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正弦定理和余弦定理过关练习卷-2025 年高考数学一轮复习
一、单选题
1．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
，是三个连续的自
然数，且
，最大角是最小角的两倍，则
（ ）．
A．0
B．
C．
D．
2．在锐角
中，若
，且
，则
能取到的值有（ ）
A．5
B．4
C．
D．3
3．在
中，角
的对边分别是
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
4．已知点
分别为椭圆
的左顶点、右焦点，点
为
上一点，且
为
的平分线，
，则
的内切圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．
的内角
所对的边分别为
．若
，则
（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
6．如图，在正四棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余
弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．在
中，
，
为
内一点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线
的右焦点为
，圆
与
的渐近线在
第二象限的交点为
，若
，则
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
二、多选题
9．
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
为钝角三角形，则
C．若
，则
有两解
D．若三角形
为斜三角形，则
10．如图，在
中，
，若
为
外接圆的圆心，且
，则以下结论中正确的是（ ）
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A．
B．
C．
外接圆的面积为
D．
11．在
中，
，
，
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
，
，，使得
三、填空题
12．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
的平分线
交
于点
，且
，则
的最小值为 .
13．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.若
，
，
，则
的面积为 ．
14．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建
筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最
高点A，点A 在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C 与O 在同一水平面上，他测得
米，
，在点B 处测得点A 的仰角为
（
），在点C 处测
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得点A 的仰角为45°，则财富汇大厦的高度
米.
四、解答题
15．在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)射线
绕
点旋转
交线段
于点
，且
，求
的面积的最小值.
16．在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)已知
，求
的最大值.
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17．在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
①求
的值：
②求
的值.
18．记
的内角
的对边分别为
.已知
，点
在边
上，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
.
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19．记
的内角
的对边分别为
，若
，且
的
面积为
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的最小值.
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
A
C
B
C
ACD
ABD
题号
11
答案
ABCD
1．C
【分析】设三角形的三边
，
，分别为
，
，
，由正弦定理和余弦定理可得
，解方程可求出
，可求出三角形的三边长，再由余弦定理即可得出
答案.
【详解】设三角形的三边
，
，分别为
，
，
，
对应的角分别为
，
，
．则
，由题意可得
，
由正弦定理可得
，所以
．
又由余弦定理可得
，
所以
，解得
．
所以三角形的三边分别是
，故
．
故选：C．
2．B
【分析】由
可求
，再根据
，化
简可得
，用对应角的正弦来表示边，得
，
最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由
，
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又
，
所以
，则
．
因为
,
根据正弦定理得
，
故
，
即
，
所以
，即
．
根据正弦定理得
，
所以
，
．
因为
为锐角三角形，且
，
所以
，
，即
，
，解得
，
所以
．
因为
，所以
，则
，
所以
，即
．
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故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于用正弦定理的边角互化，求出
和用对应角表示
对应边，将所求边长之和转化为关于角的三角函数进行化简，再根据所求角的范围来求值
域即可.
3．C
【分析】根据
及余弦定理可判断A；根据
及正弦定理可判断B；由
的
值及同角三角函数的基本关系可求
，
，根据正弦定理求出，代入
求出
可判断C；
根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得
，解得
，故A 错误；
由
及正弦定理，可得
,
化简可得
.
因为B∈(0,π)，所以
，所以
，即
.
因为
，所以
，故B 错误；
因为
，所以
且
，代入
，
可得
，解得
，
.
因为
，
，
，
所以由正弦定理可得
，
由
，可得
，
化简可得
，解得
或
（舍），故C 正确；
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，故D 错误.
故选：C.
4．D
【分析】由椭圆的性质可求得,根据角平分线的性质可求得
的值，由余弦定理可得
,可求得
的值，利用面积法可求内切圆的
半径.
【详解】由题意可得
，则
．
如图．由角平分线定理，得
．
令
，则
．
在
中，由余弦定理，得
，
即
，解得
（负值已舍去），则
．
设
的内切圆的半径为．根据三角形的面积公式有
，
所以
，
解得
．
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故选：D．
5．A
【分析】直接由余弦定理的变形式解出即可.
【详解】在
中，由余弦定理可得：
，
化简得：
，解得：
或
（舍）.
故选：A.
6．C
【分析】根据异面直线的定义，由
，问题转化为求
的余弦值，在
中根据余弦定理求解.
【详解】连接
，如图所示，
正四棱柱
中，有
且
，四边形
为平行四边形，
则有
，则
就是异面直线
与
所成的角．
设
，则
，
中，由余弦定理得
．
故选：C.
7．B
【分析】在
中，设
，
，即可表示出
，
，在
中利用
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正弦定理得到
，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化
切，即可得解.
【详解】在
中，设
，令
，
则
，
，
在
中，可得
，
，
由正弦定理
，
得
，
所以
，
可得
，即
．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到
中利用正弦定理得到关系式.
8．C
【分析】由
解得
，根据三角函数的定义知
，利用同角的三角函数关系求得
，
，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得
，结合离
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心率的概念即可求解.
【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为
，
则
，解得
，所以
,
由三角函数的定义知
，
又
，且显然
为锐角，
，
又
，解得
，
，
则
，
在
中，由正弦定理可得
，即
，
化简得
，所以
的离心率为
．
故选：C．
9．ACD
【分析】由正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由
可判断C，由两角
和的正切公式可判断D.
【详解】对于A，若
，则
，由正弦定理可得
，
所以，
，A 正确；
对于B，若
为钝角三角形，假设
为钝角，
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则
，可得
，B 错误；
对于C，
，则
，如图：
所以
有两解，C 正确；
对于D，因为
，
所以
因为
，
所以
，
所以
，D 正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合三角形外接圆的性质、余弦定理、
正弦定理逐一判断即可.
【详解】
，
所以A 对；
设
，垂足为
，显然
是
的中点，
，所以B 对；
由余弦定理可知：
，
由正弦定理可知：
，
，C 错.
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，
设
，垂足为
，显然
是
的中点，
，即
，
于是有
，所以D 对，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据三角形外心的性质是解题的关键.
11．ABCD
【分析】根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.
【详解】设
中
所对的边分别为
，由
，
，
得
，
，
，
进而得
，
，
，
,
,
，
故A 正确，
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由A 知，
，
，
所以
，当且仅当
取等号，因此
，故B 正确，
,
同理
，
，当且仅当
时取等号,
因此存在
使得
，故D 正确
，所以
，故C 正确,
故选：ABCD
12．
/
【分析】借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【详解】如图所示，由题意知
，
因为
是
的平分线且
，
，
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可得
，
即
，即
，且
，
，
则
，
当且仅当
，即
也即
时，等号成立，
则
的最小值为
.
故答案为：
.
13．3
【分析】利用余弦定理，结合已知求出
，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在
中，由余弦定理，得
，则
，
于是
，解得
，
所以
的面积为
.
故答案为：3
14．204
【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出
的边长关系，解方程求解即可.
【详解】设
米，因为在点B 处测得点A 的仰角为
，所以
，所以
.
因为在点C 处测得点A 的仰角为45°，所以
米.
由余弦定理，可得
，
即
，解得
.
故答案为：204
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15．(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算
即可得；
（2）借助等面积法计算可得
，利用基本不等式可得
， 利用面积公式
计算即可得.
【详解】（1）
，
由正弦定理得
，
则
，
即
则
，
且
，
，
；
（2）由
和
，可知
，
因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，即
，
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又
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
所以
，
所以
的面积的最小值为
.
16．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得
，则得到
的大
小；
（2）利用正弦定理得到
，再根据
关系减少变量，最后利用三
角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值.
【详解】（1）∵
，
由正弦定理得
，
，即
，
所以
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
；
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（2）由正弦定理，得
，
∴
，
又∵
，
为锐角，∴
的最大值为
，
∴
的最大值为
.
17．(1)
(2)①
；②
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得
，由此即可得解；
（2）①结合余弦定理可得
，结合
即可求解；②由正弦定理以及平方
关系依次求得
，将
转换为
，结合两角和的正弦公式即可
得解.
【详解】（1）因为
，利用正弦定理可得：
，
即
.
因为
，所以
，即
，
又B∈(0,π)，可得
.
（2）①由余弦定理及已知可得：
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即
，又因为
，所以
，
联立
或
（舍），
②由正弦定理可知：
，
因为
，则
，故
为锐角，
，
.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理边化角结合条件整理即可；
（2）在
中和
中求出
，列方程求出
关系，然后利用余弦定理计算即
可.
【详解】（1）设
的外接圆半径为
，由正弦定理得
，
因为
，
，所以
，
即
，
所以
；
（2）因为
，如图，在
中，
①，
答案第16页，共2页
在
中，
②.
由①②得
，
整理得
，
因为
，
所以
，解得
或
.
当
，
时，
（舍去）；
当
，
时，
.
所以
.
19．(1)2π
3
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与面积公式可得
，结合二倍角公式可得
，即可得解；
（2）结合题意借助向量，可得
，结合模长与数量积的关系计算即可得
，利用基本不等式即可得其最值.
【详解】（1）
，
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结合余弦定理得
，
，
，
，
即
，又
，
，故
；
（2）由（1）知：
，
，
，
，
又
，
当且仅当
时，
长取最小值，此时
，
长的最小值为
.
