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专题六 函数与导数
微专题5 隐零点与端点效应
一、考点透析
考点1 隐零点
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f（x）在区间I 上的零点，当所述情形都
难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可尝试这样求解：先证明函数f（x）
在区间I 上存在唯一的零点x0，再进行解答即可.因为x0不易求出，所以把零点x0叫做隐零
点（若x0容易求出，就叫做显零点）.
一般思路：①确定隐零点的范围，隐零点一般不易求出，可用零点存在定理、数形结
合等方法尽可能地缩小其范围，设出零点x0（设而不求）；②以零点x0为分界点，将函数
划分为两类性质不同的单调区间（或导函数分为大于0、小于0 两个区间）；③根据零点
所满足的关系式，整体代入求解或证明.
方向1 不含参的隐零点问题
1.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)已知函数f ( x)=ax−e
−x，g( x)= x
2+ x ln x．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)证明：g( x)> −5
16
；
(3)若g( x)≥f ( x)，求a的取值范围．
2.已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax 的图象在x＝0 处的切线方程是x＋y＋b＝0.
(1)求a，b 的值；
(2)求证：函数f(x)有唯一的极值点x0，且f (x0) ＞−3
2.
1
方向2 含参的隐零点问题
1.(2025·山东省济南市·期中)已知函数f (x)=aln x−2 x (a>0)．
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)在[2,4]上的最大值为0，求a的值；
(3)若不等式x
a
e
2 x −2f (x)≥cos[f (x)]对任意的x∈(0,+ ∞)恒成立，求a的取值范围．
2.(2025·广东省中山市·月考)设函数f ( x)=asin x + x cos x，x∈[0,π ].
(1)若a=−1，证明：当x∈[0, π
2 ]时，f ( x)≤0;
(2)若a=1，证明：f ( x)<2;
(3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈[ π
2 ,π ]时，f ( x)≤x +k，求k的取值范围．
考点2 端点效应
方向1 必要性探路
核心思想：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下,
该范围即为所求.用导数处理函数问题（如恒成立、极值点），先算区间端点的函数或导数
值，找参数满足的必要条件（比如端点处函数值非负）。再基于此范围，结合导数分析函
数单调性、最值，验证充分性，确定参数最终范围，高效破题。
1.(2025·山东省菏泽市·期中)已知函数f ( x)=a x
3−b x
2+c，其中实数a>0，b∈R，
c∈R .
(1)若b= 3
2 a时，求函数y = f ( x)的极值点;
2
(2)若a=1时，x
2≥f ( x)−2 x−c
ln x
在x∈(1,2]上恒成立，求b的取值范围．
2.(2025·广东省东莞市·模拟)已知函数f ( x)=e
x−ln( x +m)．
(1)设x =0是f ( x)的极值点，求m，并讨论f ( x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f ( x)>0．
3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知函数f ( x)= x sin x +a x
2−1．
(1)当a=1时，求f ( x)在x = π处的切线方程；
(2)当x∈[0, π
2]
时，f ( x)≥−1恒成立，求a的取值范围.
方向2 洛必达法则
洛必达法则简介：法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
3
(3)
，那么
=
。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)
及
；
(2)
，f(x) 和g(x)在
与
上可导，且g'(x)≠0；
(3)
，那么
=
。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，那么
=
。
用法提醒：需要检查是否满足
，
，
，
，
，
，
型定式，否则
滥用洛必达法则会出错。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
1.（2025·昆明“三诊一模”质量检测）已知函数f（x）＝ln x
x +1.当x≥1 时，f（x）≤a
（x－1），求a 的取值范围.
2.(2025·河北省·模拟)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个
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函数F (x),G (x)，当F (x0)=0,G(x0)=0时，lim
x→x0
F( x)
G( x)
=
lim
x→x0
F
′( x)
G
′( x)
.已知函数
f (x)= 1
6 a x
3+sin x−x，h(x)=3sin x−x cos x−2 x．
(1)证明：h(x)在区间[0,2π ]上单调递减；
(2)对于x∈[0,2π ],f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)∀n∈N
∗，证明：cos 1
e +cos 1
e
2 +⋯+cos 1
e
n >n−1
12 (附：e≈2.718,e
2≈7.389).
二、跟踪练习
1.(2025·河南省·期中)已知函数f ( x)=ax + ln x +1, g( x)=2 x
3−m x
2+n，
(1)讨论函数g( x)的单调区间；
(2)讨论函数f ( x)的零点个数；
(3)对任意的x >0,f ( x)< x e
2 x恒成立，求a的取值范围；
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2.(2025·甘肃省张掖市·期末)已知函数f ( x)= ln x +e
x−1．
(1)求f ( x)的导函数f ′( x)的极值;
(2)不等式f ( x)≥kx −1对任意x∈[1,+∞)恒成立，求k的取值范围;
(3)对任意k ∈R，直线y =kx +b与曲线y = f ( x)有且仅有一个公共点，求b的取值范围．
3.(2025·湖北省·期末)1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数f ( x)和g( x)满足下列
条件：
①lim
x→a f ( x)=0，lim
x→a g( x)=0;②在点a的去心邻域内f ( x)与g( x)可导，且g
′( x)≠0;
③lim ¿x→a
f
′( x)
g
′ (x)
=l¿，那么lim ¿x→a
f ( x)
g( x) =lim ¿x→a
f
′( x)
g
′( x)
=l.¿¿据此回答下面问题：
(1)求lim ¿x→0 sin x
x
¿的值，并用导数的定义证明：(sin x)′ =cos x
(2)已知f ( x)=
sin x
2+cos x
(ⅰ).求函数y = f ( x)的单调递减区间;
(ⅱ).若f ( x)≤ax对任意x∈[0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
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