文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
微专题10 导数解答题之零点问题
【秒杀总结】
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，
求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与
轴（或直线
）在某区间上
的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）根据条件则
当
时，
在定义域
内恒成立，因此
在
递减；
当
时，由
，解得
；
，解得
因此：当
时，
的单调减区间为
，无增区间；
时，
的单调减区间为
，增区间为
；
注：区间端点
处可以是闭的
（2）若
有两个零点，有（1）可知
且
则必有
即
，解得
又因
，
即
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
恒成立，即
在
单调递减，
可得
，
也即得
在
恒成立，
从而可得
在
，
区间上各有一个零点，
综上所述，若
有两个零点实数a 的范围为
例2．（2024·湖南·二模）已函数
，其图象的对称中心为
.
(1)求
的值；
(2)判断函数
的零点个数.
【解析】（1）因为函数
的图象关于点
中心对称，故
为奇函数，
从而有
，即
，
，
，
所以
，解得
，
所以
；
（2）由（1）可知，
，
，
，
①当
时，
，
，所以
在
上单调递增，
，
，
函数
有且仅有一个零点；
②当
时，
，
，
有两个正根，不妨设
，则
，
函数
在
单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
函数
有且仅有一个零点；
③当
时，
，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，解得
或
，
有两个零点；
④当
时，
，
，
有一个正根和一个负根，不妨设
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
函数
有且仅有三个零点；
综上，当
时，函数
有三个零点；
当
时，函数
有两个零点；
当
时，函数
有一个零点.
例3．（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知函数
．
(1)若
，当
时，证明：
．
(2)若
，证明：
恰有一个零点．
【解析】（1）证明：因为
，所以
，
．
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以当
时，
．
（2）
．
令
，则
．
令
，则
．
当
时，
，
在
上单调递减，当
时，
，
在
上单调递
增，
所以
，所以
，
则
在
上单调递增．
因为
，所以
恰有一个零点，则
恰有一个零点．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
的图象在点
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
，
，
根据导数的几何意义可知，
的图象在点
处的切线方程为
；
（2）
，
令
，即
，
整理为：
，
设
，
即
，则
，
化简为
，
，
设
，
，令
，得
，
，
当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值，
，
若函数
有2 个零点，即函数
有2 个零点，
所以
，得
，
，则
，则在区间
有1 个零点，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
设
，
,
，设
，
，所以
在
上单调递增，
，则
在
上单调递增，
，即
，则
，
根据函数大单调性可知，在区间
有1 个零点，
所以函数
有2 个零点，则的取值范围是
.
例5．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)判断
的单调性；
(2)当
时，求函数
的零点个数.
【解析】（1）函数
的定义域为
.
令
，则
.
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，
所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，在
上单调递减.
（2）
且
的零点等价于
且
的零点.
,令
，
易知
，因为
，
所以存在
，使得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
上单调递增.
当
时，
，当
时，
，
所以
在
，
上不存在零点.
取
，则
，
所以
在
上存在一个零点，设为
.
又
，所以
，因为
，所以
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
在
上存在一个零点
.
综上所述，当
时，函数
的零点个数为2.
例6．（2024·广东·模拟预测）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个零点
，证明：
存在三个零点
，且
(3)在（2）的条件下，证明：
．
【解析】（1）
，如果
则
，所以
在R 上递减；
如果
，则
的符号以
为分界线，左边负右边正，
所以
在
递减，在
递增；
（2）由于
有两个零点
，
故
，而且
，也就是
，
所以
，
如果
或
，
那么
，
所以
有零点
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
同时，由于
且
，所以
，
而
，令
，
则
，令
，
则
，
这表明
递增，
同时由于
，
所以在
上有一实数u，满足
，
且
时，
，
时，
.
所以
在
递减，在
递增.
假设
，就意味着
在
和
上均递增，
所以
，矛盾.
所以
，
从而
在
和
上各有一零点
，
且在
和
上大于0，在
上小于0.
那么由于
，
我们知道
，
所以
上一定还有
的零点
.
综上所述，
存在三个零点
，且
；
（3）设
，
，
则有：
，
但
，
要证
，只需要证明：
，
首先，容易说明当
时，
，
实际上
，这也就是说此时
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
而
意味着
，
上一问已证
，同时由于
是
的零点（可导函数取极值的必要条件），
所以
，
在这里对某个函数
，我们定义函数列：
，
换言之
是
进行次求导后得到的函数，
从而令
，
，
则
，
所以
时，
，
所以
时，
，
所以
时，
，
即
，
所以
，
又因为
，
所以
，从而
，
也就是
，
由于
，
而
在
上小于0，在
上大于0，
故
，
又由于
，
，
而
在
上递减，在
上递增，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
，
综上，
，从而
.
证.
例7．（2024·江苏·模拟预测）已知函数
，其中
，为自然对数的底数．
(1)函数
，求
的最小值
；
(2)若
为函数
的两个零点，证明：
．
【解析】（1）由
可得
，
则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
的最小值为
，故
.
（2）由于
为函数
的两个零点，所以
也是
的两个零点，
故
，故
，
，
,
令
，
令
，则
，
当
时,
,故
单调递增，
故
，则
，
所以由零点存在定理可知，
，
设
，
则当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，故当
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
故
，
故
，
所以由零点存在定理可知，
，
所以
.
例8．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数
.
(1)若
，讨论
的零点个数；
(2)若
是函数
（
为
的导函数）的两个不同的零点，且
，求证：
.
【解析】（1）由题意知
的定义域为
，
令
，则
，令
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
当
或
时，直线
与函数
的图象无交点，即
无零点；
当
或
时，直线
与函数
的图象有1 个交点，即
有1 个零点；
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，直线
与函数
的图象有2 个交点，即
有2 个零点；
（2）由题意知
，
由于
是函数
的两个不同的零点，
即
是
的两个不同的正实数根，
故
，则
，
要证
，即
，
由于在
上有
，
故
在
上满足
，
所以
在
上单调递减，而
，故
，
故即证
，
即证
，
而
，
令
，则
，设
，
则
时，
，
故
在
上单调递增，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
，即
成立，
故原不等式得证.
【过关测试】
1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
.
【解析】（1）
的定义域为
，
则
，
构造
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
故
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，则
，
故要使
，即需
，即
，故
；
（2）证明：由（1）可知
的两个零点一个小于1，另一个大于1，不妨设
，
因为
，构造函数
，则
，
故
在
单调递增，则由
，
则由
可知
，即
，
即
，即
，
要证
，即证
，即证
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
构造函数
，
，
则
，
故
在区间
内单调递减，则
，即
，
特别地，取
，则有
，即
，故
.
2．（2024·青海·一模）已知函数
．
(1)若
，求的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，证明：
．
【解析】（1）由题意可知
的定义域为
，且
，
对于
，有
在
上恒成立，即
递减，
所以
，即
在
上恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
时单调递减，
所以当
时，函数
有最大值，
，所以
，
即
，所以的取值范围为
；
（2）不妨设
，由（1）知
，即
，令
，
构造
，且
，
所以
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，则
，
当
时，
，
递减，故
，
所以
时
，
单调递减，故
，
即在
上
，所以
，
又
，所以
，即
，
由（1）知
在
上单调递减，所以
，故
得证.
3．（2024·河北·一模）已知函数
．
(1)若函数
有3 个不同的零点，求a 的取值范围；
(2)已知
为函数
的导函数，
在
上有极小值0，对于某点
，
在P 点的切
线方程为
，若对于
，都有
，则称P 为好点．
①求a 的值；
②求所有的好点．
【解析】（1）
当
，
单调递增，
且
，当
时，
，因此
在区间
上存在唯一零点，
当
时，只要
存在两个根即可，即
存在两个根，
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
由
，当
时，
，当
时，
，
所以当
时，在区间
有2 个零点，
因此得到取值范围是
；
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）①
，
，
令
，则
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，得
，
②设
为好点，对于任意
，都有
，
当
时，
成立，
当
时，即为当
时，
，
当
时，
成立，
因为
在
点的切线方程为
，
所以
，
设
，即
，
，
又因为
在
上单调递减，
上单调递增，故分情况讨论，
（1）当
时，因为
为好点，所以
恒成立，
若
，
在
上单调递增，
，
，
所以
在
时单调递增，
，满足条件，故
时成立；
若
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，
，
所以
在
时单调递减，
，矛盾，不满足条件；
（2）当
时，因为
为好点，所以
恒成立，
若
，
在
上单调递减，
，
，
所以
在
时单调递增，
，满足条件，故
时成立；
若
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
在
时单调递减，
，矛盾，不满足条件；
综上可知，由（1）（2）可得，
且
，即
，所以只有一个好点
.
4．（2024·全国·一模）已知
(1)若
，求实数的取值范围；
(2)设
是
的两个零点（
），求证：①
；②
.
【解析】（1）
，设
，
则
，所以
单调递增，注意到
，
所以当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
所以
，
若
，则
，解得
，
所以实数的取值范围为
；
（2）①由题意不妨设
，则由（1）可知
，且
，
所以
，
设
，
，
所以函数
单调递增，所以
，
所以
，即
，
又函数
在
上面单调递减，所以
，所以
；
②注意到
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，要证
，
只需
，即只需
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，所以
，
所以要证
，只需
，即
，
不妨设
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递增，
因为
，所以
，即
，
又因为
，所以
，
综上所述，命题
得证.
5．（2024·北京门头沟·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的极值；
(3)当
时，判断
零点个数，并说明理由．
【解析】（1）当
时
，则
，
，
所以
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
，且
，
令
，则
，
因为
，所以
恒成立，所以
在
上单调递减，
即
在
上单调递减，
又
，
所以当
时
，当
时
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
，无极小值.
（3）令
，即
，
因为
，所以
，
令
，
所以判断
的零点个数，即判断
的零点个数，
又
，
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
令
，
，
则
，因为
，所以
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以当
时
有一个零点，即
有一个零点，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时
无零点，即
无零点，
综上可得当
时
有一个零点，当
时
无零点.
6．（2024·山东潍坊·一模）已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
（
，
）；
(3)若函数
有三个不同的零点，求
的取值范围．
【解析】（1）
函数
定义域为
，求导得
，
设
，则
，
①当
时，
恒成立，且至多一点处为0，函数
在
上递减；
②当
时，
有两个零点
，
则当
或
时，
，即
；当
时，
，即
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
的递减区间为
；
当
时，
的递减区间为
，递增区间为
.
（2）由（1）知，当
时，
时，
，
则
，令
，
于是
，
，
所以
.
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）函数
，
由于
与
同号，则
只有一个零点
，
令
，由
，则
有三个不同的零点等价于函数
有三个不同的零点，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减，不合题意；
当
时，由（1）知，
的两极值点
满足
，所以
，得
，
由
， 则
，由（2）知，当
时，
，
则
，即
，
因此
，
由零点存在性定理知，
在区间
上有唯一的一个零点
，
显然
，
而
，则
，于是当
时，
存在三个不同的零点
，
所以
的取值范围是
.
7．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数
，且
的极值点为
.
(1)求
；
(2)证明：
；
(3)若函数
有两个不同的零点
，证明：
.
【解析】（1）由
，
则
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
为
的极大值点，即
.
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由（1）知，
，
要证
，只需证
，即
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
，即
，所以
.
（3）因为
是
的两个不同的零点，
所以
，
两式相减并整理，得
.
设
，由（2）知
，
所以要证
，只需证
，即证
.
设
，下面只需证
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，从而
，
所以
成立，从而
.
8．（2024·山西·一模）已知
，且
，函数
.
(1)记
为数列
的前项和.证明：当
时，
；
(2)若
，证明：
；
(3)若
有3 个零点，求实数的取值范围.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】（1）由题意可知
时，
，
所以
；
（2）易知
时，
，
令
，
显然
时，
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
时，
时，
，
故
；
（3）①若
，易知
定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；
②若
时，则
时，
，
时，
，
由（2）可知：
时，
，
时，
，
且
，则函数
只有一个零点，不符题意；
③由（2）知，
时，
在
上单调递增，也不符题意；
④若
，
，
令
，
显然
时，
时，
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
注意到
，
，
所以
使得
，
即
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
，
，
，
所以在区间
各存在一个零点，及
也是一个零点，符合题意；
综上
.
9．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数
(1)若
和
的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求值；
(2)求证：当
时，
的图象恒在
的图象的上方；
(3)令
，若
有2 个零点
，试证明
【解析】（1）
，设公共点为
，
因为在公共点处有相同的切线，则
，
故
，解得
，故
.
（2）设
，
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
.
因为
，故
，所以
，故
，
所以
即
，
故当
时，
的图象恒在
的图象的上方.
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）因为
有2 个零点
，故
，
所以
即
，同理
，
不妨设
，
又
，故
，
要证：
，即证：
，
即证：
，即证：
.
设
，则
，
故
在
上为增函数，故
即
，
而
，故
成立，
故
成立.
10．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
是函数
的两个零点
．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）
是
的导函数．证明：
．
【解析】（1）
．
①当
时，
在
上单调递增．
②当
时，令
得
，即
在
上单调递增；
同理，令
得
，即
在
上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知当
时，
在
上单调递增，不可能有两个零点．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
若使
有两个零点，则
，即
，解得
，
且
，当
时，
，则有
，
所以的取值范围为
．
（ⅱ）
是函数
的两个零点，则有
①，
②，
①-②得
，即
，
，
因为
有两个零点，所以
不单调，
因为
，得
，
所以
．
若要证明
成立，
只需证
，
即证
，令
，则
，
则不等式只需证
，
即证
，
令
，
，令
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，因为
，得
在
上单调递减，
得
，得
，即
在
上单调递减，
得
，得
，即
在
上单调递减，
所以有
，
故有
，不等式得证．
11．（2024·北京丰台·一模）已知函数
，曲线
在点
处的切线
为
，记
．
(1)当
时，求切线的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明
；
(3)当
时，直接写出函数
的零点个数．（结论不要求证明）
【解析】（1）当
时，
，
而
，所以
，
从而切线方程为
，也就是
.
（2）由题意
，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，
，
所以
，即
，
所以当
时，
单调递减，
，
当
时，
，
，
所以
，即
，
所以当
时，
单调递增，
，
综上，
恒成立，也就是
恒成立，
所以
在
上单调递增，
又因为
，故函数
有唯一零点
，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
且当
时，
，当
时，
；
因此当
时，
，当
时，
，
故
；
（3）对个实数
，定义
和
分别为
中最大的一个和最
小的一个.
现在，
，故
，
令
，再对
求导一次得到
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
故函数
在
上递减，在
上递增.
由于曲线
在
处的切线斜率为
，
故该切线的方程为
，从而
.
现在我们有
，故
.
首先我们有
，
，故
.
已证函数
在
上递减，在
上递增，下面我们分情况讨论：
当
时：
由于
，
故
，
同时由
在
上递增，知
，而
，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
在
上必存在一个零点，记该零点为，
则有
，且
，从而
.
由于函数
在
上递减，在
上递增，
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
这表明
在
上递减，在
和
上各自递增.
由于
在
上递增，故
在
上至多有一个零点，而
.
同时，当
时，有
故
，
这表明当
时，有
.
故
必有一个零点，且
.
已证
在
上至多有一个零点，这就说明
在
上恰有一个零点.
然后，当
时，由于
在
上递减，在
上递增，故
. 而
，
这说明
在
上恰有一个零点.
根据以上的讨论，知
恰有2 个零点；
当
时：
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由于
，
故
，
同时由
在
上递减，知
，而
，
故
在
上必存在一个零点，记该零点为，
则有
，且
，从而
.
由于函数
在
上递减，在
上递增，
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
这表明
在
上递减，在
和
上各自递增.
由于
在
上递增，故
在
上至多有一个零点，
而
.
同时，当
时，有：
故
，
设
，则当
时
，
故
在
上递增，所以当
时
，即
.
所以当
时，有：
这表明当
时，
有
，
，
从而
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
故
必有一个零点，且
.
已证
在
上至多有一个零点，这就说明
在
上恰有一个零点.
然后，当
时，由于
在
上递减，在
上递增，
故
. 而
，这说明
在
上恰有一个零点.
根据以上的讨论，知
恰有2 个零点.
综上，无论哪种情况，
都恰有2 个零点，从而零点个数为2.
12．（2024·江西赣州·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间，
(2)已如
.若函数
有唯一的零点
.证明，
.
【解析】（1）
，令
，
当
时，
即
为增函数，
又
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
的减区间为
，增区间为
（2）
由（1）可知
在
单调递增，且
，
又
存在唯一的
使得
当
时
单调递减；当
时
单调递增；
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若方程
有唯一的实数
，则
消去
可得
，
令
，
则
，
在
上为减函数
且
当
时
，即
13．（2024·山东聊城·一模）已知函数
，
，
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)求
的最小值；
(3)设
，讨论函数
的零点个数.
【解析】（1）
，令
，可得
，
故
的单调递增区间为
；
（2）
，
令
，
则
，
由
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
，
故存在
，使
，即
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
，
由
，则
，
令
，则有
，
，当
时，
恒成立，
故
在
上单调递增，故
，即
，
则
，
即
的最小值为；
（3）令
，
即有
，
即函数
的零点个数为
的实数根的个数，
由（2）知，
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
又当
时，
，当
时，
，
故当
，即
时，
有唯一实数根，
当
，即
时，
有两实数根，
当
，即
时，
无实数根，
即当
时，函数
有一个零点，
当
时，函数
有两个零点，
当
时，函数
无零点.
14．（2024·内蒙古包头·一模）设函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性，并证明
；
(2)证明：①当
时，
；
②当
时，
，当
时，
；
③当
时，函数
存在唯一的零点．
【解析】（1）因为
，所以
，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，则
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时
；当
时
，
因此，当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
．
（2）①设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，即
时，
．
②设
，则
，
所以
在
上单调递增，且
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
．
③当
时，
，
，
设
，则
，
当
时，由①、②，得
，
所以
在
单调递增；
当
时，
（ⅰ）若
，由①知
，得
，故
，
又由②知当
时，
成立，
则
，此时
单调递减，
（ⅱ）若
，则
，
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
此时
单调递减，
由（ⅰ）（ⅱ）可知
在
单调递减，即
在
单调递减．
综上，可知当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，
，
所以根据零点存在定理可知
在
上存在唯一零点．
15．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数
的导函数为
，
的导函数为
，设
是
的定义域的子集，若在区间
上
，则称
在
上是“ 凸函数” . 已知函数
.
(1)若
在
上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若
，判断
在区间
上的零点个数.
【解析】（1）由
可得其定义域为
，且
，
所以
，
若
在
上为“凸函数”可得
在
恒成立，
当
时，显然符合题意；
当
时，需满足
，可得
；
综上可得的取值范围为
；
（2）若
，可得
，所以
，
令
，则
；
易知
在区间
上恒成立，
因此可得
在
上单调递减；
显然
，
；
根据零点存在定理可得存在
使得
，
因此可知当
时，
，即
在
上为单调递增；
当
时，
，即
在
上为单调递减；
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，显然在
上
不存在零点；
而
，结合单调性可得在
上
存在一个零点；
综上可知，
在区间
上仅有1 个零点.
16．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)讨论函数
在
上的零点个数．（参考数据：
，
）
【解析】（1）
函数
，
；
令
，即
，解得
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
故当
时，
取极小值，
函数
的极小值是
，无极大值；
（2）
，则
，
令
则
，
由于
时，
，因此函数
在
上单调递增，
由于
，
因此存在唯一的
，使得
，
故当
单调递减，当
单调的递增，
时，
，此时
单调递减，
综上可知
在
单调递减，在
单调递增，
又
，
，当
时，
，
因此
与轴有两个不同的交点，故
在
上的零点个数为2.
17．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知函数
．（注：
是自然对数
的底数）．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)当
时，函数
在区间
内有唯一的极值点
．
①求实数a 的取值范围；
②求证：
在区间
内有唯一的零点
，且
．
【解析】（1）当
时，
，
所以
，即切点
，
故曲线
在点
处的切线方程为：
；
（2）①.函数
，
，
（ⅰ）当
时，当
时，
，
，
，
则
在
上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当
时，设
，则
在
上恒成立，所以
在
上
递增，即
在
上递增，
又
，
，所以
在
上有唯一零点
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以函数
在区间
内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是
．
②由①知
，当
时，
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
所以
时，
，则
，
又因为
，所以
在
上有唯一零点
，
即
在
上有唯一零点
．
因为
，
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由①知
，所以
，
则
，
设
，
，
则
，
，
，所以
在
为单调递增，又
，所以
，
又
时，
，所以
．
所以
．
由前面讨论知
，
，
在
单调递增，
所以
．
18．（2024·山东淄博·一模）已知函数
(1)讨论函数
在区间
上的单调性;
(2)证明函数
在区间
上有且仅有两个零点.
【解析】（1）函数
，当
时，
，
所以
在
上的单调递增.
（2）由（1）知，
，当
时，
，函数
在
上单调递增，
，
，因此函数
在
上有唯一零点；
当
时，令
，求导得
，
在
上单调递增，
，则存在
，使得
，
当
时，
，函数
，即
单调递减，
当
时，
，函数
，即
单调递增，
又
，
，则存在
，使得
，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
而
，
，因此函数
上有唯一零点，
所以函数
在区间
上有且仅有两个零点.
19．（2024·福建莆田·二模）已知函数
．
(1)证明：当
时，
；
(2)若函数
有两个零点
．
①求
的取值范围；
②证明：
．
【解析】（1）由题意可得：函数
，且
，
，
若
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递增，可得
；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
可得
，
且
，则
，则
；
综上所述：当
时，
.
（2）①由题意可得：
，
令
，整理可得
，
设
，则
，
且
，可知
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
内单调递减，在
内单调递增，
由题意可知：
有两个零点，则
，解得
，
若
，令
，则
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
可知
在
内有且仅有一个零点；
且当趋近于
，
趋近于
，可知
内有且仅有一个零点；
即
，符合题意，综上所述：
的取值范围为
；
②由①可知：
，即
，
若
，等价于
，
等价于
，
令
，则
，
令
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递增，则
，
即
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
可得
；
令
，则
，
令
，则
，
因为
，则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，可知
在
内单调递增，
则
，即
，
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
不妨设
，则
，
且
，
在
内单调递减，可得
，
即
，可得
；
即
，
所以
.
20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
且
时，讨论
在
上的零点个数.
【解析】（1）显然
定义域为
，由
得
，
当
时，
单调递增区间为
，无减区间，
当
时，由
，得
，
所以
单调递增区间为
，
由
，得
，所以
单调递减区间为
，
综上所述，当
时，
单调递增区间为
，无减区间；
当
时，
单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）由题可得函数
，所以
，解得
，
所以
，
①当
时，有
，
所以
恒成立，
所以
在
上单调递减，
是一个零点；
②当
时，
，
设
，则
恒成立，
即
在
上单调递增.
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，
所以根据零点存在定理可知，
，使得
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
因为
，
根据零点存在定理可知，
，使得
，
综上所述，
在
上的零点个数为2.
41
