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勾股定理（提高）
【巩固练习】
一．选择题
1．如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为
（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2. （2016•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B、C）.若线
段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
3．如图，长方形AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E
处，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A.30 B．32 C．34 D．16
4．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l
上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则
2
AC 的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
5．在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12,则△ABC 的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或32 D．37 或33
6．（2015•烟台）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S1，以CD 为斜边作等腰直角
三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此
规律继续下去，则S2015的值为（ ）
A．
2012
2
2
B．
2013
2
2
C．
2012
1
2
D．
2013
1
2
二．填空题
7．若一个直角三角形的两边长分别为12 和5，则此三角形的第三边的平方为______．
8． 将一根长为15cm 的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm 的圆柱形杯中，木棒露在
杯子外面的部分长度x 的范围是 ．
9．如图，在
5
5
的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC，使点C 在格点上，这样的点C 共
个．
10．（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形
拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较
短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值是
_________
．
11．已知长方形ABCD，AB＝3cm ，AD＝4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF，分
别交AD、BC 于点E、F，则AE 的长为_______________．
12．（2015 春•召陵区期中）如图，在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
∠B=90°，那么四边形ABCD 的面积是
．
三．解答题
13．（2015•青岛模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A、B 分别在边OM，ON 上，当
B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，
BC=1，求运动过程中，点D 到点O 的最大距离．
14．现有10 个边长为1 的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方
形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正
方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
15．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A 城气象局
测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东60°方向
移动，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域．
（1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
【答案与解析】
一．选择题
1. 【答案】C
【解析】∵BE⊥AC，∴△AEB 是直角三角形，∵D 为AB 中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，
2
2
2
144
BE
AB
AE
,所以BE=12.
2. 【答案】C
【解析】过点A 作AE⊥BC,则由勾股定理得AE=3，点D 是线段BC 上的动点（不含端点B、
C ）.所以3≤AD＜5，AD=3 或4，共有3 个符合条件的点.
3．【答案】A
【解析】由题意CD＝DE＝5，BE＝4，设OE＝x ，AE＝AC＝
4
x
，所以
2
2
2
8
4
x
x
，
6
x
，阴影部分面积为1
1
6 8
4 3
30
2
2
．
4．【答案】A
【解析】如图，分别作CD⊥
3l 交
2l 于点E，作AF⊥
3l ，则可证△AFB≌△BDC，则AF＝3＝BD,
BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC 中，勾股定理得
2
2
2
8 +2 =68
AC
．
5．【答案】C
【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C．
6．【答案】C
【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；
第二个正方形的边长为：
；
第三个正方形的边长为：
，
…
第n 个正方形的边长是
，
所以S2015的值是（）2012，
故选C.
二．填空题
7．【答案】169 或119；
【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12 也可能是斜边．
8．【答案】2cm≤x≤3cm；
【解析】由题意可知BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm．当木棒垂直于底面时露在杯子外面的部分
长度最长为，15-AC=15-12=3cm，当木棒与AB 重合时露在杯子外面的部分长度最短为15-
AB=15-13=2cm.
9．【答案】8；
【解析】如图所示：有8 个点满足要求．
10．【答案】25；
【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4× ab=13﹣1，∴2ab=12，
联立解得：（a+b）2=13+12=25．
11．【答案】7
8 cm ；
【解析】连接BE，设AE＝x ，BE＝DE＝4
x
，则
2
2
2
3
4
x
x
，
7
8
x
．
12．【答案】36.
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
AC=
∴
=
=5，
在△ACD 中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，
ACD
∴△
是直角三角形，
S
∴
四边形ABCD= AB•BC+ AC•CD
= ×3×4+ ×5×12
=36．
故答案是：36．
三．解答题
13．【解析】解：如图，取AB 的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，
∴OE=AE= AB=1，
DE=
=
=
，
∴OD 的最大值为：
+1．
14．【解析】
解：如图所示：
15．【解析】
解：（1）过点A 作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC 中，由题意可知∠CBA=30°，
∴AC= 1
2 AB= 1
2 ×240=120，
∵AC=120＜150，
∴A 城将受这次沙尘暴的影响.
（2）设点E，F 是以A 为圆心，150km 为半径的圆与MB 的交点，连接AE，AF，
由题意得,
2
2
2
2
2
150
120
8100
CE
AE
AC
，CE=90
∴EF=2CE=2×90=180
180÷12=15（小时）
∴A 城受沙尘暴影响的时间为15 小时.
