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第1 讲 直线与圆（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................9
【考点一】直线的方程...................................................................................................................9
【考点二】圆的方程.....................................................................................................................13
【考点三】直线、圆的位置关系....................................................................................................18
【专题精练】...............................................................................................................................23
考情分析：
目录
1
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1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低
难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两
点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．（2022·全国·高考真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对
称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满足“
面积为
”的m 的一个值 ．
真题自测
2
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6．（2022·全国·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
7．（2022·全国·高考真题）若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
．
8．（2022·全国·高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
D
B
A
1．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，|AB|最小，
，此时
.
故选：C
2．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由
，则
，
3
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解得
，
所以双曲线的渐近线为
，
当渐近线为
时，圆心
到该渐近线的距离
，不合题意；
当渐近线为
时，则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
.
故选：D
3．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
4
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法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为x =0，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
5
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4．A
【分析】设
，则
，根据斜率公式结合题意可得
，再根据
，将
用
表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设
，则
则由
得：
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故
，
由椭圆第三定义得：
，
6
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故
所以椭圆
的离心率
，故选A.
5．
（
中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长
，以及点
到直线
的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
6．
【分析】首先求出点
关于
对称点
的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
7
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故答案为：
7．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线
的渐近线为
，即
，
不妨取
，圆
，即
，所以圆心为
，半径
，
依题意圆心
到渐近线
的距离
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
8．
或
或
或
．
【分析】方法一：设圆的方程为
，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
8
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（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
9
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（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立
得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
【考点一】直线的方程
核心梳理：
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－
A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)的距离d＝.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不同时为零)间的距离d＝.
一、单选题
1．（23-24 高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线
，则“
”是“
”的（ ）
考点突破
10
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（20-21 高二·全国·单元测试）如图，函数
的图象在点
处的切线是，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
二、多选题
3．（2024·浙江温州·二模）已知圆
与圆
相交于
两点．若
，则实数
的值可以是（ ）
A．10
B．2
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知点
在定圆
内，经过点
的动直线与
交于
两点，若
的最小值为4，则（ ）
A．
B．若
，则直线的倾斜角为
C．存在直线使得
D．
的最大值为12
三、填空题
5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆
相切且方向向量为
的一条直线的方程 ．
11
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6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知
，若平面内满足到直线
的距
离为1 的点
有且只有3 个，则实数
．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
D
BD
BC
1．C
【分析】当
时可得
，即
；当
时可得
，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当
时，
，
即
，则
，即
；
当
时，
，解得
.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
2．D
【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得
，由切线方程得
，从而可得结论．
【详解】由题可得函数
的图象在点
处的切线与
轴交于点
，与
轴交于点
，则切线
，即
.
所以，
，
，
.
故选：D．
3．BD
【分析】根据题意，由条件可得弦
所在的直线方程，然后将
转化为圆心到直线
的距
离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得弦
所在的直线方程为
，
12
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因为圆
，圆心
，
圆
，圆心
，
设圆心
与圆心
到直线
的距离分别为
，
因为
，即
，
所以
，又
，
即
，化简可得
，
即
，解得
或
.
故选：BD
4．BC
【分析】A 选项，根据点
在圆
的内部得到不等式，求出
，利用垂径定理得到
，
而
，从而得到方程，求出
；B 选项，在A 选项基础上得到
，结合
求出直线的
斜率和倾斜角；C 选项，假设存在，结合
满足要求，故C 正确；D 选项，由三角形面
积公式和相交弦定理得到D 错误.
【详解】A．因为点
在圆
的内部，所以
，解得
．
设点
到直线的距离为
，则
，其中为定值，
所以当
时，
最大，|AB|最小．
又圆心
，所以
，
所以
，解得
，A 错误．
13
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B．由
选项可知，当|AB|= 4时，直线
，而
，所以
，
所以直线的倾斜角为
，B 正确．
C．假设存在直线使得
，则此时点
到直线的距离为
，满足要求，
所以假设成立，C 正确．
D．由三角形面积公式得
，
因为弦
一定经过点
，设直线
与圆相交于点
，
因为
，所以
∽
，
故
，故
，
因为
，
所以
，
所以
，
当
，即
时等号成立，故D 错误．
故选：BC．
5．
或
（写出一个即可）
【分析】由条件可设直线方程为
，结合条件列方程求
即可得结论.
14
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【详解】因为切线的方向向量为
，
所以切线的斜率为
，
故可设切线方程为
，
因为直线
与圆
相切，
又圆
的圆心坐标为
，半径为，
圆心
到直线
的距离为
，
所以
，
所以
或
，
所以与圆
相切且方向向量为
的直线为
或
，
故答案为：
或
（写出一个即可）.
6．或
【分析】设出动点
的坐标，由
求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线
的距离等于1 即可.
【详解】设点
，由
可得：
，
两边平方整理得：
，即点
的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.
若该圆上有且只有3 个点到直线
的距离为1，
则圆心到直线的距离
，解得
．
故答案为：或
.
规律方法：
解决直线方程问题的三个注意点
15
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(1)利用A1B2－A2B1＝0 后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【考点二】圆的方程
核心梳理：
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
一、单选题
1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆
外切，同时与圆
内切，则动
圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东·一模）过
，
，
三点的圆与
轴交于
，
两点，则
（ ）
A．3
B．4
C．8
D．6
二、多选题
3．（22-23 高二上·广东深圳·期末）已知
是圆心为
，半径为2 的圆上一动点，
是圆
所在平面上一定
点，设
（
）．若线段
的垂直平分线与直线
交于点
，记动点
的轨迹为
，则（ ）
A．当
时，
为椭圆
B．当
时，
为双曲线
C．当
时，
为双曲线一支
D．当
且越大时，
的离心率越大
4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数
满足：
(其中为虚数单位)，则下列说法正
确的有( )
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
三、填空题
16
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5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知
，
，
，则
的外接圆的
标准方程为 ．
6．（23-24 高三上·浙江温州·期末）已知圆
与直线
交于A，B 两点，则经过点A，B，
的圆的方程为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
C
D
ABD
BC
1．C
【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，
结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】圆
可化为
，圆心
，半径为
.
圆
可化为
，圆心
，半径为.
设动圆圆心为点
，半径为，圆
与圆
外切于点
，圆
与圆
内切于点
，如图所示：
由题意得，
三点共线，
三点共线，
，
，
∴
，
17
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∴点
的轨迹为以
为焦点的椭圆，且
，
，
∴
，
∴点
的轨迹方程为
.
故选：C.
2．D
【分析】设圆的方程为
，代入坐标得
的值，即可得圆的方程，再令
，
即可求得与
轴相交弦长.
【详解】设圆的方程为
，代入点
，
，
，
则
，解得
，
可得
，整理得
符合题意，
所以圆的方程为
，
令
，可得
，解得
，所以
．
故选：D.
3．ABD
【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质可得
，结合选项，判断点B 与圆的位置关系，结
合椭圆、双曲线的定义以及其几何性质，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，点A、B 为定点，
，当
时，点B 在圆内，
由线段垂直平分线的性质知，
，
所以
，
由椭圆的定义知，点M 的轨迹为椭圆，故A 正确；
18
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B：当
时，点B 在圆外，不妨设点B 在点A 的右边，
由线段垂直平分线的性质知，
，
所以
；
同理，若点B 在点A 的左边，有
，
所以
，由双曲线的定义知，点M 的轨迹为双曲线，故B 正确；
C：由选项B 的分析，可知C 错误；
D：由选项A 知，当
时，点M 的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，且
，焦距为t，
若t 增大，则半焦距c 增大，所以离心率
随之增大；
由选项B 知，当
时，点M 的轨迹是以A、B 为焦点的双曲线，且
，焦距为t，
若t 增大，则半焦距c 增大，所以离心率
随之增大；
所以当
且越大时，E 的离心率越大，故D 正确.
故选：ABD.
4．BC
【分析】设
，
，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依
次计算可得正确答案．
【详解】设
，则
，即
，
它表示以原点为圆心，半径为1 的圆；
设
，则由
，得
，
即
，它表示一条直线；
对于选项A：
，故选项A 错误；
对于选项B：
，故选项B 正确；
对于选项C 和D：
表示圆
上点与直线
上点的连线段的长度，
19
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该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为
；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无
穷远）；
故选：BC．
5．
；
【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解.
【详解】依题意，设
的外接圆的一般方程为
，
则
，解得
，
所以所求圆的一般方程为
，
则其标准方程为
.
故答案为：
.
6．
【分析】设A(x1, y1),B(x2, y2)，直线方程与圆的方程联立求出
点坐标，设经过点A，B，
的圆的
方程为
，代入三点坐标解方程组可得答案.
【详解】设A(x1, y1),B(x2, y2)，
由
解得
，
可得
，
设经过点A，B，
的圆的方程为
，
20
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所以
，解得
，
即
，可得
.
故答案为：
.
规律方法：
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【考点三】直线、圆的位置关系
核心梳理：
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组
消去y，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
一、单选题
1．（2024·山东济南·一模）与抛物线
和圆
都相切的直线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线
上一点
作圆
的两
条切线，切点分别为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆
，圆
，则（ ）
A．两圆的圆心距
的最小值为1
21
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B．若圆
与圆
相切，则
C．若圆
与圆
恰有两条公切线，则
D．若圆
与圆
相交，则公共弦长的最大值为2
4．（2024·安徽·二模）已知双曲线
：
（
，
）左右焦点分别为
，
，
.
经过
的直线与
的左右两支分别交于
，
，且
为等边三角形，则（ ）
A．双曲线
的方程为
B．
的面积为
C．以
为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以
为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
三、填空题
5．（2024·福建漳州·一模）过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为A，
，若直线
与圆
：
相切，则
．
6．（2023·河南·模拟预测）圆
与x 轴交于A，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足
，直线
与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
A
AD
BD
1．D
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.
【详解】设直线与抛物线
相切的切点坐标为
，由
，求导得
，
22
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因此抛物线
在点
处的切线方程为
，即
，
依题意，此切线与圆
相切，于是
，解得
或
，所以所求切线条数为
3.
故选：D
2．A
【分析】由题意圆
的标准方程为
，如图
，
又
，所以
，又由圆心到直线的距离可求出
的最小值，
进而求解.
【详解】如下图所示：
由题意圆
的标准方程为
，
，
又因为
，所以
，
所以
，
又圆心
到直线
的距离为
，
23
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所以
，所以不妨设
，
则
，
又因为
在
单调递增，所以当且仅当
即
，即当且仅当直线
垂直已知直线
时，
有最大值
.
故选：A.
3．AD
【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距
，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的
性质，列式算出
的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆
的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有
最大值，从而判断出D 项的正误．
【详解】根据题意，可得圆
的圆心为
，半径
，
圆
的圆心为
，半径
．
对于A，因为两圆的圆心距
，所以A 项正确；
对于B，两圆内切时，圆心距
，即
，解得
．
两圆外切时，圆心距
，即
，解得
．
综上所述，若两圆相切，则
或
，故B 项不正确；
对于C，若圆
与圆
恰有两条公切线，则两圆相交，
，
即
，可得
，解得
且
，故C 项不正确；
对于D，若圆
与圆
相交，则当圆
的圆心
在公共弦上时，公共弦长等于
，达到最大
值，
24
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因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．
故选：AD．
4．BD
【分析】根据双曲线定义结合
为等边三角形得
，
，由余弦定理得
，进而
求出方程为
判断选项A；求出
判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D.
【详解】由已知得
，由双曲线定义知：
，
因为
，所以
，故
，
，
在
中，由余弦定理得：
，
解得：
，所以
，方程为
，A 错误.
的面积为
，B 正确.
取
的中点
，
，两圆内切，故C 错误.
取
的中点
，则
，两圆外切，故D 正确.
故选：BD
5．81
【分析】由题意可知点
在以
为直径的圆上，结合两圆相交可得直线
的方程为
，
再根据直线与圆相切列式求解.
25
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【详解】圆
：
的圆心为O(0,0)，半径
；
圆
：
的圆心为
，半径
；
由题意可知：
，可知点
在以
为直径的圆上，
以
为直径的圆为
，
整理得
，结合圆
：
，
两圆方程作差，可得直线
的方程为
，即
，
若直线
与圆
：
相切，
则
，整理得
.
故答案为：81.
6．
【分析】求出A、B 坐标，设N(x,y)，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即
可求其斜率．
【详解】对于圆
，令
，得
，解得
或
，
则
，
．
设
，∵
，∴
，
则
，整理得
，
则点N 的轨迹是圆心为
，半径为
的圆．
又圆M 的方程为
，则圆M 的圆心为
，半径为
．
26
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∵
，∴两圆相交，
设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C，D，
连接CM，DE，过M 作DE 的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM 为矩形，
∵
，
，∴
，
则
，
则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM 的斜率为
．
故答案为：
.
规律方法：
直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的
等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的
距离，再结合半径利用勾股定理计算．
一、单选题
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“
”是“直线
与直线
平
行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系
中，点
在直线
上.若向量
，则
专题精练
27
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在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线
的实轴长为2，离心率为
，
则双曲线的左焦点
到一条渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4．（2024·辽宁大连·一模）过点
和
，且圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·江西·模拟预测）若点
在圆
的外部，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·北京房山·一模）已知直线
与圆
相交于M，N 两点.则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
7．（2023·湖北·二模）已知动直线l 的方程为
，
，
，O 为坐标原
点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q，则线段PQ 长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线
与
交于
两点，设弦
的中点为
为坐标原点，则
的取值范围为（ ）
28
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高二上·湖北武汉·期末）设圆
，直线
为上的动点，
过点
作圆
的两条切线
，切点为
为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
的取值范围为
B．四边形
面积的最大值为
C．满足
的点
有两个
D．
的面积最大值为
10．（23-24 高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线
和圆
，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆
有两个交点
C．存在直线与直线
垂直
D．直线被圆
截得的最短弦长为
11．（2024·广东汕头·一模）如图，
是连接河岸
与
的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现
规划建一座新桥
，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
29
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①新桥
与河岸
垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与
相切，且圆心
在线段
上；
③古桥两端
和
到该圆上任意一点的距离均不少于
.
经测量，点
分别位于点
正北方向
正东方向
､
处，
.根据图中所给的平面直角
坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥
的长为
B．圆心
可以在点
处
C．圆心
到点
的距离至多为
D．当
长为
时，圆形保护区的面积最大
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知圆
与圆
有3 条公切线，
则
的值为 ．
13．（2024·四川·模拟预测）圆
与圆
的公共弦长为 .
14．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为
曲线
的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．
．
四、解答题
15．（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：
(1)过圆外一点
引圆的切线，求切线方程；
(2)设点P 是直线
上的一点，过点P 作圆的切线，切点是M，求
的面积最小值以及此时
点P 的坐标．
16．（22-23 高二上·云南昆明·期中）已知圆C：
和直线l：
相切．
(1)求圆C 半径；
30
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(2)若动点M 在直线
上，过点M 引圆C 的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB 的面积为S，求S 的最小值；
②证明直线AB 恒过定点．
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点
，
，点P 在以AB 为直径的圆C 上运动，
轴，垂足为D，点M 满足
，点M 的轨迹为W，过点
的直线l 交W 于点E、F.
(1)求W 的方程；
(2)若直线l 的倾斜角为
，求直线l 被圆C 截得的弦长；
(3)设直线AE，BF 的斜率分别为
，
，证明
为定值，并求出该定值.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
A
C
B
D
AC
ABC
题号
11
答案
AC
1．D
【分析】求出直线平行的充要条件为
，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】若
，则有
，所以
或
，
当
时，
，故，
重合；
当
时，
，满足条件，
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
2．C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出
为直线
的法向量，结合投
影向量的含义即可求得答案.
31
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【详解】由题意设直线
的方向向量为
，则
，
而
，则
，即
为直线
的法向量，
又O 到直线
的距离为
，
故
在
上的投影向量为
，
故选：C
3．A
【分析】根据条件列方程组求出
，然后利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由已知得
，解得
，
则双曲线的左焦点
，一条渐近线
，
故双曲线的左焦点
到一条渐近线的距离为
.
故选：A.
4．D
【分析】借助待定系数法计算即可得.
【详解】令该圆圆心为
，半径为，则该圆方程为
，
则有
，解得
，
32
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故该圆方程为
.
故选：D.
5．A
【分析】根据
表示圆得
，又利用点在圆外得
，从而可得结果.
【详解】因为
可化为
，则
，所以
．
又点
在圆
的外部，所以
，故
，
综上，
．
故选：A.
6．C
【分析】先求出圆心
和半径，以及直线的定点
，利用圆的几何特征可得到当
时，
最小
【详解】由圆的方程
，可知圆心
，半径
，
直线
过定点
，
因为
，则定点
在圆内，
则点
和圆心
连线的长度为
，
当圆心到直线
距离最大时，弦长
最小，此时
，
由圆的弦长公式可得
，
故选：C
7．B
【分析】利用万能公式将直线方程化为
，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而
得出点
的轨迹为圆心为
半径为3 的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解.
33
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【详解】由
可得
，
令
，由万能公式可得
，
，所以直线的方程为
①，
由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为
②，
可得
，即表示点
的轨迹为圆心为
半径为3 的圆，
于是线段
长度的取值范围为
，因为
，
所以线段PQ 长度的取值范围为
，
故选：B.
8．D
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，联立
直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到
，从而求出动点
的轨迹方程，
再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出
的取值范围.
【详解】
即
，则圆心为
，半径
，
直线
，令
，解得
，即直线恒过定点(1,0)，
又
，所以点(1,0)在圆内，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，由
，
34
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消去
整理得
，显然
，则
，
则
，
所以
，
，
则
，
则
，
又直线
的斜率不为
，所以
不过点(1,0)，
所以动点
的轨迹方程为
（除点(1,0)外），
圆
的圆心为
，半径
，
又
，所以
，
即
，即
的取值范围为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点
的轨迹，再求出圆心到原点的距离
，最后根据圆的几何
性质计算可得.
9．AC
【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C，根据三角形的面积公式可求解D.
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【详解】圆心
到直线
的距离
，
所以
，因为圆的半径为
，
根据切线长公式可得
，
当
时取得等号，
所以
的取值范围为
，A 正确；
因为
，
所以四边形
的面积等于
，
四边形
面积的最小值为
，故B 错误；
因为
，所以
，
在直角三角形
中，
，所以
，
设
，因为
，
整理得
，
则有
，所以满足条件的点
有两个，C 正确；
因为
所以当
，即
，面积有最大值为
，
此时四边形
为正方形，则
，满足要求，
故D 错误，
故选:AC.
10．ABC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直
关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
36
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【详解】对A，由
可得，
，
令
，即
，此时
，所以直线l 恒过定点
，A 正确；
对B，因为定点
到圆心的距离为
，
所以定点
在圆内，所以直线l 与圆O 相交，B 正确；
对C，因为直线
的斜率为
，所以直线l 的斜率为
，即
，
此时直线l 与直线
垂直，满足题意，C 正确；
对D，因为直线l 恒过定点
，圆心到直线l 的最大距离为
，
此时直线l 被圆O 截得的弦长最短为
，D 错误；
故选：ABC.
11．AC
【分析】根据给定条件，求出直线
的方程，联立求出点
的坐标判断A；设
，由题意列出不
等式组
，再结合
代换求得的范围，判断BCD.
【详解】如图，以
为
轴建立直角坐标系，则
，
，
依题意，直线
的斜率
，直线
方程为：
，
直线
的斜率
，则直线
方程为
，
由
，解得
，即
，
，A 正确；
37
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设
，即
，直线
的一般方程为
，
圆
的半径为
，显然
，由
，得
，
则
，解得
，即
长的范围是
，B 错误，C 正确；
当
，即
长为
时，圆
的半径最大，圆形保护区的面积最大，D 错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键.
12．
【分析】根据两圆外切求解可得.
【详解】由题可得，圆
，圆心为
，半径为2；
圆
，圆心为
，半径为1．
因为两圆有3 条公切线，所以两圆外切，
故圆心距
，解得
．
故答案为：
13．
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出
到直线的
的距离，则
公共弦长为
，即可得出答案.
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【详解】将两个圆的方程作差得：
，即公共弦所在的直线为
，
又知
，
，则
到直线的
的距离为：
，所以公共弦长为
，
故答案为：
.
14．①②④
【分析】①在
和
处的切线都是
，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最
高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为
，求出
，设切点分别为
，
，通过
，解
方程即可判定；④画出图形即可判断.
【详解】①
，在
和
处的切线都是
，故①有“自公切线”；
②
，其中
，
，
此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，
故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；
③
，即
，则
，
假设有“自公切线”，设切点分别为
，
，且
，
所以切线的斜率
，解得：
，
则
，故
，
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化简得：
，无解，所以③没有“自公切线”.
④
，
当
，则
，当
，则
，
表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
故答案为：①②④
15．(1)
和x =2
(2)点P 的坐标为
，面积最小值为
【分析】（1）设过点
的切线方程为
，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，
求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况．
（2）由圆的几何性质可知，当
的面积最小时，
，求出OP 的方程后即可得到点P 的坐标，
进一步可求
的最小面积．
【详解】（1）
当切线斜率存在时，设切线的方程为
，即
，
圆心
到切线的距离是2，
40
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，解得
，
切线方程为
，即
当切线斜率不存在时，易知x =2与圆也相切，
故所求切线方程为
和
（2）由圆的几何性质可知，当
时，
的面积最小值．
又因为
，
所以直线OP 的方程为
由
解得
即点P 的坐标为
此时
的面积最小值为
16．(1)
；
(2)①
；②证明见解析.
【分析】（1）求出圆
的圆心到直线的距离即得.
（2）①设
，利用圆的切线长定理，求出四边形面积的函数关系并求出最小值；②求出M、A、
C、B 四点共圆的方程，再求出两个圆公共弦所在直线方程，即可推理得解.
【详解】（1）圆心
到直线
的距离
，
所以圆C 半径
.
（2）①由（1）知，圆C 的方程为：
，圆心
，
，
由MA、MB 是
的两条切线，得
，
，设
，
则
，
41
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因此
，当且仅当
时取等号，
所以的最小值为
.
②由①知，点
，
，
，则
四点共圆且以MC 为直径，
此圆的方程为
，整理得
，
而圆C 的方程为，
，两圆方程相减得
，
因此直线
的方程为
，对任意实数，当
时，
，
所以直线
过定点
.
17．(1)
(2)
(3)证明见解析，2
【分析】（1）由已知可得圆的方程，设M (x , y)，P(x0, y0)，
，根据
，可得
，
，代入圆的方程即可求解；
（2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为
，
，
，联立直线和椭
圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解.
42
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【详解】（1）
由题意，点
在圆
上运动，设M (x , y)，P(x0, y0)，
，
由
得
，
，
又
，所以
，所以
的方程为
；
（2）直线的方程为
，即
，
圆心
到直线
的距离为
，
所以直线被圆C 截得的弦长为
；
（3）
由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为
，
，
，
联立
得
，
43
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所以
，
，
故
，
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
44
