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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题03 导数及应用（选填题）
函数导数应用是高考必考知识点
考点01 利用导数求函数单调性，极值最值
一、单选题
1．（2023 年全国新高考Ⅱ卷）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
故选：D.
3．（2020 年全国高考Ⅰ卷）函数
的图像在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得函数
的导数
，计算出
和
的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简
即可.
【详解】
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
4．（2020 年全国高考Ⅲ卷）若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
【详解】设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
（舍），
则直线的方程为
，即
.故选：D.
5．（2019 年全国高考Ⅲ卷）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得
，将点的坐标代入直线方程，求得
．
【详解】详解：
，
将
代入
得
，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
二、填空题
6．（2023·全国乙卷）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．（2022 全国乙卷）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和极大
值点．若
，则a 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程
的两个根为
，即函数
与函数
的图
象有两个不同的交点，构造函数
，利用指数函数的图象和图象变换得到
的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为
，所以方程
的两个根为
，
即方程
的两个根为
，
即函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
所以当时
，
，即
图象在
上方
当
时，
，即
图象在
下方
，图象显然不符合题意，所以
．
令
，则
，
设过原点且与函数
的图象相切的直线的切点为
，
则切线的斜率为
，故切线方程为
，
则有
，解得
，则切线的斜率为
，
因为函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
所以
，解得
，又
，所以
，
综上所述，
的取值范围为
．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0 的两个根为
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
设函数
，则
，
若
，则
在
上单调递增，此时若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，则
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递减，此时若
，则
在
上单调递增，在
上单
调递减，令
，则
，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，且
，则需满足
，
，即
故
，所以
.
8．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标
，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于
的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
9．（2021·全国甲卷）曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
故答案为：
．
10．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）函数
的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知
定义域为
，讨论
、
、
，并结合导数研究的单调性，
即可求
最小值.
【详解】由题设知：
定义域为
，
∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
故答案为：1.
三、双空题
11．（2022 年全国高考Ⅱ卷）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，当
时同理可得；
解： 因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；因为
是偶函数，图象为：
所以当
时的切线，只需找到
关于y 轴的对称直线
即可.
[方法三]：因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
.
考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小
一、单选题
1．（2022·全国甲卷）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
结合三角函数的性质可得
;构造函数
,利用导数可
得
,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故
，故
，所以
；
设
，
，所以
在
单调递增，
故
，所以
，
所以
，所以
，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当
，
取
得：
，故
，其中
，且
当
时，
，及
此时
，
故
，故
所以
，所以
，故选A
[方法三]：泰勒展开
设
，则
，
，
，计算得
，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；设
，
，所以
在
单调递增，则
,
所以
，所以
,所以
，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；因为当
，取
得
，故
，所以
．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式
放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定
的大小.
【详解】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
3．（2021·全国乙卷）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，
将0.01 换成x,分别构造函数
,
，利用导数分析其在
0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以
；
下面比较与
的大小关系.
记
，则
，
，
由于
所以当0<x<2 时，
，即
，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，即
；
令
，则
，
，
由于
，在x>0 时，
，
所以
，即函数
在[0，+∞)上单调递减，所以
，即
，即
b<c；
综上，
，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数
在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数
在（1，3)上单调递增
综上，
，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
4．（2020 年全国新高考Ⅰ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用作差法结合
的单调性即可得到答案.
【详解】设
，则
为增函数，因为
所以
，
所以
，所以
.
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D 错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中
档题.
5．（2020 年全国高考Ⅱ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真
数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到
的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．（2020 年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得
、
、
，利用作商法以及基本不等式可得出
、
的大小关系，由
，
得
，结合
可得出
，由
，得
，结合
，可得出
，综合可得出
、
、的大小关系.
【详解】由题意可知
、
、
，
，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
.
综上所述，
.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
考点03 导数综合应用
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数
若函数
恰有4
个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，结合已知，将问题转化为
与
有个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到
，所以要使
恰有4 个零点，只需方程
恰有3 个实根
即可，
令
，即
与
的图象有个不同交点.
因为
，
当
时，此时
，如图1，
与
有个不同交点，不满足题意；
当
时，如图2，此时
与
恒有个不同交点，满足题意；
当
时，如图3，当
与
相切时，联立方程得
，
令
得
，解得
（负值舍去），所以
.
综上，
的取值范围为
.
故选：D.
2．（2022·天津·统考高考真题）设
，对任意实数x，记
．若
至
少有3 个零点，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】设
，
，分析可知函数
至少有一个零点，可得出
，求出
的取值范围，然后对实数
的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数
的不等式，综合可求
得实数
的取值范围.
【详解】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
3．（2021·北京·统考高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由
可得出
，考查直线
与曲线
的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
4．（2019·江苏·高考真题）设
是定义在
上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为
2，且
是奇函数.当
时，
，
，其中
.若在区间
上，关于
的方程
有8 个不同的实数根，则
的取值范围是_____.
【答案】
.
【分析】分别考查函数
和函数
图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.
【详解】当
时，
即
又
为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为
，如图，函数
与
的图象，要使
在
上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
当
时，函数
与
的图象有
个交点；
当
时，
的图象为恒过点
的直线，只需函数
与
的图象有个交点.当
与
图象相切时，圆心
到直线
的距离为，即
，得
，函数
与
的图象有个交点；当
过点
时，函数
与
的图象有个交点，此时
，
得
.
综上可知，满足
在
上有个实根的
的取值范围为
.
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