高中物理常规教学—万有引力的应用

闵鑫

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一、重力加速度与高度相关的问题

【前情回顾】自转可忽略的星球表面重力加速度由星球半径和质量决定，的决定式

式中R的含义：星球半径

1、重力加速度与地理位置的关系：

我们暂时不考虑地球自转（事实上地球自转很慢）你心目中的地球是否是这个样子（图1）：

对于质量分布均匀、无自转的理想球型天体，其表面的重力加速度大小处处相等。

而事实上，地球没有你想象的那么圆，如图2（此图有夸张，地球确实有点扁，但没有那么扁，一般我们都把地球当正球体处理），你觉得重力加速度数值与纬度有什么关系

纬度越高重力加速度越大。

2、重力加速度与高度的关系：

如右图所示，物体在赤道某处上空高度h处，（请在图中标出地球半径R，物体到地心的距离r，高度h）

小结：在小尺度问题中（一个地区、一座城市、一个高楼）由于对R影响不大，所以重力加速度处处相等。

拓展阅读——《高空中的自由落体》

【课堂练习1】地球半径是R，地球表面的重力加速度为g，若高空某处的重力加速度为g/2，则该处距离地球表面的高度为（ A ）

（2）有自转情况下，重力与万有引力关系

星球表面物体随星球自转而做圆周运动，其所需要的向心力由万有引力的一部分充当，另一部分为重力。（对物体受力分析，支持力与重力平衡，剩下的合力充当向心力）

补充阅读——《关于重力的定义与重力加速度》

【课堂练习2】一个物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常数为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（     ）

【情景研究】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球质量为M，半径为R，自转的周期为T，引力常量为G。求：

（1）地球表面在两极的重力加速度g；

（2）地球表面在赤道的重力加速度g₀。

二、利用圆周运动环绕系统求中心天体质量与密度

【课堂练习3】一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（）

值得注意的问题：利用圆周运动环绕系统半径与行星运动参量可以求中心天体质量，但不能求出行星的质量！（本质原因参看上一节，圆周运动环绕系统特征，r、v、ω、T、a一定全定一变全变与m没有关系）

三、黄金代换式的应用

【例题2】已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。(1)推导第一宇宙速度v₁的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.

解析：（1）第一宇宙速度及，贴近地球表面做匀速圆周运动卫星的速度，也称“环绕速度”

对贴近地球表面做匀速圆周运动的卫星，由牛顿第二定律：

（对照课本P28思考讨论，体会前后联系）

【例题3】一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为（）

【检测题】

1、利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量，（万有引力常量G已知）（）

A．已知地球的半径R_地和地面的重力加速度g

B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T

C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v

D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T

2、三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示，已知M_A=M_B<M_C，则对于三个卫星，正确的是（）

3、已知某星球的质量为M，星球的半径为R，引力常量为G，它的一颗卫星绕该星球做匀速圆周运动离星球表面的高度也为R，则卫星在圆轨道上运行的速率为（）

4、探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离r之间的关系来确定（）

A．若v²∝r，则该环是土星的一部分

B．若v²∝r，则该环是土星的卫星群

C．若v∝1/r，则该环是土星的一部分

D．若v²∝1/r，则该环是土星的卫星群

5、如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的角度为θ，下列说法正确的是（）

A．轨道半径越大，周期越长

B．轨道半径越大，速度越大

C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

6、如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（）

7、如图所示为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学，为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v₀水平抛出一个物体，然后测量出该平抛物体的水平位移为x．通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：（1）月球表面的重力加速度；（2）月球的质量；（3）环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率是多少。

8、如图所示，火箭内的实验平台上放有质量为18kg的测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度a=g/2竖直匀加速上升。求：火箭升至地面的高度为地球半径一半时，即h=R/2时，测试仪器对实验平台的压力是多少？（g=10m/s²）

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