文档文本内容
专题 02 高中全部补充函数培优归类
题型1 对勾函数型
对勾函数： 图像特征
形如 称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax“拐点”：解方程
2. （即第一象限均值不等式取等处）
1.（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数 ，若对于任意的实数 、 、
，均存在以 、 、 为三边边长的三角形，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对实数 分 、 、 三种情况讨论，求出函数 的最大值 和最小值
，由题意得出 ，由此可求出实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，当且仅当 时，等号成立，且 ，
，此时， ；
①若 时，函数 在区间 上单调递减，则 ，即
，
那么，当 时， ， ，
由题意可得 ，则有 ，解得 ，此时， ；
②当 时，且当 时， ，则 ， ， 成立，此
时 ；
③当 时，函数 在区间 上单调递增，则 ，即
，则 ， ，
由题意可得 ，则有 ，解得 ，此时 .
综上所述， .故选B.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函
数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
2.（22-23高三上·广东清远·阶段练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数 为 上的偶函数，且该函数在 上单调递增，将所求不等式变形为
，可得出关于实数 的不等式，即可得解.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以，函数 为偶函数，
当 时，
且 不恒为零，所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，则 ，可得 ，
整理可得 ，解得 .故选：D.
3.（24-25高三上·浙江·期中）已知函数 ，若 ， ， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 为偶函数，则 ，利用对数函数的性质和指数函数的性质，
可得 ， ， ，又当 时，由 ，可得 为单调递增函数，即可得到
答案.
【详解】因为函数 且定义域为R，则 ，所以 为偶函数，
因为 ，
则 ，
又 ， ， ，
， ，
则 ，所以 ，
当 时，因为 ，所以 为单调递增函数，
所以 .故选：B.
4.（2020·湖南娄底·模拟预测）已知函数 （ 且 ）是偶函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据 是偶函数求得 ，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于 ，解不等式
即可.
【详解】∵ 是偶函数∴ ，即
化简得 ∴ ， （ ， ） ,
时都能得到 ，所以 在 上是增函数
∴ （ ， ）为偶函数且在 上是增函数，
∴ ， ，即 ，即 或
解得 或 .即 .故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.
题型2 双曲函数
双曲函数（双刀函数）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
“零点”：解方程
2. （即方程等0处）
1.（2025·江西·模拟预测）已知函数 ，若 ，使 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利
用奇函数性质变成 ，结合单调性得出 .
参变分离，转化为求 的最值即可.
【详解】因为 ，所以 为奇函数，
又 ，故 在 上单调递增，
由 ，得 ，所以 ，
若 ， ，即 ，只需 ，
令 ，由对勾函数的性质可知 在 上单调递增，
故 ，故 .
故选：D.
2.（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数 ，若 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义可得 为奇函数，结合单调性可得 ，然后结合基本不等式即可
得到结果.
【详解】因为 的定义域为 ，
且 ，即函数 为奇函数，
又因为 在 上单调递增，
则 在 上也单调递增，
因为 ，即 ，
则 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 ，取等号.
所以 的最小值为 .
故选：D.3.（24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以函数 为偶函数；
设 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即
所以函数 在 上单调递增.
由函数 为偶函数，所以函数 的图象关于 轴对称，在 上单调递减.
所以 且 .
故选：D
4.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，则关于t的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，判断出 利用奇偶性、导数判断出 的单调性，由
得 ，再利用奇偶性、单调性解不等式可得答案.
【详解】 ，令 ， ，所
以 为奇函数，
因为 ，所以 为单调递增函数，
由 得 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
题型3 复合分式型“反比例”函数反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再
用穿线法求解
形如： 。对称中为P ，其中
。
1.（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到 ，解出即可.
【详解】由 可得 且 ，则 为偶函数，
，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，则 恒成立，
则 在 单调递减，在 单调递增，
，解得 或 .
故选：D.
2．（23-24高三江苏南通·阶段练习）已知函数 ， ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，从而有 在 上单调递增，再结合单调性可求解．
【详解】解： ，在 在 上单调递增， ，或 ，解可得， 或 ，即 ，故选A．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．
3．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数图像，由图像判断函数的单调性，进而解出答案.
【详解】函数图像如图所示，
则不等式等价于
或 ∴ .故选：A.
4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数 ，若对任意的
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.
【详解】对任意的 ， ，
因为 ，令 ， ，
因为 ，当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，即 ，解得： ，
故选：D.题型4 绝对值型函数
绝对值函数：
1.（2019·天津和平·一模）已知函数 ， 若关于 的方程 恰有
三个不相等的实数解，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 是 的图象沿着 上下平移得到，分析函数 与 的图象，
利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
【详解】
设 ，则 是 的图象沿着 上下平移得到，当x=1时， （1） （1）
，
所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1时，g(1)=0,
当x=2时， （2） ，所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），
当x=2时， （2） ，所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,
要使方程 恰有三个不相等的实数解，则等价为 与 的图象有三个不同的交点，
则满足 ，即 得 ，即 ，即实数 的取值范围是 ，
，故选 ．
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平和分析推理能力.
2.（24-25高二下·河北·期末）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】设 ，分 ， ， 三种情况去掉绝对值符号得到 的解析式
及值域，即可得解.
【详解】设 ， .
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以当 时， 的最小值为3，
故选：C
3.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
函数 的值域不可能为 ；
当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递增，，
若函数 的值域为 ，则 ，解得 ；
综上所述，实数a的取值范围是 .故选：B.
4.（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数 ，若关于 的不等式 的解集中有
且仅有 个整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式 化为 ，令 ，即 .然后分
和 两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算 取 时的函数值，画出函数的部
分图象，数形结合即可得解.
【详解】因为函数 ，所以关于 的不等式
可化为 ，即 ，令 ，即 .
当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ；当 时， ，在 上单调递减，且 . 如图所示，结合函数图象及 取
时的函数值可知，要使 的解集中有且仅有 个整数，这两个整数解只能是 和 ，
所以实数 的取值范围为 ，即 .故选：C
题型5 取整函数（高斯函数）
取整函数（高斯函数）
表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（22-23高三·江苏徐州·阶段练习）符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ，定义函
数 ，那么下列说法正确的个数是（ ）
函数 的定义域为 R ，值域为 1, 0
②方程 有无数多个解
③对任意的 ，都有 成立
④函数 是单调减函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据取整函数的定义，可得函数 的最小正周期为1，在区间 上是减函数，且函数的值域为 .由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案.
【详解】对于①，根据 的定义，得x为整数时， ，从而 ，此时 得最大值；
当x的小数部分不为0时, ，故 .综上所述，得 的定义域为R，值域
为 ，故①正确.
对于②，当 时， ，从而 ，因此方程 有无数多个解，故
②正确.
对于③，因为一个数增加1个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，因此 ，从而
得到 ，所以对任意的 ，都有 成立，故③正确.
对于④，函数 在区间 上是减函数，但是由于函数 是分段函数，图象不连续，
所以 不是R上的减函数，故④不正确.
故选：C
【点睛】本题以取整函数为例，要我们判断关于函数 性质的几个命题的真假，着重考查了函
数的单调性、周期性以及函数的定义域、值域等知识，属于中档题.
2.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知 表示不超过实数 的最大整数( )，如： ，
， ．定义 ，给出如下命题：
①使 成立的 的取值范围是 ；
②函数 的定义域为 ，值域为 ；
③ ．
其中正确的命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】利用所给取整函数的定义逐个判断. ①讨论x的范围，判断何时 ；
②考虑x为整数或介与两个整数之间求函数 的值域；③对等式左边利用二项式定理及[x]的定义化简求
和.
【详解】①由 ， ，所以 ；x<2或 时 .
②当x为整数时 ，当 时，[x]=n，
所以 的值域为[0,1).③因为 =
所以n为偶数时 =
n为奇数时 =
所以 = =1010
综上，只有命题①正确，故选B.
【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题.
3.（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如
下：对任意的 ，函数 称为狄利克雷函数；记 为不超过 的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D． 的值域为
【答案】C
【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.
【详解】由高斯函数的定义知， 都是整数，即都是有理数，所以 ，A正确；
若 为有理数，则 也是有理数， ；若 为无理数，则 也是无理数，
，B正确；
取 ，则 ，C错误；
的值域是 ，所以 的值域为 ，D正确．
故选：C
4.（2024高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函
数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ，已
知函数 ，设 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C，由函数新定义
及分式型函数、指数函数性质求 的值域判断D．
【详解】由 且 ，则 是奇函数，A对；
由 ，根据指数函数、复合函数单调性易知： 在 上是增函数，C对；
由 ， ，显然 ，B错；
当 时， ，则 ，此时 ；
当 时， ，则 ，此时 ；
所以 的值域是 ，D对．
故选：B
题型6 一元三次型函数
一元三次函数：所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称
中心，
设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”．
1.（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数 是 上的增函数．当实数
取最大值时，若
存在点 ，使得过点 的直线与曲线 围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点
的坐标为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析： ，由题意 时， 恒成立，所以 ，
而当 时， ，所以 ，即 的最大值为2．此时 ，由于
函数 是奇函数，关于点 对称，所以函数 的图象关于点 对称，
所以点 的坐标为 ．
2.（21-22高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数 是 上的增函数．
当实数 取最大值时，若存在点 ，使得过点 的直线与曲线 围成两个封闭图形，且这两个封
闭图形的面积总相等,则点 的坐标为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由 ， 是 上的增函数，
在 上恒成立，即 在 上恒成立．设 ，即不等式
在 上恒成立，设 ， 所以函数
上单调递增，因此 又 ，故
， 的最大值为2，故得 ，将函数 的图像
向上平移2个长度单位，所得图像相应的函数解析式为 ，由
于 ， 为奇函数，故 的图像关于坐标原点成中心对称．由此即可函数 的
图像关于点 成中心对称．这表明存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 的图像围
成两个封闭图形，则封闭图形的面积总相等；故选C．
考点：定积分在球面积中的应用
3.（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数 ，现给出定义：设 是
函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数 ，则函数的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，即可根据拐点定义求解.
【详解】由 ，得 ，进而 ，
令 ，故 ，
所以 ，故对称中心为
故选：B
4.（20-21高二下·北京西城·期中）对于三次函数 ，给出定义：设
是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”
就是对称中心，设函数 ，则以下说法正确的是（ ）
①函数 对称中心
② 的值是
③)函数 对称中心
④ 的值是
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】根据题意求出函数 对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可．
【详解】 ,
令 ，解得 ， ，
由题意可知：函数 的对称中心为 ；
因为函数 的对称中心为 ，
所以有 ，
设 ，
所以有 ，
得， ，
即 的值是99.
故选：C题型7 指数绝对值函数
指数函数核心特征是“一点一线”。
1. 一点，即一定点。
2. 一线，即一条渐近线（x轴）
3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。
4. 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。
1.（24-25高三·江西·阶段练习）若函数 有两个不同的零点，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将题目转化为 与 的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围.
【详解】函数 有两个不同的零点，
即 与 的图象有两个交点，
令 ，作出 与 的大致图象如图所示，
由图可知 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：B.
2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数 方程 有四个不同的实数根，从
小到大依次为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程 有四个不同的实数根，转化为函数 ， 有四个不同的交点，利用
数形结合得到 的范围，再根据 为方程 的两根， 为方程 的两根，利用韦达定
理建立 的函数，再利用函数的单调性求解．
【详解】 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时取得最小值1，
当 时函数值为 ，当 趋近于 时，函数值趋于正无穷；
在 上单调递减，在 上单调递增，当 时取得最小值1，
当 趋近于0时趋近于 ，当 趋近于 时趋近于 ，如图所示：由方程 有四个不同的实数根，得函数 的图象与直线 有四个不同的交点，
由图知： ，
设 为方程 的两根，即 的两根，即 的两根，
则 ，设 为方程 的两根，即 的两根，
则 ，因此 ，
由 ，得 ，即 ，则 ，
所以 ．故选：A
3.（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的方程
有3个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，作出函数函数 的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一
元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】由题意，作出函数 的大致图象，如图．
令 ，由图可知，当 时，关于 的方程 有2个不同的实数根；
当 时，关于 的方程 无实数根；
当 或 时，关于 的方程 只有1个实数根．
因为关于 的方程 有3个不同实数根，
所以关于 的方程 的一个根在 内，
另一个根在 内，或一个根为0，另一个根在 内．
当 为方程 的根时， ，且方程的另一根为 ．
当 时，方程的另一个根为 ，不符合题意；
当 时，方程的另一个根为 ，不符合题意．
当 为方程 的根时，有 ，则 或 ．
当 时，方程的另一个根为 ，不符合题意；
当 时，方程的另一个根为 ，不符合题意．
所以关于 的方程 的一个根在 内，另一个根在 内．令 ，则 即 解得 ．综上所述，实数 的取值范围是 ．故选：B.
4.（24-25高三·江西·阶段练习）已知函数 ，则函数 的零点个
数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】令 ，由 可得 ， ， ，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数 的零点个数，即求方程 的不同实数根的个数，
如图，作出函数 的大致图象，
令 ，则 ，解得 ， ， ．
当 时， ，则 ，此时方程无解；
当 时， ，则 ，此时方程有3个不同实数根；
当 时， ，则 ，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数 的零点个数为5．
故选：A．
题型8 对数型绝对值函数
对数绝对值型函数
对于 ， 若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”1.（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数 ，若方程 有四个不同的
实根 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出 的图象，确定 的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得 和
，进而利用二次函数的性质求出范围.
【详解】作出函数 的图象，且 ，
方程 有四个不同的实根 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，由 ，得 ，
， ，
函数 在 上单调递增，当 时， ，
则 的取值范围为 ，所以 的取值范围为 .
故选：C
2.（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知实数 ， 是函数 的两个零点，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据题意 的零点，即函数 与函数 的交点，作图可初步判断
，根据函数值可进一步判断 ，得到 ，再对通过判断
的符号，得到 即可.
【详解】根据题意 的零点，即函数 与函数 的交点如图，
由图可得 ，
，
， ， ，
，综上， .故选：B.
3.（24-25高三上海·阶段练习）已知 存在实数 满足 ，则 的
取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，画出函数图象，数形结合求出 的取值范围，即可得解.
【详解】因为 ，
所以当 时 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 ，所以 在 上单调递增，所以 的图象如下所示，
又 ， ， ，∵存在 ，满足 ，
函数图象可知， ， ，所以 ，∴ ，即 ， ， 的取值范围是 .故选：B．
4.（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 ，若关于 的方程 （ ）有
四个不同的根，它们从小到大依次记为 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知 与 的图象有4个交点，结合函数 的图象，可得 ，
， ，代入运算求解即可.
【详解】作出函数 的图象， 关于 的方程 有四个不同的解，
可知 与 的图象有4个交点，结合图象可得 ，且 ，即
，
又因为 ，即 ，可得 ，所以 ，即 ，
则 ，
因为 在 内单调递增，且 ， ，
可知 ，即 ，可得 ，
所以的取值范围是 .故选：C.
题型9 对数无理型对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
1.（2025·河北·模拟预测）若 （其中 ）是偶函数，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意知： ，
则 ，
化简为 ，则 ，解得 ．
故选：A．
2.（2025·河北·模拟预测）函数 与函数 的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】分析函数 的性质，再按 分段并结合导数及零点存在性定理推理判
断.
【详解】令函数 ， ，则 定义域为 ，
， 是奇函数，当 时， ；
由 为奇函数可得当 时， ，
而函数 是偶函数，且当 时， ，
则函数 与 的图象在 时无交点；
当 时，令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增，又 ，
，因此 在 上只有一个零点，
所以函数 与 的图象交点只有一个.
故选：B
3.（2025·陕西咸阳·二模）已知 是定义在 上的函数，且 为奇函数，若函数
的图象与函数 的图象有 个交点 ，…， ，且
，则 的值为（ ）
A．1010 B．1012 C．1014 D．1016
【答案】B
【分析】由 为奇函数，得到 ，求得 的图象关于点 对称，再由
，根据 奇偶性，得到 为奇函数，
且 的关于 对称，求得 的值，得到答案.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
所以 的图象关于点 对称，
函数 ，
对于函数 ，
可得 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，
所以 的图象关于 对称，
所以 为偶数，这些根成对出现，每对和为 ，
所以设 ，则 ，所以 ，解得 .故选：B.
4.（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，由 是奇函数且是增函数，
将原不等式 通过 转化为不等式 计算求解．
【详解】令 ，则
，
可得 ， ，所以 ， ．
因为
，所以 为奇函数．
当 时， 为增函数，且 为连续函数，
则 在 上单调递增，所以原不等式等价于 ，
即 ，即 ，解得 ．
故选：D．
题型10 对数反比例型实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1.（23-24高三·云南昭通·阶段练习）函数 为奇函数， 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】求出函数 的定义域，结合奇函数的性质求出 的值，再利用定义判断得解.
【详解】函数 有意义，则 ，即 ，
由 是奇函数，得 ，解得 ，此时 的定义域为 ，
函数 ， ，因此 是奇函数，
所以 的值为4.故选：C
2.（24-25高三·湖南长沙·开学考试）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断 的定义域和单调性，再应用对数运算、基本不等
式判断 的大小，进而判断函数值的大小.
【详解】因为 ，所以定义域为 ，且 ，
易知 为减函数， 为增函数，所以 为减函数.，
又 ，所以 ，则 .故选：A
3.（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知 R， ，函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 在其定义域上单调递减
B．当 时，函数 在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数 的图像是轴对称图形
D．当 时，函数 的图像恒为中心对称图形
【答案】D
【分析】求 的导数即可判断AB，计算 即可判断C，计算 是否为定
值即可判断D.
【详解】由已知 ，
的定义域为 ，
当 时， 的定义域为 ， ，函数 在 上单调递增，
当 时， 的定义域为 ， ，函数 在 上单调递减，故B错误；
当 时， 的定义域为 ， ，函数 在 上单调递减，
故A错误；
若
，故不存在 ，故C错误；
，
当 ，即 时， 为定值 ，则 关于 对称.
故选：
4.（2025高三·全国·专题练习）若函数 的图象关于坐标原点对称，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数 为奇函数，得到 ，列出方程，求得 的
值，即可求解.
【详解】因为函数 为偶函数且函数 为奇函数，
所以 为奇函数，即 ，
可得 ，则 ，
整理得 ，所以 且 ，解得 .
故选：A.
题型11 指数反比例型
1.（24-25高二下·河南周口·期末）已知 是奇函数，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】利用奇函数的定义列式求解.
【详解】函数 的定义域为 ，由 为奇函数，得 ，
即 ，则 .
故选：B
2.（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数 ，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令
，利用奇函数的定义计算可判断B，令 ，利用奇函数的定义计算可判
断D.
【详解】因为 ，
对于A， ，定义域不关于原点对称，
所以 不是奇函数，故A错误；
对于B，所以 ，则 ，
令 ，定义域关于原点对称，
，所以B正确；
对于C， ，定义域不关于原点对称，
所以 不是奇函数，故C错误；
对于D，所以 ，则 ，
令 ，定义域关于原点对称，
，
所以 不是奇函数，所以D不正确；
故选：B.
3.（2025·四川成都·模拟预测）已知函数 ，数列 满足 ， ，
， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A【分析】结合数列的周期性，求出 ，即可求解，函数解析式已知，代入列方程即可得解.
【详解】由已知， ，则 ，
即 ，整理可得 ，
即 ，解方程得 ，所以 ，
， .
故选：A.
4.（2025·辽宁·模拟预测）已知 是 上的奇函数，当 时， ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求得当 时， ，不等式 可得 ，
根据函数奇偶性、单调性及 列式求解即可.
【详解】因为 是 上的奇函数，
所以 ，解得 ．
易知当 时，
因为 在区间 内单调递增，所以函数 在区间 内单调递减，
又 为奇函数，所以 在 上单调递减．因为 ， ，
所以不等式 可化为 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，则 ，
由函数的单调性可知 ，解得 或 ．
故选：A．
题型12 对数反比例：绝对值型
对数反比例绝对值型函数 ，有以下几点性质（可以参考下图特殊函数）1. 定义域是断点型：
2. 图像一上一下，一左一右，具体有两个判断：
（1）、两个断点处；（2）、断点处左右两边极限处带特殊值，判断函数值正负。
1.（24-25高三上·山东日照·期末）若 是奇函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据定义域先求出 ，再根据奇函数的性质求出 ，从而可求 .
【详解】 ，则自变量 满足 ，则 ，
故函数定义域中不能有 ，故 即 ，此时 ，
而 ，故 ，故 ，故 .故选：D
2.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数 为奇函数，且 在区
间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可求出 ，对 求导，根据极值的定义求出 的
极小值，要使 在区间 上有最小值，即 的极小值在 ，解不等式即可.
【详解】因为 为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
易知 ，所以 ，即有 ，得到 ，所以
，
函数 定义域为 ,得到 ，所以 ，
故 ，有 ，此时，函数
为奇函数，即 ， 满足题意，所以 ，定义域为
，
当 时， ，函数 ， 在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， ，由 ，得
到
当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单
调递增，
所以 是函数 的极小值点，当 时， ，结合奇函数的性质，可得函数的大致图象
如图，
又 在区间 上有最小值，所以 ，解得
，
故选：D.
3.（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 且 ，则 .
4.（2025·河南·模拟预测）已知函数 恰有一个零点，则实数 （ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得 ，求出 后再检验即可得解.
【详解】由 得 ，而 ，
故 为偶函数.由对称性， ，从而
当 时，
当 时， ，即 无零点，
由对称性， 时， 也无零点，从而 仅有一解 ，即 满足题意.
故选：A
题型13 对数复合指数反比例
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1.（2025·黑龙江·一模）已知函数 是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一
单调区间内，比较大小即可.
【详解】因为函数 是偶函数，
且 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，得到 ，其定义域关于原点对称，此时 ，
，
故 是偶函数，符合题意，
而 ，
令 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，且 ，得到 ，
而由偶函数性质得 ，
而 ，则 ，
得到 成立，故A正确.
故选：A
2.（24-25高三·安徽阜阳·阶段练习）若函数 是 上的偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用偶函数的定义建立方程，求解参数，再代回检验即可.
【详解】由题意得 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 是 上的偶函数，所以 ，
而 ， ，
则 ，解得 ，
此时 ， ，
，
符合题意，故A正确.
故选：A
3.（2025·福建厦门·一模）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意， ，其图象关于直线 对称，
则 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，此时 ，满足题意；
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
故选：B．4.（2025·山西临汾·三模）已知 ，则满足 的实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函
数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由 ，易知其定义域为 ，
由
，则函数 为偶函数，
，
由 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，则 ，即 ，
整理可得 ，化简可得 ，解得 .故选：A
结束
