解析几何：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练
考点目录
等腰三角形存在性问题
直角三角形存在性问题
平行四边形存在性问题
特殊平行四边形存在性问题
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在以O 为坐标原点的平面直角坐标系中，
2,0
F
为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
Z
a
b
a
b
+
=
>
>
的
右焦点，过点F 的直线l （斜率存在）与Z 交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为M （不与O 重合），直线OM 与l 的斜
率之积为
1
2
-
．
(1)证明：
2
2
2
a
b
=
；
(2)设直线OM 与直线
4
x =
交于点N ，若AFN
V
为等腰三角形，求l 的一般式方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
0
x
y
-
-
=
或
2
0
x
y
+
-
=
【详解】（1）证明：设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
由于
,
A B 在椭圆Z 上，故
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1,
1,
x
y
a
b
x
y
a
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
-
-
+
=
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
+
-
+
-
+
=
，
设
0
0
,
M x
y
，则有
1
2
0
1
2
0
2
,
2
x
x
x
y
y
y
+
=
+
=
，
故
0
1
2
0
1
2
2
2
2
2
0
x
x
x
y
y
y
a
b
-
-
+
=
，即
2
1
2
2
1
2
0
0
b x
y
y
x
x
a y
-
= -
-
，
设直线l 的斜率为k ，则
1
2
1
2
y
y
k
x
x
-
=
-
，直线OM 的斜率为
0
0
y
x ，
故直线OM 与直线l 的斜率之积为
2
2
b
a
-
，即
2
2
1
2
b
a =
，故
2
2
2
a
b
=
．
（2）由于右焦点
2,0
F
，故
2
c =
，可得
2
2
2
4
a
b
c
-
=
=
，
考点一
等腰三角形存在性问题
又因为
2
2
2
a
b
=
，解得
2
2
8,
4,
a
b
ì
=
í
=
î
故Z 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ，
由（1）知，直线OM 的方程为
2
x
y
k
= -
，令
4
x =
，
则
2
y
k
= -
，即
2
4,
N
k
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
所以直线FN 的斜率为
2
0
1
4
2
k
k
-
-
= -
-
，故直线FN 始终垂直于直线l ，
又AFN
V
为等腰三角形，即NF
AF
=
，得
1
2
2
4
1
4
1
y
k
k
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，解得
1
2
y = ± ，
代入Z 的方程知
1
0
x =
，
故l 的一般式方程为
2
0
x
y
-
-
=
或
2
0
x
y
+
-
=
．
2．（24-25 高二上·天津和平·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2
7 ,
,
7
F F 分别是椭圆的左右焦
点，过点
1F 的直线交椭圆于
,
M N 两点，且
2
MNF
V
的周长为4 7 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
0,2
P
作斜率为
0
k k ¹
的直线l 与椭圆C 交于两点
,
A B ，判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB
V
是以
AB 为底边的等腰三角形？若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
7
6
x
y
+
=
(2)存在，
42
42
,0
0,
42
42
é
ö
æ
ù
-
÷
ç
ê
ú
÷
ç
ë
ø
è
û
U
【详解】（1）由题意，
2
MNF
V
的周长为4a ，则4
4 7
a =
，所以
7
a =
，
又因为
7
7
c
e
a
=
=
，所以
1
c = ，由
2
2
2
a
b
c
=
+
，得
6
b =
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
7
6
x
y
+
= .
（2）设直线l 的方程为
2
y
kx
=
+
，
0
k ¹
，
设
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
AB 的中点为
0
0
,
E x
y
.
假设存在点
,0
D m
，使得ADB
V
为以AB 为底边的等腰三角形，则DE
AB
^
.
由
2
2
2,
1,
7
6
y
kx
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
7
6
28
14
0
k
x
kx
+
+
-
=
，
由题意有Δ
0
>
，解得k ÎR ，
故
1
2
2
28
7
6
k
x
x
k
+
= -
+
，
所以
0
0
0
2
2
14
12
,
2
7
6
7
6
k
x
y
kx
k
k
-
=
=
+
=
+
+
，
因为DE
AB
^
，所以
1
0
DE
k k
k
×
= -
¹
，即
2
2
12
0
1
7
6
14
7
6
k
k
k
m
k
-
+
= -
-
-
+
，
所以
2
2
7
6
k
m
k
-
=
+
，整理得
2
7
2
6
0
mk
k
m
+
+
=
，
则方程有根
2
Δ
4
4 42
0
m
=
- ´
³
，整理得
2
1
42
m £
，即
42
42
42
42
m
-
£
£
，
又因为
0
k ¹
，所以
0
m ¹
，
综上：在x 轴上存在点D ，使得ADB
V
是以AB 为底边的等腰三角形，
点D 横坐标m 的取值范围是
42
42
,0
0,
42
42
é
ö
æ
ù
-
È
÷
ç
ê
ú
÷
ç
ë
ø
è
û
.
3．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点
0,1 ，且离心率为
3 ,
2
Q 为椭圆C 的左顶
点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知过点
6 ,0
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的直线l 与椭圆C 交于
,
A B 两点．若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB
V
为等腰三
角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，且
2
2
2
a
b
c
=
+
．
由题意可知：
1
b = ，
3
2
c
a =
．所以
2
4
a =
．
所以，椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ．
（2）由（1）得
2,0
Q -
．设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为
6
0
5
y
k x
k
æ
ö
=
+
¹
ç
÷
è
ø
．
由
2
2
6 ,
5
1
4
y
k x
x
y
ì
æ
ö
=
+
ç
÷
ïï
è
ø
í
ï
+
=
ïî
消去y 得：
2
2
2
2
25 100
240
144
100
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
．
因为点
6 ,0
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 在椭圆C 的内部，显然Δ
0
>
．
2
1
2
2
2
1
2
2
240
25 100
144
100
25 100
k
x
x
k
k
x x
k
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
因为
1
1
2,
QA
x
y
=
+
uuur
，
2
2
2,
QB
x
y
=
+
uuur
，
1
1
6
5
y
k x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
2
2
6
5
y
k x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
所以
1
2
1
2
2
2
QA QB
x
x
y y
×
=
+
+
+
uuur uuur
1
2
1
2
6
6
2
2
5
5
x
x
k x
k x
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
×
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
1
2
1
2
6
36
1
2
4
5
25
k
x x
k
x
x
k
æ
ö
=
+
+
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
144
100
6
240
36
1
2
4
0
25 100
5
25 100
25
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
-
æ
ö
=
+
+
+
-
+
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
øè
ø
．
所以QA
QB
^
uuur
uuur
．
所以QAB
V
为直角三角形．
假设存在直线l 使得QAB
V
为等腰三角形，则QA
QB
=
．
取AB 的中点M ，连接QM ，则QM
AB
^
．
记点
6 ,0
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 为N ．
另一方面，点M 的横坐标
2
2
1
2
2
2
120
24
2
25 100
5
20
M
x
x
k
k
x
k
k
+
=
= -
= -
+
+
，
所以点M 的纵坐标
2
6
6
5
5
20
M
M
k
y
k x
k
æ
ö
=
+
=
ç
÷
+
è
ø
．
所以
2
2
2
60 132
0
5
20
k
QM NM
k
+
×
=
¹
+
uuuur uuuur
，
所以QM
uuuur
与NM
uuuur
不垂直，矛盾．
所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB
V
为等腰三角形．
4．（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知
2,0
F
为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点，O 为坐标原点，过
点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与l 的斜率之积为
1
2
-
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线OM 与直线
4
x =
交于点N ．
（i）证明：直线FN 垂直于l ；
（ii）若AFN
V
为等腰三角形，求l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）
2
0
x
y
-
-
=
或
2
0
x
y
+
-
=
．
【详解】（1）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由于A ，B 在C 上，
故
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1,
1
x
y
a
b
x
y
a
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
-
-
+
=
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
+
-
+
-
+
=
，
设
0
0
,
M x
y
，则有
1
2
0
2
x
x
x
+
=
，
1
2
0
2
y
y
y
+
=
，
故
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
2
2
2
1
2
0
2
2
0
x
x
x
y
y
y
b x
y
y
a
b
x
x
a y
-
-
-
+
=
Þ
= -
-
，
设直线l 的斜率为k ，则
1
2
1
2
y
y
k
x
x
-
=
-
，直线OM 的斜率为
0
0
y
x ，故直线OM 与直线l 的斜率之积为
2
2
b
a
-
，即
2
2
1
2
b
a =
，
故
2
2
2
a
b
=
．
由于右焦点
2,0
F
，故
2
c =
，可得
2
2
2
4
a
b
c
-
=
=
，
故
2
2
8
4
a
b
ì
=
í
=
î
，故C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ．
（2）（ⅰ）由（1）知：直线OM 的方程为
2
x
y
k
= -
，令
4
x =
，则
2
y
k
= -
，即
2
4,
N
k
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
所以直线FN 的斜率为
2
0
1
4
2
k
k
-
-
= -
-
，故直线FN 始终垂直于l ．
（ⅱ）由（ⅰ）可知此时NF
AF
=
，得
1
2
2
4
1
4
1
y
k
k
æ
ö
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
解得
1
2
y = ± ，代入C 的方程知
1
0
x =
，故l 的方程为
2
0
x
y
-
-
=
或
2
0
x
y
+
-
=
．
5．（24-25 高三上·北京昌平·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,0 ，且离心率是
2
2 .
(1)求椭圆C 的方程和短轴长；
(2)已知点
1,0
P
，直线l 过点
0,3 且与椭圆C 有两个不同的交点
,
A B ，问：是否存在直线l ，使得PAB
V
是以点P
为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
= ,2 2 .
(2)存在,直线:
0
l x =
.
【详解】（1）由题意知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,0 ，且离心率是
2
2 ，
则
2
a =
，且
2
2
2
2 ,
2,
2
2
c
c
b
a
c
a =
\ =
=
-
=
，
故椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，短轴长为2
2 2
b =
.
（2）假设存在直线l ，使得PAB
V
是以点P 为顶点的等腰三角形,
由于直线l 过点
0,3 ,当直线斜率不存在时,直线l 为
0
x =
，
此时
,
A B 为椭圆的短轴上的两顶点，此时PAB
V
是以点P 为顶点的等腰三角形；
当直线l 斜率存在时，设直线方程为
3
y
kx
=
+ ，
联立
2
2
3
1
4
2
y
kx
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
(2
1)
12
14
0
k
x
kx
+
+
+
=
，
当直线
3
y
kx
=
+ 与椭圆C 有两个不同的交点
,
A B 时，
该方程
2
2
(12 )
4 14(2
1)
0
k
k
D =
- ´
+
>
，整理得
2
7
4
k >
，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
) ，
则
1
2
1
2
2
2
12
14
,
2
1
2
1
k
x
x
x x
k
k
+
= -
=
+
+ ，
所以
1
2
1
2
1
2
2
3
3
(
)
2
6
6
1
y
y
kx
kx
k x
x
k
=
+
=
+
+
+
+
+
=
+ ，
设AB 的中点为点D，则
1
2
1
2
(
,
)
2
2
x
x
y
y
D
+
+
，
即
2
2
6
(
,
)
2
1
3
2
1
k
D
k
k
-
+
+
，则PD
AB
^
,
当
2
6
1
2
1
k
k
-
=
+
时，PD 斜率不存在，
此时AB 的斜率k 为0，不满足
2
7
4
k >
，故
2
6
1
2
1
k
k
-
¹
+
，
由题意可知
1
AB
PD
k
k
´
= - ,即
2
2
2
1
6
1
1
2
1
3
k
k
k
k
+
-
-
+
´
= - ，
解得
1
k = - 或
1
2
k = -
，由于
2
7
4
k >
，故
1
k = - 或
1
2
k = -
不适合题意，
综合以上，存在直线:
0
l x =
，使得PAB
V
是以点P 为顶点的等腰三角形.
6．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于
1
2 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线
2
3
24
y
x
=
的焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
3 是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
1
2 ，求四边形APBQ 面积的最大值；
②当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与x 轴始终围成一个以底边在x 轴的等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否
为定值，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
16
12
x
y
+
=
(2)①12 3 ；②直线AB 的斜率为定值，理由见解析.
【详解】（1）由抛物线
2
3
24
y
x
=
即
2
8 3
x
y
=
可得焦点坐标为
0,2 3 ，
Q椭圆C 的中心在原点，离心率等于
1
2 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线
2
3
24
y
x
=
的焦点，
\设椭圆C 方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，
则由
2
2
2
1
2
2 3
c
a
b
a
b
c
ì
=
ï
ïï =
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得
4
2 3
2
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
故椭圆C 的方程为
2
2
1
16
12
x
y
+
= ；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
①直线AB 的方程为
1
2
y
x
t
=
+ ，
代入
2
2
1
16
12
x
y
+
= 中，整理得
2
2
12
0
x
tx
t
+
+
-
=
，
2
2
4
12
0
t
t
D =
-
-
>
，解得4
4
t
- < <
，
1
2
x
x
t
+
= - ，
2
1
2
12
x x
t
=
-
，
四边形APBQ 的面积
2
2
1
2
1
2
1
2
1
6
3
4
3 48
3
2
S
x
x
x
x
x x
t
=
´ ´
-
= ´
+
-
=
-
，
当
0
t =
时，
max
12 3
S
=
，
所以四边形APBQ 面积的最大值为12 3 ；
②当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与x 轴始终围成一个以底边在x 轴的等腰三角形，则PA 、PB 的斜率之和
为0 ，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k
- ，
PA 的直线方程为
3
2
y
k x
-
=
-
，
代入
2
2
1
16
12
x
y
+
= 中整理得：
2
2
2
3
4
8 3
2
4(3
2 )
48
0
k
x
k kx
k
+
+
-
+
-
-
=
，
1
2
8 2
3
2
3
4
k
k
x
k
-
\ +
=
+
，同理
2
2
8 2
3
2
3
4
k
k
x
k
+
+
=
+
，
则
2
1
2
2
16
12
3
4
k
x
x
k
-
+
=
+
，
1
2
2
48
3
4
k
x
x
k
-
-
=
+
，
从而
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
16
12
4
4
1
3
4
48
2
3
4
AB
k
k
k
k x
x
k
y
y
k
k
k
x
x
x
x
k
-
×
-
+
-
-
+
=
=
=
=
-
-
-
+
，即直线AB 的斜率为定值．
7．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
Γ :
1,(
0),
y
x
b
b
-
=
>
左右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M -
的直线l 交
Γ 于,
P Q 两点.
(1)若离心率
3
e =
时，求Γ 的渐近线方程；
(2)若
2
5
8
b =
，点P 在第一象限且
2
MA P
△
为等腰三角形，求点P 的坐标；
(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ 于点R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围．
【答案】(1)
2
y
x
= ±
(2)
3, 5
P
(3)
30
0, 3
3,
3
b
æ
ù
Î
ç
ú
çè
û
U
【详解】（1）由题意得
3
1
c
c
e
a
=
=
=
，
则
3
c =
，
2
2
1
2
b =
- =
，
所以渐近线方程为
2
y
x
= ±
.
（2）当
2
5
8
b =
时，双曲线
2
2
Γ :
1
5
8
y
x -
= ， 其中
2,0
M -
，
2 1,0
A
，
因为
2
MA P
△
为等腰三角形，
当以
2
MA 为底时，显然点P 在直线
1
2
x = -
上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；
当以
2
A P 为底时，若点P 在第一象限时，
2
3
MP
MA
>
=
，所以这样的点P 不存在；
当以MP 为底时，
2
2
3
A P
MA
=
=
，设
0
0
,
P x
y
，其中
0
0
0,
0
x
y
>
>
，
则有
2
2
0
0
2
2
0
0
1
9
1
5
8
x
y
y
x
ì
-
+
=
ïïí
-
=
ï
ïî
，解得
0
0
3
5
x
y
=
ìïí
=
ïî
，即
3, 5
P
；
综上，点P 的坐标为
3, 5 .
（3）由题知
1
2
1,0 ,
1,0
A
A
-
，
当直线l 的斜率为0 时，此时
1
2
0
A R A P
×
=
uuur uuuur
，不合题意，则直线l 的斜率
0
lk ¹
，
则设直线:
2
l x
my
=
-
，
设点
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，根据OQ 延长线交双曲线Γ 于点R ，
根据双曲线对称性知
2
2
,
R
x
y
-
-
，
联立有
2
2
2
2
1
x
my
y
x
b
=
-
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
2
2
1
4
3
0
b m
y
b my
b
-
-
+
=
，
显然
2
2
1
0
b m - ¹
，其中
2
2
2
2
2
4
2
2
Δ
4
4
1 3
4
12
0
mb
b m
b
b m
b
= -
-
-
=
+
>
，
则
2
1
2
2
2
4
1
b m
y
y
b m
+
=
-
①，
2
1
2
2
2
3
1
b
y y
b m
=
-
②，
1
2
2
2
1
1
1,
,
1,
A R
x
y
A P
x
y
= -
+
-
=
-
uuur
uuuur
，
则
1
2
2
1
1
2
1
1
1
A R A P
x
x
y y
×
= -
+
-
-
=
uuur uuuur
，又
1
1
2
x
my
=
-
，
2
2
2
x
my
=
-
，
则
2
1
1
2
3
3
1
my
my
y y
-
-
-
-
= ，
即
2
1
2
1
2
1
3
10
0
y y
m
y
y
m
+
-
+
+
=
，
将①②代入有
2
2
2
2
2
2
2
3
4
1
3
10
0
1
1
b
b m
m
m
b m
b m
+
×
-
×
+
=
-
-
，
即
2
2
2
2
2
3
1
3
4
10
1
0
b
m
m
b m
b m
+
-
×
+
-
=
，
化简得
2
2
2
3
10
0
b m
b
+
-
=
，
所以
2
2
10
3
m
b
=
- ，代入到
2
2
1
0
b m - ¹
，得
2
2
10
3
1
b
b
=
-
¹ ，所以
2
3
b ¹ ，
且
2
2
10
3
0
m
b
=
-
³
，
解得
2
10
3
b £
，又因为
0
b >
，则
2
10
0
3
b
<
£
，
所以
30
0, 3
3,
3
b
æ
ù
Î
Èç
ú
çè
û
.
8．（2025·福建厦门·三模）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
10
F
,
，离心率为
3
3
．
(1)求E 的方程；
(2)过点
3,0
T
且不垂直于y 轴的直线与E 交于A，B 两点，直线AF 与E 交于点C（异于A）．
（i）证明：FBC
V
为等腰三角形；
（ii）若点M 是
ABC
V
的外心，求AMC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
3
2
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）9 2
16
【详解】（1）依题意可得
3
3
1
c
e
a
c
ì =
=
ïí
ï =
î
，解得
3
1
a
c
ì =
ïí =
ïî
，所以
2
2
2
b
a
c
=
-
=
，
所以椭圆方程为
2
2
1
3
2
x
y
+
= ；
（2）（i）设直线AB 的方程为
3
x
my
=
+ ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
由
2
2
1
3
2
3
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
，整理得
2
2
2
3
12
12
0
m
y
my
+
+
+
=
，
所以
2
2
2
Δ
12
48 2
3
48
3
0
m
m
m
=
-
+
=
-
>
，则
2
3
m >
，
所以
1
2
2
12
2
3
y
m
m
y = -
+
+
，
1
2
2
12
2
3
y
m
y =
+
，
若BF
x
^
轴，由
2
2
1
1
3
2
x
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
，解得
1
2 3
3
x
y
=
ìïí
= ±
ïî
，则
2 3
1,
3
Bæ
ö
±
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时AB 的斜率
3
3
k = ±
，即
2
3
m =
（不合题
意），
所以AF 、BF 的斜率均存在，
所以
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
AF
BF
y
x
y
x
y
y
k
k
x
x
x
x
-
+
-
+
=
+
=
-
-
-
-
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
my y
y
y
x
x
+
+
=
-
-
，
又
2
2
1
2
1
2
12
12
0
2
3
2
3
y
m
m
m
m
y
m
y
y
+
-
+
+
+
=
=
，
所以
0
AF
BF
k
k
+
=
，即
0
CF
BF
k
k
+
=
，
又因为B 、C 均在椭圆上，
由椭圆的对称性可知FB
FC
=
，即FBC
V
为等腰三角形；
（ii）设AB 的中点为
0
0
,
N x
y
，则
1
0
2
2
6
2
2
3
m
y
y
y
m
-
+
=
=
+
，
0
0
2
9
3
2
3
x
my
m
=
+
=
+
，
所以
2
2
9
6
,
2
3
2
3
m
N
m
m
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
所以AB 的垂直平分线为
2
2
6
9
2
3
2
3
m
y
m x
m
m
æ
ö
+
= -
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
令
0
y =
可得
2
3
2
3
x
m
=
+
，所以
2
3
,0
2
3
M
m
æ
ö
ç
÷
+
è
ø ，
所以AMC
V
的面积
3
1
2
2
2
2
2
12
1
1
3
12
1
2
2
2
3 2
3
2
3
AMC
m
m
S
MF y
y
m
m
m
=
+
=
-
=
+
+
+
V
，
令
3
t
m
=
>
，设
3
2
2
12
2
3
t
f t
t
=
+
，
3
t >
，
所以
2
2
2
2
3
2
2
4
3
2
2
3
2
3
8
2
3
12
9
2
12
2
3
2
3
t
t
t
t
t
t
t
f
t
t
t
+
-
+
-
=
´
=
+
¢
+
，
所以当
3 2
3
2
t
< <
时
0
f
t
¢
>
，当
3 2
2
t >
时
0
f
t
¢
<
，
所以
f t 在
3 2
3,
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，在3 2 ,
2
¥
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
所以当
3 2
2
t =
时
f t 取得最大值
max
3 2
9 2
2
16
f t
f æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以AMC
V
面积的最大值为9 2
16
.
1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知抛物线C：
2
4
y
x
=
的焦点为F，点M 是准线上一动点．
(1)若过点M 作抛物线的切线，切点分别为A，B，求∠AMB；
(2)过点F 的直线l 交抛物线于D，E 两点（D 点在第一象限），若DE 中点为
3, 2
H
-
，试判断C 上是否存在一点
G，使
DEG
△
是以D 为直角顶点的直角三角形？若存在，求直线DG 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠AMB＝90°
(2)存在，
4 2
5
0
x
y
-
+
-
=
【详解】（1）由抛物线方程可得准线方程为
1
x = - ，设
1,
M
m
-
，切线方程为
1
y
m
k x
-
=
+
，
联立
2
4
1
y
x
y
m
k x
ì
=
ïí -
=
+
ïî
，则
2
4
4(
)
0
ky
y
m
k
-
+
+
=
，又直线与抛物线相切，则
16 16 (
)
0
k m
k
D =
-
+
=
，
化简得
2
1
0
k
km
+
- =
，所以
1
2
1
k k = - ，所以MA
MB
^
，
90
AMB
Ð
=
o．
（2）设
1
1
,
D x y
，
2
2
,
E x
y
，由抛物线方程可知
10
F
,
，
又
3, 2
H
-
，所以直线DE 的斜率
0
2
1
1 3
k
+
= -
-
=
，如图所示，
所以直线DE 的方程为
1
y
x
= -
-
，即
1
0
x
y
+
- =
，
联立
2
4
1
0
y
x
x
y
ì
=
í +
- =
î
，消去y 可得
2
6
1
0
x
x
-
+ =
，解得
3
2 2
x =
±
，
由图可知，
1
2
x
x
<
，所以
1
3
2 2
x =
-
，则
1
2 2
2
y =
-
，所以
3
2 2,2 2
2
D
-
-
，
若存在点G，使
DEG
△
是以D 为直角顶点的直角三角形，则DE
DG
^
，所以
1
DG
k
= ，
直线DG：
2 2
2
3
2 2
y
x
-
+
=
- +
，即
4 2
5
0
x
y
-
+
-
=
，
考点二
直角三角形存在性问题
联立
2
4
4 2
5
0
y
x
x
y
ì
=
ïí -
+
-
=
ïî
，则
2
2(4 2
7)
57
40 2
0
x
x
+
-
+
-
=
，
96
64 2
0
D =
-
>
，
所以存在点G，使
DEG
△
是以D 为直角顶点的直角三角形，此时直线DG 的方程为
4 2
5
0
x
y
-
+
-
=
.
2．（24-25 高二下·上海·期末）已知点
2,0
A -
，
2,0
B
，动点
,
M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为
1
2
-
．记
M 的轨迹为曲线C ．
(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)写出曲线C 的两条性质；
(3)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE
x
^
轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点
G ．证明：PQG
V
是直角三角形．
【答案】(1)
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹
，C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点；
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意可得
1
2
2
2
y
y
x
x
×
= -
+
-
2
x ¹ ±
，
化简得
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹
，
∴C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点；
（2）曲线C 的上下顶点为
0,
2
±
，曲线上点到中心的距离的取值范围为
2,2
éë
等；
（3）设直线PQ的斜率为k
0
k >
，则其方程为
0
y
kx k
=
>
．
由
2
2
1
4
2
y
kx
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
，解得
2
2
1
2
x
k
= ±
+
．
记
2
2
1
2
u
k
=
+
，则
,
P u uk ，
,
Q
u
uk
-
-
，
,0
E u
．
于是直线QG 的斜率为2
k ，方程为
2
k
y
x
u
=
-
．
由
2
2
2
1
4
2
k
y
x
u
x
y
ì
=
-
ïïí
ï
+
=
ïî
得
2
2
2
2
2
2
2
8
0
k
x
uk x
k u
+
-
+
-
=
①，
设
,
G
G
G x
y
，则u
- 和
G
x 是方程①的解，故
2
2
3
2
2
G
u
k
x
k
+
=
+
，由此得
3
2
2
G
uk
y
k
=
+
．
从而直线PG 的斜率为
3
2
2
2
1
2
3
2
2
uk
uk
k
k
u
k
u
k
-
+
= -
+
-
+
，∴PQ
PG
^
，即PQG
V
是直角三角形．
3．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知
1F ，
2F 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左右焦点，直线:l mx
y
-
2
0
+ =
与y 轴相交于点P ，与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，
1
2
PF F
V
的面积为2 2 ，且椭圆C 的短轴长与焦距相
等.
(1)求椭圆C 的方程和实数m 的取值范围；
(2)若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M ，且MAB
V
为直角三角形，求点M 的坐标和直线l 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，
2
2
,
,
2
2
æ
ö
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意知
0,2
P
，因为
1
2
PF F
V
的面积为2 2 ，所以1 2
2
2 2
2
c
×
×
=
Þ
2
c =
，又因为椭圆C 的短轴长与焦距相等，所以2
2
2 2
2
b
c
b
=
=
Þ
=
，则
2
2
2
4
a
b
c
=
+
=
，椭圆C 的方程为：
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
联立
2
2
2
0
1
4
2
mx
y
x
y
-
+
=
ìïí
+
=
ïî
，整理得：
2
2
1
2
8
4
0
m
x
mx
+
+
+
=
，因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点
A 、B ，所以
2
2
Δ
64
16 1
2
0
m
m
=
-
+
>
，解得：
2
2
m >
或
2
2
m < -
，
则实数m 的取值范围为：
2
2
,
,
2
2
¥
¥
æ
ö
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
（2）设
1
1
A x y
，
2
2
,
B x
y
，设线段AB 的中点为
0
0
(
,
)
Q x
y
，由（1）知：
1
2
2
8
1
2
m
x
x
m
-
+
= +
，
1
2
2
4
1
2
x x
m
= +
，
则
0
2
4
1
2
-
=
+
m
x
m ，
2
0
2
2
4
2
2
1
2
1
2
-
=
+
=
+
+
m
y
m
m ，即
2
2
4
2
,
1
2
1
2
m
Q
m
m
-
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø.
设
,0
M n
，由MQ
AB
^
，则
2
2
2
1
1
2
4
1
2
m
m
m
n
m
+
= -
-
-
+
，化简为
2
2
2
0
m n
m
n
+
+
=
，①
因为MAB
V
为直角三角形，又MA
MB
=
，所以
90
AMB
Ð
=
o，即
0
MA MB
×
=
uuur uuur
，
所以
1
2
1
2
0
x
n
x
n
y y
-
-
+
=
，
1
2
1
2
2
2
0
x
n
x
n
mx
mx
-
-
+
+
+
=
，
整理为
2
2
1
2
1
2
1
2
4
0
m
x x
m
n
x
x
n
+
+
-
+
+
+
=
，
则：
2
2
2
2
4
8
1
2
4
0
1
2
1
2
m
m
m
n
n
m
m
-
+
×
+
-
×
+
+
=
+
+
，
化简为
2
2
2
1
2
4
8
8
0
n
m
m
mn
+
-
+
+
=
②
由①得
2
2
1
2
m
n
m
+
= -
，即
2
2
2
1
2
m
n
mn
+
= -
，代入②得
2
2
4
8
8
0
mn
m
mn
-
-
+
+
=
，
整理得
2
2
3
4
0
m
mn
-
+
+
=
③，又由①得
2
2
2
1
m
n
m
-
=
+ ，代入③得：
2
2
2
2
3
4
0
2
1
m
m
m
m
-
-
+
×
+
=
+
，即
2
2
2
2
2
1
3
2
4 2
1
0
m
m
m
m
m
-
+
+
× -
+
+
=
，
整理得
4
1
m = ，即
1
m = ± ，满足
0
D >
.
当
1
m = 时，
2
3
n = -
，点M 的坐标为
2 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，直线l 的方程为：
2
y
x
=
+
；
当
1
m = - 时，
2
3
n =
，点M 的坐标为2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，直线l 的方程为：
2
y
x
= - +
.
4．（24-25 高三上·浙江温州·阶段练习）已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
，斜率为1 的直线l 交C 于不同于原点的
S ，T 两点，点
2,3
M
为线段ST 的中点.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线
1
y
kx
=
+ 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设切线1l ，2l 的交点为P
【答案】(1)
2
4
x
y
=
(2)①证明见解析；②最小值4，此时
0, 1
P
-
.
【详解】（1）设直线l 的方程为y
x
t
=
+
，代入抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
，
可得
2
2
2
0
x
px
pt
-
-
=
，设
1
1
,
S x y
，
2
2
,
T x
y
，则
1
2
2
x
x
p
+
=
点
2,3
M
为线段PT 的中点，可得2
4
p =
，即
2
p =
则抛物线的方程为
2
4
x
y
=
.
（2）①设
2
1
1, 4
x
A x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
2
2, 4
x
B x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，由
2
4
x
y
=
，可得
2
1
4
y
x
=
，则¢ = 1
2
y
x ，
所以A ，B 两点处的切线斜率分别为
1
1
1
2
k
x
=
，
2
2
1
2
k
x
=
，
由
2
1
4
y
kx
x
y
=
+
ì
í
=
î
，得
2
4
4
0
x
kx
-
-
=
，所以
1
2
4
x
x
k
+
=
，
1
2
4
x x = - ，
所以
1
2
1
2
1
1
4
k k
x x
=
= - ，所以PA
PB
^
，即PAB
V
为直角三角形.
②由（1）知
2
1
1
1
1
:
2
4
PA
l
y
x x
x
=
-
，即：
1
1
1
2
y
x x
y
=
-
，同理
2
2
1
:
2
PB
l
y
x x
y
=
-
，
由直线PA ，PB 都过点
0
0
,
P x
y
，即
0
0 1
1
0
0
2
2
1
2
1
2
y
x x
y
y
x x
y
ì
=
-
ïïí
ï
=
-
ïî
，
则点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
的坐标都满足方程
0
0
1
2 x x
y
y
-
=
，
即直线AB 的方程为：
0
0
1
2 x x
y
y
-
=
，
又由直线AB 过点
0,1
F
，∴
0
1
y = - ，
联立
0
2
1
1
2
4
x x
y
x
y
ì
-
= -
ïí
ï
=
î
得
2
0
2
4
0
x
x x
-
-
=
，
∴
2
2
2
2
2
0
0
0
1
2
1
2
1
2
0
1
1
4
1
2
16
4
4
4
x
x
x
AB
x
x
x
x
x x
x
=
+
-
=
+
+
-
=
+
+
，
点
0, 1
P x -
到直线AB 的距离
2
0
2
0
1
2
2
1
4
x
d
x
+
=
+
，
∴
2
2
0
3
2
2
0
0
0
2
0
1
2
1
1
1
2
1
2
16
4
2
2
4
2
1
4
APB
x
x
S
AB d
x
x
x
+
=
×
=
+
×
+
×
=
+
+
△
∴
3
1
4
4
2
APB
S
³
=
V
当且仅当
0
0
x =
时，
APB
SV
有最小值4，此时
0, 1
P
-
5．（24-25 高三上·上海普陀·期中）设椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的上顶点
0,2
K
，左焦点
1
2,0
F -
，右焦点
2 2,0
F
，左、右顶点分别为
1A 、
2
A .
(1)求椭圆方程；
(2)已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线
2
A P 交y 轴于点Q，若
1A PQ
△
的面积是
2
2
A F P
△
面积的
2
2
+
倍，求直线
2
A P 的方程；
(3)如图过椭圆的上顶点K 作动圆
1F 的切线分别交椭圆于M、N 两点，是否存在圆
1F 使得
KMN
△
为直角三角形?若
存在，求出圆
1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)
2 2
0
x
y
+
-
=
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）设椭圆的半焦距为
0
c >
，
由题意可得：
2
c
b
=
=
，则
2
2
2 2
a
b
c
=
+
=
，
所以椭圆方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= .
（2）由题意可知：
1
2
2
2
4 2,
2 2
2
=
=
-
A A
A F
，
可知点
1
2
,
A F 到直线
2
A P 的距离之比
1
2
2
2
2
1 = A A
A
h
F
h
，
由题意可知：
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
4 2
2
2
2
1
2 2
2
2
×
=
=
=
=
+
×
-
×
△A PQ
A F P
h PQ
S
A A
PQ
PQ
S
A F
A P
A P
h A P
△
，可得
2
2
=
A P
PQ ，
设
0,
0
Q
m
m >
，且
2 2 2,0
A
，则
2 2 2
,
3
3
m
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
可得
2
8
4
9
9
1
8
4
m
+
= ，解得
2 2
m =
，即
0,2 2
Q
，
所以直线
2
A P 的方程
1
2 2
2 2
x
y
+
= ，即
2 2
0
x
y
+
-
=
.
（3）由题意可知切线KM KN
,
的斜率存在且均不为0，且
MKN
Ð
不是直角，
设切线
1
:
2
=
+
KM
y
k x
，
联立方程
1
2
2
2
1
8
4
y
k x
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去y 得
2
2
1
1
1
2
8
0
k
x
k x
+
+
=
，解得
0
x =
或
1
2
1
8
1
2
= - +
k
x
k ，
当
1
2
1
8
1
2
= - +
k
x
k 时，
2
1
1
1
2
2
1
1
8
2
4
2
1
2
1
2
æ
ö
-
=
-
+
=
ç
÷
+
+
è
ø
k
k
y
k
k
k
，即
2
1
1
2
2
1
1
8
2
4
,
1
2
1
2
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
k
k
M
k
k
，
同理可设切线
2
:
2
=
+
KN y
k x
，可得
2
2
2
2
2
2
2
8
2
4
,
1
2
1
2
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
k
k
N
k
k
，
则直线MN 的斜率
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
4
1
2
1
2
8
8
1
2
1
2
1
2
-
-
-
+
+
+
=
= -
×
-
+
+
+
MN
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，
不妨设MN
PM
^
，则
1
2
1
1
1
2
1
1 2
+
×
=
×
= -
-
×
MN
k
k
k
k
k
k k
，整理得
2
1
2
1
1
×
-
=
k
k
k
，
设圆
2
2
2
1 :
2
0
+
+
=
>
F
x
y
r
r
，
若过K 的直线
2
0
kx
y
-
+
=
与圆
1F 相切，则
2
2
2
2
1
-
+
=
+
k
r
k
，
整理得
2
2
2
4
8
4
0
r
k
k
r
-
+
+
-
=
，
可知
1
2
,
k k 即为方程
2
2
2
4
8
4
0
r
k
k
r
-
+
+
-
=
的两根，则
1
2
1
k
k
×
= ，
可得
2
1
1
1
-
=
k
，即
1
0
k =
，与题意相矛盾，所以不存在.
6．（2024·辽宁·三模）设抛物线C 的方程为
2
4
y
x
=
，M 为直线:
(
0)
l x
m m
= -
>
上任意一点；过点M 作抛物线C 的
两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A 点在第一象限）．
(1)当M 的坐标为
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø时，求过M，A，B 三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB 恒过定点；
(3)当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M，使
MAB
△
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；
若不存在，也请说明理由．
【答案】(1)
2
2
17
3
3
0
4
x
y
x
y
+
-
-
-
=
(2)证明见解析
(3)存在，答案见解析
【详解】（1）当M 的坐标为
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø时，设过M 点的切线方程为
3
(
1)
2
y
k x
-
=
+
，
与
2
4
y
x
=
联立，得
2
3
1
2
4
y
y
k æ
ö
-
=
+
ç
÷
è
ø
，整理得
2
3
0
4
2
k y
y
k
-
+
+
=
，
令
3
Δ
1 4
0
4
2
k k
æ
ö
= - ×
+
=
ç
÷
è
ø
，解得
2
k = - 或
1
2
k =
，
分别代入方程得
1
y = - 和
4
y =
，故得
(4,4)
A
，
1 , 1
4
Bæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
同时可求得直线MA 的方程为
1
2
2
y
x
=
+
，直线MB 的方程为
1
2
2
y
x
= -
-
，
进而可知
1
MA
MB
k
k
×
= - ，即直线MA 与直线MB 互相垂直，
则过M，A，B 三点的圆的直径为线段AB，
设该圆上任一点P 的坐标为( , )
x y ，则
(
4,
4)
AP
x
y
=
-
-
uuur
，
1 ,
1
4
BP
x
y
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
uuur
，
所以
1
(
4)
(
4)(
1)
0
4
AP BP
x
x
y
y
æ
ö
×
=
-
-
+
-
+
=
ç
÷
è
ø
uuur uuur
，
从而过M，A，B 三点的圆的一般方程为
2
2
17
3
3
0
4
x
y
x
y
+
-
-
-
=
．
（圆的标准方程：
2
2
17
3
625
8
2
64
x
y
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
）．
（2）设切点分别为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
过抛物线上点
1
1
,
A x y
的切线方程为
1
1
y
y
k x
x
-
=
-
，
与
2
4
y
x
=
联立，整理得
2
1
1
0
4
k y
y
kx
y
-
-
+
=
，
1
1
Δ
1 4
0
4
k
kx
y
= - ×
-
+
=
，所以
1
2
k
y
=
，
又因为
2
1
1
4
y
x
=
，从而过抛物线上点
1
1
,
A x y
的切线方程为
1
1
1
2
y
y
x
x
y
-
=
-
，
即
1
1
2
y y
x
x
=
+
，同理可得过点
2
2
,
B x
y
的切线为
2
2
2
y y
x
x
=
+
，
又切线MA，MB 都过点
0
0
,
M x
y
，所以得
1
0
0
1
2
y y
x
x
=
+
，
2
0
0
2
2
y y
x
x
=
+
，
即点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
均满足方程
0
0
2
y y
x
x
=
+
，
故直线AB 的方程为
0
0
2
y y
x
x
=
+
．
设
0
0
,
M x
y
，其为直线:
(
0)
l x
m m
= -
>
上任意一点，
故
0
2(
)
y y
x
m
=
-
对任意
0y 成立，从而直线AB 恒过定点( ,0)
m
．
（3）由（2）知
1
2
,
y y 是方程
2
0
0
2
4
y
y y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
的两实根，
故有
1
2
0
1
2
0
2
4
y
y
y
y y
x
+
=
ì
í
=
î
，又
2
1
1
4
y
x =
，
2
2
2
4
y
x =
，
0x
m
= -
，
所以
2
2
2
2
1
0
2
0
1
0
2
0
0
0
0
4
4
(
1)
4
MA MB
x
x
x
x
y
y
y
y
m
my
m
y
m
y
m
×
=
-
-
+
-
-
=
+
-
-
=
-
+
uuur uuur
．
①当
1
m = 时，
0
MA MB
×
=
uuur uuur
，直线l 上任意一点M 均有MA
MB
^
，
MAB
△
为直角三角形；
0
<
uuur uuur
，
2
AMB
p
Ð
>
，
MAB
△
不可能为直角三角形；
，
2
AMB
p
Ð
<
，
因为
1
2
1
2
1
2
0
4
2
AB
y
y
k
x
x
y
y
y
-
=
=
=
-
+
，
2
1
0
0
0
2
2
4
MA
k
y
y
y
x
=
=
+
-
，
所以
2
0
0
0
0
2
2
4
AB
MA
k
k
y
y
y
x
×
=
×
+
-
，
若
1
AB
MA
k
k
×
= - ，则
2
0
0
0
0
2
2
1
4
y
y
y
x
×
= -
+
-
，整理得
2
0
0
2
4
x
y
+
= - ，
又因为
0x
m
= -
，所以
2
0
(
2)
4
m
y
-
=
．
因为方程
2
0
(
2)
4
m
y
-
=
有解的充要条件是m>2 ，所以当m>2 时，有MA
AB
^
，（MB
AB
^
的情况同理），
所以
MAB
△
为直角三角形．
综上所述，当
1
m = 时，直线l 上任意一点M ，使
MAB
△
为直角三角形，
当m>2 时，直线l 上存在两点M ，使
MAB
△
为直角三角形；
当0
1
m
<
< 或1
2
m
<
£
时，
MAB
△
不是直角三角形．
7．（24-25 高二上·浙江·期中）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为2 2 ，过坐标原点的直线交椭圆于,
P Q 两
点，点P 在第一象限，PE
x
^
轴，垂足为E ，连结QE 并延长交椭圆于点
1
,
2
GP
GQ
G k
k
×
= -
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：PQG
V
是直角三角形；
(3)求PQG
V
面积的最大值.
【答案】【小题1】
2
2
1
2
x
y
+
= ；
【小题2】证明见解析；
【小题3】8
9
【详解】（1）2
2 2
2
a
a
=
Þ
=
，
设椭圆的标准方程为
2
2
2
1
2
x
y
b
+
= ，
0
0
1
1
1
1
(
,
), ( ,
),
(
,
)
G x
y
P x y
Q
x
y
-
-
，
则
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
0
1
0
1
2
2
2
2
2
0
1
1
1
2
1
2
0
2
2
1
2
x
y
x
x
y
y
y
y
b
b
b
x
x
x
y
b
ì
+
=
ï
-
-
-
ï
Þ
+
=
Þ
= -
í
-
ï
+
=
ïî
2
2
2
0
1
0
1
0
1
2
2
0
1
0
1
0
1
1
2
2
GP
GQ
y
y
y
y
y
y
b
k
k
x
x
x
x
x
x
-
+
-
×
=
×
=
= -
= -
-
+
-
，则
2
1
b = ，
所以椭圆的标准方程为：
2
2
1
2
x
y
+
=
（2）设
2
2
2
( ,
),
0,
0,
1
2
m
P m km m
k
k m
>
>
+
= ，所以
(
,
),
( ,0)
Q
m
km E m
-
-
，
2
2
GQ
EQ
km
k
k
k
m
=
=
=
，
1
1
2
2
GP
k
k
k
-
=
= -
，所以GP
QP
^
，所以PQG
D
是直角三角形
（3）直线
2
:
QG x
y
m
k
=
+
，代入
2
2
1
2
x
y
+
= ，
得：
2
2
2
2
2
(2
4)
4
2
0
k
y
mky
m k
k
+
+
+
-
= ，所以
2
2
2
2
2
2
4
Q
P
m k
k
y y
k
-
=
+
又
Q
y
km
= -
，所以
2
2
2
2
2
2
4
G
m k
k
y
k
km
-
=
+
-
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
1
1
(2
4)(
)
(2
4)
m k
k
k m
m
PG
k
km
k
k
k
km
k
m
-
+
-
=
+
-
=
+
+
-
+
因为
,
P m km 在
2
2
1
2
x
y
+
= 上，所以
2
2
2
2
1
1
1
2
2
m
km
m
k
+
= Þ
=
+
又
2
1
2
PQ
k
m
=
+
，故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
1
2(
)
1
2
5
2
2 (
1)
2 (
1)
(1
)
1
5
1
5
2
2
4
(
2)(
)
1
2
2
2
PQG
k
k m
m
k k
k k
k
S
PG PQ
k
k
k
k
k
k
k
k
k
D
+
+
-
+
+
=
=
+
=
=
=
+
+
+
+ +
+
+
令
1
2
t
k
k
=
+
³
，所以
2
2
4
8
1
1
9
2
2
PQG
t
S
t
t
t
D
=
=
£
+
+
，当且仅当
2
t =
时取等.
所以PQG
V
面积的最大值为8
9 .
8．（2024·辽宁·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的右顶点
1,0
E
，斜率为1 的直线交C 于M 、
N 两点，且MN 中点
1,3
Q
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：MEN
V
为直角三角形；
(3)若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP
PB
l
=
uuur
uuur
，
1 ,2
3
l
é
ù
Îê
ú
ë
û ，求
AOB
V
面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)证明见解析
(3)
4 3
3,
3
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
6
y
y
+
=
，
M
Q
，N 两点在双曲线C 上，
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
ì
-
=
ïï
\í
ï
-
=
ïî
①
②
，由①－②得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
-
-
-
=
，
即
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
y
y
b
x
x
a
-
=
-
，
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
+
-
\
=
+
-
，
2
2
OQ
MN
b
k
k
a
\
×
=
，即
2
2
1 3
b
a
\ × =
，
2
2
3
b
a
\
=
，
又
1
a =
Q
，
2
3
b
\
= ，\双曲线C 的方程为：
2
2
1
3
y
x -
= ；
（2）由已知可得，直线MN 的方程为：
3
1
1
y
x
-
= ×
-
，即
2
y
x
=
+
，
联立
2
2
2
2
2
4
7
0
3
3
0
y
x
x
x
x
y
=
+
ì
Þ
-
-
=
í
-
-
=
î
，
16
56
72
0
D =
+
=
>
，
则
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
7
2
x x = -
，
1
1
2
2
1
2
1
2
1,
1,
1
1
EM EN
x
y
x
y
x
x
y y
×
=
-
×
-
=
-
-
+
uuuur uuur
Q
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
5
x
x
x
x
x x
x
x
=
-
-
+
+
+
=
+
+
+
7
2
2
5
0
2
æ
ö
=
´ -
+
+
=
ç
÷
è
ø
，
EM
EN
\
^
，
EMN
\△
为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，
故设直线AB 方程为：x
my
n
=
+
，
设
3
3
,
P x y
，
4
4
,
A x
y
，
5
5
,
B x
y
，
AP
PB
l
=
uuur
uuur
Q
，
3
4
3
4
5
3
5
3
,
,
x
x
y
y
x
x
y
y
l
\
-
-
=
-
-
，
4
5
3
3
4
5
3
3
4
5
3
4
5
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
l
l
l
l
l
l
ì
+
ì
=
ï
ï
-
=
-
ï
ï
+
\
Þ
í
í
-
=
-
+
ï
ï
=
ï
ï
+
î
î
，
Q点P 在双曲线C 上，
2
2
4
5
4
5
1
1
1
1
3
x
x
y
y
l
l
l
l
+
+
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
\
-
= ，
2
2
2
4
5
4
5
3
3 1
x
x
y
y
l
l
l
\
+
-
+
=
+
，
2
2
2
2
2
2
4
4
5
5
4
5
4
5
3
3
2
3
3 1
x
y
x
y
x x
y y
l
l
l
\
-
+
-
+
-
=
+
③，
又
2
2
4
4
3
0
x
y
-
=
Q
，
2
2
5
5
3
0
x
y
-
=
，
2
4
5
4
5
2
3
3 1
x x
y y
l
l
\
-
=
+
，
2
4
5
4
5
3 1
3
2
x x
y y
l
l
+
\
-
=
④，
联立
2
2
2
2
2
3
0
3
1
6
3
0
x
y
m
y
mny
n
x
my
n
ì
-
=
Þ
-
+
+
=
í =
+
î
，
2
2
2
2
2
3
1
0
3
3
Δ
36
12
3
1
0
m
m
m n
n
m
ì
- ¹
ï
Þ
¹ ±
í
=
-
-
>
ïî
，
4
5
2
6
3
1
mn
y
y
m
-
+
=
- ⑤，
2
4
5
2
3
3
1
n
y y
m
=
-
⑥，
A
Q
，B 分别在第一象限和第四象限，
4
5
0
y y
\
<
，
2
3
1
0
m
\
- <
，
由④式得：
2
4
5
4
5
3 1
3
2
my
n
my
n
y y
l
l
+
+
+
-
=
，
2
2
2
4
5
4
5
3 1
3
1
3
3
2
m
y y
mn y
y
n
l
l
+
\
-
+
+
+
=
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：
2
2
2
2
2
2
3 1
3
6
3
1
3
3
3
1
3
1
2
n
mn
m
mn
n
m
m
l
l
+
-
-
+
+
=
-
-
，
2
2
2
3 1
6
3
1
2
n
m
l
l
+
-
\
=
-
，
4
5
1
3 2 3
2 3
sin
2
4
3
3
AOB
S
OA OB
AOB
y
y
\
=
×
×
Ð
=
×
×
×
×
V
2
2
4
5
2
2
3
3
3
3
3
3 3
1
3
1
n
n
y y
m
m
=
=
= -
×
-
-
2
3 1
1
3
1
2
2
2 3
4 3
l
l
l
l
+
æ
ö
=
×
=
+
+
ç
÷
è
ø
令
1
h l
l
l
=
+
，
1 ,2
3
l
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
由对勾函数性质可得
h l 在1 ,1
3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减，在
1,2 上单调递增，
10
2, 3
h l
é
ù
\
Îê
ú
ë
û ，
4 3
3,
3
AOB
S
é
ù
\
Îê
ú
ë
û
V
.
1．（24-25 高二上·河北衡水·期末）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的短轴长与焦距相等，且椭圆过点
2
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，射线OM 与椭圆于点C ．
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，请说明理由
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)存在；
2 (
1)
2
y
x
=
-
【详解】（1）由题可得
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
b
c
a
b
a
b
c
=
ì
ï
ïï
+
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得：
2
2
2
1
a
b
ì
=
í
=
î
，所以椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
（2）
存在，理由如下：由题意可得
:
(
1)
AB
l
y
k x
=
-
，设
3
3
,
A x y
，
4
4
,
B x
y
，
设存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形，则OA
OB
OC
+
=
uuur
uuur
uuur
，
联立
2
2
1
2
(
1)
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，化简得
2
2
2
2
1
2
1
0
2
k
x
k x
k
æ
ö
+
-
+
- =
ç
÷
è
ø
，
则
4
2
2
1
Δ
4
4
1
0
2
k
k
k
æ
ö
=
-
+
-
>
ç
÷
è
ø
，所以
2
3
4
2
2
1
2
k
x
x
k
+
=
+
，
则
3
4
3
4
3
4
2
1
1
2
1
2
k
y
y
k x
k x
k x
x
k
-
+
=
-
+
-
=
+
-
=
+
，
因为OA
OB
OC
+
=
uuur
uuur
uuur
，所以
2
2
2
2
,
1
1
2
2
k
k
C
k
k
æ
ö
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
考点三
平行四边形存在性问题
由点C 在椭圆上，所以
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
-
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
，
化简可得
4
2
2
2
2
1
1
2
k
k
k
+
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，即
2
1
2
k =
，由
0
k >
，所以
2
2
k =
，
所以存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形，直线AB 的方程为
2 (
1)
2
y
x
=
-
．
2．（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
过( 0, 1) 点，且离心率
2
2
e =
．
(1)椭圆C 的方程；
(2)过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设原点为O ，射线OM 交椭圆C 于点D ，已知四
边形AOBD 为平行四边形，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)
2
2
2
2
y
x
=
-
或
2
2
2
2
y
x
= -
+
【详解】（1）Q椭圆C 过( 0, 1) 点，
1
b
\ = ，又
2
2
c
a =
Q
，
2
2
2
a
b
c
=
+
，
解得：
2,
1
a
b
=
= ，
\椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ；
（2）
设直线l 的方程为
(
1)
y
k x
=
-
，
由
2
2
(
1)
1
2
y
k x
x
y
ì
=
-
ïïí
ï
+
=
ïî
得
2
2
2
2
)
2
0
2
1
4
2
(
-
=
+
-
+
x
k x
k
k
，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
则
2
1
2
2
4
1
2
k
x
x
k
+
= +
.
1
2
1
2
2
2
(
2)
1
2
k
y
y
k x
x
k
-
+
=
+
-
= +
，
Q四边形AOBD 为平行四边形.
设
0
0
(
,
)
D x
y
，则OD
OA
OB
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
0
1
2
2
4
1
2
k
x
x
x
k
=
+
= +
，
0
2
2
1
2
k
y
k
-
= +
，
因为点D 在椭圆C 上，
所以得
2
2
2
2
2
4
2
(
)
2(
)
2
0
1
2
1
2
k
k
k
k
-
+
-
=
+
+
，解得
2
2
k = ±
，
当直线l 的斜率不存在时，显然不成立
所以，直线l 的方程为
2
2
2
2
y
x
=
-
或
2
2
2
2
y
x
= -
+
3．（2025·浙江温州·三模）抛物线
2
1
1
:
2
C
x
p y
=
与
2
2
2
:
2
C
y
p x
=
的焦点分别为
1
2
,
F F ，
4,
0
A
m
m >
为
1
2
,
C C 的一
个交点，且
2
5
AF =
．
(1)求
1
2
,
,
p p m的值；
(2) ,
P Q 是
1
C 上的两点，若四边形
1
2
F PF Q （按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
【答案】(1)
1
2
p =
，
2
2
p =
，
4
m =
(2) 5 7
8
【详解】（1）抛物线
2
2
2
:
2
C
y
p x
=
，准线方程为
2
2
p
x = -
，
2
2
4
5
2
p
AF =
+
=
，所以
2
2
p =
，所以
2
4
y
x
=
，
因为点
4,
A
m 在抛物线
2
C 上，所以
2
4 4
16
m =
´
=
，
又
0
m >
，所以
4
m =
，
将
4 4
A
，代入抛物线
2
1
1
:
2
C
x
p y
=
，可得
1
2
p =
，
故
1
2
p =
，
2
2
p =
，
4
m =
；
（2）由（1）可知
1
2
0,1 ,
1,0
F
F
，设
1
2
F F 中点为
1 1
,
2 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø
，
因为四边形
1
2
F PF Q 为平行四边形，所以M 为PQ中点，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，所以
1
2
1
2
1,
1
x
x
y
y
+
=
+
= ，
因为,
P Q 在抛物线
1
C 上，所以
2
1
1
2
2
2
4
4
x
y
x
y
ì
=
í
=
î
，则
2
2
1
2
1
2
4
x
x
y
y
-
=
-
，
即
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
y
y
-
+
=
-
，
所以
1
2
1
2
1
4
y
y
x
x
-
=
-
，所以
1
4
PQ
k
=
，且直线PQ过点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以
1
1
1
:
2
4
2
PQ
l
y
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø ，即2
8
3
0
x
y
-
+
=
，
联立
2
2
2
8
3
0
2
2
3
0
4
x
y
x
x
x
y
-
+
=
ì
Þ
-
-
=
í
=
î
，
所以
1
2
1
2
3
1,
2
x
x
x x
+
=
= -
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
119
1
1
4
1
1 6
16
4
PQ
PQ
PQ
k
x
x
k
x
x
x x
=
+
-
=
+
+
-
=
+
×
+
=
，
1F 到PQ距离
8
3
5
4
64
2 17
d
- +
=
=
+
，
所以
119
5
5 7
4
8
2 17
S
PQ d
=
×
=
´
=
．
4．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，且该椭圆的离心率为
2
2 ，直线l 不过原点O 且不平
行于坐标轴，l 与椭圆C 交于A
B
、两点，线段AB 的中点为M ．
(1)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；
(2)若直线l 的方程为2
2
3 3
0
x
y
-
+
=
，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 为平行四边形，求椭圆C
的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
1
18
9
x
y
+
=
【详解】（1）依题意，因为
2
2
2
1
1
2
b
e
a
= -
=
，所以
2
2
2
a
b
=
，
设
1
2
1
2
,
,
,
,
,
M
M
A x y
B x y
M x
y
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式相减可得
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
b
x
x
a
y
y
-
+
-
=
，得
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
y
y
b
x
x
a
-
= -
= -
-
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
= -
-
+
，
因为M 为线段AB 的中点，则
1
2
1
2
2
,
2
M
M
x
x
x
y
y
y
+
=
+
=
，
直线OM 的斜率
M
OM
M
y
k
x
=
，直线l 的斜率
1
2
1
2
l
y
y
k
x
x
-
=
-
，
于是得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
M
l
OM
M
y
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
×
=
×
=
= -
-
-
+
是定值，
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
（2）设点P 的坐标为
,
p
p
P x
y
，
由
2
2
2
3 3
2
2
2
x
y
x
y
b
ì
=
-
ïí
ï
+
=
î
，消去x 并整理得：
2
2
27
3
3 3
2
0
4
y
y
b
-
+
-
=
，
则
1
2
1
2
1
2
3,
3 3
2 3
y
y
x
x
y
y
+
=
+
=
+
-
= -
，
又四边形OAPB 为平行四边形，即线段AB 与线段OP 互相平分，
则
1
2
1
2
2
2 3
2
3
P
M
P
M
x
x
x
x
y
y
y
y
ì
=
=
+
= -
ïí
=
=
+
=
ïî
即点
2 3, 3
P -
，
而点P 在椭圆C 上，于是得
2
2
12
3
1
2b
b
+
= ，解得
2
2
2
9,
2
18
b
a
b
=
=
=
，
所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
18
9
x
y
+
= ．
5．（2025·重庆九龙坡·三模）已知
1
2
F
F
，
分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，
的左、右焦点，
1F 关于双
曲线 C 的一条渐近线
:
b
l y
x
a
= -
的对称点 E 在 C 上.
(1)求双曲线 C 的离心率；
(2)若
1
a = ，双曲线 C 的左、右顶点分别为
1
2
A
A
，
，过左顶点
1A 作实轴的垂线交渐近线 l 于点 T ，过
T 作直线分别交双曲线 C 的左、右两支于 P
Q
，
两点，直线
2
2
A P
A Q
，
分别交 l 于 M
N
，
两点. 证明: 四
边形
1
2
A MA N 为平行四边形.
【答案】(1)
5
(2)证明见解析
【详解】（1）连接
2
F E ,
由于
1,
F E 关于直线:
b
l y
x
a
= -
对称，又
1
2
OF
OF
=
，所以
2 / /
EF
l ，
1
,0
F
c
-
到直线:
b
l y
x
a
= -
的距离为
2
21
b
c
a
d
b
b
a
-
× -
=
=
æ
ö
+ -
ç
÷
è
ø
，
因此
1
2
F E
b
=
，故
2
2
2
2
2
2
F E
c
b
a
=
-
=
，
由双曲线定义可得
1
2
2
2
2
F E
F E
b
a
a
-
=
-
=
，故
2
b
a
=
，
因此离心率为
2
1
5
c
b
e
a
a
æ
ö
=
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
（2）当
1
a = 时，则
2
b =
，故双曲线的方程为
2
2
1
4
y
x -
= ，
1
1,0
A -
，直线:
2
l y
x
= -
，故
1,2
T -
，
由题意可知直线PQ有斜率，故设
:
1
2
PQ y
k x
=
+
+
，
联立
:
1
2
PQ y
k x
=
+
+
与
2
2
1
4
y
x -
= 可得
2
2
2
4
2
2
4
8
0
k
x
k k
x
k
k
-
+
+
+
+
+
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
4
4
8
4
Δ
2
2
4
4
4
8
0
k k
x
x
k
k
k
x x
k
k k
k
k
k
ì
-
+
+
=
ï
-
ï
ï
+
+
=
í
-
ï
ï
é
ù
=
+
-
-
+
+
>
ë
û
ï
î
，
则直线
1
2
1
:
1
1
y
A P y
x
x
=
-
-
，联立与:
2
l y
x
= -
方程可得
1
1
2
1
1
y
x
x
x
-
=
-
-
，
解得
1
1
1
2
2
y
x
x
y
=
+
-
，
1
1
1
2
2
2
y
y
x
y
-
=
+
-
，所以
1
1
1
1
1
1
2
,
2
2 2
2
y
y
M
x
y
x
y
æ
ö
-
ç
÷
+
-
+
-
è
ø
,
同理可得
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2 2
2
y
y
N
x
y
x
y
æ
ö
-
ç
÷
+
-
+
-
è
ø
,
1
1
1
1
1
1
1
2
1,
2
2
2
2
y
y
A M
x
y
x
y
æ
ö
-
=
+
ç
÷
+
-
+
-
è
ø
uuuur
,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
,
2
2 2
2
y
y
NA
x
y
x
y
æ
ö
=
-
ç
÷
+
-
+
-
è
ø
uuuur
,
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
y
x
y
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
-
+
-
-
+
-
-
-
=
+
-
+
-
+
-
+
-
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
y
x
y
y
x
y
k x
x
k x
k x
x
k x
é
ù é
ù
é
ù é
ù
-
+
-
-
+
-
= -
+
+
+
+
+
-
-
+
+
+
+
+
-
ë
û ë
û
ë
û ë
û
1
2
2
1
2
2
2
2
kx
k
k x
k
kx
k
k x
k
é
ù
é
ù
= -
+
+
+
+
-
+
+
+
+
ë
û
ë
û
2
1
2
1
2
2
2
2
4
4
2
2
k k
x x
k
k
x
x
k k
é
ù
= -
+
+
+
+
+
+
+
ë
û
2
2
2
2
2
2
4
8
2
2
2
4
4
2
2
4
4
k k
k
k
k k
k
k
k k
k
k
é
ù
æ
ö
-
+
+
+
= -
+
+
+
+
+
+
ê
ú
ç
÷
-
-
ê
ú
è
ø
ë
û
2
2
2
2
4
8
2
4
4
2
2
1
4
4
k
k
k
k
k k
k
k
é
ù
+
+
+
+
= -
+
-
+
ê
ú
-
-
ë
û
2
2
2
2
2
2
4
8
2
4
4
4
2
2
0
4
4
4
k
k
k
k
k
k k
k
k
k
é
ù
+
+
+
+
-
= -
+
-
+
=
ê
ú
-
-
-
ë
û
，
所以
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
y
x
y
x
y
-
=
+
-
+
-
，即
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
y
y
x
y
x
y
-
=
+
-
+
-
，
因此
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
x
y
x
y
-
= +
+
-
+
-
，因此
1
2
A M
NA
=
uuuur
uuuur
,
故四边形
1
2
A MA N 为平行四边形.
6．（2025·浙江·三模）已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，且
2 3
=
ab
.
(1)求椭圆
1
C 的方程；
(2)已知B，A 是椭圆C 的左、右顶点，不与x 轴平行或重合的直线l 交椭圆C 于M，N 两点，记直线BM 的斜率为
1k ，直线AN 的斜率为
2k ，且
2
1
2
k
k
=
，证明：直线l 过定点；
(3)如图，点P 为椭圆
1
C 上不同于A，B 的任一点，在抛物线
2
2 :
2
0
C
y
px p
=
>
上存在两点R，Q，使得四边形
PQAR 为平行四边形，求p 的最小值.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3) 3
4 .
【详解】（1）因为椭圆的离心率为
1
2 ，且
2 3
=
ab
，
所以
2
2
2
1
2
2 3
c
e
a
ab
a
b
c
ì =
=
ï
ïï
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得
2
3
1
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
故椭圆的方程为
2
2
1 :
1
4
3
x
y
C
+
= .
（2）设直线l 的方程为
2
x
ty
n n
=
+
¹ ±
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
由
2
2
1
4
3
x
y
x
ty
n
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
，得
2
2
2
3
4
6
3
4
0
t
y
nty
n
+
+
+
-
=
，
2
2
2
Δ
6
4 3
4
3
4
0
nt
t
n
=
-
+
´
-
>
，即
2
2
3
4
0
t
n
-
+
>
，
则
1
2
2
6
3
4
nt
y
y
t
+
= -
+
，
2
1
2
2
3
4
3
4
n
y y
t
-
=
+
，
而
2,0
A
，
2,0
B -
，直线NA斜率
2
2
2
NA
y
k
x
=
-
，
1
1
1
2
y
k
x
=
+
，
2
2
2
2
y
k
x
=
-
，由
1
1
,
M x y
在椭圆C 上，
得到
2
2
1
1
1
4
3
x
y
+
= ，即
2
2
1
1
3 4
4
y
x
=
-
，
因此
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
3 4
3
4
2
2
4
4
4
MA
x
y
y
y
k
k
x
x
x
x
-
×
=
×
=
=
= -
+
-
-
-
，
由题意得
2
1
3
2
2
MA
k
k
k
=
= -
，即
2
3 ,
2
MA
k
k
= -
×
由
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
在直线l 上，得
1
1
x
ty
n
=
+
，
2
2
x
ty
n
=
+
，
则
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
MA
y
y
y y
y y
k k
x
x
ty
n
ty
n
t y y
t n
y
y
n
=
×
=
=
-
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
3
2
3
4
4
2
3
4
6
2
2
3
4
3
4
n
n
t
n
n
t
n n
t
n
t
t
-
+
+
=
=
-
-
-
-
+
-
+
+
，
而
3
2
3
4
2
2
n
n
+
= -
-
，解得
2
3
n =
，此时
2
2
2
32
3
4
3
0
9
t
n
t
-
+
=
+
>
，
则直线l 的方程为
2
3
x
ty
=
+
，即直线l 过定点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
（3）由（1）知
2,0
A
，设
1
1
,
Q x y
，
2
2
,
R x
y
，
3
3
,
P x y
，
连接QR ，交PA 于
0
0
,
D x
y
，
Q四边形AQPR 为平行四边形，
D
\
为
,
PA QR 的中点且QR 与x 轴既不垂直也不平行，
法一：
2
2
3
3
0
3
3
3
2
2
3
0
3
3
3
3
3 (
4)
3
4
2
2
2
4
4
4
AP
OD
x
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
-
-
×
=
×
=
×
=
=
= -
-
-
+
-
-
，
3
4
AP
OD
AD
OD
k
k
k
k
\
×
=
×
= -
，
0
0
0
0
3
2
4
y
y
x
x
\
×
= -
-
，即
2
0
0
0
4
3
2
0
y
x
x
+
-
=
记为①，
又
2
1
1
2
2
2
2
2
y
px
y
px
ì
=
í
=
î
Q
，
2
2
1
2
1
2
2
y
y
p x
x
\
-
=
-
，
1
2
1
2
1
2
0
2
QR
y
y
p
p
k
x
x
y
y
y
-
\
=
=
=
-
+
，
\直线QR 的方程为
0
0
0
p
y
y
x
x
y
-
=
-
，
∴由
0
0
0
2
2
p
y
y
x
x
y
y
px
ì -
=
-
ïí
ï
=
î
得
2
2
0
0
0
2
2
2
0
y
y y
y
px
-
+
-
=
，
\由
2
2
0
0
0
Δ
4
4 2
2
0
y
y
px
=
-
-
>
得
2
0
0
2
y
px
<
记为②，
由①②得
2
0
0
0
0
3
0
2
2
4
y
x
x
px
<
=
-
<
，
0
3
2
2
4
p
x
\
>
-
对任意的
0
0,2
x Î
恒成立，
3
2
2
p
\
³
，即
3
4
p ³
，
p
\
的最小值为3
4 .
法二：设
:
0
QR y
kx
m k
=
+
¹
，将QR 与
2
C 联立消y 得
2
2
2
2
0
k x
km
p x
m
+
-
+
=
.
由韦达定理可得
1
2
2
2
1
2
2
2 km
p
x
x
k
m
x x
k
ì
-
+
= -
ïïí
ï
=
ïî
，且
2
2
2
Δ
4
4
0
km
p
k m
=
-
-
>
，
即2
0
km
p
-
+
>
记为①，
1
2
0
2
2
x
x
km
p
x
k
+
-
\
=
= -
，
0
0
p
y
kx
m
k
=
+
=
，
3
0
2
2
x
x
+
=
Q
，
3
0
2
y
y =
，
\得
3
0
2
2
2
2
2
km
p
x
x
k
-
=
-
= -
-
，
3
0
2
2
p
y
y
k
=
=
，
2
2
2
2,
km
p
p
P
k
k
æ
ö
-
\
-
-
ç
÷
è
ø
，
Q点
1
P
C
Î
，
2
2
2
2
2
2
1
4
3
km
p
p
k
k
é
ù
-
æ
ö
-
-
ê
ú
ç
÷
ë
û
è
ø
\
+
=
，
即
2
2
2
2
1
1
3
km
p
p
k
k
-
æ
ö
æ
ö
+
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
令
2
2
sin
3
1
cos
p
k
km
p
k
q
q
ì
=
ïïí
-
ï
+ =
ïî
，其中
π
k
q ¹
，
Z
k Î
，
我们把2
sin
3
p
k
q
=
记为②式，把
2
1
cos
km
p
k
q
-
+ =
记为③式，
由②得
2
3sin
p
k
q
=
，代入③得
2
4
3 1 cos
p
km
p
q
=
-
+
，
代入①得
2
8
2
2
0
3 1 cos
p
km
p
p
p
q
-
+
= -
+
+
>
+
，
解得
3 1 cos
8
p
q
+
>
，
sin
0
q ¹
Q
，
cos
1
q
\
< ，
3 1 cos
3
8
4
q
+
\
<
，
3
4
p
\
³
，
p
\
的最小值为3
4 .
7．（2025·河北秦皇岛·三模）已知抛物线
2
1 :
(
0)
C
y
px
p
=
¹
与
2
2 :
2
C
y
x
x
q
=
+
+
相交于
1A ，
1B 两点，其交点的横坐
标分别为
1
3
a =
，
1
1
b = - .在抛物线
1
C 上另取( n
)
1
-
个点
2
A ，
3A ，…，
n
A ，在抛物线
2
C 上另取( n
)
1
-
个点
2
B ，
3
B ，…，
n
B ，使
1
1
//
1,2,
,
1
i
i
i
i
A A
B B
i
n
+
+
=
-
L
.记
iA ，
(
2,3,
, )
iB i
n
=
L
的横坐标分别为
ia ，
(
2,3,
, )
ib i
n
=
L
.
(1)求p ，q 及
2
2
2a
b
-
的值.
(2)证明：
*
*
7,
2
1,
N ,
2
5,
2 ,
N .
n
n
n
k
k
a
b
n
k k
ì
=
-
Î
-
= í -
=
Î
î
(3)是否存在点
n
A ，
n
B ，使四边形
1
1
n
n
A B A B 为平行四边形？若存在，求出
n
A ，
n
B 的坐标及n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)
2,
3
p
q
=
=
，
2
2
2
5
a
b
-
= - ；
(2)证明见解析；
(3)存在，
11,242 ,
15,258
n
n
A
B
，
*
2
1,
N
n
k
k
=
+
Î
.
【详解】（1）因为两条抛物线交点的横坐标分别为3, 1
- ，所以
9
9
6
1 2
p
q
p
q
=
+
+
ì
í
= -
+
î
，解得
2,
3
p
q
=
=
，
故
2
2
1
2
:
2
,
:
2
3
C
y
x C
y
x
x
=
=
+
+ ，故
1
1
3,18 ,
1,2
A
B -
，
而
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,2
,
,
2
3
A
a
a
B
b b
b
+
+
，
1
2
1
2
//
A A
B B ，
故
2
2
2
2
2
2
18
2
2
2
3
3
1
a
b
b
a
b
-
-
-
-
=
-
- -
，整理得
2
2
2 3
1
a
b
+
=
+ 即
2
2
2
5
a
b
-
= - .
（2）由题设有
2
2
,2
,
,
2
3
n
n
n
n
n
n
n
A
a
a
B
b b
b
+
+
，
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
,2
,
,
2
3
n
n
n
n
n
n
n
A
a
a
B
b
b
b
-
-
-
-
-
-
-
+
+
，
因为
1
1
//
n
n
n
n
A
A
B
B
-
-
，故
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
-
-
-
-
-
+
+ -
+
+
-
=
-
-
，
整理得
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
b
b
-
-
+
=
+
+
，所以
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
b
a
b
-
-
-
= -
-
+
，
故
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
b
a
b
-
-
é
ù
-
- = -
-
-
ë
û ，而
1
1
2
1
6
0
a
b
-
- =
¹
，
故
2
1
n
n
a
b
-
-
是首项为6，公比为1
- 的等比数列，，故
1
2
1
6
1
n
n
n
a
b
-
-
- =
´ -
，
所以
1
2
1 6
1
n
n
n
a
b
-
-
= + ´ -
，
当n 为奇数时，2
7
n
n
a
b
-
=
；当n 为偶数时，2
5
n
n
a
b
-
= - .
故
*
*
7,
2
1,
N ,
2
5,
2 ,
N .
n
n
n
k
k
a
b
n
k k
ì
=
-
Î
-
= í -
=
Î
î
（3）
若四边形
1
1
n
n
A B A B 为平行四边形，则
1
1
n
n
A B
B A
=
uuuur
uuuuur
，
而
2
2
1
1
4, 16 ,
,2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
A B
B A
a
b
a
b
b
= -
-
=
-
-
-
-
uuuur
uuuuur
，
故
2
2
4,2
2
3
16
n
n
n
n
n
a
b
a
b
b
-
= -
-
-
-
= -
，
若n 为奇数，则2
5
n
n
a
b
-
= - ，由
4
2
5
n
n
n
n
a
b
a
b
-
= -
ì
í
-
= -
î
可得
1
3
n
n
a
b
= -
ì
í
=
î
，
此时
1,
n
A A 重合，舍去；
若n 为偶数，则2
7
n
n
a
b
-
=
，由
4
2
7
n
n
n
n
a
b
a
b
-
= -
ì
í
-
=
î
可得
11
15
n
n
a
b
=
ì
í
=
î
，
此时
2
2
2
2
3
16
n
n
n
a
b
b
-
-
-
= -
，符合题意，此时
11,242 ,
15,258
n
n
A
B
,
此时
*
2
1,
N
n
k
k
=
+
Î
.
8．（24-25 高二下·山西大同·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，
1F ，
2F 分别为椭圆的左右焦
点，点A 是椭圆C 上一动点，且
1
2
AF
AF
×
的最大值为6．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线
3
x
my
=
+ 与椭圆C 交于P，Q 两点．
①若P，Q 中点的横坐标为3
2 ，求m 的值：
②已知点
2,1
D
，直线DP ，DQ 与直线
3
x =
分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN 为
平行四边形．若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
6
3
x
y
+
= ；
(2)①
2
m = ±
；②存在，
4, 1
H
-
.
【详解】（1）因为离心率为
2
2 ，所以
2
2
c
a =
，由椭圆的定义知
1
2
2
AF
AF
a
+
=
，
由基本不等式得
2
1
2
2
1
2
6
4
AF
AF
AF
AF
a
+
×
£
=
=
，当且仅当
1
2
AF
AF
a
=
=
时等号成立，
故
6
a =
，所以
3
c =
，所以
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，故椭圆C 的方程为
2
2
1
6
3
x
y
+
= .
（2）①设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
由
2
2
3
1
6
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
2
6
3
0
m
y
my
+
+
+
=
，
由
2
2
Δ
36
12
2
0
m
m
=
-
+
>
，得
2
1
m > ，
1
2
2
6
2
m
y
y
m
-
+
=
+
，
1
2
2
3
2
y y
m
=
+
，
设PQ中点坐标为
0
3 ,
2 y
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则
1
2
0
2
3
2
2
y
y
m
y
m
+
=
= -
+
，
因为
0
3 ,
2 y
æ
ö
ç
÷
è
ø在直线PQ上，所以
0
3
3
2
my
=
+ ，即
0
3
2
y
m
= -
所以
2
3
3
2
2
m
m
m
-
= -
+
，解得
2
m = ±
；
②存在点
,
H
H
H x
y
使得四边形DMHN 为平行四边形，
因为
2,1
D
在椭圆上，所以易知
1
2
x ¹
，
2
2
x ¹
，
设直线DM 的方程为
1
1
1
1
2
2
y
y
x
x
-
- =
-
-
，
令
3
x =
，得
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
M
m
y
y
y
y
x
my
my
+
-
-
=
+ =
+ =
-
+
+
，同理
2
2
1
1
N
m
y
y
my
+
=
+
，
又由①知
1
2
1
2
1
2
y y
y
y
m
= -
+
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
M
N
m
y
m
y
m
my y
m
y
y
y
y
my
my
my
my
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+
+
+
+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
0
1
1
m
m
y
y
m
y
y
m
my
my
æ
ö
+
-
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
=
=
+
+
所以线段MN 的中点坐标为
3,0 ，
连接DH ，则线段DH 的中点坐标也为
3,0 ，
由于
2,1
D
，可得
2
3
2
1
0
2
H
H
x
y
+
ì
=
ïïí
+
ï
=
ïî
，所以点H 的坐标为
4, 1
H
-
.
1．（24-25 高二下·重庆·期中）已知点A ，B 在抛物线
2y
x
=
上.
(1)若
3
AB =
，记线段AB 的中点为M，求点M 到y 轴的最短距离；
(2)若点C ，D 在直线
4
y
x
=
+
上，且满足四边形ABCD 为正方形，求此正方形的面积.
【答案】(1)点M 到y 轴的最短距离为5
4 ，点M 的坐标为5
2
,
4
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
或5
2
,
4
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
(2)18或50
【详解】（1）由抛物线方程
2y
x
=
可知，其焦点
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø，准线方程：
1
4
= -
x
，
从而|
|
|
| |
| 3
AF
BF
AB
+
³
= ，当且仅当, ,
A B F 三点共线时，不等式取等号，
设线段AB 的中点为M 到y 轴的距离为d ，
由抛物线定义和梯形中位线性质可知，
1
2
3
4
d
AF
BF
æ
ö
+
=
+
³
ç
÷
è
ø
，即
5
4
d ³
，
从而点M 到y 轴的最短距离为5
4 ，
不妨设
0
5 ,
4
M
y
æ
ö
ç
÷
è
ø ，且此时, ,
A B F 三点共线，
不妨设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，直线AB 的方程为：
1
4
x
my
=
+
，
由
2
2
1
1
0
4
4
x
my
y
my
y
x
ì =
+
ï
Þ
-
-
=
í
ï
=
î
，
2
1
0
m
D =
+ >
恒成立，
则
1
2
y
y
m
+
=
，
1
2
1
4
y y = -
，
从而
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
|
|
1
(
)
4
1
3
AB
m
y
y
m
y
y
y y
m
=
+
-
=
+
+
-
=
+ =
，即
2
m = ±
，
从而
1
2
0
2
2
y
y
y
+
=
= ±
，即
0
2
2
y = ±
，
故点M 的坐标为5
2
,
4
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
或5
2
,
4
2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
考点四
特殊平行四边形存在性问题
（2）由题意可得
//
AB CD ，且AB
AD
^
，
设直线AB 的方程为y
x
n
=
+
，
则直线AB 和直线CD 之间的距离4
2
n
AB
-
=
，
联立
2
y
x
n
y
x
=
+
ì
í
=
î
，消x 得
2
0
y
y
n
-
+
=
，
1
4
0
n
D = -
>
，所以
1
4
n <
，
设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
则
1
2
1
2
1,
y
y
y y
n
+
=
=
，
所以
2
1
2
1
2
1 1
4
2
8
AB
y
y
y y
n
=
+ ×
+
-
=
-
，
所以4
2
8
2
n
n
-
=
-
，解得
2
n = - 或
6
n = - ，
当
2
n = - 时，
3 2
AB =
，此时正方形的面积为3 2
3 2
18
´
=
，
当
6
n = - 时，
5 2
AB =
，此时正方形的面积为5 2
5 2
50
´
=
，
综上所述，正方形的面积为18或50.
2．（24-25 高三上·北京西城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1 (
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左右顶点分别为
1
2
,
A A ，离心率为
2
2 ，点
(0,1)
T
，
1
2
TA A
△
的面积为2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点T 且斜率为k 的直线交椭圆E 于点
,
C D ，线段CD 的垂直平分线交y 轴于点Q ，点Q 关于直线CD 的对称点
为P .若四边形PCQD 为正方形，求k 的值.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)
1
2
k = ±
【详解】（1）已知
1(
,0)
A
a
-
，
2( ,0)
A a
，(0,1)
T
，
则
1
2
TA A
△
的面积
1
2
1
2
2
S
a
=
´
´ =
，解得
2
a =
.
因为离心率
2
2
c
e
a
=
=
，
2
a =
，所以
2
c =
.
又因为
2
2
2
a
b
c
=
+
，
2
a =
，
2
c =
，所以
2
2
2
4
2
2
b
a
c
=
-
=
-
=
.
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（2）将直线
1
y
kx
=
+ 与椭圆
2
2
2
4
x
y
+
=
联立得
2
2
(2
1)
4
2
0
k
x
kx
+
+
-
=
.
根据韦达定理，
1
2
2
4
2
1
k
x
x
k
-
+
=
+ ，
1
2
2
2
2
1
x x
k
-
=
+ .
计算
1
2
1
2
2
2
4
2
(
)
2
2
2
1
2
1
k
y
y
k x
x
k
k
k
-
+
=
+
+
=
´
+
=
+
+ ，
从而得到线段CD 中点坐标为
2
2
2
1
(
,
)
2
1 2
1
k
k
k
-
+
+
.
然后求线段CD 垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为
1
k
-
，
根据点斜式可得垂直平分线方程为
2
2
1
1
2
(
)
2
1
2
1
k
y
x
k
k
k
-
-
= -
-
+
+
，
进而得到点
2
1
(0,
)
2
1
Q
k
-
+
.
最后根据四边形PCQD 为正方形时QC
QD
^
：
则
1
1
2
2
2
2
1
1
( ,
) (
,
)
2
1
2
1
QC QD
x y
x
y
k
k
×
=
+
×
+
+
+
uuur uuur
展开得
1
2
1
2
2
2
1
1
(
1
)(
1
)
2
1
2
1
x x
kx
kx
k
k
+
+ +
+ +
+
+
进一步化简为
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
(2
2)
2
2
(
1)
(
)
(
)
2
1
2
1
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
+
+
+
+
´
+
+
+
+
将
1
2
2
4
2
1
k
x
x
k
-
+
=
+ ，
1
2
2
2
2
1
x x
k
-
=
+ 代入得，
2
2
2
2
2
2
2
2
2(
1)
(2
2)
4
2
2
(
)
0
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
-
+
+
´
+
=
+
+
+
+
，
整理得
2
2
(
1)(4
1)
0
k
k
+
-
=
，解得
1
2
k = ±
.
3．（24-25 高二上·江苏南京·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的右顶点为A ，上顶点为,|
|
3
B AB =
，离心
率为
2
2 .
(1)求E 的方程；
(2)直线l 平行于直线AB，且与E 交于M，N 两点，
①P，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于
2
1 |
|
3 MN
，求l 的方程；
②当直线AM，BN 斜率存在时，分别将其记为
1
2
,
k k ，证明：
1
2
k
k
×
为定值.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)①
2
:
2
l y
x
= -
或
2
4
:
2
3
l y
x
= -
+
.②
1
2
1
2
k
k
×
=
,证明见解析.
【详解】（1）由题意得，
( ,0), (0, )
A a
B
b ,所以
2
2
2
2
2
3
2
2
a
b
c
e
a
a
b
c
ì
+
=
ï
ï =
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2
2
2
2,
1
a
b
c
=
=
= ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）①由（1）知
( 2,0), (0,1)
A
B
，
2
2
AB
k
= -
,即
2
2
MN
k
= -
，
设
1
1
2
2
2
:
,
( ,
),
(
,
)
2
l y
x
m M x y
N x
y
= -
+
，
联立
2
2
1
2
2
:
2
x
y
l y
x
m
ì
+
=
ïïí
ï
= -
+
ïî
，消去y 整理得，
2
2
2
1
0
x
mx
m
-
+
- =
，
由相交得，
2
2
2
4(
1)
0
m
m
D =
-
-
>
，即
2
2
0
m -
<
，解得
2
2
m
-
<
<
，
由韦达定理得，
1
2
2
1
2
2
1
x
x
m
x x
m
ì
+
=
ïí
=
-
ïî
，
因为
//
MN AB ，所以矩形MNPQ 中NP 即为两平行线间的距离d ，
因为
:
1
2
x
AB
y
+
= ，即
2
2
0
x
y
+
-
=
，:
2
2
0
l x
y
m
+
-
=
，
所以
2
2
6
1
3
1
2
m
m
d
-
-
=
=
+
，
又由题意得，
2
1
3
MNPQ
S
MN
NP
MN
=
×
=
,
所以
1
3
NP
MN
=
,即
6
1
MN
m
=
- ，
此时
2
2
2
1
2
1
2
2
6
1
(
)
4
4
2
2
2
MN
x
x
x x
m
æ
ö
=
+
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
2
6
4
2
6
1
2
m
m
-
=
- ，化简得
2
3
4
0
m
m
-
=
，解得
0
m =
或
4
3
m =
，
所以直线
2
:
2
l y
x
= -
或
2
4
:
2
3
l y
x
= -
+
.
②因为
2
:
2
l y
x
m
= -
+
，所以
2
2
m
y
x
=
+
，则有
1
1
2
2
m
y
x
=
+
，
由韦达定理
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
x x
m
y
x
x
y
x y
x y
æ
ö
=
- =
+
- =
+
+
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
（此处，因为点
1
1
( ,
)
M x y 在椭圆
2
2
1
2
x
y
+
= 上，所以
2
2
1
1
1
1
2 x
y
+
= ）
所以
2
1
2
x
y
=
，进而
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
y
x
m
y
y
x
x
= -
+
= -
+
+
=
，
此时有，
1
1
1
1
2
( ,
),
( 2
,
)
2
M x y
N
y
x ，
所以
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
x
y
y
y
k k
x
x
x
y
-
-
×
=
´
=
´
=
-
-
.
4．（24-25 高三上·江苏南京·期末）已知点
1F ，
2F 分别为双曲线E：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点，点
1F 到
双曲线E 的渐近线的距离为2 2 ，点A 为双曲线E 的右顶点，且
1
2
2
AF
AF
=
．
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)若四边形ABCD 为矩形，其中点B，D 在双曲线E 上，求证：直线BD 过定点．
【答案】(1)
2
2
1
8
y
x -
=
(2)证明见解析
【详解】（1）设焦距为2c，则
1
,0
F
c
-
，
故点
1F 到双曲线E 的渐近线
0
bx
ay
±
=
的距离为
2
2
2 2
bc
b
b
a
=
=
+
．
由
1
2
2
AF
AF
=
，知
2
c
a
c
a
+
=
-
，得
3
c
a
=
．
又因为
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以
2
2
3
8
a
a
=
+ ，解得
2
1
a = ．
所以双曲线E 的标准方程为
2
2
1
8
y
x -
= ．
（2）①当直线BD 的斜率不存在时，
由AB
AD
^
，设直线BD 的方程为x
t
= ，
当
0
t <
时，则
,
1
B t
t
- +
在双曲线
2
2
1
8
y
x -
= ，可得
2
2
1
1
8
t
t
-
-
= ,所以
9
7
t = -
，
当
0
t >
时，则
,
1
B t t -
在双曲线
2
2
1
8
y
x -
= ，可得
2
2
1
1
8
t
t
-
-
= ,所以
1
t = 不合题意舍，
可得直线BD 的方程为
9
7
x = -
，
②当直线BD 的斜率存在时，设直线BD 的方程为y
kx
m
=
+
，
1
1
,
B x y
，
2
2
,
D x
y
，
联立
2
2
1,
8
,
y
x
y
kx
m
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
得
2
2
2
8
2
8
0
k
x
kmx
m
-
-
-
-
=
，
当
2
8
0,
Δ
0
k
ì -
¹
í
>
î
时，
1
2
2
2
8
km
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
8
8
m
x x
k
+
= -
-
，
因为四边形ABCD 为矩形，所以AB
AD
^
，
所以
1
1
2
2
1
2
1
2
1,
1,
1
1
0
AB AD
x
y
x
y
x
x
y y
×
=
-
×
-
=
-
-
+
=
uuur uuur
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
0
x
x
kx
m
kx
m
k
x x
km
x
x
m
-
-
+
+
+
=
+
+
-
+
+
+ =
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
8
8
1
2
1
0
8
8
8
k
m
k
m
km km
k
k
k
+
+
-
+
-
-
+
+
=
-
-
-
所以
2
2
7
2
9
0
m
km
k
-
-
=
，
所以
7
9
0
m
k
m
k
+
-
=
，所以m
k
= - 或
9
7
m
k
=
，
当m
k
= - 时，直线BD 的方程为
1
y
kx
k
k x
=
-
=
-
，恒过定点
1,0
A
，不合题意，舍去．
当
9
7
m
k
=
时，直线BD 的方程为
9
9
7
7
y
kx
k
k x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø ，恒过定点
9 ,0
7
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
综上①②，直线BD 恒过定点
9 ,0
7
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
5．（2025·青海海东·三模）已知椭圆
2
2
1 :
1
7
4
y
x
C
+
= ，椭圆
2
C 以椭圆
1
C 的短轴为长轴，且与椭圆
1
C 有相同的焦
距．椭圆
2
C 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，直线l 与椭圆
2
C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆
2
C 的标准方程；
(2)若直线l 的方程为
1
2
y
x
=
-
，求|
|
MN ；
(3)若直线l 过坐标原点O ，且四边形
1
2
MF NF 是矩形，求四边形
1
2
MF NF 的面积．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ；
(2) 2 38
5
；
(3)2.
【详解】（1）椭圆
2
2
1 :
1
7
4
y
x
C
+
= 的长半轴长为
7 ，短半轴长为2，半焦距为
3 ，
依题意，椭圆
2
C 的焦点在x 轴上，其长半轴长
2
a =
，半焦距
3
c =
，则短半轴长
2
2
1
b
a
c
=
-
= ，
所以椭圆
2
C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由
2
2
2
2
1
4
4
y
x
x
y
=
-
ì
í
+
=
î
消去y 并整理得
2
5
4
3
0
x
x
-
-
=
，设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，
则
1
2
1
2
4
3
,
5
5
x
x
x x
+
=
= -
，所以
2
2
1
2
1
2
16
12
2 38
|
|
1 1
(
)
4
2
25
5
5
MN
x
x
x x
=
+
×
+
-
=
×
+
=
.
（3）由（1）知，
1
2
|
| 2 3
F F =
，由四边形
1
2
MF NF 是矩形，得
1
2
MF
MF
^
，
则
2
2
2
1
2
1
2
|
2
|
|
|
1
|
|
MF
MF
F F
+
=
=
，而
1
2
|
|
| 4
|
MF
MF
+
=
，
所以四边形
1
2
MF NF 的面积
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(|
|
|
|)
(|
|
|
| )
|
| |
|
2
2
MF
MF
MF
MF
MF
MF
+
-
+
×
=
=
.
6．（24-25 高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为
1
2
2,0
F
F
N -
、，
为椭圆的一个顶点，且右焦点
2F
到直线
0
x
y
-
=
的距离为
2 .
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
0
l
y
kx
m k
=
+
¹
：
与椭圆C 交于A、B 两点.
①若直线l 过椭圆右焦点
2F ，且
1
AF B
△
的面积为8 3
5 ，求实数k 的值；
②若直线l 过定点
0,2
P
，且
0
k >
， 在x 轴上是否存在点
,0
T t
使得以TA
TB
、
为邻边的平行四边形为菱形?
若存在，则求出实数t 的取值范围； 若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)①
3
k = ±
；②存在，
3 ,0
6
t
é
ö
Î -
÷
ê
÷
ë
ø
【详解】（1）椭圆C
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点
2
,0
F
c
到直线
0
x
y
-
=
的距离为
2
2 ，
可得：
2
2
2
c =
，因为
0
c >
， 所以解得
1
c = ，
由椭圆的一个顶点为
2,0
N -
，可得
2
a =
，
所以由
²
²
²
4 1
3
b
a
c
=
-
=
- = ，即椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）①直线
0
l
y
kx
m k
=
+
¹
：
过椭圆右焦点
2F 可得：0
k
m
=
+
， 即m
k
= - ，
所以由直线
1
l
y
k x
=
-
：
与椭圆C 的标准方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= 联立方程组，消去y 得：
4 ²
3
²
8 ²
4 ² 12
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
= ，
设两交点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则有
2
2
1
2
1
2
2
2
8
4
12
4
3
4
3
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，
，
又椭圆左焦点
1
1,0
F -
到直线
1
0
l
k x
y
-
-
=
：
的距离为
2
2
1
k
d
k
-
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
12
1
8
4
12
1
4
1
4
4
3
4
3
4
3
k
k
k
AB
k
x
x
x x
k
k
k
k
é
ù
+
æ
ö
-
é
ù
ê
ú
=
+
+
-
=
+
- ´
=
ç
÷
ë
û
+
+
+
ê
ú
è
ø
ë
û
所以
1
2
2
2
12
1
2
1
1
8 3
2
2
4
3
5
1
AF B
k
k
S
d
AB
k
k
+
-
=
×
×
=
×
×
=
+
+
，
解得：
²
3
k = 或
2
12
11
k = -
(舍去)，即
3
k = ±
;
②假设存在点
,0
T t
使得以
,
TA TB 为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点
0,2
P
， 且
0
k >
，
可知直线方程为
2
y
kx
=
+
，与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
+
= 联立方程组，
消去y 得：
4 ²
3
²
16
4
0
k
x
kx
+
+
+
= ，由
192 ²
48
0
k
=
-
>
V
，且
0
k >
， 解得
1
2
k >
，
设两交点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
， AB 中点
0
0
,
M x
y
，则有
1
2
1
2
2
2
16
4
4
3
4
3
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，
，
所以
1
2
0
0
0
2
2
8
6
2
2
4
3
4
3
x
x
k
x
y
kx
k
k
+
-
=
=
=
+
=
+
+
，
，
即
2
2
6
1
4
3
8
4
3
TM
k
k
k
k
t
k
+
= -
=
-
-
+
， 整理得
2
2
2
3
4
3
4
k
t
k
k
k
= -
= -
+
+
，
又因为
1
2
k >
， 所以
3
4
4 3,
k
k
¥
é
+
Î
+
ë
，
当且仅当
3
2
k =
时，
min
3
4
4 3,
k
k
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
所以
1
2
,0
1
3
3
4 3
4 3
4
4
2
k
k
k
k
-
£
>
³
+
-
+
，
则
3 ,0
6
t
é
ö
Î -
÷
ê
÷
ë
ø
.
7．（2025·北京门头沟·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个顶点为
0,1
A
，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
2,1
P
作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，点P
关于x 轴的对称点为Q ，求证：四边形PMQN 为菱形.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ；
(2)证明见解析
【详解】（1）因椭圆顶点为
0,1
A
，离心率为
3
2
c
a
=
，
则
2
2
1
1
1
2
b
c
b
a
a
=
=
-
=
，
，所以
2,
3
a
c
=
=
，故椭圆方程为：
2
2
1
4
x
y
+
= ；
（2）由题，设直线方程为
2
1
y
k x
=
-
+ ，将直线方程与椭圆方程联立，
可得
2
2
1
4
2
1
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
+
î
.
即得
2
2
4
2
1
4
0
x
kx
k
+
-
+
-
=
化简得
2
2
2
1
4
8
16
16
1
0
k
x
k
k
x
k k
+
+
-
+
-
=
因直线与椭圆E 交于不同的两点,
B C ，则
2
2
2
2
8
16
4 1
4
16
16
64
0
k
k
k
k
k
k
D =
-
-
+
-
=
>
.
设
1
1
2
2
,
,
C x y
B x
y
，
，由韦达定理
2
2
1
2
1
2
2
2
8
16
16
16
1
4
1
4
k
k
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
-
+
=
=
+
+
，
.
又设
1
1
1
:
1
y
AC y
x
x
-
=
+ ，令
0
y =
得
1
1
1
N
x
x
y
= -
；
设
2
2
1
:
1
y
AB y
x
x
-
=
+ ，令
0
y =
得
2
2
1
M
x
x
y
= -
；
又因为
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
x x
x
x
x
x
x
x
y
y
k
x
k
x
k
x
x
-
+
+
+
=
+
=
-
-
-
-
-
-
2
2
2
2
2
2
2
2 16
16
8
16
16
1
4
4
4
4 16
2
8
16
16
16
1
4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+ -
+
+
=
=
=
é
ù
+
-
-
+
+
-
ë
û
+
.
所以
2
2
M
N
x
x
+
=
，
2,1 ,
2, 1
P
Q
-
，所以
,
PQ
MN PQ
^
平分MN ，所以四边形PMQN 为菱形.
8．（24-25 高二下·湖南·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1
A -
，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)若椭圆上存在一点B （点B 在第一象限），点B 关于y 轴的对称点为D ，与直线OD 平行的直线l 与椭圆C 相交于
M ，N 两点，直线DM ，DN 分别与y 轴交于P ，Q 两点.若四边形BPDQ 为菱形，求满足条件的B 点坐标.
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
+
=
(2)
2,1
B
【详解】（1）由题意可知
2
2
2
2
2
3
2
4
1
1
a
b
c
c
a
a
b
ì
=
+
ï
ïï
=
í
ï
ï
+
=
ïî
，
解得
2 2
a =
，
2
b =
.
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
8
2
x
y
+
= .
（2）设点
,
0,
0
B m n
m
n
>
>
关于y 轴的对称点D 的坐标为
,
m n
-
.
直线OD 的斜率为
0
0
D
OD
D
y
n
k
x
m
-
=
= -
-
.直线l 与OD 平行，设直线l 的方程为
0
n
y
x
t t
m
= -
+
¹
.
由
2
2
,
4
8
n
y
x
t
m
x
y
ì
= -
+
ïí
ï
+
=
î
得
2
2
2
2
4
8
1
4
8
0
n
nt
x
x
t
m
m
æ
ö
+
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，由
2
2
1
8
2
m
n
+
= （点B 在椭圆上），
2
2
2
2
2
2
8
4
Δ
4
1
4
8
2
4
0
nt
n
t
n
t
m
m
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
=
-
+
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且
0
t ¹
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
1
2
x
x
mnt
+
=
，
2
2
1
2
2
2
m
t
x x
-
=
，
四边形BPDQ 为菱形，所以
DPQ
DQP
Ð
= Ð
，所以
0
DM
DN
k
k
+
=
.
即
1
2
1
2
0
y
n
y
n
x
m
x
m
-
-
+
=
+
+
，化简可得
1
2
1
2
2
2
2
2
0
n
t
n
x
x
mn
mt
x x
m
-
+
-
+
-
=
.
将韦达定理代入可得
2
2
2
2
2
2
2
0
2
m
t
n
t
n mnt
mn
mt
m
-
-
-
+
-
=
，化简可得
2
1
n = ，又因为点B 在第一象限，所以
2,1
B
.
