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微专题13 导数解答题之双变量问题
【秒杀总结】
1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线
，存在圆
满足如下条件：
①圆
与曲线
有公共点
，且圆心在曲线
凹的一侧；
②圆
与曲线
在点
处有相同的切线；
③曲线
的导函数在点
处的导数（即曲线
的二阶导数）等于圆
在点
处的二阶导数（已知圆
在点
处的二阶导数等于
）；
则称圆
为曲线
在
点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线
在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线
的曲率半径的最小值；
(3)若曲线
在
和
处有相同的曲率半径，求证：
．
【解析】（1）
记
，设抛物线
在原点的曲率圆的方程为
，其中
为曲率半径．
则
，
，
1
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故
，
，即
，
所以抛物线
在原点的曲率圆的方程为
；
（2）设曲线
在
的曲率半径为．则
法一：
，
由
知，
，
所以
，
故曲线
在点
处的曲率半径
，
所以
，则
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
故
，曲线
在点
处的曲率半径
．
2
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法二：
，
，
所以
，而
，
所以
，解方程可得
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
故
，曲线
在点
处的曲率半径
．
（3）法一：函数
的图象在
处的曲率半径
，
故
，
由题意知：
令
，
则有
，
所以
，即
，故
．
因为
，所以
，
所以
，
所以
．
3
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法二：函数
的图象在
处的曲率半径
，
有
令
，则有
，
则
，故
，
因为
，所以
，
所以有
，
令
，则
，即
，
故
，所以
，即
；
法三：函数
的图象在
处的曲率半径
．
故
设
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故有
，
所以
，
要证
，即证
，
即证
将
，
下证：当
时，有
，
设函数
（其中
），
4
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则
，
故
单调递增，
，
故
，所以
．
法四：函数
的图象在
处的曲率半径
，
有
，
设
．
则有
，
所以当
时
，当
时
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
故有
，
所以
，
要证
，即证
，
即证
．将
，
下证：当
时，有
，
设函数
（其中
），
则
，
故
单调递增，故
，
故
，所以
．
例2．（2024·四川南充·二模）已知函数
有三个极值点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
5
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【解析】（1）函数
有三个极值点
则
有三个不等实根
即方程
有三个不等实根
，
令
，则
，
由
得
，由
得
或
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，所以
（2）由（1）知
，
，
所以
，令
，则
，
令
，则
令
，则
，
即
，
，故
在
上单调递增，所以
.
例3．（2024·四川·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若
有2 个零点
，证明：
．
【解析】（1）当
，函数
，
则
，
可知当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
则当
时，
取得极小值
，也即为最小值，
6
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所以
的最小值为
；
（2）由已知，
是
的两个零点，
则
，
，
两式相减，得
，
整理得
，
欲证明
，
只需证明不等式
，
即证明
，也即证明
，
不妨设
，令
，则
，
只需证明
，即证明
即可，
令
，则
，
又令
，则
，
所以，当
时，
，即
单调递减，则
，
故当
时，
单调递增，则
，
所以，原不等式成立，故不等式
得证．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
有3 个极值点
，其中是自然对数的底数．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
．
【解析】（1）由题意，得
，
由
，得
或
，所以0 是函数
的一个极值点．
所以
有2 个不相等的实数根，且这2 个根均不为0 和
．
令
，则
．
7
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当
时，
恒成立，故
在定义域上是增函数，不可能有2 个零点；
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上是减函数，在
上是增函数，
所以
，即
，所以
．
又
．
由零点存在定理可知，
在
上存在唯一零点．
令
，则
，令
得
，
令
得
，所以
在
上递增，在
上递减，
所以
，
，
所以
，
由零点存在定理可知，
在
上存在唯一零点．
因为
所以
，
综上，
的取值范围是
．
（2）证明：由（1）知，0 是函数
的一个极值点．不妨设
，所以只要证明
．
由
得
，即
两式相除得
．
令
，则
．
所以
，所以
．
所以要证明
，只要证明
，
即
，其中
，所以
．
所以只要证明
．令
，
8
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所以
，从而
恒成立，
所以
在
上是减函数，所以
．
所以
在
上是增函数，所以
，即证：
．
另由
，知
，所以
，且
为
的两根．
记
，则
，当
，
，当
，
故
在
上递增，在
上递减．
不妨取
，所以要证
，即要证
，
只要证
，又
，故只要证
，
即要证
，也即要证
(#)．
令
，则
．
而当
时，
，故
在
上递减，
故
，故
在
上递增，故
，所以(#)成立，
故
．
例5．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数
.
(1)若
是函数
的一个极值点，求实数
的值；
(2)若函数
有两个极值点
，其中
，
①求实数
的取值范围；
②若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）易知
，又
是函数
的一个极值点，
，即
.
此时
，令
，
在
上单调递增，且
，
当
，当
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，即
符合题意；
因此实数
的值为
.
（2）①因为
，且
有两个极值点
，
9
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所以方程
在
上有两个不同的根，即方程
有两个不同的正数根，
将问题转化为函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点，
则
，令
，解得
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
且当
时，
，故作出
的图象如下：
由图象可得
满足题意，即
.
即实数
的取值范围为
；
②由①知
是
的两个根，
故
，则
，
不妨设
，又
，所以
可得
，
可得
，即
，所以
；
故由
可得
，
即
，所以
；
也即
，化简得
，
由于
，所以等价于
对任意的
恒成立，
令
，故
对任意的
恒成立，
则
，
10
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设
，则
，
（i）当
时，
单调递增，
故
单调递减，故
，不满足，舍去；
（ii）当
时，
单调递减，
故
单调递增，故
，故
恒成立，符合题意；
（iii）当
时，令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
又
，故
时，
，此时
单调递减，故
，
因此当
时，
，不符合题意，舍去.
综上，实数
的取值范围为
.
例6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
有2 个极值点
，求证：
.
【解析】（1）法一：因为
在
上单调递增，
所以
时
，即
，
设
，则
，
所以
时
单调递减，
时
单调递增，
所以
，
所以
，即
的取值范围是
；
法二：因为
，
所以
，
11
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若
，则
在
上单调递增；
若
，令
，则
，
时
单调递减；
时
单调递增，
所以
是
的极小值点，所以
，
所以当
，即
时，
在
上单调递增.
综上，
的取值范围是
.
（2）由（1）知
是方程
的两个不同正根，所以
，
经验证，
分别是
的极小值点，极大值点，
，
下面证明
.
由
，得
，
两边取对数，得
，即
，
则
，
设
，则
，则要证
，即证
，
即证
.
设
，则
，
所以
在
上单调递增，从而
，
于是
成立，
故
.
例7．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数
．
12
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(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个不相等的根
，且
的导函数为
，证明：
．
【解析】（1）
，则
，
当
时，
，函数
在R 上单调递增；
当
时，令
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）因为方程
有两个不等的根
，且
，
由（1）知，
，
令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，
又
在
上单调递增，
所以
，又
，
所以
，所以
，
又
，所以
.
例8．（2024·高三·河南周口·期末）已知函数
.
(1)若
在
上单调递减，求
的取值范围；
(2)若
，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若方程
两个不同的实数根分别为
，
，求证：
.
【解析】（1）由
，则
，
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在
上单调递减，即
在
上恒成立，
即有
在
上恒成立，即
，
令
，
，则
，
设
，
，则
，
故
在
上单调递减，
故
，
即
恒成立，故
在
上单调递增，
有
，即
，
故
的取值范围为
；
（2）若
，则
，
，
设
，则
，
故
在
上单调递增，又
，
，故
在
上存在唯一零点，
设该零点为
，即有
，
有
时，
，
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
故当
时，
，即
，
故
在
上单调递减，
14
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当
时，有
，故
，
即
在
上单调递增，
故
时，
，
又
，且定义域为
，
故
为偶函数，即当
时，
，
故
恒成立；
（3）
， 有
，
由（2）可知，若方程
两个不同的实数根，则
，
下面证明：
，
不妨设
，则
，
要证
，只需证明
，而
，
由（2）可知，
在
上单调递减，故只需证明
，
而
，故只需证明
，
设
，
则
，即
在
上单调递增，
故
，故
，即
，
又
，故
，
由（2）得
，
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
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又
，
，
故
.
例9．（2024·全国·模拟预测）设函数
.
(1)若
，求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
.
【解析】（1）由题意得
，则
.
令
，解得
；令
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
无最小值，最大值为
.
（2）
，则
，
又
有两个不同的极值点
，
欲证
，即证
，
原式等价于证明
①.
由
，得
，则
②.
由①②可知原问题等价于求证
，
即证
.
令
，则
，上式等价于求证
.
令
，则
，
16
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恒成立，
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
原不等式成立，即
.
【过关测试】
1．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
得
，则
，
，
所以切线方程为
，即
；
（2）
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，无减区间，
当
时，令
，得
，
单调递增，
令
，得
，
单调递减，
综合得：当
时，
的单调递增区间为
，无减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，
的单调递减区间为
；
（3）
，
则
，
因为
是函数
的两个极值点，
即
是方程
的两不等正根，
17
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所以
，得
，
令
，则
，
得
，
则
，
所以
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
即
.
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
，
时，证明：
.
【解析】（1）由题意，
，
，
18
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所以当
时，
，
，
由
解得：
或
，由
解得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
故
有极大值
，极小值
.
（2）由题意，
，
，
要证
，只需证
，
而
，
，
所以只需证
，
即证
①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证
，只需证
，
即证
，令
，
则
，所以
在
上单调递增，
显然
，所以当
时，
，
因为
，所以
，即
，
故
.
证法2：要证
，只需证
，即证
，
令
，则
，所以只需证当
时，
，即证
，
19
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令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，所以
成立，即
，
故
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
【解析】（1）由题意可得
，所以
，
的定义域为
，
又
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
（2）由
，得
，设
，
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
，且当
趋近于正无穷，
趋近于，
的图象如下图，
20
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所以当
时，方程
有两个根，
证明：不妨设
，则
，
，
设
，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，
又
，所以
，
又
，
，
在
上单调递减，所以
，
故
.
4．（2024·广东·模拟预测）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个零点
，证明：
存在三个零点
，且
(3)在（2）的条件下，证明：
．
【解析】（1）
，如果
则
，所以
在R 上递减；
如果
，则
的符号以
为分界线，左边负右边正，
所以
在
递减，在
递增；
（2）由于
有两个零点
，
故
，而且
，也就是
，
所以
，
如果
或
，
那么
，
所以
有零点
，
同时，由于
且
，所以
，
21
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而
，令
，
则
，令
，
则
，
这表明
递增，
同时由于
，
所以在
上有一实数u，满足
，
且
时，
，
时，
.
所以
在
递减，在
递增.
假设
，就意味着
在
和
上均递增，
所以
，矛盾.
所以
，
从而
在
和
上各有一零点
，
且在
和
上大于0，在
上小于0.
那么由于
，
我们知道
，
所以
上一定还有
的零点
.
综上所述，
存在三个零点
，且
；
（3）设
，
，
则有：
，
但
，
要证
，只需要证明：
，
首先，容易说明当
时，
，
实际上
，这也就是说此时
，
而
意味着
，
22
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上一问已证
，同时由于
是
的零点（可导函数取极值的必要条件），
所以
，
在这里对某个函数
，我们定义函数列：
，
换言之
是
进行
次求导后得到的函数，
从而令
，
，
则
，
所以
时，
，
所以
时，
，
所以
时，
，
即
，
所以
，
又因为
，
所以
，从而
，
也就是
，
由于
，
而
在
上小于0，在
上大于0，
故
，
又由于
，
，
而
在
上递减，在
上递增，
23
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故
，
综上，
，从而
.
证.
5．（2024·天津和平·一模）已知函数
，（
为自然对数的底数）.
(1)求函数
的单调区间：
(2)设
在
处的切线方程为
，求证：当
时，
；
(3)若
，存在
，使得
，且
，求证：当
时，
.
【解析】（1）因为
，定义域为
，
令
，即
，
所以
递减区间为
，递增区间为
.
（2）因为
，所以
，而
，
所以
在点
处的切线方程为：
，
当
时，令
，
由
，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
递减，在
上单调递增，故
，即
，
所以
，所以
，
所以
在
时恒成立，
即
时，
得证.
（3）由题意可知
，
因为
时，
，
令
，所以
在
时单调递减，
所以
，所以
在
上为减函数，且
，此时
，
则由（1）有
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，此时
，
24
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由题意，设
，
设
与
交点的横坐标为
，则
，有
，
因为
，且
，
所以
，又
，
所以
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
时，
，
时，
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，
所以
，即
，
所以
，
，
所以
在
单调递增.
在
时，
，
所以
，
所以
.
6．（2024·天津·一模）设函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
25
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（i）当
时，
取得极值，求
的单调区间；
（ii）若
存在两个极值点
，证明：
.
【解析】（1）
，
则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）（i）
，
，
∵
时，
取得极值，∴
，解得
，
∴
，
令
，得
或
；令
，得
，
∴
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
（ii）
，
∵
存在两个极值点，
∴方程
，即
在
上有两个不等实根.
∵
，解得
，
则
∴所证不等式
等价于
，
即
，
26
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不妨设
，即证
，
令
，
，
则
，
∴
在
上递增，∴
，
∴
成立，
∴
.
7．（2024·青海·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，证明：
．
【解析】（1）由题意可知
的定义域为
，且
，
对于
，有
在
上恒成立，即
递减，
所以
，即
在
上恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
时单调递减，
所以当
时，函数
有最大值，
，所以
，
即
，所以
的取值范围为
；
（2）不妨设
，由（1）知
，即
，令
，
构造
，且
，
所以
27
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，
令
，则
，
当
时，
，
递减，故
，
所以
时
，
单调递减，故
，
即在
上
，所以
，
又
，所以
，即
，
由（1）知
在
上单调递减，所以
，故
得证.
8．（2024·全国·一模）已知
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)设
是
的两个零点（
），求证：①
；②
.
【解析】（1）
，设
，
则
，所以
单调递增，注意到
，
所以当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
所以
，
若
，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
；
（2）①由题意不妨设
，则由（1）可知
，且
，
所以
28
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，
设
，
，
所以函数
单调递增，所以
，
所以
，即
，
又函数
在
上面单调递减，所以
，所以
；
②注意到
，
所以
，要证
，
只需
，即只需
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，所以
，
所以要证
，只需
，即
，
不妨设
，
则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递增，
因为
，所以
，即
，
又因为
，所以
，
29
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综上所述，命题
得证.
9．（2024·吉林延边·一模）已知
有两个极值点
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：
．
【解析】（1）由题意可知
，
因为
有两个极值点，所以
有两个不等根，
即
有两个交点，
令
，
当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
时，
，
，
，
所以
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
在
处取得极小值，在
取得极大值，符合题意，
故
；
（2）由（1）不妨设：
，
构造
，
，
易知
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
所以
，
又
在
上单调递增，所以
，即
由（1）知
，
欲证
，可证
，
构造
30
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，
令
，
时，易知
，
即
，所以
在
上单调递增，
所以
，则
在
上单调递减，
所以
，
即
，证毕.
10．（2024·辽宁大连·一模）已知函数
的定义域为区间
值域为区间
，若
则称
是
的缩域函数.
(1)若
是区间
的缩域函数，求a 的取值范围；
(2)设
为正数，且
若
是区间
的缩域函数，证明：
（i）当
时，
在
单调递减;
（ii）
【解析】（1）若
是区间
的缩域函数，则
，
；
即
，解得
；
可得
，则
；
令
，则
；
当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增.
所以
，解得
，
下面证明
，即
，也即
；
令
，则
，
31
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当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因此可得
，所以
，
综上a 的取值范围为
（2）（i）当
时,若
是区间
的缩域函数，则
，
即
，进一步
，
当
时，
，即
，
；
由（1）可知，当
时，
，则
单调递减；
所以
在区间
上单调递减，
（ii）若
是区间
的缩域函数，则
；
故有
，即
；
设函数
，则
；
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减；
因为
为正数且
则
，又
，
所以
在
上单调递减，所以
；
记
，设
，且
，由
的单调性可知
，故
；
记
，
则
，
当
时，
，
单调递增；
故
，即
；
因为
在
上单调递减，故
，即
；
32
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由
，故
，
所以
，又因为
，
故
.
11．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数
，且
的极值点为
.
(1)求
；
(2)证明：
；
(3)若函数
有两个不同的零点
，证明：
.
【解析】（1）由
，
则
，
所以当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
为
的极大值点，即
.
（2）由（1）知，
，
要证
，只需证
，即
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以
，即
，所以
.
（3）因为
是
的两个不同的零点，
所以
，
33
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两式相减并整理，得
.
设
，由（2）知
，
所以要证
，只需证
，即证
.
设
，下面只需证
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，从而
，
所以
成立，从而
.
12．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数
(1)若
、
在
处切线的斜率相等，求
的值；
(2)若方
有两个实数根
，试证明：
;
(3)若方程
有两个实数根
，试证明：
.
【解析】（1）
，
,
又
,
所以
.
（2）由（1）知
，则
令
，
令
34
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时，
单调递增
时，
单调递减
所以
因为
由差比的性质知：
，
又
，则
欲证：
即证：
不妨设：
下证
，令
下证
令
所以
在
上单调递增，
所以
所以
（3）不妨设
，下证
在
处的切线方程为
构造
当
时，
;
时，
;
所以
在
上单调递减，在
上单调递增
又
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
35
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所以
，
所以
，
设方程
的函数值为
的根
，则
因为
在
上单调递减，所以
，
在
处的切线方程为
,
构造
当
时，
;
时，
;
所以
在
上单调递减，在
上单调递增
又
所以
在
上单调递减，在
上单调递增
所以
所以
设方程
的根
又
，由
在
上单调递增
所以
又
所以
.
13．（2024·四川凉山·二模）已知函数
．
(1)若函数
在R 上是增函数，求a 的取值范围；
(2)设
，若
，证明：
．
【解析】（1）
函数
，求导得
，
依题意，对任意实数
，
恒成立，而
，
因此
，解得：
，
36
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所以
的取值范围为
.
（2）函数
的定义域为
，
由
，得
，
由（1）知，函数
在
上是增函数，
不妨令
，则
，即
，
亦即
，则
，
于是
，则
，
下面证明：
，即证：
，即证：
，
令
，即证：
，设
，
求导得
，则函数
在
上单调递减，
于是
，即
，所以
.
14．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
当
时，令
，得
，
单调递增，
令
，得
，
单调递减，
综合得：当
时，
的单调递增区间为
，无减区间；
37
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当
时，
的单调递增区间为
，
的单调递减区间为
；
（2）
，
则
，
因为
是函数
的两个极值点，
即
是方程
的两不等正根，
所以
，得
，
令
，则
，
得
，
则
，
所以
，
则
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
.
38
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15．（2024·江西上饶·一模）已知函数
，若
为实数，且方程
有两个不同的实数根
．
(1)求
的取值范围：
(2)①证明：对任意的
都有
；
②求证：
．
【解析】（1）
，
，
，
，
在
上为增函数，在
上为减函数
，
，当
时，
，且
时，
．
故函数
的图象如下：
因为方程
有两个不同的实数根
，
所以
；
（2）（ⅰ）记
，
，
则
，
，设
，
则
，
在
上为减函数，
，
，
存在
，使得
，
时，
；
时，
，
39
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在
上为增函数，在
上为减函数，
又
，
，
；
（ⅱ）不妨设
，则
，
由（1）知
，又
，
，
.
要证
，
只要证
，
记
，
，
，
在
上为增函数，
，
成立，
成立.
16．（2024·高三·新疆伊犁·阶段练习）已知
，函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，设
的导函数为
，若
恒成立，求证：存在
，使得
；
40
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(3)设
，若存在
，使得
，证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
的递增区间为
，递减区间
.
（2）当
时，可得
，则
，
因为
恒成立，即
恒成立，令
，
若
，则
，存在
，使得
，
即
，不符合题意，所以
，
取
，则
，可得
，
即存在
，使得
.
（3）由函数
，可得
，
设
，因为
，可得
则
又由
，可得
，所以函数
为单调递增函数，
所以
，即
，
所以
，即
，
设
，可得
，
所以当
时，
，即
，所以
，
即
，所以
，
代入可得：
，
41
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则
，所以
.
17．（2024·高三·广东·阶段练习）设函数
，其中a 为实数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
在定义域内有两个不同的极值点
时，证明：
．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
令
，得
或
，
时，
，
时，
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）
，
由
在
上有两个不同的极值点
，
故
有两个不同的正根，则有
，解得
，
因为
，
设
，
，
则
，故
在
上单调递增，
又
，
故
．
18．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知函数
，
，
为常数．
(1)求
的单调性；
42
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(2)令
，若
且
.证明：
．
【解析】（1）
，
，
当
时，
为常函数，
当
时，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
综上所述，当
时，
为常函数，无单调性
当
时，
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，在
、
上单调递减；
（2）
，
，
令
，则
，
因
，故
有两个零点，
若
，则
，
单调递增，不可能有两个零点，
所以
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，
因为
有两个零点，所以
，则
，
又
，
，
，
设
，因为
，
，则
，
因为
，所以
，
，
则
，取对数得
，
43
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令
，
，则
，
要证
，即证
，即证
，
即证
，
令
，则
，
在
上单调递增．
则
，
，
成立，即
，也即
．
19．（2024·河北邯郸·三模）已知函数
，
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程．
(2)已知关于
的方程
恰有4 个不同的实数根
，其中
，
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
【解析】（1）
，
所以
，
又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）（i）由
，得
，该方程有一根为
，且
，
所以
即
有3 个不同的实数根，且这3 个实数根均不为
．
令
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
44
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又
，且当
无限趋近于
时，
且趋近于0，
当
从0 的左侧无限趋近于0 时，
趋近于
，当
从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
，
当
无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，所以
趋近于
．
故
的大致图象如图所示：
又
，所以当
时，直线
与曲线
有3 个不同的交点，且这3 个交点的横坐标
均不为
，所以
的取值范围为
．
（ii）由（i）知
，
，所以
，
，
所以
，则
，
要证
，只需证
，
不妨设
，所以
，所以
，则只需证
．
令
，则
，令
，
则当
时，
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以当
时，
恒成立，所以原不等式
得证.
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
.
45
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(1)设函数
，讨论
的单调性；
(2)设
分别为
的极大值点和极小值点，证明：
.
【解析】（1）
，
，
当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
当
时，
单调递减，
单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
分别是
的极大值点和极小值点，
，且对于
有
，
且对称轴
，所以
，
，
所以
，
综上，要证
，
只需证
，
因为
，
即证：
，
设
.
46
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所以
，
所以
在
上单调递增，所以
.
所以
成立.
21．（2024·广西南宁·一模）已知函数
．
(1)若直线与函数
和
均相切，试讨论直线的条数；
(2)设
，求证：
．
【解析】（1）设直线与函数
和
分别相切于
，
由
可得
，
直线方程为
以及
，
故
，进而
，
令
，
记
，
当
单调递减，
单调递增，
又
，故存在唯一的
，
故当
单调递增，
当
单调递减，
，
又
，
因此
存在两个零点，故直线的条数为2 条.
（2）令
则
，
由
，由于
故
，
47
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令
，则
，故
，
故
记
，
记
，所以
在
单调递减，故
，
故
，
在
单调递减，故
，
所以即，
48
