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第一章：技巧方法
代入排除
常见题型：多位数问题、年龄问题、余数问题、不定方程、选项多个数、正面不好求解等
代入技巧：
求谁找谁的限定条件
利用数字特性先排除
最值代入（问最大从最大的代入，最小从最小代入）
【例1-多位数问题】（2020 江苏）在统计某高校运动会参赛人数时，第一次汇总的结果是
1742 人，复核的结果是1796 人，检查发现是第一次计算有误，将某学院参赛人数的个位数
字与十位数字颠倒了。已知该学院参赛人数的个位数字与十位数字之和是10，则该学院的
参赛人数可能是：
A.64 人
B.73 人
C.82 人
D.91 人
【例2-年龄问题】（2015 国考）小李的弟弟比小李小2 岁，小王的哥哥比小王大2 岁、比小
李大5 岁。1994 年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014 年小李与小王的年龄分别
为多少岁？
A.25、32
B.27、30
C.30、27
D.32、25
【例3-余数问题】（2019 江苏A）一群学生分小组在户外活动，如3 人一组还多2 人，5 人
一组还多3 人，7 人一组还多4 人，则该群学生的最少人数是：
A.23
B.53
C.88
D.158
【例4-不定方程】【2021 联考】某公园鸟语林共饲养180 只鸟类动物，为养护方便，园方将
鸟语林分为A、B、C 三个区。某日，A 区的一部分鸟飞至B、C 两区，清点时，B、C 两区鸟
的数量都增加一倍。次日，一些鸟又从B 区飞至A、C 两区，清点时，A、C 两区鸟的数量也
都增加一倍。第三日，一部分鸟又从C 区飞至A、B 两区，清点时，A、B 两区鸟的数量同样
增加一倍，而此时C 区剩余鸟的数量恰好是A 区的7/26，那么，最初A 区有多少只鸟？
A.103
B.104
C.105
D.106
【例5-选项为比例】（2020 联考）某手机厂商生产甲、乙、丙三种机型，其中甲产量的2 倍
与乙产量的5 倍之和等于丙产量的4 倍，丙产量与甲产量的2 倍之和等于乙产量的5 倍。
甲、乙、丙产量之比为：
A.2:1:3
B.2:3:4
C.3:2:1
D.3:2:4
（2）数字特性
2.数字特性
常见题型：
◆ 余数问题
1）余同取余；和同加和；差同减差；
2）出现余数、平均数，考虑所求是谁的倍数；
◆ 奇偶性质：
① 求不定方程（奇×奇=奇；偶×偶/奇=偶；奇+偶=奇；）
② 两个整数和与差的奇偶性一致
◆ 倍数性质
① 题干出现了分数、百分数、小数、比例、倍数时，考虑所求是谁的倍数（份数）
② 各个位数之和能除3/9 则该数可整除3/9；
尾数为0/5 时，该数能整除5；末两位是4 的倍数，则该数能除4；
【例1-差同减差】一个盒子里有乒乓球100 多个，如果每次取5 个出来最后剩下4 个，如
果每次取4 个最后剩3 个，如果每次取3 个最后剩2 个，那么如果每次取12 个最后剩多少
个？
A.11
B.10
C.9
D.8
【例2-余同取余】某学员将100 多名学生分组进行试验，若每6 人一组，则剩余1 人，若
每8 人一组，则也剩余1 人，若5 人一组，则最后可能会剩余（ ）
A.2 人
B.4 人
C.1 人或4 人
D.6 人
【例3-余数平均数问题】（2019 山东）某老旧写字楼重新装修，需要将原有的窗户全部更
换为单价90 元的新窗户，已知每7 扇换下来的旧窗户可以跟厂商兑换一个新窗户，全部更
换完毕后共花费16560 元且剩余4 扇旧窗户没有兑换，那么该写字楼一共有多少扇窗户？
A.214
B.218
C.184
D.188
购票人数(人)
1～30
31～50
50 以上
每人票价(元)
90
82
70
现有甲、乙两所小学组织学生观看，若两所学校以各自学生人数分别购票，则两所学校门
票共计需花费6120 元；若两所学校将各自学生合在一起购票，则门票费为5040 元。那么
两所小学相差多少人？
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
【例2-求不定方程】（2014 广东）办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29 份相
同的文件。每个红色文件袋可以装7 份文件，每个蓝色文件袋可以装4 份文件。要使每个
文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为（ ）个。
A.1、6
B.2、4
C.3、2
D.4、1
【例1-分数】（2020 上海）甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一
半，乙带的钱是另外三个人的三分之一，丙带的钱是另外三个人的四分之一，丁带了91
元，他们一共带了____元。
A.364
B.380
C.420
D.495
【分数】（2020 联考）甲、乙、丙三人去超市买了100 元的商品，如果甲付钱，那么甲剩
下的钱是乙、丙两人钱数之和的2/13 ；如果乙付钱，则乙剩下的钱是甲、丙两人钱数之
和的 9/16；如果丙付钱，丙用他的会员卡可享受9 折优惠，结果丙剩下的钱是甲、乙两人
钱数之和的1/3 ；那么，甲、乙、丙三人开始时一共带了多少钱？
A.850 元
B.900 元
C.950 元
D.1000 元
【例2-百分数】两个派出所某月内共受理案件160 起，其中甲派出所受理的案件中有17%
是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多
少起非刑事案件？
A.48
B.60
C.72
D.96
【百分数】某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的毛色
分为黑、白两种颜色。肉兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔有23%的毛色为白色。那么毛
色为白色的肉兔至少有多少只？
A.25
B.50
C.100
D.200
【例3-小数】学校组织学生进行献爱心捐款活动，某年级共有三个班，甲班捐款数是另外
两个班捐款总数的2/5 ，乙班捐款数是丙班的1.2 倍，丙班捐款数比甲班多300 元，则这
三个班一共捐款多少元？
A.6000
B.6600
C.7000
D.7700
【例4-比例】 A 和B 两家企业2018 年共申请专利300 多项，其中A 企业申请的专利中
27%是发明专利，B 企业申请的专利中，发明专利和非发明专利之比为8︰13。已知B 企业
申请的专利数量少于A 企业，但申请的发明专利数量多于A 企业，问两家企业最少申请非
发明专利多少项？
A.237
B.242
C.250
D.255
【5 比例】某地举办铁人三项比赛，全程为51.5 千米，游泳、自行车、长跑的路程之比为
3：80：20。小陈在这三个项目花费的时间之比为3：8：4，比赛中他长跑的平均速度是15
千米/小时，且两次换项共耗时4 分钟，那么他完成比赛共耗时多少？
A.2 小时14 分钟
B.2 小时24 分钟
C.2 小时34 分钟
D.2 小时44 分钟
【例5-倍数】（2019 云南）现有5 盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、14、
17。卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊、灰太狼4 种，每个盒内装的是同图案的卡
片。已知米老鼠图案的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案
的多1 倍，那么图案为米老鼠的卡片的张数为：
A.7
B.9
C.14
D.17
（三）方程问题：
一、巧设未知数：
优先设“比”“是”后的量；
出现分数、比例等时优先设比例份数；
主体较多，不好表示：设总量或中间变量。
二、常见题型
鸡兔同笼（十字交叉）；盈亏问题；比例问题；整体思维
【例1-鸡兔同笼】某测试共有100 道题，答对一道题得3 分，不答或答错一道题扣2 分，
小张测试成绩为285 分，则他一共答对了多少道题？
A.85
B.90
C.95
D.97
【鸡兔同笼】某地居民生活使用天然气每月标准立方数的基本价格为4 元/立方，若每月使
用天然气超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80%收费。某用户2 月份使用天然气
100 立方，共交天然气费380 元，则该市每月使用天然气标准立方数为多少立方？
A.60
B.65
C.70
D.75
盈亏问题（总量不变）:盈亏之和÷分配之差
【例2】 老师拿来一箱笔记本让班长负责给同学们分发，如果每人发2 本，还剩22 本，
如果每人发3 本，就少15 本，该班共有多少学生？
A. 37
B. 34
C. 23
D. 17
【盈亏问题】林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数30%的老年
朋友。在分包装过程中发现，如果每包200 克，则缺少500 克，如果每包150 克，则多余
250 克。那么，林先生的朋友共有多少人？
A.15
B.30
C.50
D.100
【例3-设比/是后面的量】已知2017 年、2018 年和2019 年全球共发射卫星1132 颗，2019
年发射的卫星数量是2017 年的1.5 倍还多2 颗，2018 年比2017 年多31 颗，则2019 年全
球共发射卫星：
A.314 颗
B.345 颗
C.452 颗
D.473 颗
【例4-设比例份数】某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多
人。其中从理工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数
比财经大学多60%。问该单位至少再多招聘多少人，就能将从这三所大学招聘的应届生平
均分配到7 个部门？
A.6
B.5
C.4
D.3
【例5-设中间变量】钢铁厂某年总产量的1/6 为型钢类，1/7 为钢板类，钢管类的产量正
好是型钢和钢板产量之差的14 倍，而钢丝的产量正好是钢管和型钢产量之和的一半，而其
它产品共为3 万吨。问该钢铁厂当年的产量为多少万吨？
A. 48
B. 42
C. 36
D. 28
【例6-设中间变量】姐弟四人要为妈妈买生日礼物，四个人的钱合在一起是180 元，如果
老大钱数增加8 元，老二钱数减少8 元，老三钱数乘以2 倍，老四钱数减少到原来的一
半，则此时四个人的钱数相同。若其中两人的钱数凑在一起正好买一个价格为68 元的音乐
盒，则这两个人是？
A.老二和老三
B.老大和老三
C.老大和老二
D.老二和老四
【例7-比例问题】某企业在软件园区的分公司有甲、乙两个开发团队。现从乙团队调走25
人，此时甲、乙团队人数比为4:3。 然后又从甲团队调走42 人，此时甲、乙团队人数之
比2:5。
问两次调动之前，甲、乙团队人数比为（ ）。
Ａ.3:4
Ｂ.6:7
Ｃ.1:2
Ｄ.2:5
【比例】（2019 山东）某工厂生产过程中需要用到A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三
种零件的数量比为1∶2∶3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是
3∶2∶4。工厂每天使用的三种零件数量相同，当A 零件用完的时候，B 零件还剩下10
个，C 零件还剩下170 个，请问工厂仓库中原有A、B、C 零件各多少个？
A.40、80、120
B.50、100、150
C.60、120、180 D.70、140、210
整体求方程：
【例8-找到整体和】某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送
达。其中有93 件不是甲派送的，92 件不是乙派送的，91 件不是丙派送的，则甲派送了
（ ）件。
A.44
B.45
C.46
D.47
【例10-整体求】若销售团队有5 个人，每个人把其他四个人的年龄相加，所得到的和分
别为95，102，100，99，104，则这五个人中年龄最大的人为多少岁?
A.29
B.30
C.31
D.32
【例11】某超市购入每瓶200 毫升和500 毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200 毫升沐浴
露每箱20 瓶，500 毫升沐浴露每箱12 瓶。定价分别为14 元/瓶和25 元/瓶。货品卖完
后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200 毫升的最少有几箱？
A. 3
B. 8
C. 10
D. 15
（四）不定方程：未知数个数＞方程个数
方法一：代入排除
方法二：奇偶性
方法三：倍数（约数）性质、余数
方法四：尾数（出现5 或者小数时）
方法五：赋“0”（求X+Y+Z）
方法六：不定方程组：消元后再利用上述方法；
【例1】小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好
等于900。问孩子出生在哪一季度？
A.第一季度
B.第二季度
C.第三季度
D.第四季度
【例2-倍数】某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别
为28 元/盒、32 元/盒和33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例3-最值】（2016 广州）植树节当天，某学校的两个班自发组织了一些人去植树。甲班
每人植树3 棵，乙班每人植树5 棵，两个班共植树115 棵。那么，两班植树人数之和最多
为( )人。
A.36
B.37
C.38
D.39
【例4-尾数】小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6 元。已
知红色笔单价为1.7 元、黄色笔为3 元、蓝色笔为4 元，则小李买的笔总数最多是：
A.19 支
B.20 支
C.21 支
D.22 支
【例5-不定方程组】 某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万
元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有：
A.14 人
B.19 人
C.20 人
D.21 人
【例6-赋0】甲买了3 支签字笔、7 支圆珠笔和1 支铅笔，共花了32 元，乙买了4 支同样
的签字笔、10 支圆珠笔和1 支铅笔，共花了43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各
买一支，共用多少钱？
A.21 元
B.11 元
C.10 元
D.17 元
【2022 黑龙江】幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知大班采购春联7
幅，窗花12 对、小狗玩偶5 个，共花费200 元，中班采购对联9 幅、窗花19 对、小狗玩
偶5 个，共花费224 元。问小班采购春联10 幅，窗花10 对，小狗玩偶10 个需花费多少
元？
A.170
B.176
C.340
D.352
(5)赋值
【例1-只给百分比】（2020 国考）高架桥12：00～14：00 每分钟车流量比9：00～11：00
少20%，9：00～11：00、12：00～14：00、17：00～19：00 三个时间段的平均每分钟车流
量比9：00～11：00 多10%。问17：00～19：00 每分钟的车流量比9：00～11：00 多：
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
【2-只给比例关系】某街道常住人口与外来人口之比为1∶2，已知该街道下辖的甲、乙、
丙三个社区人口比为12∶8∶7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1∶3，乙社区为
3∶5，则丙社区常住人口与外来人口比为（）。
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶3
D.3∶4
【例3-赋值一次】某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15 万元/个；第二次开
盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么，第二次开盘的车位平均价格
为：
A.10 万元/个
B.11 万元/个
C.12 万元/个
D.13 万元/个
【赋值一次】一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水
后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？
A.14%
B.17%
C.16%
D.15%
【例4-赋值两次】某钢铁厂生产一种特种钢材，这种钢材每吨的盈利下降40%，不过销售
量比去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？
A.4%
B.8%
C.20%
D.54%
溶液A×浓度a+溶液B×溶液b=总溶质
【例1-溶液问题】某实验室模拟酸雨，现有浓度为30%和10%的两种盐酸溶液，实验需要
将二者混合配置出浓度为16%的盐酸700 克备用，那么30%的盐酸需要多少克？
A.180
B.190
C.200
D.210
男生人数×80+女生人数×65=总分数
【例2-平均数】在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80 分，女选手的平均得分为65
分，全部选手的平均得分为72 分。已知全部选手人数在35 到50 之间，则全部选手人数
为：
A.48
B.45
C.43
D.40
男人数×70%+女人数×90%=总出勤人数
【例3-比重】某工厂共有160 名员工，该厂在7 月的平均出勤率是85%，其中女员工的出
勤率为90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人？
A.40
B.50
C.70
D.120
出口基期量×7.6%+进口基期量×1.4%=总增量；交叉出的为：部分基期量之比
2012 年，我国矿产品对外贸易活跃，进出口额9919 亿美元，同比增长3.6%，其中，进口
额同比增长1.4%，出口额同比增长7.6%。
【例5-增长率】2011 年我国矿产品进口总额约是出口总额的多少倍？
A.1.5
B.1.8
C.2.1
D.2.5
2018 年4 月，我国社会消费品零售总额28542 亿元，同比增长9.4%。按经营单位所在地
分，城镇消费品零售额24528 亿元，同比增长9.2%；乡村消费品零售额4014 亿元，增长
10.6%。
【增长率】2017 年4 月我国城镇消费品零售额是乡村消费品零售额的多少倍？
A.6
B.8
C.5
D.3
(7)枚举与归纳
【1-枚举】（2019 安徽）小王在商店消费了90 元，口袋里只有1 张50 元、4 张20 元、8
张10 元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？
A.5
B.6
C.7
D.8
【2-归纳】（2016 吉林乙）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产
生新的交点，第1 条直线将平面分成2 块，第2 条直线将平面分成4 块，第3 条直线将平
面分成7 块，按此规律将平面分为46 块需要：
A.7 条直线 B.8 条直线
C.9 条直线 D.10 条直线
（8）数形结合
【1-线段法】上午9 点整，甲从A 地出发，骑自行车去B 地，乙从B 地出发，开车去A 地。
两人第一次相遇时为9 点半，甲乙到达目的地后都立即返回。若甲乙的速度比为1∶3，则
他们第二次相遇时为：
A.9:40 B.9:50
C.10:00 D.10:10
【2】某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20 元，B 种方式是月租0 元。一
个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费S（元）的函数关系如图所示，当通话150 分
钟时，这两种方式的电话费相差：
A.10 元
B.15 元
C.20 元
D.30 元
【例1-时间型】为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参与一个高
铁建设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则需要300
天。甲、乙两队共同施工60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该
项目共需（ ）天。
A.120
B.150
C.180
D.210
【例2-时间型-周期】甲、乙两队单独完成某项工程分别需要10 天、17 天。甲队与乙队按
天轮流做这项工程，甲队先做，最后是哪队第几天完工？
A.甲队第11 天
B.甲队第13 天
C.乙队第12 天
D.乙队第14 天
【交替】在一块草场上老李养了若干头牛和若干只羊。如果只有羊吃草，够吃16 天；如果
第一天牛吃，第二天羊吃，这样交替，正好整数天吃完；如果第一天羊吃，第二天牛吃，这
样交替，那么比上次轮流的做法多吃半天；牛单独吃能够吃（ ）天。
A.8
B.7
C.6
D.5
【例3-时间型】若将一项工程的 1/6、1/4 、1/3 、1/4 ，依次分配给甲、乙、丙、丁四家
工程队，分别需要15 天、15 天、30 天和9 天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间
是：
A.12
B.15
C.18
D.20
【例4-效率型】甲工程队与乙工程队的效率之比为4：5，一项工程由甲工程队先单独做6
天，再由乙工程队单独做8 天，最后由甲、乙两个工程队合作4 天刚好完成，如果这项工程
由甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少天？
A.3
B.4
C.5
D.6
【5-效率型】一个工程的实施有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、丙的效率
比为５∶４∶３，如果由丁单独实施，比由甲单独实施用时长４天，比由乙单独实施用时短
５天。问四个队共同实施，多少天可以完成（不足１天的部分算１天）？
Ａ.10 Ｂ.11
Ｃ.12 Ｄ.13
【例6-效率型】有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2 天的工作量与甲、丙共同工作1 天
的工作量相同。A 工程如由甲、乙组共同工作3 天，再由乙、丙组共同工作7 天，正好完成。
如果三组共同完成，需要整7 天。B 工程如丙组单独完成正好需要10 天，问如由甲、乙组
共同完成，需要多少天？
A.不到6 天
B.6 天多
C.7 天多
D.超过8 天
【例7-多人/多台机器】 某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8 天才能完成；绣品完
成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离
开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了：
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【例8-综合型】某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲
组单独制作需要10 小时，乙组单独制作需要15 小时，现两组一起做，期间乙组休息了1 小
时40 分，完成时甲组比乙组多做300 朵。问这批花有多少朵？
A.600
B.900
C.1350
D.1500
【9-综合】 A、B、C 三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路900 米，李庄要修路1250
米。已知A、B、C 三队每天分别能修24 米、30 米、32 米，A、C 队分别在王庄和李庄修路，
B 队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问B 队在王庄工作了
几天？
A.9
B.10
C.11
D.12
【例10-统筹】某单位需要搬家，可以使用甲、乙、丙三个搬家公司。单独完成该搬家任务，
甲需要3 天，乙需要4 天，丙需要12 天；搬家费用分别为甲1000 元/天，乙850 元/天，丙
350 元/天。要求在2 天内搬完，最少需要花费多少元？（搬家不足一天按一天计算）
A.3200
B.3400
C.3550
D.3700
【例11-统筹】甲、乙两个工程队共同完成A 和B 两个项目。已知甲队单独完成A 项目需13
天，单独完成B 项目需7 天；乙队单独完成A 项目需11 天，单独完成B 项目需9 天。如果
两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任
务？
A.1/12
B.1/9
C.1/7
D.1/6
【例1-基本公式】甲乙两人绕着周长为600 米的环形跑道跑步，他们从相同的起点同时同
向起跑。已知甲的速度为每秒4 米，乙的速度为每秒3 米，则当甲第一次回到起点时，乙距
离起点还有（ ）米。
A.100
B.150
C.200
D.250
【2-等距离平均速度】小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达
学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离
家到赶回家中共用了1 个小时，假设小明当天平路骑行速度为9 千米/小时，上坡速度为6
千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，那么小明的家距离学校多远？
A.3.5 千米
B.4.5 千米
C.5.5 千米
D.6.5 千米
【3-火车过桥问题】一列火车途经两个隧道和一座桥梁，第一个隧道长600 米，火车通过用
时18 秒；第二个隧道长480 米，火车通过用时15 秒；桥梁长800 米，火车通过时速度为原
来的一半，则火车通过桥梁所需的时间为：
A.20 秒
B.25 秒
C.40 秒
D.46 秒
【4-火车相遇】梦想号”和“启航号”两列火车在两条平行轨道上匀速相向而行，“梦想号”
的车长为270 米，“启航号”的车长为360 米。若“梦想号”的乘客从车窗看见“启航号”
驶过的时间是8 秒，则“启航号”的乘客从车窗看见“梦想号”驶过的时间是（ ）秒
A.10 秒
B.8 秒
C.6 秒
D.4 秒
【5-流水行船】一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5 个小时，以同样的功率从乙地开往
甲地需要6 个小时。 如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间？ （ ）
Ａ5 小时
Ｂ15 小时
Ｃ30 小时
Ｄ60 小时
【例1-单次相遇】（2019 新疆）甲、乙两车分别以30 公里/小时和40 公里/小时的速度同时
匀速从A 地开往B 地，丙车以50 公里/小时的速度匀速从B 地开往A 地。A、B 两地距离120
公里。问丙车遇到乙车后多久会遇到甲车？
A.8 分钟
B.10 分钟
C.12 分钟
D.15 分钟
【例2-多次相遇】甲乙两车早上分别同时从A、B 两地出发，驶向对方所在城市，在分别到
达对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为60 千米
/小时,乙车的速度为40 千米/小时。两地之间相距480 千米。两车第二次相遇距离两车早上
出发经过了多少个小时？
A.13.4 B.14.4
C.15.4 D.16.4
【3-环形相遇】如右图，正方形的迷你轨道边长为1 米，1 号电子机器人从点A 以1 米/秒
的速度顺时针绕轨道移动，2 号电子机器人从点A 以3 米/秒的速度逆时针绕轨道移动，则
它们的第2017 次相遇在：
A.点A
B.点C
C.点B
D.点D
【4】甲从Ａ地、乙从Ｂ地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离Ａ地６千米，继续前
进，到达对方起点后立即返回，在离Ｂ地３千米处第二次相遇，则 Ａ、Ｂ 两地相距多少千
米？ （ ）
A.10
B.12
C.18
D.15
【5】甲车从A 地、乙车从B 地同时出发匀速相向行驶，第一次相遇距A 地100 千米，两车
继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A 地80 千米的位置第二次相遇，则AB
两地相距（）千米。
A.170
B.180
C.190
D.200
【1-直线追及】（2019 吉林乙）某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20 公里/小时的
速度去相距60 公里的八一村，1 小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1 小时后，
乙宣传员以50 公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距
离为：
A.25 公里
B.40 公里
C.35 公里
D.30 公里
【例2】某人走失了一只小狗，于是开车沿路寻找，突然发现小狗沿路边往反方向走，车继
续前行30 秒后，他下车去追小狗，如果他的速度比小狗快3 倍比车慢3/4。问追上小狗需
要多长时间？
A.165 秒 B.170 秒
C.180 秒 D.195 秒
【3】甲、乙两名运动员在400 米的环形跑道上练习跑步，甲出发1 分钟后乙同向出发，乙
出发2 分钟后第一次追上甲，又过了8 分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多跑了250 米，
问两人出发地相隔多少米？
A.200
B.150
C.100
D.50
【1-时间不变】如下图所示，长度均为六分之五千米的三个圆形跑道汇聚于点O，若甲、乙、
丙三人分别以5 千米/小时、8 千米/小时、12 千米/小时的速度同时从O 点出发分别绕三个
圈奔跑，则三人再次相聚于O 点需经过多少分钟？
A. 40
B. 50
C. 52
D. 60
【2-时间不变】甲、乙两人在一条400 米的环形跑道上从相距200 米的位置出发，同向匀速
跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000 米。问甲的速度是乙的多少倍？
A.1.2
B.1.5
C.1.6
D.2.0
【3-路程不变】小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20％，可以比原定时间提前15
分钟到达；如果按原速度行驶30 千米后再将车速提高到25％，也比原定时间提前15 分钟
到达。问小王单位距离省城多少千米？
A.60
B.120
C.180
D.240
【4-路程不变】王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B 两点出发相向而行。
走了5 分钟两人第一次相遇，接着走了4 分钟后，李大妈经过A 点继续前行，又过了26 分
钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？
A.54
B.59
C.60
D.63
【例1-基本公式】从A 市到B 市的机票如果打6 折，包含接送机出租车交通费90 元，机票
税费60 元在内的总乘机成本是机票打4 折时总乘机成本的1.4 倍。问从A 市到B 市的全价
机票价格(不含税费)为多少元？( )
A. 1200
B. 1250
C. 1500
D. 1600
【例2-列表】一台全自动咖啡机打八折销售，利润为进价的60%，如打七折出售，利润为50
元。则这台咖啡机的原价是多少元？
A.250
B.240
C.210
D.200
【例3】商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）比以前
的下降了10 个百分点。问原来的毛利率是多少？
A. 10% B. 20%
C. 30% D. 40%
【4-盈亏】某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135 元出售，若按成本
计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，则他在这次买卖中（ ）。
A. 赚9 元
B. 赔18 元
C. 赚18 元 D. 不赔不赚
【例5-部分出售】某种蔬菜进价5 元/斤，售价10 元/斤，当天卖不完的蔬菜不再出售。过
去7 天里，菜商每天购进该种蔬菜100 斤，其中有4 天卖完，有2 天各剩余20 斤，有1 天
剩余10 斤，这7 天菜商共赚了多少元钱？
A.2950
B.3000
C.3250
D.3500
【例6-部分打折】 服装店买进一批童装，按每套获利50%定价卖出这批童装的80%后，按
定价的八折将剩下的童装全部卖出，总利润比预期减少了390 元。问服装店买进这批童装共
花了多少元？
A.5500 B.6000
C.6500 D.7000
【例7-部分打折】某书店开学前新进一批图书，原计划按40%的利润定价出售，售出80%图
书之后，剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少14%，则剩下的图书销售时按定价
打了几折?
A.7
B.8.5
C.8
D.7.5
分段计费：找到分段区间；计算各区间费用
【8-分段计费】某地区居民生活用水每月标准用水量的基本价格为每吨3 元，若每月用水量
超过标准用水量，超出部分按基本价格的130%收费。某户六月份用水25 吨，共交水费83.1
元，则该地区每月标准用水量为：
A. 12 吨
B. 14 吨
C. 15 吨
D. 16 吨
【9-分段计费】两同学需托运行李。托运收费标准为10 公斤以下6 元/公斤，超出10 公斤
部分每公斤收费标准略低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5 元、78 元，甲的行李比
乙重了50%。那么，超出10 公斤部分每公斤收费标准比10 公斤以内的低了多少元？
A. 1.5 元
B. 2.5 元
C. 3.5 元
D. 4.5 元
【例10-分段计费】某商场开展购物优惠活动：一次购买300 元及以下的商品九折优惠；一
次购买超过300 元的商品，其中300 元九折优惠，超过300 元的部分八折优惠。小王购物第
一次付款144 元，第二次又付款310 元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？
A.16
B.22.4
C.30.6
D.48
【11-分段计费】同事甲、乙两人共携带120 千克行李乘坐飞机，根据规定，甲单独托运则
超重需支付200 元，乙单独托运则超重需支付100 元。若全部行李由一人负责托运，则超重
需支付450 元。问每位乘客的免费托运的行李最多为多少千克?
A.20
B.25
C.30
D.35
【例1】某类商品按质量分为8 个档次，最低档次商品每件可获利8 元，每提高一个档次，
则每件商品的利润增加2 元。最低档次商品每天可产出60 件，每提高一个档次，则日产量
减少5 件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（）元。
A.620
B.630
C.640
D.650
【例2】（2020 江苏）某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件，
已知销售单价每降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销
售单价应降低的金额是：
A.5 元
B.6 元
C.7 元
D.8 元
【例3】某镇政府有工作人员104 人，他们在清明节前去烈士陵园缅怀革命先烈，需全部坐
船渡过一条河。已知大船可载客12 人，小船可载客5 人，大船和小船不论坐满与否，都按
满载算。若大船渡一次70 元，小船渡一次30 元，则他们渡河最节省的方案是：
A.7 只大船和4 只小船
B.2 只大船和16 只小船
C.6 只大船和2 只小船
D.1 只大船和20 只小船
（一）周长类
【1】一个长方形长6cm，宽4cm，现分别平行于长和宽剪了若干刀，将长方形分割成若干个
小长方形，这些小长方形的周长之和比原长方形周长多了56cm。那么最多剪了 刀。
A.3
B.4
C.5
D.6
（二）面积类
【例2】 某单位准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的长和宽各增加4 米，则新矩形花圃
的面积比原来的面积增加了40 平方米。那么，原矩形花圃的周长是多少？
A. 12 米
B. 24 米
C. 32 米
D. 40 米
【例3】如右图所示，在长为64 米、宽为40 米的长方形耕地上修建宽度相同的两条道路(一
条横向、一条纵向)，把耕地分为大小不等的四块耕地。已知，修路后耕地总面积为1377 平
方米，则该道路路面宽度为多少米？
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【例4】太平洋上有一个圆形的平坦小岛，岛上遍布森林，闪电击中处于小岛边缘的树木引
发森林火灾（如图所示）。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进，问当大火烧到小岛中心位
置时，过火面积占全岛面积的比例大约是多少？
A.45%
B.40%
C.35%
D.30%
（三）面积类
【例5】经测算，如果将梯形的上底边增加1 米，下底边增加1 米，则面积将扩大10 平方
米；如果将梯形的上底边增加1 倍，下底边增加1 米，则面积将扩大55 平方米；如果将上
底边增加1 米，下底边增加1 倍，则面积将扩大105 平方米。现拟将梯形的上底边增加1 倍
还多2 米，下底边增加3 倍还多4 米，则面积将扩大多少？
A.280 平方米
B.380 平方米
C.420 平方米
D.480 平方米
【例6】某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个功能区，如图所
示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26 亩、18 亩和13 亩，若保留休闲区
的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
A.36 亩 B.26 亩
C.24 亩 D.23 亩
【例7】如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小草坪组成。已知四边形草
坪的面积为480 平方米，其中两个小三角形草坪的面积分别为70 平方米和90 平方米，则四
块三角形小草坪中最大的一块面积为多少平方米？（）
A.120
B.150
C.180
D.210
【例1】长为1 米的细绳上系有一个小球，从A 处放手以后，小球第一次摆到最低点B 处共
移动了几米
A.1+1/3π
B.1/2+1/2π
C.2/3π
D.1+2/3π
（四）表面积
【例1】某学校准备重新粉刷国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为
1 米和2 米。问需要粉刷的面积为（ ）。
A.30 平方米
B.29 平方米
C.26 平方米
D.24 平方米
（四）表面积
【例1】某学校准备重新粉刷国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为
1 米和2 米。问需要粉刷的面积为（ ）。
A.30 平方米
B.29 平方米
C.26 平方米
D.24 平方米
【例2】小庄要制作一个工业模具。他在一个边长4 厘米的正方体上表面正中心位置向下挖
掉一个直径2 厘米、高2 厘米的圆柱体，接着再向下挖掉一个直径1 厘米、高1 厘米的小圆
柱体（如右图所示）。那么，该模具的表面积约为多少平方厘米？
A. 82.8
B. 108.6
C. 111.7
D. 114.8
（五）体积
【例1】 野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下图所示）装满溪水进行过滤。过
滤器的底面直径为20 厘米，高为6 厘米。问全部过滤完毕后，在不考虑损耗的情况下，可
使底面半径为5 厘米，高为15 厘米圆柱型容器的水面高度达到：
A.4 厘米
B.6 厘米
C.8 厘米
D.12 厘米
【例2】如下图1 所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）
的铸造件内部挖空一个圆柱。现沿铸造件顶点A 且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下
图2 所示，已知DE、GF 为圆柱的高，BC=4√2 分米，DE=2 分米，AO=4 分米，那么挖后铸造
件的体积是：
A.128-4π
B.128/3-4π
C.64/3-4π
D.64-4π
【例3】把一个半径为3 厘米的金属小球放到半径为5 厘米且装有水的圆柱形烧杯中。如全
部浸入后水未溢出，则水面比未放入小球之前上升多少厘米？
A.1.32
B.1.36
C.1.38
D.1.44
（六）几何性质
【例1】用边长为0.2m 的正三角形地砖铺满一块边长为1m 的正六边形地面，需要多少块地
砖？
A.30
B.60
C.150
D.180
（六）几何性质
【例2】某健身馆准备将一块周长为100 米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160
米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积，问
两块场地面积之差为多少平方米？
A.625
B.845
C.975
D.1150
（六）几何性质
【例3】如图，沙漏计时器由上下两个大小相同相互连通且底面互相平行的圆锥组成，下面
的圆锥内装有细沙，计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要1 小
时，则细沙高度下降一半所需的时间是：
A.30 分钟
B.45 分钟
C.47.5 分钟
D.52.5 分钟
【例1】边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于5000，其中有两个正方形
的面积之和等于第3 个正方形的面积，这样的正方形存在多少组？
A.6
B.7
C.9
D.10
【例2】某训练基地的一块三角形场地的面积是1920 平方米。已知该三角形场地的三边长
度之比是5∶12∶13，则其周长是：
A.218 米
B.240 米
C.306 米
D.360 米
（七）几何构造
【例1】Ａ点、Ｂ点与墙的位置如下图所示，现从Ａ点出发以５米／秒的速度跑向墙，接触
到墙后再跑到Ｂ点，问最少要多少秒到达Ｂ点？（ ）
A.30
B.34
C.38
D.42
（七）几何构造
【例2】现要在一块长25 公里、宽8 公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径
为5 公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？
A.7
B.6
C.5
D.4
一、区分排列组合：
排列A：从整体中选出指定元素并进行排序；
组合C：从整体中仅仅选出指定元素，不排序；
排列：
① 三个去三个地方的情况数：
② 五个人坐六个位置/房间：
③ 4 个人的比赛顺序：
④ 三对情侣排队的情况数：
组合：
① 从10 个人中选2 个的情况数：
② 从5 个兴趣班选2 个参加的情况数：
③ 将4 个人平均分成两组的情况数：
二、计算排列组合：
排列A：𝐴5
2 = 5 ×4；𝐴7
3 = 7 × 6 ×5；下标数决定了从谁乘，上标数决定了几个数相乘
组合C：𝐂𝟓
𝟐=
𝟓×𝟒
𝟐×𝟏= 𝐂𝟓
𝟑； 𝐂𝒏𝟏= 𝒏；组合数=排列数÷上标数的阶乘
三、
乘法原理：完成一件事是分步骤的，将各个步骤的情况数相乘
加法原理：完成一件事是分情况的，将每种情况数相加
例：
① 四种兴趣班至少选一种的情况数：
② 三局两胜甲赢的概率：
③ 从A 到B 后转车去C 的情况数：
【例1】小李今天上午有a、b、c、d 这四项工作要完成，下午有e、f、g 这三项工作要完
成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有（ ）种完成工作的顺序。
A.30
B.60
C.72
D.144
【例2】随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。某地级
市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前
三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（除O、I 外），那么这种方法可以给该
地区汽车上牌照的数量为：
A.397440 辆
B.402400 辆
C.552000 辆
D.576000 辆
【例3】从19，20，21，……，98，99 这81 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的
选法有（）种。
A.1620
B.1580
C.1540
D.1600
【例4】某单位要求职工参加20 课时线上教育课程，其中政治理论10 课时，专业技能10
课时。可供选择的政治理论课共8 门，每门2 课时；可供选择的专业技能课共10 门，其中
2 课时的有5 门，1 课时的有5 门。问可选择的课程组合共有多少种？
A.5656
B.5600
C.1848
D.616
【例5】A、B、C 三个社区需要建设若干个5G 基站，三个社区可供选择的建设基站地点分别
有2 个、4 个、5 个，现从A、B、C 三个社区分别选取1、2、3 个地点随机分配给甲、乙、
丙三个施工队进行建设，要求每个施工队只能承接一个社区，则承建方式有：
A.720 种
B.480 种
C.360 种
D.120 种
【例6】某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门，小刘从中选取四门课程，若要求两
类课程各至少选一门，则选法有：
A.18 种
B.22 种
C.26 种
D.34 种
【例7】某企业从10 名高级管理人员中选出3 人参加国际会议。在10 名高级管理人员中，
有一线生产经验的有6 人，有研发经验的有5 人，另有2 人既无一线生产经验也无研发经
验。如果要求选出的人中，具备一线生产经验的人和具备研发经验的人都必须有，问有多少
种不同的选择方式？
A.96
B.100
C.106
D.112
1.捆绑法：要求某几个元素相邻；
方法：
第一：把相邻的元素当成“1”，整体上跟其他元素排列；
第二：再考虑相邻元素内部的顺序；
【例1】四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同
的排队顺序？
A.24 种 B.96 种
C.384 种 D.40320 种
【例2】为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出3、
2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种
数在以下哪个范围之内？（）
A.大于20000 B.5001~20000
C.1000~5000 D.小于1000
【例3】两对夫妇各带一个小孩乘坐有6 个座位的游览车，游览车每排只有1 个座位。为安
全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸；两个小孩一定要排在一起。那么，这6 人的排座
方法有：
A.12 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种
2.插空法：某几个元素不相邻
方法：
第一：把不相邻的元素插到其他元素空内
第二：考虑其他元素的相对顺序
【例1】（2020 联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、
考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进
行，该学员学习顺序的选择有：
A.24 种
B.72 种
C.96 种
D.120 种
【例3】某兴趣组有男女各5 名，他们都准备了表演节目，现在需要选出4 名学生各自表演
1 个节目，这4 人中既要有男生，也要有女生，且不能由男生连续表演节目，那么不同的节
目安排有多少种？
A.1200
B.2400
C.3000
D.3600
3.隔板法：物品分配，至少每份分得一个；
方法：将n 个相同的物品，分给m 个人，每个人至少得1 个，则共有𝑐 𝑛−1
𝑚−1种分配方法
【例1】（2020 联考）某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有一名交通协
管员，现将8 个协管员名额分配到这4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：
A.35 种
B.70 种
C.96 种
D.114 种
【例2】将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到1 个桔子，一共
有几种分配方法？（）
A.14
B.18
C.20
D.22
【例3】某领导要把20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有（）种
不同的分配方式。
A.28
B.36
C.54
D.78
4.错位排列：有n 个元素和n 个位置，每个元素不在自己原来的位置上。
方法：n 个元素对应的错位排列情况为D1=0 种，D2=1 种，D3=2 种，D4=9 种，D5=44 种，……
错排公式：Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）（n≥3）
【例1】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己
做的那道菜。问共有几种不同的尝法？（）
A.6 种
B.9 种
C.12 种
D.15 种
【例2】某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室。若每个科室只
能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（）
A.120
B.78
C.44
D.24
【例1】6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种安排方法？( )
A.720
B.180
C.560
D.480
E.360
F.240
G.12
H.48
6.平均分组：将元素平均分成n 组；
方法：
若组与组不区分：按组选人后要÷n！
若组与组有区别；按组选人即可；
【例1】将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A.120
B.126
C.240
D.252
【例2】某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗
考核，问共有多少种不同的方案？
A.210
B.420
C.630
D.840
【例3】某单位组织志愿者参加公益活动，有8 名员工报名，其中2 名超过50 岁。现将他
们分成3 组，人数为3、3、2，要求2 名超过50 岁的员工不在同组，则不同分组的方案共
有（ ）。
Ａ120 种
Ｂ150 种
Ｃ160 种
Ｄ210 种
7.其他题型
【1】小赵从家出发去单位上班要经过多条街道（如图），假如他只能向西或向南行走。则他
上班有多少种不同的走法？
A.6
B.24
C.32
D.35
【例2】如下图所示，某城镇共有6 条东西方向的街道和6 条南北方向的街道，其中有一个
湖，街道在此变成一个菱形的环湖大道。现要从城镇的Ａ处送一份加急信件到B 处，为节省
时间，要选择最短的路线，共有（ ）种不同走法。
A.35
B.36
C.37
D.38
【例3】从Ａ地到Ｂ地的道路如下图所示，所有转弯均为直角，问如果要以最短距离从Ａ地
到达 Ｂ 地，有多少种不同的走法可以选择？ （ ）
A.14
B.15
C.18
D.21
【例4】在九宫格内依次填入数字1~9，现从中任取两个数，要求取出的两个数既不在同一
行也不在同一列，共有多少种不同取法？
A.9
B.18
C.36
D.45
（一）基础概率
【例1】某公交站附近区域停放A 型共享单车4 辆，B 型单车5 辆，C 型单车6 辆，一公交
车到站后下车的乘客随机选择其中13 辆单车骑走，问B 型和C 型全部被骑走的概率在以下
哪个范围内？
A.在10%以下
B.在10%—15%之间
C.在15%—20%之间
D.在20%以上
【例2】将张、王、李、赵、吴５ 名督导员分配到４ 个分公司开展工作，要求每个分公司
至少分配１人。 问在所有安排方式中随机选择一种，能同时满足“张、王都单独负责１个
分公司”和
“李不能和赵分配到同一个分公司”两个条件的概率为（ ）。
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
【例3】在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银行卡密
码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在
吞卡前猜中正确密码的概率是：
A.
3
20
B.
1
5
C.
1
9
D.
2
9
【例1】某单位的会议室有5 排共40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则
他们坐在同一排的概率（）
A.高于20%
B.正好为20%
C.高于15%但低于20%
D.不高于15%
【例2】一个纸箱里装有大小及材质完全相同的10 个小球，其中3 个黑色，2 个白色，1 个
红色，2 个黄色，1 个绿色，1 个紫色。如果不放回地依次随机取出3 个小球，则取出的小
球依次是黑色，红色，白色的概率为：
A.1/120
B.1/240
C.1/250
D.1/500
【例3】某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张与小李是
同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.2/97
B.2/98
C.2/99
D.2/100
【例4】某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个部门2 人，排座位时，要求同
一部门的两人相邻，若小李和小王代表不同部门参加会议，则他们座位相邻的概率
A.1/48
B.1/24
C.1/12
D.1/6
【例5】某市举办足球邀请赛，共有9 个球队报名参加，其中包含上届比赛的前3 名球队。
现将这9 个球队通过抽签的方式平均分成3 组进行单循环比赛，则上届比赛的前3 名球队
被分在同一组的概率是：
A.1/21
B.1/28
C.1/63
D.1/84
【例1】某次知识竞赛试卷包括3 道每题10 分的甲类题，2 道每题20 分的乙类题以及1 道
30 分的丙类题。参赛者赵某随机选择其中的部分试题作答并全部答对，其最终得分为70 分。
问赵某未选择丙类题的概率为多少？
A.1/3
B.1/5
C.1/7
D.1/8
【例2】植树节期间，某单位购进一批树苗，在林场工人的指导下组织员工植树造林。假设
植树的成活率为80%，那么，该单位职工小张种植3 棵树苗，至少成活2 棵的概率是
A.27/125
B.48/125
C.64/125
D.112/125
【例1】小李抽盲盒，这类盲盒一共有8 款，小李只要其中的1 款，他一次买了两个盲盒，
则抽中他想要的那款的概率是（ ）。
A.1/64
B.7/32
C.15/64
D.1/4
【例2】某地举行募捐抽奖活动。 每位捐赠者均有一次抽奖机会。 活动设一二三等奖，获
奖规则如下：抽奖时捐赠人在0 到9 这10 个数字中一次随机抽取4 个不同的数字，若与主
办方开奖时随机抽取的4 个不同数字完全相同，则获一等奖；若恰有3 个相同，则获二等
奖；若恰有2 个相同则获三等奖。 则捐赠者获奖的概率是（ ）。
【例1】主人随机安排10 名客人坐成一圈就餐，这10 名客人中有两对情侣，那么这两对情
侣恰好都被安排相邻而坐的概率约
【例2】某企业将5 台不同的笔记本电脑和5 台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小学,每
所学校分配5 台电脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平板电脑
数量均不超过3 台的概率为：
【例3】某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培训，培训后再将5 人随机分
配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5 个参加培训的人中，有且仅有1 人在培训
后返回原分公司的概率：
A.低于20%
B.在20%~30%之间
C.在30%~35%之间
D.大于35%
【例4】进入某比赛四强的选手通过抽签方式随机分成2 组进行半决赛，已知小王在面对任
何对手时获胜的概率都是60%小张在面对任何对手时获胜的概率都是40％。 问小王和小张
均在半决赛中获胜的概率为：
A.2/15
B.4/15
C.3/25
D.4/25
【2020 联考】某公司职员预约某快递员上午9 点30 分到10 点在公司大楼前取件，假设两
人均在这段时间内到达，且在这段时间到达的概率相等。约定先到者等后到者10 分钟，过
时交易取消。快递员取件成功的概率为：
【例1】市电视台向150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108 人看
过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道又看过乙频道，则受调査观众中在前一天
晚上两个频道均未看过的人数是：
A.17
B.22
C.29
D.38
【例2】篮子里有苹果和梨子两种水果若干个，将这些水果分发给13 人，每人最少拿一个，
最多拿两个不同的水果。已知有9 个人拿到了苹果，有8 人拿到了梨，最后全部分完。那
么，有多少人只拿到了苹果？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例3】某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香肠以研究其食性。
结果表明，90％的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3 倍，而两种食物
都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的（ ）。
A.1/5
B.3/10
C.2/13
D.4/15
【例1】某单位共有240 名员工，其中订阅 Ａ期刊的有125 人，订阅B 期刊的有126 人，
订阅Ｃ期刊的有135 人，订阅Ａ、Ｂ期刊的有57 人，订阅 Ａ、Ｃ期刊的有73 人，订阅3
种期刊的有31 人，此外，还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。 问订阅 Ｂ、Ｃ期
刊的有多少人？ （ ）
A.57
B.64
C.69
D.78
【例2】对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中
58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18
人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的
有（ ）
A.30
B.36
C.26
D.22
【例3】有135 人参加某单位的招聘，31 人有英语证书和普通话证书，37 人有英语证书和
计算机证书，16 人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则
只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有
多少人不能参加面试？
A. 50
B. 51
C. 52
D. 53
【例4】某班参加学科竞赛人数40 人，其中参加数学竞赛的有22 人，参加物理竞赛的有27
人，参加化学竞赛的有25 人，只参加两科竞赛的有24 人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2
B.3
C.5
D.7
【例5】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179 人
使用搜索引擎获取信息，146 人从官方网站获取信息，246 人从社交网站获取信息，同时使
用这三种方式的有115 人，使用其中两种的有24 人，另有52 人这三种方式都不使用，问这
次调查共发出了多少份问卷？
A.310
B.360
C.390
D.410
（四）三集合容斥：极值问题
总人数=X+Y+Z
总人次=A+B+C= X+2Y+3Z
【例6】某单位利用业余时间举行了3 次义务劳动，总计有112 人次参加。在参加义务劳动
的人中，只参加1 次、参加2 次和3 次全部参加的人数之比为5：4：1，问该单位共有多少
人参加了义务劳动？
A. 70
B. 80
C. 85
D. 102
（方法一）总人数=X+Y+Z；总人次=A+B+C= X+2Y+3Z
（方法二）总人数-反面（尽量每个人参与的次数多，则需要的人就会少）；
【例7】一个班级组织跑步比赛，共设100 米、200 米、400 米三个项目。班级有50 人，报
名参加100 米比赛的有27 人，参加200 米比赛的有25 人，参加400 米比赛的有21 人。如
果每人最多只能报名参加2 项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛？
A.11
B.12
C.13
D.14
【例8】某单位工会会员60 人，现在组织会员报名参加兴趣活动小组，其中报名徒步组的
有 40 人，羽毛球组的有38 人，乒乓球组的有31 人，这三项活动都报名的有18 人，问这
个单位工会会员中最多有多少人三个小组都没有报名？ （ ）
A.14
B.15
C.16
D.18
【例9】有100 人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50
人，未参加跳高的有60 人，未参加赛跑的有70 人。问至少有多少人参加了不止一个项目？
A.7
B.10
C.15
D.20
（一）最不利构造
问法：至少…保证…
思路：第一步：保证后面的数-1:找到倒霉的一种情况
第二步：看看题干的情况数是多少种；
第三步：把每种倒霉的情况数相加后再＋1
【例】（2020 联考）某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花三种花
卉各20 盆，每盆均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由工人搬运至布展区。问至少要
搬出多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金香？
A. 20 盆
B. 21 盆
C. 40 盆
D. 41 盆
【例1】有6 种颜色的小球，数量分别为4、6、8、9、11、10，将它们放在一个盒子里，那
么拿到相同颜色的球最多需要的次数为：
A.6
B.12
C.11
D.7
【例2】某地区招聘卫生人才，共接到600 份不同求职者的简历。其中，临床、口腔、公共
卫生和护理专业分别有200 人、160 人、140 人和100 人，问至少有多少人被录用，才能保
证一定有140 名被录用者专业相同？
A. 141
B. 240
C. 379
D. 518
【例3】某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7 种颜色的荧光棒各若干只，每名观
众可在入口处任意选取2 只，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少（ ）名观众中，
一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。
A.14
B.22
C.28
D.29
【例4】某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报
名了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保
证样本中有4 名会员报的兴趣班完全相同？( )
A.93
B.94
C.96
D.97
（二）数列构造
特征：最（多/少）…最（多/少）…；排名第几的最（多/少）
解题：定位---构造----求和
【例】现有21 本故事书要分给5 个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故
事书数量最多的人至少可以得到( )本。
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
【例1】企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生，从其中任意2 所大学招聘的应
届生数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数量最少且正好为B 大学的一半。从B 大学
招聘的应届生数量为6 所大学中最多的，则该企业今年从A 大学至少招聘了多少名应届生？
A.48
B.47
C.46
D.45
【例2】某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金额都是1000 元
的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任意2 户农户
的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
【例3】在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120 分，按得分排名，
前5 名的平均分为115 分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是多少？
A.112 分
B.113 分
C.115 分
D.116 分
（三）多集合反向构造
特征：至少…都；都…至少
解题：总数-反面之和
【例1】阅览室有100 本杂志，小赵借阅过其中75 本，小王借阅过70 本，小刘借阅过60
本，则三人共同借阅过的杂志最少有（）本。
A.5
B.10
C.15
D.30
【例2】某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中，观看过乒乓球比赛的占
87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000 名受访者中，乒乓球、
跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310 人
B.440 人
C.620 人
D.690 人
【例3】书法大赛的观众对5 幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5 幅作品中的任
意一幅或多幅，但只有在选择不超过2 幅作品时才为有效票。5 幅作品的得票数（不考虑是
否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少？
A.65%
B.70%
C.75%
D.80%
十：时间类
【例1】一家三口，妈妈比儿子大26 岁，爸爸比儿子大33 岁。1995 年，一家三口的年龄之
和为62。那么，2018 年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是：
A.23，51，57
B.24，50，57
C.25，51，57
D.26，52，58
【例2】2020 年老张的年龄是小王年龄的4 倍，2021 年老李的年龄是小王年龄的3 倍，已
知老张比老李大12 岁，问哪一年三人的年龄之和第一次超过140 岁？
A.2020
B.2023
C.2026
D.2029
【例3】小王与父亲属相相同，小王的母亲比他父亲小4 岁，某个蛇年小王的母亲年龄正好
是小王的3 倍（年龄按阴历年份计算，出生当年算0 岁），则小王的属相可能是：
A.蛇
B.马
C.羊
D.猴
【例4】刘女士今年48 岁，她说：“我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，姐妹俩
的年龄之和比我到那时的年龄还大2 岁。”问姐姐今年多少岁?
A.23
B.24
C.25
D.不确定
（二）星期日期 本质：周期问题，
1、推算星期：星期是以7 为周期的问题，两个日期差为7 的倍数，其星期是相同；除7 看
余数；
2、利用最小公倍数（每隔N 天=每N+1 天）。
【1】三个学校的志愿队分别去敬老院照顾老人，A 学校志愿队每隔7 天去一次，B 学校志愿
队每隔9 天去一次，C 学校志愿队每隔14 天去一次，三个队伍周三第一次同时去敬老院，
问下次同时去敬老院是周几？
A.周三
B.周四
C.周五
D.周六
【2】小明、小红、小桃三人定期到某棋馆学围棋，小明每隔3 天去一次，小红每隔4 天去
一次，小桃每隔5 天去一次。若2016 年2 月10 日三人恰好在棋馆相遇，则下次三人在棋馆
相遇的日期是：
A.2016 年4 月8 日
B.2016 年4 月11 日
C.2016 年4 月9 日
D.2016 年4 月10 日
【例3】网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每隔2
天、4 天和7 天巡检一次。3 月1 日，小刘巡检了3 个机房，问他在整个3 月有几天不用做
机房的巡检工作？
A.12
B.13
C.14
D.15
推算星期日期：1.平年+1；瑞年+2； 2.把每个月28 天拎出来，看剩余天数的情况；
【例1】已知2008 年的元旦是星期二，问2009 年的元旦是星期几？
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
推算星期日期：1.平年+1；瑞年+2； 2.把每个月28 天拎出来，看剩余天数的情况；
【例2】某年的3 月有5 个星期一和4 个星期二，则该年的国庆节是：
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
【例3】某市在工作日对本地机动车实行尾号限行，规则为：周一限行1 和9，周二限行2
和8，周三限行3 和7，周四限行4 和6，周五限行5 和0。 已知某年7 月份尾号1 和9 和
5 和0 的限行天数一样多，则该年的7 月1 日是
A.星期一
B.星期二
C.星期六
D.星期日
【例4】某工厂员工周一到周五每天工作8 小时，周六工作5 小时，周日休息。 小王某年6
月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班500 小时。 如当年7 月1 日是星期
六且小王上班，问他到该工厂上班的日期是（ ）。
A.6 月21 日
B.6 月22 日
C.6 月23 日
D.6 月24 日
【例5】小张每周一到周五都要去健身房锻炼。某年小张每个季度去健身房锻炼的天数相同，
问当年的国庆节是星期几？
A. 星期一
B. 星期五
C. 星期六
D. 星期日
【例1】某单位财务主管准备去办理公积金业务，他在时钟的时针和分针重合时准时出发，
当他办理完业务返回时，时针刚好旋转30 度，此时分针旋转过的角度是时针旋转过的角度
的：
A.8 倍
B.15 倍
C.12 倍
D.10 倍
【例2】钟表有一个时针和一个分针，分针每一小时转360 度，时针每12 小时转360 度，
则24 小时内时针和分针成直角共多少次？ （ ）
A.28
B.36
C.44
D.48
追及型：
时针与分针的角度差为追及距离；
时针与分针的速度差为5.5°/分
【1】某时刻时针与分针的夹角为60 度，问至少经过多长时间，时针和分针又一次形成60
度夹角？
A.21.2 分钟
B.21.4 分钟
C.21.6 分钟
D.21.8 分钟
【例2】张爷爷早晨5 点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹角是110 度，不到6
点进门时，钟表上的时针和分针的夹角还是110 度，则张爷爷外出时间是多少分钟？
A.30
B.35
C.40
D.45
【例3】小张参加一个会议，会议下午2 点多开始时小张看表发现时针与分针呈直角。 会
议开到下午5 点多结束时，小张发现时针与分针完全重合。 则会议开了（ ）。
A.3 个小时整
B.3 个小时整或3.5 个小时
C.3 小时1 分到5 分
D.3 小时25 分到29 分
快慢坏表：本质为环形追及问题
1.根据坏表与好表的速度比例关系；
2.根据环形追及：需要多走的分钟数=（快慢表与标准时间的差）×t
【例1】两只机械手表，一只每天快18 分钟，一只每天慢15 分钟。现在将两只手表同时调
整到标准时间，则它们再次同时显示标准时间要经过（）天。
A.40
B.88
C.178
D.240
【例2】一个时钟每小时慢4 分钟，照这样计算，早上6;00 对准标准时间后，当日晚上该
时钟指向8:00 时，标准时间是多少？ （ ）
A.20:56
B.21:00
C.21:30
D.21:56
【例3】某收藏家有三个古董钟，时针都掉了，只剩下分针，而且都走得较快，每小时分别
快2 分钟、6 分钟及12 分钟。 如果在中午将这三个钟的分针都调到指向钟面的12 点位置，
（ ）小时后这三个钟的分针会再次指向相同的位置。
A.24
B.26
C.30
D.36
（趣味杂题）
（一）等差数列：
相邻两项差值相等比如：1、4、7、10…
通项公式：
前n 项和：
级差公式：m+n=p+q 则：存在am+an=ap+aq
【例1】（2020 河北）三个自然数成等差数列，公差为20，其和为4095。这三个数中最大的
是：
A.1345
B.1365
C.1385
D.1405
【例2】（2020 新疆）某阶梯会议室有16 排座位，后一排比前一排多2 个，最后一排有40
个座位。这个阶梯会议室共有多少个座位？
A. 300
B. 350
C. 400
D. 440
【例3】某成衣厂对9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分正好成等差数列，9 人的平
均得分是86 分，前5 名工人的得分之和是460 分，那么前7 名工人的得分之和为
A.602
B.623
C.627
D.632
【例4】小李家住在一个小胡同里，各家门牌号从1 开始按顺序排列，已知胡同里各家门牌
号之和减去小李家门牌号等85，则小李家门牌号是
A.5
B.6
C.7
D.8
书页问题：奇偶、倍数(约数)
【例5】论文集中收录了一篇十多页的论文，其所在各页的所有页码之和为1023，问这篇论
文之后的一篇论文是从第几页开始的？
A.94
B.99
C.102
D.109
二、溶液问题
基本公式：溶度=
溶质
溶液；溶质=溶液×浓度
常考题型：蒸发、稀释、混合；反复操作
常用方法:方程、十字交叉、正反比例、赋值
正反比：反复操作类问题，重点抓住是溶质不变还是溶液不变，溶液不变时，溶质与溶度正
相关；
【例1】现有一杯浓度为20%的糖水200 克，加入6 克糖，再加入24 克水后，此时的糖水与
原来相比：
A.不如原来甜
B.比原来甜
C.一样甜
D.无法确定
【例2】将浓度为15%和5%的盐水各1000 克，分别倒出若干配置成浓度为10%的盐水1200
克，将剩下的盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为：
A. 10%
B. 8.25%
C. 8%
D. 7.25%
【例3】有一瓶浓度为15%的盐水500 克，每次加入34 克浓度为60%的盐水，则至少加 次
该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。
A.6
B.7
C.8
D.9
【例4】A、B 两个容器装有质量相同的酒精溶液，若从A、B 中各取一半溶液，混合后浓度
为45%，若从A 中取1/2、B 中取溶液1/4，混合后浓度为40%。若从A 中取1/5、B 中取4/5
溶液，则混合后溶液的浓度是：
A.48%
B.50%
C.54%
D.60%
【例5】一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶
液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？
A.14%
B.17%
C.16%
D.15%
【例6】一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀第二次喝了
1
3碗，用水加满搅匀；
第三次喝了
1
6碗，用水加满搅匀；最后一次全吃完。则最后一次吃下的芝麻糊中芝麻粉含量
是：
【例7】某化学实验室有A、B、C 三个试管分别盛有10 克、20 克、30 克水，将某种盐溶液
10 克倒入试管A 中，充分混合均匀后，取出10 克溶液倒入B 试管，充分混合均匀后，取出
10 克溶液倒入C 试管，充分混合均匀后，这时C 试管中溶液浓度为1%，则倒入A 试管中的
盐溶液浓度是：
A.40%
B.36%
C.30%
D.24%
【例1】牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给10 头
牛可以吃20 天，供给15 头牛可以吃10 天。供给25 头牛可以吃多少天？
A.6 B.5
C.4 D.3
【例2】火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人
数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3 个窗口，需耗时90 分钟，若开放
5 个窗口，则需耗时45 分钟。问如果开放6 个窗口，需耗时多少分钟?
A.36
B.38
C.40
D.42
【例3】某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，
清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1 台挖沙机300 天可完成清淤工作，使用2 台挖
沙机100 天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25 天内完成
河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【例4】 由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。假设每天降雨量一致，若打
开2 个水闸放水，则3 天后正好到达警戒水位；若打开3 个水闸放水，则4 天后正好到达警
戒水位。气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。若不考虑水的
蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位？
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【例5】某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同时供40 人吸氧，60 分钟后氧气耗
尽，再次充满该氧气罐同时供60 个人吸氧，则45 分钟后氧气耗尽。问如果该氧气罐充满后
无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间?
A.一个半小时
B. 两个小时
C. 两个半小时
D. 三个小时
【例1】长度为250 米的马路上每隔5 米植树一棵，则该条路上共有树木几棵？
A.50
B.51
C.52
D.53
【例2】一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50 米。林某每
天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行
70 步，每步大约50 厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的
梧桐树共有多少棵?
A.21
B.22
C.42
D.44
移动问题：找最小公倍数；直线：无需移动的数=总长÷最小公倍数+1；环形=总长÷最小公
倍数
【例3】某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35 米的路灯一共有21 盏，现要将路灯的间
隔缩短为25 米，那么有（）盏路灯无需移动。
A.2
B.3
C.4
D.5
【例4】施工队给一个周长为40 米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔1 米挖一个洞用于
埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8 米挖一个洞。那么，至少需要再挖几个
洞？
A. 39
B. 40
C. 41
D. 42
【例5】为加强治安防控，现计划在一段L 形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，其中A
点到B 点长度为750 米，B 点到C 点长度为1350 米。按要求ABC 三个位置必须安装一个摄
像头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装（ ）个摄像
头。
A.14
B.15
C.16
D.17
【例1】某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108 人，则这个学校共有多少
名学生？
A.724 人
B.744 人
C.764 人
D.784 人
【例2】某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵，
两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方阵的最外圈。已知彩
旗方阵比鲜花方阵多28 人，则新方阵的总人数为：
A.100
B.144
C.196
D.256
【例3】某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发现多出
99 人，于是又将每行和每列多加了4 人进行排列，发现缺少37 人。 问学校共有运动员多
少人？
A.256
B.289
C.324
D.361
【例1】有一种电子钟，每到整点就响一次铃，每走9 分钟亮一次灯。正午12 点时，它既
亮灯又响铃，它下一次既响铃又亮灯是下午几点钟？
A. 1 点钟
B. 2 点钟
C. 3 点钟
D. 4 点钟
【例2】甲、乙两人在玩一个沙盘游戏。 比赛的规则是：在一个分为50 个单位的区域上，
每人轮流去划定这些区域作为自己的领地，每次可以划定1 到5 个单位，谁作为最后划定区
域的人则为胜利者，如果由甲先划定，那么甲一开始要划定（ ）个单位，才能保证自己
获胜。
A.1
B.2
C.3
D.4
【例1】某羽毛球赛共有23 支队伍报名参赛，赛事安排23 支队伍抽签两两争夺下一轮的出
线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛最后共会遇到多少
次轮空的情况？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【例2】某市直属机关举行“健身杯”排球比赛，参赛的共九个单位，如果采取循环赛的方
法，分别在九个球场进行比赛。请问每个球场平均进行几场比赛？
A.7 场
B.6 场
C.5 场
D.4 场
【例3】乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组。每两个
队之间都要比赛1 场，已知日本队已比赛了1 场，德国队已比赛了2 场，中国队已比赛了3
场。则丹麦队还有几场比赛未比？
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【例4】某篮球比赛有12 支球队报名参加，比赛的第一阶段中，12 支球队平均分成2 个组
进行单循环比赛，每组前4 名进入第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛，直至决出冠军。问
亚军参加的场次占整个赛事总场次的比重为：
A. 10%以下
B. 10%~15%
C. 15%~20%
D. 20%以上
【例5】有5 支足球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3 分，负者不得分，平局双方各得
1 分。比赛结束后，若5 支球队的总得分为25 分，冠军得12 分，则亚军得
A.5 分
B.6 分
C.7 分
D.8 分
【例1】12 个啤酒空瓶可以免费换1 瓶啤酒，现有101 个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤
酒为：
A.10 瓶
B.11 瓶
C.8 瓶
D.9 瓶
【2】某旅游景点商场销售可乐，每买3 瓶可凭空瓶获赠1 瓶可口可乐，某旅游团购买19 瓶，
结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人：
A.19
B.24
C.27
D.28
【例3】某啤酒厂为促销啤酒，开展6 个空瓶换1 瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先后买了
109 瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤
酒？ （ ）
Ａ127
Ｂ128
Ｃ129
Ｄ130
【例1】8 个一元真币和1 个一元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真币略重。问
用一台天平最少称几次就一定可以从这9 个硬币中找出假币？
A.2 次
B.3 次
C.4 次
D.5 次
【例2】体育彩票22 选5 中使用的22 个彩球除编号不同外，其余完全一样。由于生产过程
疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其他球。现需用天平将该球找出，那么，在最优方
案下，最多要使用天平：
A.3 次
B.4 次
C.5 次
D.6 次
【例1】甲、乙、丙、丁四人深夜旅行，要过一座桥。他们过桥的时间分别为2 分钟，3 分
钟，5 分钟，6 分钟，桥上每次只能同时让两个人通过，而他们四人只有一盏灯，为了保障
安全，必须有灯时才能行走。问他们过桥最少需要多少时间？（ ）
A.15
B.16
C.17
D.18
【例2】小明一家过一座桥，过桥时是黑夜，所以必须拿着唯一的灯过桥。 现在小明过桥要
1 秒，小明的弟弟要3 秒，小明的爸爸要6 秒，小明的妈妈要 8 秒，小明的爷爷要12 秒。
每次过桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后 30 秒就会熄灭。
问：小明一家过桥至少需要多长时间？ （ ）
A.30
B.29
C.19
D.18
【1】一根绳子对折n 次，从中间剪断，共剪成2𝑛+1 段；
【2】青蛙爬井：
有一只青蛙在井底，每天上爬10 米，又下滑6 米，这口井深20 米，这只青蛙爬出井口至
少需要多少天
