其中
2
2
0
0
1
3
x
y
-
= ，
0
3
x ³
，
0
0
2,
TM
x
y
=
-
uuur
，
0
0
2,
TN
x
y
=
+
uuur
，
∴
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2 3
2
2
1
3
3
3
x
TM
x
y
x
x
=
- +
+
=
- +
+
- =
-
uuur
，
同理得：
0
2 3
3
3
TN
x
=
+
uuur
，代入
TM
TN
TM
TN
a
a
×
×
=
uuur ur
uuur ur
uuur
uuur
中，
∴
0
0
0
0
0
0
2,
1,
2,
1,
2 3
2 3
3
3
3
3
x
y
k
x
y
k
x
x
-
×
+
×
=
-
+
，化简得：
0
0
3
x
ky
=
.
将
0
0
3
x
ky
=
代入
2
2
0
0
1
3
x
y
-
= ，
0
3
x ³
中，
解得：
0
2
3
3
1
k
x
k
=
-
，
0
2
1
3
1
y
k
=
- ，
∴
2
2
3
1
,
3
1
3
1
k
P
k
k
æ
ö
ç
÷
-
-
è
ø
，
2
2
3
1
,
3
1
3
1
k
T
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
设直线l 的方程为y
kx
n
=
+
，将
2
2
3
1
,
3
1
3
1
k
T
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
代入，
解得：
2
3
1
n
k
=
- ，
∴直线l 的方程为
2
3
1
y
kx
k
=
+
- ，
3
3
k >
，
由点到直线距离公式得：
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
2 3
1
3
1
1
1
k
k
k
k
PH
k
k
-
+
-
-
-
=
=
+
+
.
由直线PQ的斜率为
1
k
-
，设直线PQ的方程为x
ky
m
= -
+
，
将
2
2
3
1
,
3
1
3
1
k
P
k
k
æ
ö
ç
÷
-
-
è
ø
点代入，解得：
2
4
3
1
k
m
k
=
-
，
∴直线PQ的方程为
2
4
3
1
k
x
ky
k
= -
+
-
，将其与
2
2
1
0
3
x
y
x
-
=
>
联立得：
2
2
2
2
2
2
8
7
3
3
0
3
1
3
1
k
k
k
y
y
k
k
+
-
-
+
=
-
-
，
设
1
1
,
Q x y
，则
2
0
1
2
2
8
3
3
1
k
y
y
k
k
+
=
-
-
，
2
0
1
2
2
7
3
3
3
1
k
y y
k
k
+
=
-
-
，
由
0
1
0
y y <
可知
3 , 3
3
k
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
3
2
2
2
2
2
0
1
0
1
0
1
2
2
6
1
1
1
4
3
3
1
k
PQ
k
y
y
k
y
y
y y
k
k
+
=
+
-
=
+
×
+
-
=
-
-
，
由均值不等式，
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
3
3
1
1
k
k
PQ
PH
k
k
k
+
+
=
³
=
-
-
+
，
当且仅当
2
2
3
3
1
k
k
-
=
- ，即
2
1
k = 时，等号成立，
∵
3 , 3
3
k
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，故
1
k = ，
∴
1
1
4
1
PH
PQ
QH
PH
=
£
+
，当且仅当
1
k = 时，等号成立.
∴
PH
QH 的最大值为1
4 .
