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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题04 导数及应用（解答题）
函数导数应用是高考必考知识点 ，解答题主要是压轴题的形式出现，常考题型如图所示：
考点01 利用导数求函数单调性，求参数
一、解答题
1．（2023·全国乙卷）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
2．（2022·全国乙卷）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
3．（2021·全国甲卷）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
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4．（2021·天津·统考高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
5．（2020 年全国高考Ⅰ卷）已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
6．（2020·江苏·统考高考真题）已知关于x 的函数
与
在区间D 上恒
有
．
（1）若
，求h(x)的表达式；
（2）若
，求k 的取值范围；
（3）若
求证：
．
7．（2019 年全国高考Ⅱ卷）已知函数
.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线
的切线.
8．（2019 年全国高考Ⅲ卷）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）是否存在
，使得
在区间
的最小值为
且最大值为1？若存在，求出
的所有值；若不
存在，说明理由.
考点02 恒成立问题
一、解答题
1．（2023 全国新高考Ⅰ卷）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
3
(2)证明：当
时，
．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
3．（2021·全国乙卷）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
4．（2021·北京·统考高考真题）已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
5．（2021·天津·统考高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
7．（2020 年全国新高考Ⅰ卷）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
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8．（2019·北京·高考真题）已知函数
.
（Ⅰ）求曲线
的斜率为1 的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）设
，记
在区间
上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a 的值．
9．（2019·浙江·高考真题）已知实数
，设函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）对任意
均有
求
的取值范围.
注：
为自然对数的底数.
考点03 三角函数相关导数问题
一、解答题
1．（2023 年全国高考Ⅱ卷）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
2．（2023·全国甲卷）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
3．（2022·天津·统考高考真题）已知
，函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
4．（2020 年全国高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
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（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
5．（2019·天津·高考真题）设函数
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
.
考点04 导数类综合问题
一、解答题
1．（2023·全国乙卷）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
2．（2022·全国甲卷）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
3．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
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点的横坐标成等差数列．
4．（20122 年全国高考Ⅱ卷）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
5．（2022·天津·统考高考真题）已知
，函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
6．（2021·全国乙卷）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
7．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
.
8．（2022 年全国新高考Ⅱ卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
9．（2020 年全国高考Ⅲ卷）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求b．
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（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
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