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实战演练 02 三次函数的图像与性质
①三次函数的零点
②三次函数的极值、极值点
③三次函数的切线
④三次函数的对称性
一、三次函数概念
定义：形如f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)叫做三次函敞
f'(x)=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
−b−❑√b2−3ac −b+❑√b2−3ac
当Δ>0时，令f'(x)=0，记两根为x = ，x =
1 3a 2 3a
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式 f (x)的图像 f'(x)的图像 f (x)的性质
f'(x)≥0恒成立
{ a>0 { a>0
⇒ f (x)在R上递增
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值点
f'(x)≤0恒成立
{ a<0 { a<0
⇒ f (x)在R上递减
¿Δ≤0 ¿b2≤3ac
f (x)无极值增区间(−∞，x )，(x ，+∞)
1 2
{ a>0 { a>0 减区间(x 1 ，x 2 )
⇒
¿Δ>0 ¿b2>3ac
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
1 2
增区间(x ，x )
1 2
{ a<0 { a<0 减区间(−∞，x 1 )，(x 2 ，+∞)
⇒
¿Δ>0 ¿b2>3ac
f (x)有两个极值点
极大值f (x )，极小值f (x )
2 1
三、三次函数的零点个数
若三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
三次函数图像
性质 说明
a＞0 a＜0
b2−3ac>0
三 f (x )⋅f (x )<0
1 2
个
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
b2−3ac>0
零 f (x )⋅f (x )=0
1 2
两
点
有一个极值为0
个
个
图像与x轴有两个交点
数
存在极值时
b2−3ac>0
一 f (x )⋅f (x )>0
1 2
个
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
四、三次函数的韦达定理
设f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的三个零点分别为x ，x ，x ，则
1 2 3
b
(1)x +x +x =−
1 2 3 a
c
(2)x x +x x +x x =
1 2 2 3 3 1 ad
(3)x x x =−
1 2 3 a
1 1 1 c
(4)
+ + =−
x x x d
1 2 3
五、三次函数的对称性
( b ( b ))
结论1 三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点 − ，f − 中心对称
3a 3a
结论2 已知三次函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x ，两个极值点分别为x ，x
0 1 2
f (x )−f (x ) 2 a
，则 1 2 = f' (x )=− (x −x ) 2
x −x 3 0 2 1 2
1 2
结论3 若y=f (x)图像关于点(m，n)对称，则y=f'(x)图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
①三次函数的零点
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数 在区间 内有两个零点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）函数 有3个零点的充分不必要条件是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
3．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 有3个零点 ， ， ，有以下
四种说法：
①
②
③存在实数a，使得 ， ， 成等差数列
④存在实数a，使得 ， ， 成等比数列
则其中正确的说法有（ ）种.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数 ，则下列说法正确的是（ ）A．函数在 上单调递减
B．当 时，函数 在 上恒成立
C．当 或 时，函数 有2个零点
D．当 时，函数 有3个零点，记为 ，则
二、多选题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数 ，下列结论正确的是
（ ）
A．当 时， 单调递减区间为
B．当 时， 单调递增区间为
C．当 时，若函数 恰有两个不同的零点，则
D．当 时， 恒成立，则a的取值范围为
6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 有三个不同的零点
，函数 .则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
D．若 有三个不同的零点 ，则
三、填空题
7．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）函数 有且只有3个零点，则实数 的
取值范围是 ．
8．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，函数 恰有两个零点，则
的取值范围为 .
②三次函数的极值点一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知 ，是函数 两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·全国·专题练习）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为（ ）
A．1 B． 或
C． D．
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设 是函数 的两个极值点，若 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的导函数 ，若函数 有一极大值点
为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数 的极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·云南大理·模拟预测）若 为函数 （其中 ）的极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）若函数 的两个极值点都大于
2，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）设 为函数 （其中 ）的两个不同的极值点，若不
等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 的两个极值点分别为 ，若过点
和 的直线 与坐标轴围成三角形面积为 ，则直线 方程为（ ）A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）函数 有三个不同极值点 ，且
.则（ ）
A． B．
C． 的最大值为3 D． 的最大值为1
11．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数 ， 且满足 ，
，对任意的 恒有 ，且 为 的极值点，则下列等式成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·山西太原·三模）已知 是函数 的极值点，若 ，
则下列结论 正确的是（ ）
A． 的对称中心为 B．
C． D．
三、填空题
13．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）已知曲线 在点 处的切线斜率为3，
且 是 的极值点，则函数的另一个极值点为 .
14．（2024·云南·一模）已知 在 上只有一个极值点，则实数 的取值范围
为 .
15．（2024·江苏南京·二模）已知函数 的两个极值点为 ， ，记
， ．点B，D在 的图象上，满足 ， 均垂直于y轴．若四边形 为
菱形，则 ．
③三次函数的切线一、单选题
1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线
在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·宁夏银川·二模）已知点 不在函数 的图象上，且过点 仅有一条直线与
的图象相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点 可作曲线 三条切线，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
二、多选题
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．方程 有3个解
C．当 时，
D．曲线 有且仅有一条过点 的切线
三、填空题
5．（2024·广东深圳·一模）已知函数 ，设曲线 在点
处切线的斜率为 ，若 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．
④三次函数的对称性
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 图象的对称中心为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 ，设数列 的通项公式为 ，
则 （ ）
A．36 B．24 C．20 D．18
3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知曲线 与曲线 交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
5．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知函数 ，且 ，下面四个判断，
正确的个数为（ ）个.
① ；
②若 ，则 关于 点对称；
③若 ，则对于 R， ；
④若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．点 是曲线 的对称中心
C． 有三个零点
D．直线 是曲线 的一条切线
7．（2023·山东·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上的最小值为
B． 的图象与 轴有3个公共点C． 的图象关于点 对称
D． 的图象过点 的切线有3条
8．（23-24高二下·江西南昌·期末）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点
B．
C．不等式 的解集为
D．当 时，
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 是 的极值点
B． ，使得
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．函数 的图象是中心对称图形
10．（2024·贵州·模拟预测）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为2
C．函数 有三个零点 D． 在区间 上单调递减
11．（2024·江西南昌·三模）已知函数 ，若 的图象关于直线
对称，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象也关于直线 对称B． 的图象关于 中心对称
C． D．
12．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 ，其中实数 且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 必有两个极值点
B．当 ， 有且仅有3个零点时， 的范围是
C．当 时，点 是曲线 的对称中心D．当 ， 时，过点 可以作曲线 的2条切线
13．（2025·四川内江·模拟预测）定义： 是函数 的导数，若方程 有实数解，则称点
为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三
次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为 .则下列选项正确的有
（ ）
A．
B． 的值是
C．函数 有一个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
